Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I BAB FUNGSI BERPEUBAH BANYAK DAN TURUNANNYA Fungsi Berpeubah Banak Banak ungsi ang berganung pada peubah lebih dari sau Sebuah bidang ang panjangna dan lebarna memiliki luas ang berganung pada dan akni L = = Posisi sebuah parikel ang bergerak parabola dapa diungkapkan dalam benuk r = dengan = jarak horional dan = keinggian dari iik acuan Pada bagian ini kia akan mendeinisikan ungsiungsi berpeubah banak menaakan daerah asalna dan menggambarkan graikna Deinisi Fungsi Dua Peubah Misalna D adalah himpunan pasangan bilangan real eruru Fungsi dua peubah memeakan seiap pasangan bilangan real eruru dalam daerah D ke sebuah bilangan real = dalam daerah R Gambar Himpunan D disebu domain daerah asal dan himpunan R disebu range daerah hasil dan disebu peubah bebas disebu peubah erika Domain Range Gambar Daerah Asal Fungsi Dua Peubah Seperi halna pada ungsi sau peubah daerah asal ungsi dua peubah adalah himpunan bilangan real sedemikian rupa sehingga erdeinisi akni mengecualikan akar bilangan negai dan pembagian dengan nol CONTOH Penelesaian Tenukan daerah asal dari ersebu pada koordina bidang 6 Skes daerah asal 6 erdeinisi jika 6 aau 6 Dengan demikian daerah asalna adalah D { 6 R} Selanjuna 6 adalah sebuah lingkaran berpusa di dan berjari-jari maka 6 adalah himpunan pasangan ang berada di dalam lingkaran 6 Dengan demikian skes daerah asal pada koordina bidang adalah seperi diperlihakan pada Gambar Gambar Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 9
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I CONTOH Jika enukan a dan b c Tenukan daerah asal ungsi ersebu Penelesaian a dan b idak erdeinisi karena penebuna nol = c Daerah asal ungsi di aas adalah D { R} Graik Fungsi Dua Peubah Ada dua cara baku unuk menggambarkan graik ungsi Cara perama digambarkan sebagai permukaan ruang dari Permukaan ruang graik dari dideinisikan sebagai himpunan semua iik dalam ruang unuk seiap dalam domain Cara kedua digambarkan sebagai kurva keinggian Kurva keinggian dideinisikan sebagai himpunan iik dalam bidang di mana ungsi memiliki nilai konsan k CONTOH Gambarkan graik ungsi dari keinggian k dengan k = Gambarkan kurva Penelesaian Perpoongan graik dengan: bidang o = adalah lingkaran berpusa di berjari-jari bidang o = adalah parabol bidang o = adalah parabol Hasilna seperi diperlihakan pada Gambar a Semenara iu Gambar b memperlihakan kurva keinggian dari k dengan k = k = k = k = a b Gambar Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 5
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 5 SOAL-SOAL LATIHAN Tenukan dan gambarkan daerah asal ungsi-ungsi beriku / 6 Gambarkan kurva permukaan graik ungsi dan kurva keinggian dari ungsi-ungsi beriku 6 ; k = 5 ; k = 9 6 Turunan Parsial Deinisi dan Lambang Turunan Parsial Turunan parsial dari erhadap dan pada iik masing-masing dideinisikan sebagai beriku h h h lim h h h lim jika limina ada Jika beberapa alernai lambang urunan parsialna sebagai beriku dan Caaan: dibaca do e do eks
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I CONTOH Tenukan dan pada iik jika Penelesaian Unuk menenukan Nilai perlakukan sebagai konsana dan urunkan erhadap : pada iik adalah 6 Unuk menenukan perlakukan sebagai konsana dan urunkan erhadap : Inerpreasi geomeris dari urunan parsial Tinjau permukaan ang memiliki persamaan Bidang memoong permukaan ini pada kurva bidang QPR Gambar a dan nilai dari adalah kemiringan gradien dari garis singgung pada kurva bidang ini di iik P Demikian pula bidang memoong permukaan ini pada kurva bidang LPM Gambar b dan nilai dari adalah kemiringan gradien dari garis singgung pada kurva bidang ini di iik P Gambar CONTOH Penelesaian Tenukan gradien garis singgung pada kurva perpoongan dari permukaan 6 9 dan bidang pada iik Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 5
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Turunan parsial perama dari 6 9 erhadap adalah 6 6 9 Gradien garis singgung pada kurva perpoongan dari permukaan bidang pada iik adalah 6 9 dan 6 6 6 6 9 Inerpreasi isis dari Turunan Parsial Turunan parsial dapa dimaknai sebagai laju perubahan CONTOH Penelesaian Rapa muaan lisrik dalam pela logam di dalam bidang- diberikan oleh dengan dan dalam cm dan ρ dalam C/cm Tenukan laju perubahan rapa muaan erhadap dan masing-masing pada iik Laju perubahan rapa muaan erhadap adalah Pada iik : 8 C/cm Laju perubahan rapa muaan erhadap adalah Pada iik : 7 C/cm Turunan Parsial Orde Kedua Jika = diurunkan dua kali diperoleh urunan orde kedua Noasi urunan parsial orde kedua diuliskan sebagai beriku Turunan parsial erhadap dari : Turunan parsial erhadap dari : Turunan parsial erhadap dari : Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 5
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Turunan parsial erhadap dari : CONTOH Tenukan semua urunan parsial kedua dari sin Penelesaian Turunan parsial perama: Turunan parsial kedua: cos cos sin sin cos sin cos sin SOAL-SOAL LATIHAN Unuk soal nomor enukan semua urunan parsial perama ungsi ersebu u v uv e e sin 5 Tenukan gradien garis singgung pada kurva perpoongan anara permukaan 9 9 6 dengan bidang di iik 6 Sesuai dengan hukum gas ideal ekanan suhu dan volume gas dinaakan oleh PV kt dengan k adalah konsana Tenukan laju perubahan ekanan erhadap suhu pada suhu K jika volume dijaga eap pada m Unuk soal nomor 7 8 enukan semua urunan parsial kedua ungsi ersebu 7 sin 8 e sin Unuk soal nomor 9 naakan noasi urunan beriku dalam noasi 9 Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 5
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Auran Ranai Versi Perama Misalna = dan = erdierensialkan pada dan misalna = erdierensialkan pada dan maka = erdierensialkan pada Turunan erhadap memenuhi d d d Unuk ungsi iga peubah: w = dengan = = dan = : dw w d w d w d CONTOH Jika dengan dan d enukan Penelesaian Subsiusikan d d d dan d d maka diperoleh 6 8 d Menenukan dapa dienukan juga dengan menubsiusikan dan pada 7 d 6 akni sehingga diperoleh 8 Akan eapi banak ungsi ang mencari urunanna menjadi lebih rumi jika disubsiusikan erlebih dahulu CONTOH Penelesaian Silinder pejal dengan diameer dan inggi dipanaskan sehingga memuai Keika = cm dan = 5 cm diameer dan inggi silinder memuai beruruuru dengan laju cm/meni dan 5 cm/meni Tenukan a laju perubahan volume dan b laju perubahan luas silinder saa iu! Laju perubahan diameer dinaakan oleh d sedangkan laju d perubahan inggi Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 55
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I a Volume silinder memenuhi persamaan maka laju perubahan volumena: V dv V d V d dv d d d Dikeahui = cm = 5 cm cm/meni dan 5 cm/s maka dv 5 b Luas permukaan silinder dl dl L d d 5 5 65 cm /meni L maka laju perubahan luasna: L d d d d d Dikeahui = cm = 5 cm cm/meni dan 5 cm/s maka dl 5 5 5 7 cm /meni Versi Kedua Misalna = s dan = s memiliki urunan parsial perama pada s dan misalna = s s maka urunan parsial erhadap s dan masing-masing adalah CONTOH Penelesaian i ii s s Tenukan s s dan s jika e dengan s s i e e e e s s s s dan Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 56
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I s ii e e e e s Turunan Fungsi Implisi Fungsi implisi diuliskan sebagai F Dengan menggunakan auran ranai urunan F erhadap adalah maka diperoleh df d F d d F d d F F d aau d d d F / F / d CONTOH Jika enukan dengan menggunakan a meode d pendierensialan implisi dan b auran ranai Penelesaian a Turunan dari erhadap dengan menggunakan pendierensialan implisi sebagai beriku Kedua ruas kiri dan kanan diurunkan erhadap : d d sehingga diperoleh d d d d d d d d d d b Persamaan dapa diulis sebagai F Turunan parsial F erhadap dan beruru-uru adalah F sehingga diperoleh d d F / F / dan F Hasilna enu saja sama dengan cara ang diperoleh sebelumna Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 57
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I SOAL-SOAL LATIHAN d Unuk soal nomor enukan menggunakan auran ranai Naakan jawabanna dalam ; e ; sin cos Unuk soal nomor enukan dan s ; s s Naakan jawabanna dalam s dan ln ; s e s e 5 Budi mengendarai sepeda moor dengan kecepaan eap 6 km/jam lurus ke Uara dan melinasi perempaan jalan epa pukul WIB Tepa pada pukul 5 WIB Iwan ang memacu sepeda moorna dengan kecepaan 8 km/jam lurus ke Bara melinasi perempaan ang sama Tenukan laju perubahan jarak anara Budi dan Iwan erhadap waku pada pukul WIB 6 Tenukan d jika e 5 7 d Maksimum dan Minimum Maksimum dan minimum ungsi dua peubah dapa dienukan menggunakan eorema beriku Misalna A adalah suau iik pada ang memenuhi A = dan A = dan D A A A A : Jika DA > dan A < A adalah nilai maksimum relai dari Jika DA > dan A > A adalah nilai minimum relai dari Jika DA < A bukan nilai maksimum aau minimum A disebu iik pelana Jika DA = idak dapa disimpulkan Tiik A disebu iik kriis sedangkan A disebu nilai eksrim relai CONTOH Tenukan semua nilai eksrim dari ungsi Penelesaian Tiik-iik kriis ungsi ersebu diperoleh dengan menelesaikan sisem persamaan = dan = sebagai beriku Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 58
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Dari diperoleh Masukkan hasil ini ke diperoleh Unuk dan sedangkan unuk Dengan demikian iik- A dan B iik kriisna adalah Nilai eksrim diperoleh dengan cara sebagai beriku Turunan parsial kedua dari adalah 6 Selanjuna D Unuk iik A : A 6 dan D A D Karena DA < A merupakan iik pelana Unuk iik B : B 6 dan B D D Karena DB > dan B < maka B merupakan nilai maksimum relai dengan nilai: B 7 CONTOH Tenukan nilai eksrim relai dari Penelesaian Tiik-iik kriis ungsi ersebu diperoleh dengan menelesaikan sisem persamaan = dan = sebagai beriku Unuk memecahkan sisem persamaan di aas kalikan dengan dan dengan maka Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 59
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I sehingga diperoleh = Masukkan hasil ini ke maka diperoleh diperoleh aau Unuk dan unuk demikian iik-iik kriisna adalah A dan B Dengan Nilai eksrim diperoleh dengan cara sebagai beriku Turunan parsial kedua dari adalah 6 6 Selanjuna D 6 9 Unuk iik A : A 6 dan D A D 6 9 9 Karena DA < A merupakan iik pelana Unuk iik B : B 6 6 dan D B D 6 9 7 Karena DB > dan B < maka B merupakan nilai maksimum relai dengan nilai: B CONTOH Penelesaian Tenukan dimensi dari sebuah persegi panjang berdiagonal sedemikian rupa sehingga luasna maksimum Misalna panjang dan lebar dari persegi panjang ersebu adalah dan dengan > dan > liha gambar! Kia ingin menenukan ukuran dan sedemikian rupa sehingga luasna L maksimum dengan sara diagonalna memenuhi d Dari pada persamaan luas maka d diperoleh Subsiusikan hasil ini L Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 6
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Turunan perama dari adalah Tiik kriisna adalah iik sasioner: = maka dipenuhi jika sehingga diperoleh aau Karena > ang memenuhi sara adalah Unuk sehingga diperoleh iik kriisna adalah Dengan demikian dimensi dari persegi panjang berdiameer dengan luas maksimum adalah panjang = lebar = Luas maksimumna adalah CONTOH Tenukan jarak erdeka dari iik asal ke iik ang erleak pada bidang Penelesaian Jarak dari iik asal ke iik memenuhi persamaan d Unuk memudahkan penelesaian ambil d i Karena erleak pada bidang maka i dapa diubah menjadi ungsi dua peubah sebagai beriku d ii Sekarang kia akan mencari nilai minimum dari ii Tiik-iik kriis ungsi ersebu diperoleh dengan menelesaikan sisem persamaan = dan = sebagai beriku Kurangkan oleh maka Maka diperoleh = Masukkan hasil ini ke maka sehingga diperoleh iik kriis A Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 6
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Nilai eksrim diperoleh dengan cara sebagai beriku Turunan parsial kedua dari adalah Selanjuna D Unuk iik A : A dan D A D Karena DA > dan A < A merupakan nilai minimum Selanjuna masukkan iik A ke ii diperoleh nilai minimum dari adalah A Dengan demikian jarak minimum dari iik ke iik ang erleak pada bidang adalah d A min SOAL-SOAL LATIHAN Unuk soal nomor enukan nilai eksrim aau iik pelana dari ungsi ersebu 6 7 5 Sebuah angki logam berbenuk koak anpa uup dirancang dapa menampung 56 meer kubik air Berapakah dimensi ukuran panjang lebar dan inggi angki agar bahan logam ang digunakan unuk membuana sesediki mungkin? 5 Maksimum-Minimum Fungsi Terkendala: Meode Lagrange Conoh dan pada subbab merupakan cara menenukan maksimum-minimum ungsi ungsi erkendala Pada conoh ungsi ang hendak dienukan nilai maksimum/minimumna disebu ungsi objeki adalah luas persegi panjang Pada conoh ungsi objekina adalah adalah dan kendalana d d dan kendalana Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 6
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Selain menenukan nilai maksimum-minimum ungsi erkendala dengan cara seperi pada kedua conoh di aas ada meoda lebih sederhana aiu meode Lagrange Auranna sebagai beriku Dikeahui ungsi objeki: dengan ungsi kendala: g Tiik-iik kriis dari adalah solusi dari sisem persamaan sebagai beriku: g g g g dengan adalah konsana pengali akor pengali Lagrange CONTOH 5 Penelesaian Ulangi CONTOH dengan menggunakan meode Lagrange Fungsi objeki : Fungsi kendala : g Sisem persamaanna adalah g g g Unuk memecahkan sisem persamaan di aas kalikan dengan dan dengan maka diperoleh Masukkan hasil ini ke : Karena > ambil nilai sehingga > Dengan demikian iik kriisna adalah Dengan demikian dimensi dari persegi panjang berdiameer dengan luas maksimum adalah panjang = lebar = Luas maksimumna adalah CONTOH 6 Penelesaian Ulangi conoh dengan meode Lagrange Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 6
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I Fungsi objeki : Fungsi kendala : g Sisem persamaanna adalah g g g g Dari diperoleh Masukkan nilai ini ke dan Kemudian pecahkan sisem persamaan di aas dengan cara mengalikan dengan dan dengan sebagai beriku Masukkan = ke persamaan maka Kemudian masukkan hasil ini ke diperoleh Jadi iik-iik kriisna adalah A dan B Unuk A : A Unuk dan B : B Dengan demikian jarak minimum dari iik ke iik ang erleak pada bidang adalah d A min CONTOH 7 Tenukan nilai maksimum dan minimum dari 5 dengan erleak pada bola Penelesaian Fungsi objeki : 5 Fungsi kendala : g Sisem persamaanna adalah g 5 g 5 Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 6
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I g g Dari dan diperoleh 5 5 5 Dan dari dan diperoleh 5 6 5 Selanjuna masukkan 5 dan 6 ke diperoleh 5 5 5 5 5 Masukkan hasil ini ke 5 dan 6 maka: 5 dan 5 5 5 dan 5 5 : Tiik kriis A5 : Tiik kriis B 5 Selanjuna Unuk A5 : A 5 55 Unuk B 5 : B 5 5 5 Dengan demikian 5 dengan erleak pada bola memiliki nilai minimum = dan nilai maksimum = SOAL-SOAL LATIHAN 5 Tenukan nilai maksimum dan minimum dari jika berada dalam elips 8 Tenukan nilai minimum dari g jika adalah iik ang erleak pada Tenukan nilai iga buah bilangan posii ang jumlahna 5 sedemikian rupa sehingga perkalian keigana memberikan hasil erbesar Tenukan jarak erdeka dari iik asal O ke permukaan 9 Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 65
Dika Kuliah EL Maemaika Teknik I 5 Moncong pesawa angkasa berbenuk elipsoid memasuki amoser bumi Karena gesekan permukaan moncong pesawa mulai panas Seelah jam suhu di iik pada permukaanna memenuhi persamaan 6 T 8 6 6 Tenukan iik erpanas pada permukaan moncong pesawa ersebu Aip Saripudin Bab Fungsi Berpeubah Banak dan Turunanna - 66