Ukuran gejala pusat Nugraeni
UKURAN PEMUSATAN Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data. Yang termasuk ukuran pemusatan : 1. Rata-rata hitung (Mean) 2. Median (nilai yang letaknya ditengah) 3. Modus (yang paling banyak terjadi). Rata-rata ukur 5. Rata-rata harmonis
1. RATA-RATA HITUNG Rumus umumnya : Jumlah semua nilai data Rata - rata hitung Banyaknyanilai data 1. Untuk data yang tidak mengulang X1 X2... Xn X X n n 2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu f X 1 X1 f2x2... f f f... f 1 2 n n X n fx f
Urutan data sbb: kasus a. 61; 63; 63; 63; 68; 70; 72; 75; 76; 76; 80; 80 dan 81 b. 53; 55; 55; 55; 60; 62; 6; 69; 69; 69; 72; 72 dan 75
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi fx 9-21 15 3 5 22-3 28 112 35-7 1 16 8-60 5 8 32 61-73 67 12 80 7-86 80 23 180 87-99 93 6 558 Σf = 60 ΣfX = 3955 X fx f 3955 60 65,92
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 2. Dengan Memakai Kode (U) Interval Kelas 9-21 22-3 35-7 8-60 61-73 7-86 87-99 Nilai Tengah (X) 15 28 1 5 67 80 93 U Frekuensi fu -3-2 -1 0 1 2 3 3 8 12 23 6-9 -8-0 12 6 18 Σf = 60 ΣfU = 55 fu 55 X X0 c 5 13 f 60 65,92
RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 3. Dengan pembobotan Masing-masing data diberi bobot. Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir. Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir, maka rata-rata hitungnya adalah : X (2)65 (3)76 2 3 ()70 70,89
2. MEDIAN Untuk data berkelompok n - F Med L c 2 0 f L batas bawah kelas F f 0 jumlah frekuensi kelas frekuensi yang mengandung kelas median semua median kelas median sebelum
MEDIAN (lanjutan) Contoh : Interval Kelas 9-21 22-3 35-7 8-60 61-73 7-86 87-99 Frekuensi 3 8 12 23 6 Σf = 60 Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga : L 0 = 60,5 F = 19 f = 12 Med 60,5 13 60-19 2 12 72,2
3. MODUS Untuk data berkelompok b 1 Mod L0 c b1 b 2 L batas bawah kelas modus b b 1 0 2 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
MODUS (lanjutan) Contoh : Interval Kelas 9-21 22-3 35-7 8-60 61-73 7-86 87-99 Frekuensi 3 8 12 23 6 Σf = 60 Data yang paling sering muncul adalah pada interval 7-86, sehingga : L 0 = 73,5 b 1 = 23-12 = 11 b 2 = 23-6 =17 11 Mod 73,5 13 1117 78,61
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. 2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan. 3) Jika rata-rata hitung<med<mod, maka kurva miring ke kiri.
HUBUNGAN RATA-RATA MEDIAN - MODUS 1. = Md= Mo 12 10 8 6 2 0 375 519 Rt=Md=Mo 663 807 2. Mo < Md < 15 10 5 0 231 Mo Md Rt 663 807 3. < Md < Mo 15 10 5 0 231 375 Rt Md Mo 807
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS (lanjutan) Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan : Rata-rata hitung-modus = 3 (Rata-rata hitung-median) X - Mod 3 X Med
. RATA-RATA UKUR Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan. Untuk data tidak berkelompok G antilog Untuk data berkelompok G antilog f log X n G log X f n X.X 1 2...Xn
RATA-RATA UKUR (lanjutan) Contoh : Interval Kelas 9-21 22-3 35-7 8-60 61-73 7-86 87-99 Nilai Tengah (X) 15 28 1 5 67 80 93 Frekuensi log X f log X 3 8 12 23 6 1,18 1,5 1,61 1,73 1,83 1,90 1,97 3,5 5,8 6, 13,8 21,96 3,7 11,82 Σf = 60 Σf log X = 107,1 G 107,1 antilog 60 60,95
5. RATA-RATA HARMONIS Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal. Untuk data tidak berkelompok RH n 1 X Untuk data berkelompok RH f f X
RATA-RATA HARMONIS (lanjutan) Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi f / X 9-21 15 3 0,2 22-3 28 0,13 35-7 1 0,098 8-60 5 8 0,18 61-73 67 12 0,179 7-86 80 23 0,288 87-99 93 6 0,065 Σf = 60 Σf / X = 1,121 RH 60 1,121 53,52
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL 1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q 1 ) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q 2 ) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q 3 ) atau kuartil atas.
UKURAN LETAK: KUARTIL Definisi: Kuartil adalah ukuran letak yang membagi bagian yang sama. K1 sampai 25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai 75%. Rumus letak kuartil: DATA TIDAK BERKELOMPOK DATA BERKELOMPOK K1 = [1(n + 1)]/ 1n/ K2 = [2(n + 1)]/ 2n/ K3 = [3(n + 1)]/ 3n/ 0 K1 K2 K3 n 0% 25% 50% 75% 100%
KUARTIL (lanjutan) Untuk data tidak berkelompok Q i i nilai ke - Untuk data berkelompok Qi L0 c in - F, i 1,2,3 f n 1, i 1,2,3 L 0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Q i f = frekuensi kelas kuartil Q i
KUARTIL (lanjutan) Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi Q 1 membagi data menjadi 25 % Q 2 membagi data menjadi 50 % Q 3 membagi data menjadi 75 % 9-21 15 3 22-3 35-7 28 1 Sehingga : 8-60 5 8 61-73 7-86 87-99 67 80 93 12 23 6 Q 1 terletak pada 8-60 Q 2 terletak pada 61-73 Σf = 60 Q 3 terletak pada 7-86
KUARTIL (lanjutan) Untuk Q 1, maka : Q 1 1.60-11 7,5 13 8 5 Untuk Q 2, maka : Untuk Q 3, maka : Q 2 Q 3 2.60-19 60,5 13 72,2 12 3.60-31 73,5 13 81,1 23
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan) 2. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
DESIL (lanjutan) Untuk data tidak berkelompok D i i nilai ke - n 1 10, i 1,2,3,...,9 Untuk data berkelompok Di L0 in - F c 10, i 1,2,3,...,9 f L 0 = batas bawah kelas desil D i F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil D i f = frekuensi kelas desil D i
DESIL (lanjutan) Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi D 3 membagi data 30% D 7 membagi data 70% 9-21 15 3 22-3 35-7 8-60 28 1 5 8 Sehingga : 61-73 67 12 7-86 87-99 80 93 23 6 D 3 berada pada 8-60 Σf = 60 D 7 berada pada 7-86
DESIL (lanjutan) 58,875 8-11 10 3.60 13 7,5 D 3 79,72 23-31 10 7.60 13 73,5 D 7
GRAFIK LETAK DESIL 0% 20% 0% 60% 80% 100% 0 D2 D D6 D'8 n
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan) 3. Persentil Untuk data tidak berkelompok P i i n 1 nilai ke - 100, i 1,2,3,...,99 Untuk data berkelompok in Pi L0 - F c 100, i 1,2,3,...,99 f
UKURAN LETAK PERSENTIL 1% 3% 99% P1 P3 P99
SOAL LATIHAN Carilah nilai mean, median dan modus dari data berikut: Jawaban dikirim lewat email ke alamat : nda_eni@yahoo.com, paling lambat kamis 27 November 201 jam 21.00 Interval kelas Frekuensi 50 55 1 56 61 2 62 67 17 68 73 13 7 79 2 80 85 9 86 91 7 92-97 7