PENGENALAN KONSEP DERIVATIF, DAN PENERAPANNYA DALAM PENYELESAIAN PROBLEMATIKA FISIKA Ashari 1 & Budiyono 2 1) Jurusan Pendidikan Fisika 2) Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Derivatif merupakan konsep dasar turunan. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai bagaimana konsep turunan diperoleh, selain itu akan dibahas pula penggunaan konsep derivatif dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, yang mana nilai maksimum fungsi ini diterapkan dalam beberapa penyelesaian permasalahan Fisika. Kata Kunci: derivatif, fungsi Pendahuluan Setiap makhluk hidup di alam ini selalu mengalami proses yang disebut sebagai perubahan, dapat berupa perubahan fisik. Seperti misalnya yang mula-mula bayi menjadi dewasa, mula-mula kepompong menjadi kupu-kupu, pada awal bulan mempunyai banyak uang hingga tidak mempunyai uang sama sekali pada akhir bulan. Perubahan yang terjadi dapat pula hanya merupakan perubahan sementara, misalnya perubahan pola pikir, perubahan model rambut, atau juga perubahan tempat/kedudukan, pada pukul tujuan si A ada di perpustakaan, satu jam kemudian dia sudah duduk di rumah. Secara kasar dari contoh-contoh yang dikemukakan dapat dinyatakan bahwa tak satupun di alam ini yang lepas dari proses perubahan. Apabila kita cermati lebih dalam setiap peristiwa perubahan yang dikemukakan, kita akan melihat bahwa perubahan selalu merupakan keterkaitan antara satu hal terhadap hal lain yang terjadi. Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika 1
Peristiwa dikatakan mengalami perubahan karena ada sesuatu hal yang digunakan sebagai acuan dari peristiwa. Sebagai contoh, A berdasarkan tinjauan tempat pada waktu tertentu (pada skala jam), berada di lokasi berbeda-beda. Kita katakan bahwa A mengalami perubahan posisi kedudukan, bukan perubahan fisik. Bila dilihat dari wujudnya A adalah tetap A yang berkaca mata, berkumis dan gemuk, dia oleh karena perubahan posisinya tidak berubah menjadi berkulit putih berambut panjang. Secara fisik A adalah tetap, tetapi dikatakan berubahan karena kita tinjau keberadaannya berdasarkan hubungan posisi dan waktu. Demikian pula yang mula-mula bayi menjadi dewasa berdasarkan tinjauan secara fisik dalam kaitannya dengan waktu dia mengalami proses perubahan dan kita tidak perlu meninjau dimana posisi/ kedudukannya. Keterkaitan hubungan antara satu hal dengan hal lain secara matematis dapat dinyatakan sebagai fungsi. Dan dalam penulisannya, misalnya jarak sebagai fungsi waktu, kita dapat menyatakan seba-gai berikut. Jika jarak yang ditempuh s, dan waktu yang digunakan untuk menempuh jarak adalah t, maka untuk menyatakan jarak yang ditempuh tempat dalam tiap satuan waktu dituliskan sebagai s(t). Perubahan yang dialami dinyatakan dengan (delta) atau, sehingga untuk menyatakan perubahan jarak dituliskan sebagai s atau s. Konsep Derivatif Kembali lagi pada pengertian perubahan, misalnya terdapat tiga orang berbeda A, B, dan C yang ingin pergi ke Parangtritis yang berjarak 30 km dari Yogya. A pergi naik sepeda dan memerlukan waktu 60 menit. B naik sepeda motor memerlukan waktu 30 menit dan C naik bus memerlukan waktu 15 menit saja. Di sini kita lihat bahwa perubahannya terhadap waktu ti- 2 Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
daklah sama meskipun jarak yang ditempuh sama. Kejadian ini disebut sebagai perubahan jarak terhadap waktu atau yang disebut sebagai kecepatan dan hasilnya belum tentu sama untuk peristiwa-peristiwa lain seperti misalnya pendapatan marjinal, merupakan perubahan pandapatan terhadap berbagai jenis produk, arus listrik merupakan laju perubahan muatan listrik terhadap waktu, peluruhan yang menun-jukkan laju perubahan jumlah zat terhadap waktu, pertumbuhan menunjukkan laju perubahan wujud zat terhadap waktu, dan sebagainya. Dengan menggunakan suatu acuan tertentu (terhadap hal yang diukur) kita dapat mengetahui laju perubahan y terhadap x (satu variabel terhadap variabel yang lain). Secara matematis ungkapan laju perubahan matematis ungkapan laju perubahan y terhadap x dituliskan δy. Jadi kecepatan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu dapat δs dinyatakan dengan. δt Untuk mengetahui besarnya laju perubahan y terhadap x (mendapatkan harga δy ) secara real terdapat metode pendekatan, sebagai berikut. 1. Andaikan variabel bebas beralih ke x ke x + x. Perubahan yang berse-suaian dalam variabel tak bebas y akan berupa y = f (x + x) f(x). Perubahan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai perbandingan antara Δ y f (x) = f(x + x) Δx Δx yang menggambarkan kemiringan tali busur melakui (x, f(x)). Seperti pada gambar berikut. Jika x 0, kemiringan tali busur ini mendekati kemiringan garis singgung, belakangan ini oleh Leibniz digunakan lambang δy = Δx lim 0 δy, sehingga: Δy Δx = Δx lim f (x x) f (x) 0 x Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika 3
f(x) Perhatikan gambar berikut. y Gambar 1. (x,f(x)) Baik Leibniz maupun Fermat menyebut δy (x + x, f(x+ x)) x x + x x sebagai suatu hasil kali bilangan yang sangat kecil yang menyebabkan persamaan ini menjadi benar. Dalam penentuan turunan fungsi, nilai yang sangat kecil ini tidak kita perhatikan, karena tidak jelas. Akan tetapi menurut Fermat jika harga yang sangat kecil tadi mendekati nol maka persamaan akan mempunyai nilai ekstrim. 2. Pendekatan lain, misalkan dalam kasus sebuah fungsi linear y = mx + b, apabila fungsi ini dinyatakan dengan grafik maka dapat digambarkan dengan sebuah garis lurus berkemiringan m yang mana m ditentukan dengan kecuraman garis. Laju kenaikan garis merupakan laju perubahan terhadap x. Jika x berubah x 0 ke ke x 1 dan y akan berubah m kali sesuai dengan perubahan x, sehingga dapat dinyatakan y 1 y 0 = m(x 1 x 0 ). Kemiringan dalam gambar diberikan sebagai perubahan y dalam tiap unit perubahan x. Dalam kasus yang lebih umum kita dapat menyatakan y sebagai fungsi x atau y = f(x) dan kemiringan kurva dinyatakan sebagai δy = f(x). Laju perubahan ini dapat bervariasi dari titik ke titik. Pada x = x 1 laju perubahan y terhadap x adalah f(x 1 ), kecuraman grafik adalah sebuah garis dengan ke-miringan f(x 1 ). Pada x = x 2 laju perubahan y terhadap x adalah f(x 2 ). Pada x = x 3 laju peru-bahan y terhadap x 4 Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
tidak selalu merupakan nilai tertinggi dari sebuah fungsi sehingga terdapat pengertian nilai maksimum relatif (relatif berarti terhadap interval tertentu). Sedangkan nilai minimum fungsi adalah nilai terkecil yang dapat dicapai oleh fungsi tersebut dalam interval yang diberikan. Seperti halnya nilai maksimum, untuk nilai minimum terdapat pula pengertian nilai minimum relatif lokal. Gambar 3. y Min local Min local adalah f(x 3 ), kecuraman grafik adalah sebuah garis dengan kemiringan f(x 3 ). Bila hasil ini digambarkan dalam bentuk grafik maka diperoleh grafik yang indikasinya sama seperti garis tangan (seperti grafik pada gambar 1). Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Dalam hidup kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan obat dengan dosis terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan fungsi tertentu. Adapun yang dimaksud dengan nilai maksimum suatu fungsi tersebut dalam interval yang diberikan. Nilai maksimum Max. local Max. local Untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum fungsi dari kurva polynomial y = f(x), dapat ditempuh dengan membandingkan dengan nilai f(x) pada suatu titik tertentu dengan nilai f(x + E) yang berada pada titik terdekatnya. Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika 5
Jika kita memasukkan nilai E sembarang pada fungsi maka hasil yang akan diperoleh dari fungsi f(x + E) akan sangat berbeda, tetapi ketika mencapai nilai pada puncak atau dasar kurva perubahan nilai f(x + E) dan nilai f(x) nyaris tidak kelihatan. Sehingga untuk menyatakan titik maksimum atau minimum dengan memasukkan harga real pada persamaan f(x) dan f(x + E) meskipun tidak tepat sama namun akan mendapatkan nilai yang mendekati sama. Untuk interval nilai E yang lebih kecil antara dua titik terdekat, setelah membagi seluruh persamaan dengan E akan membuat persamaan berharga nol. Hasil perhitungan dari persamaan merupakan titik maksimum atau minimum dari fungsi polinomial. Dalam pembahasan di atas, proses ini identik dengan proses penurunan (derivatif) dengan ide limit seperti yang telah dituliskan pada persamaan (1) yang berharga nol. Apabila tidak berharga maka fungsi tersebut tidak mungkin mempunyai nilai maksi-mum atau minimum. Bagaimana menentukan apakah fungsi f mempunyai nilai maksimum (atau minimum) pada daerah asal S? Jawaban dari permasalahan ini tergantung pada himpunan S tersebut. Agar mendapatkan nilai ekstrim fungsi, apakah maksimum atau minimum maka terdapat beberapa definisi yang perlu dikemukakan. Definisi: Andaikan suatu S yang merupakan daerah asal fungsi f memuat titik c, maka kita katakan bahwa: 1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S 2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S 3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum 6 Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika
Contoh Penerapan Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Beberapa soal yang dapat diselesai-kan dengan menggunakan konsep maksimum dan minimum fungsi. 1. Sebuah peluru ditembakkan dari permukaan bumi, jika peluru itu ditembakkan dengan arah tidak tegak lurus dengan permukaan bumi dan ketinggian yang dicapainya merupakan fungsi dari waktu yang dinyatakan oleh y(t) = t² + 2t 3. Hitung jarak tertinggi yang dicapai oleh peluru. 2. Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar identik yang berdampingan, seperti yang diperlihatkan dalam gambar. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum. 3. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30 + v ) 2 sen dollar per mil pada saat dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudinya dibayar $12 per jam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman minimum. Secara umum permasalahanpermasalahan menyangkut nilai maksimum dan minimum fungsi mekanika klasik yang melibatkan aplikasi hukum Newton tentang Gerak Persamaan Lagrange tentang Dinamika Gerak Partikel. Penutup Dari penjelasan yang telah dikemukakan dalam makalah ini dapat disimpulkan bahwa konsep derivatif dapat diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan gradien garis singgung yang diperoleh dari fungsi f(x). Pendekatan terhadap gradien garis tersebut dengan menggunakan konsep limit fungsi. Dalam penerapannya, terdapat banyak teorema yang dikembangkan dari konsep dasar derivatif. Kasus sederhana yang menggu- Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika 7
nakan konsep derivatif adalah penentuan nilai ekstrim fungsi. Adapun permasalahan tentang persamaan gerak partikel yang dibahas dalam mata kuliah Mekanika Klasik. Daftar Pustaka Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, 1989, A History of Mathematics, LHM University, Canada: John Wiley & Sons. Edwin J. Purcell, Dale Verberg (alih bahasa I. Nyoman Susila, dkk.), 1995, Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi V, Jakarta: Erlangga. Jero Wacik, Suardhana Linggih dkk., 1986, Ringkasan Matematika, Bandung: Ganeca Exact. S.L. Salas & Haddam Conn, 1982, Calculus, One and Several Variables with Analutic Geometry, Fourth Edition, Canada: John Wiley & Sons. 8 Ashari & Budiyono:Pengenalan Konsep Derivatif dan Penerapannya dalam Penyelesaian Problematika Fisika