Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel berikut menyatakan nilai yang di peroleh oleh 3 tim bola basket dari SMU yang berbeda dari 5 pertandingan bola basket yang diikuti. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut. Jika data pada tabel di atas hanya dituliskan bilangan saja, kemudian susunan bilangan diberi tanda kurung, maka akan diperoleh Dengan demikian matriks m x n adalah sebagai berikut.. Bentuk (1) 2) Lihat tabel berikut dan lengkapi. JIka hanya koefisien peubahnya saja yang dituliskan, kemudian diberi tanda kurung maka diperoleh Jenis-jenis Matriks 1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris, sehingga berordo 1 x n. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. A = B = C = Bentuk (2) Bentuk (1) dan (2) merupakan sebuah matriks, maka dapat disimpulkan Matriks adalah 2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom, sehingga berordo m x 1. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. P = Q = R = 1
3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama, sehingga berordo m x m. berikan 3 contoh matriks baris dengan ordo yang berlainan. D = E = F = 3. 4. Matriks transpose Transpose dari suatu matriks A ditulis dengan A t atau A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris matriks A menjadi kolom pada matriks A atau seballiknya. 4. 5. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang seletak juga sama. a c matriks A = b d, matriks B = p r q s, jika A = B maka: a = p b = q c = r d = s Latihan 1 1. 6. 2. 7. 2
8. B. OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Jumlah atau selisih dua matriks yang sama ukurannya (ordo sama) sama dengan matriks baru dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen seletaknya (Penjumlahan) a c a. b d + p r q s = a + p c + r b + d d + s b. c. (pengurangan) d. 9. e. Sifat-sifat penjumlahan matriks: Latihan 2 1. 10. jika Maka a + b + c = 2. 3
3. 6. 7. 4. 5. 8. 4
12. 9. 13. 10. 11. 2. Perkalian Matriks Perkalian matriks ada dua jenis, yaitu perkalian matriks dengan skalar dan perkalian antarmatriks. a) Perkalian Matriks Dengan Skalar Perkalian matriks dengan real k hasilnya matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan k. 5
a. 3. b. c. 4. Latihan 3 1. 5. 2. 6
6. 9. 10. 7. 8. b) Perkalian Dua Matriks Metode menggabungkan dua matriks ini disebut Perkalian Matriks. Aturannya adalah kalikan matriks baris dengan kolom dan jumlahkan hasilnya Catatan: 7
2 1 a. 1 0 1 2. 1 1 0 2 1 2 1 0 2. = + + + + + + + + + + + + = 3. b. Perpangkatan Matriks Persegi Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka A n = A x A x A x A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan A n = A X A n-1 atau A n = A n-1 x A. 4. Sifat-sifat perkalian dua matriks jika matriks A, B, dan C serta k Bil. Real, berlaku sifat-sifat berikut: a. anti komutatif: A.B B.A b. distributif kiri: A (B ± C) = (AB ± AC) c. distributif kanan: (B ± C) A = (BA ± CA) d. asosiatif: (i) A(BC) = (AB)C (ii) k (AB) = (ka).b = A.(kB) e. I.A = A.I = A, dimana I adalah matriks Identitas f. Jika A.B = O, belum tentu A = O atau B = O, dimana O = matriks nol g. Jika AB = AC, belum tentu B = C h. ((AB) T = B T A T 5. Latihan 4 1. 8
6. 10. 7. 11. 8. 12. 9. 9
13. C. DETERMINAN MATRIKS Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan A. 1. Matriks Berordo 2x2 14. 3 4 = (... x ) ( x...) =.. =.. 5 7 2 4 3 6 = (... x ) ( x...) =.. =.. 2. Matriks berordo 3x3 15. Aturan Sarrus 16. 2 3 4 1 5 7 6 8 9 =. +. +..... =... =.. Catatan: Matriks Singular adalah matriks yang determinannya adalah 0. 10 Sifat-sifat determinan matriks a. A = A T b. ka = k 2 A c. AB = A. B
d. A n = ( A ) n e. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks A dikalikan k maka determinannya menjadi: k. A f. Jika baris ke-i ditukarkan dengan baris ke-j atau kolom-m ditukarkan dengan kolom ke-n, maka determinanya menjadi: (-1) x determinan semula. g. apabila baris ke-i ditambah k dikali baris ke-j atau kolom ke-n ditambah k kali kolom ke-n, maka tidak mengubah determinan matriks (operasi baris/kolom tidak mengubah nilai determinan) Latihan 5 1. 5. 6. Jawab 2. 7. 3. 8. 4. 9. 11
Invers dari matriks B ditulis B -1, sedangkan invers matriks A dituliskan dengan A -1. Invers Matriks Berordo 2x2 10. 3 1 A = 15 6 A -1 = 1 x.. = 11. Matriks A berordo 3x3 dan mempunyai determinan 2, maka determinan dari matriks (2A) adalah A. 16 C. 18 E. 5 B. 12 D. 36 Sifatsifat invers matriks: a. (A.B) -1 = B -1.A -1 b. A.A -1 = A -1.A = I: matriks identitas c. Jika A.B = I maka A -1 = B atau B -1 = A d. A -1 = 1 A e. (A t ) -1 = (A -1 ) t f. (A -1 ) -1 = A Latihan 6 1. D. INVERS MATRIKS Pengertian Invers Matriks 3 7 Jika A = 2 5, B = 5 7 2 3, dan I = 1 0 0 1, tentukanlah: A.I =. = B.I = A.B = B.A =. =. =. = Matriks A disebut invers dari matriks B jika AxB = BXA = I, dengan I adalah matriks identitas 2. 12
3. 7. 4. 8. 5. 6. 13