METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA
Matematika Bukan Sekedar Angka Persepsi bahwa matematika identik dengan angka-angka dan operasi hitung (tambah, kali, bagi,kurang, pangkat, dll) tidak selamanya benar. Matematika berhubungan juga dengan penalaran karena matematika matematika merupakan hasil abstraksi (pemikiran) manusia terhadap objek-objek sekitar. Produk utama matematika berupa pernyataan-pernyataan berupa denisi, teorema, akibat, keonjektur, dll. Angka dan operasi aritmatika yang menyertainya merupakan produk turunan matematika. Matematika sebagai ilmu dasar (basic science): teori-teori yang ada di dalam matematika digunakan sebagai landasan untuk pengembangan ilmu terapan dan teknologi. Kebenaran pernyataan dalam matematika perlu dibuktikan.
Pernyataan Dalam Matematika dan Pembuktiannya Denisi adalah kesepakatan bersama mengenai pengertian atau batasan suatu istilah. Misalnya bilangan prima adalah bilangan lebih besar dari 1 yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Teorema adalah pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan. Teorema dapat berupa kalimat berkuantor yang memuat konektivitas dengan satu atau beberapa premis dan satu konklusi. Teorema Pythagoras: Jika ABC segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di B maka berlaku AB 2 + BC 2 = AC 2. Proposisi merupakan teorema kecil dimana tingkat signikansinya lebih rendah dari Teorema. Contoh: perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan sebuah bilangan ganjil. Fakta kadang digunakan untuk menyatakan Teorema atau Proposisi tetapi kebenarannya dapat dipahami langsung dan mudah. Contoh: 2 adalah satu-satunya bilangan genap yang sekaligus prima. Pembuktian (proof ) adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan.
Lanjutan jenis pernyataan Aksioma atau postulat adalah pernyataan yang menjadi asumsi dasar dalam penyusunan suatu konsep dalam matematika. Aksioma biasa digunakan untuk membangun denisi, atau untuk membuktikan Teorema. Contoh: melalui dua titik berlainan dapat dibuat sebuah garis. Lemma adalah teorema kecil yang biasanya digunakan untuk membuktikan Teorema. Akibat (collorary) merupakan fakta yang diturunkan langsung dari Teorema dimana kebenarannya dapat dibuktikan dari Teorema langsung. Contoh: jika salah satu sisi pada segitiga siku-siku adalah ganjil maka terdapat satu lagi sisinya yang juga ganjil. (Akibat dari teorema Pythagoras). Konjektur adalah pernyataan yang diduga benar berdasarkan data empiris (evidence), argumen heuristik, atau intuisi para ahli; tetapi belum berdasarkan argumen valid. Bila konjektur dapat dibuktikan dengan argmen yang valid maka ia berubah menjadi Teorema atau proposisi. Kelompok pernyataan dan urgensi pembuktiannya Pernyataan yang harus dibuktikan: Teorema, Proposisi, Fakta, Lemma, Akibat. Pernyataan yang tidak perlu dibuktikan: Denisi, Aksioma/Postulat. Pernyataan yang dianjurkan untuk dibuktikan: Konjektur.
Pola Berpikir Dalam Matematika It is with logic that one proves, it is with intuition that one invents" (Henri Poincaré). Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Proses penemuan dalam matematika: pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. melalui semua informasi dan fakta yang terkumpul disusun suatu konjektur. Konjektur dibuktikan kebenarannya, dihasilkan sebuah teorema. Dua macam cara berpikir: logically thinking dan algorithm thinking
Mengapa Perlu Membuktian Motivasi mengapa orang perlu membuktikan teorema (Making mathematics, http:/www2.edc.org/makingmath): To establish a fact with certainty To gain understanding To communicate an idea to others For the challenge to feel the real beauty of mathematics To construct a large mathematical theory Penelitian matematika pada level lanjutan menuntut dihasilkannya suatu teorema baru yang buktinya dapat diuji oleh orang lain. Motto PERUM Pegadaian "mengatasi masalah tanpa masalah", Motto PENELITIAN MATEMATIKA "memecahkan masalah, menimbulkan masalah baru". Masalah dalam matematika tidak bermakna negatif, tapi malah menambah kaya ilmu matematika itu sendiri. Matematika bekembang dari dua arah: internal dan eksternal (adanya tuntutan ilmu terapan yang membutuhkan matematika).
Pembuktian Pernyataan Berbentuk Implikasi p q 1 Bukti langsung: membuktikan kebenaran proposisi/teorema yang berbentuk implikasi p q, berangkat dari asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Contoh: Buktikan kebenaran jika x bilangan ganjil maka x 2 ganjil. 2 Bukti taklangsung: membuktikan kebenaran suatu implikasi p q melaui kontraposisinya q p. Contoh: Buktikan, jika x 2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil. 3 Bukti kosong: membuktikan kebenaran suatu implikasi p q dengan cara membuktikan bahwa p salah. Contoh: Diberikan denisi: himpunan A dikatakan bagian dari himpunan B, ditulis A B jika kondisi berikut dipenuhi: x A x B. Buktikan: adalah himpunan bagian dari semua himpunan. 4 Bukti trivial: membuktikan kebenaran suatu implikasi p q dengan cara membuktikan bahwa q benar. Contoh: Buktikan kebenaran Jika pinguin dapat terbang maka 3 + 2 = 5.
Pembuktian dengan Kontradiksi Prosedur: 1 Identikasilah konklusi sebuah proposisi. 2 Andaikan konklusi tersebut salah. 3 Temukan kontradiksi. 4 Simpulkan bahwa pengandaian salah. 5 Proposisi terbukti. Example Buktikan bahwa 2 adalah bilangan irrasional. Proof. Kesimpulannya: 2 bil irrasional. Andai 2 rasional. Gunakan denisi bil rasional, dan seterusnya. Pada perjalanan temukan kontradiksi, yaitu dua pernyataan yang saling bertentangan. Simpulkan.
Pembuktian dengan Contoh Pengingkar Untuk membuktikan ketidakbenaran sebuah pernyataan, umumnya masih berupa konjektur. Ditunjukkan sebuah contoh yang membuat pernyataan tersebut tidak benar. Example Bilangan berpola F n := 2 2n + 1, n 0 merupakan bilangan prima. Proof. F 0 = 2 0 + 1 = 2 benar prima, F 1 = 2 21 + 1 = 5 benar prima, F 2 = 2 4 + 1 = 17 prima, F 3 = 2 23 + 1 = 257 prima, F 4 = 2 16 + 1 = 65537 juga prima. Perhatikan F 5 = 2 32 = 4294967297 = 641 6700417 bukan prima. Kesimpulan: pernyataan ini adalah salah dengan contoh pengingkar F 5. Masih ada bukti eksistensi dan ketunggalan, bukti dua arah (biimplikasi), bukti ekuivalensi multiarah, dan metoda Induksi Matematika. Dilanjutkan pada perkuliahan berikutnya.
PEMBUKTIAN DUA ARAH Karena sesungguhnya bi-implikasi p q terdiri dari dua implikasi p q dan q p maka pembuktiannya mengikuti pola pembuktian implikasi tetapi dilakukan dua arah. Example Misalkan n bilangan positif. Buktikan: n genap bila hanya bila 7n + 4 genap. Proof. ( )Diketahui n genap maka dapat ditulis n = 2m, m Z. Diperoleh 7n + 4 = 7(2m) + 4 = 2(7m + 2) = 2m 1, m 1 := 7m + 2 Z. Sebaliknya diketahui 7n + 4 genap, dibuktikan n genap. Ada 2 cara membuktikan ini 1 langsung, mis 7n + 4 = 2m maka dapat dibentuk (n + 6n) + 4 = 2m n = 2m 6n 4 = 2(m 3n 2) = 2m 2, m 2 := m 3n 2 Z. 2 kontraposisi, mis n ganjil maka dapat ditulis n = 2m + 1. Diperoleh 7n + 4 = 7(2m + 1) + 4 = 14m + 10 + 1 = 2(7m + 5) + 1 = 2m 3 + 1 sebuah bil ganjil.
PEMBUKTIAN MULTI ARAH Jika p q r maka p, q dan r disebut ekuivalen. Pernyataan p q r dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai rute, mis : p q r p, p r q, dll. Example Buktikan tiga pernyataan berikut ekuivalen: 1 a < b 2 rata-rata a dan b lebih dari a 3 rata-rata a dan b kurang dari b. Proof. Rata-rata a dan b didenisikan r(a, b) := 1 (a + b). 2 (1) (2): Karena a < b maka a + a < a + b. Diperoleh 2a < (a + b) 1 (a + b) > a. 2 (2) (1): Diketahui 1 (a + b) > a maka mudah ditunjukkan a < b. 2 (1) (3): Karena a < b maka a + b < b + b. Diperoleh a + b < 2b 1 (a + b) < b. 2 (3) (1): Diketahui 1 (a + b) < b maka mudah ditunjukkan a < b. 2
BUKTI EKSISTENSI Bukti eksistensi adalah bukti adanya objek (matematika) yang memenuhi syarat tertentu. Dua macam bukti eksistensi, yaitu 1 Eksistensi dengan konstruksi, objek yang dicari harus nampak secara eksplisit. 2 Eksistensial tanpa konstruksi, objek yang dicari tidak harus nampak tetapi secara logika diyakini ada. Buktikan di antara sebarang dua bilangan real selalu terdapat bilangan rasional r. Ini bukti eksistensi dengan konstruksi. Lihat paper Julan HERNADI (Metoda Pembuktian dalam Matematika). Buktikan ada bilangan irrasional x dan y sedemikian hingga x y rasional. Bukti: Sudah dibuktikan 2 irrasional. Perhatikan ( 2 ) 2. Ada dua kemungkinan. Bila bilangan ini rasional maka selesai, yaitu x = y = 2. ( ( 2 ) 2) 2 Bila bilangan ini irrasional, ambil = ( ) 2 2 = 2 rasional. Bila kemungkin kedua yang terjadi maka diambil x = ( 2 ) 2 dan y = 2.
BUKTI KETUNGGALAN Selain eksistensi, ketunggalan objek (matematika) yang memenuhi syarat tertentu perlu diketahui secara jelas. Membuktikan ketunggalan hanya x objek yang dimaksud: 1 Diambil sebarang objek y, ditunjukkan y = x, atau 2 Misalkan ada objek lain y x, ditemukan kontradiksi. Example Buktikan sistem persamaan 2x + y = 4 dan x 2y = 3 mempunyai penyelesaian tunggal. Pertama dibuktikan eksistensi penyelesaiannya. Dengan eliminasi misalnya, diperoleh (x = 1, y = 2) adalah penyelesaian. Ambil (x 1, y 1) sebarang penyelesaian maka haruslah memenuhi 2x 1 + y 1 = 4 dan x 1 2y 1 = 3. Dengan cara yang sama akan diperoleh x 1 = x dan y 1 = y. Terbukti penyelesaiannya tunggal. Buktikan bahwa 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap. Misalkan ada prima p > 2 dan p genap maka p mempunyai faktor selain dirinya dan 1, yaitu 2. Kontradiksi dengan denisi bilangan prima. Disimpulkan hanya ada satu (tunggal ) bilangan prima genap.
SOAL-SOAL PEMBUKTIAN 1 1 Buktikan bahwa kuadrat bilangan genap adalah genap dengan menggunakan metoda pembuktian langsung, tidak langsung dan kontradiksi. 2 Buktikan bahawa jika n bulat dan n 3 + 5 ganjil maka n genap dengan menggunakan metoda pembuktian taklangsung dan kontradiksi. 3 Buktikan bahwa jumlahan bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional (gunakan metoda kontradiksi) 4 Terbukti atau tidak pernyataan berikut 1 Hasil kali dua bilangan irrasional adalah irrasional 2 Hasil kali bilangan rasional taknol dengan bilangan irrasional adalah irrasional. 5 Buktikan paling sedikit 10 hari dari 64 hari yang dipilih bebas dari kalender adalah jatuh pada hari pasaran masehi yang sama. Ingat ada 7 hari pasaran masehi, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu dan minggu. Kalau pasaran Jawa ada 5 hari. 6 Buktikan paling sedikit ada 3 hari dari 25 hari yang dipilih bebas dari kalendar jatuh pada bulan yang sama. 7 Jika x dan y bilangan real, buktikan max(x, y) + min(x, y) = x + y. 8 Buktikan bahwa bilangan kuadrat pasti berakhir dengan angka 0, 1, 4 atau 5.
SOAL-SOAL PEMBUKTIAN 2 1 Buktikan m 2 = n 2 bila hanya bila m = n atau m = n. 2 Terbukti atau tidak! Jika m dan n bulat dan mn = 1, maka m = 1 dan n = 1, atau m = 1 dan n = 1. 3 Buktikan! 3x + 2 genap x + 5 ganjil x 2 genap. 4 Tunjukkan pernyataan berikut adalah ekuivalen: (i) x rasional, (ii) x 2 rasional, (iii) 3x 1 rasional. 5 Misalkan a, b dan c bilangan real dengan a 0, buktikan persamaan ax + b = c mempunyai penyelesaian tunggal. 6 Misalkan a b, buktikan terdapat dengan tunggal bilangan bulat c yang memenuhi a c = b c. 7 Tunjukkan bahwa jika n ganjil maka terdapat dengan tunggal bil bulat k sehingga n adalah jumlahan dari k 2 dan k + 3. 8 Misalkan r irrasional. Buktikan terdapat dengan tunggal bilangan bulat n sehingga jarak antara n dan r kurang dari 1 2. 9 Buktikan pernyataan berikut ekuivalen: (i) n 2 ganjil, (ii) 1 n genap, (iii) n 3 ganjil, (iv) n 2 + 1 genap.
Tindak Lanjut Soal-soal latihan tersebut sebagian dibahas waktu kuliah minggu ini. Soal-soal yang tidak dapat diselesaikan dijadikan tugas terstruktur untuk dikumpul minggu depan. Masih ada 1 topik bab metoda pembuktian ini, yaitu Induksi Matematika. Materi ini akan disampaikan pekan depan. Diharapkan mahasiswa dapat mempelajari bahan kuliah ini sebelum perkuliahan tatap muka agar ada modal pemahaman yang memadai, tidak nol. Lebih khusus kepada mahasiswa yang merasa lambat dalam memahami pelajaran.