BAB IV DIFFERENSIASI

BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika terdapat a buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.. l A Gambar 4. A B l Gambar 4. Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(,f( )) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih 88

suatu titik B(,f()). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l yang mempunyai kemiringan : m = f() - f() - ( 4. ) y l A l B Kemiringan garis l = m Kemiringan garis l = m h Gambar 4. Jika f() kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara dan. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk : f( ) - f() lim m lim ( 4. ) Persaman (4.) adalah kemiringan garis l jika mendekati. Jika kita perhatikan Gambar 4. maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l jika mendekati adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis : f( ) - f() lim m lim m 89

Jadi : f( ) - f() m lim ( 4. ) f( h) - f() Karena = h, maka m lim ( 4.4 ) h h f( ) - f() Jika dimisalkan h =, maka m lim ( 4.5 ) Persamaan 4. s/d 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik (, f()) Contoh 4. Diketahui f() = + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a ) f( ) - f() m lim ( ) 5-5 6 ( ) 5 5 lim lim lim 6 6 Jadi m = 6 (*) Persamaan garis singgung : y = m + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a ) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a = 6a + n. Sehingga n = -5a Persamaan garis singgung menjadi : y = 6a 5a 4. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f() menjadi turunan f() atau f (). f() Differensiasi f () Gambar 4.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f() di titik (,f()). Berdasarkan persamaan 4. dan Gambar 4. maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk : f( ) f() f'() lim, jika nilai limitnya ada ( 4.6 ) Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f() dapat didifferensiasikan (differensiable) pada. Maka dikatakan f() mempunyai turunan pada. 9

Contoh 4. Jika f() = + 5 7, tentukan f (), f (c) dan f () f() = + 5 7 f(+) = (+) + 5(+) 7 = + 4 +() + 5 + 5 7 f(+) f() = 4 + () + 5 f( ) f() 4 ( ) 5 f'() lim lim lim 4 Jadi : f'() 4 5 f'(c) f'() 4c 5 4() 5 7 5 4 5 4. Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (646 76). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai /, /dz, dimana dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(), maka : / = f (). 4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada maka f dikatakan kontinu pada. Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu : f( ) f() f( ) f() Jika : lim ada, maka f'() lim f( ) f() f(+)-f()= f( ) f() lim (f( ) f()) lim. lim =f (). = Sehingga : lim f( ) lim f() lim f() f() (terbukti) Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada, maka tidak secara otomatis f differensiable pada. 4.5 Teorema-teorema 4.5. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai : 9

y = f() = c maka f'() ( 4.7 ) f() = c ; f(+) = c f( ) f() c c f'() lim = lim (terbukti) 4.5. Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai : y = f() = k n maka n f'() kn ( 4.8 ) f() = k n f(+) = k(+) n Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(+) n = k n kn n kn(n ) n ( ) k(n - )! n-!!! (n )! f( ) f() f'() lim n kn (terbukti) Contoh 4. Tentukan turunan pertama dari f() = 5 7 7 6 f'() (5)(7) 5 kn! n n! 4.5. Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f() + g() maka f'() g'() ( 4. 9 ) h() = f() + g() h(+) = f(+) + g(+) h( ) h() f( ) g( ) f() g() h () = lim lim f( ) f() g( ) = lim lim f'() g'() (terbukti) Contoh 4.4 Diketahui y = 5 6 + - 9

Tentukan f() = 5 6 g() = - f () = 5 g () = -6-4 f () + g () = 5 6-4 4.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f().g() maka f'()g() f()g'() (4.) f( ).g( ) f().g() h () = lim f( ).g( ) f( ).g() f( ).g() f().g() = lim g( ) g() f( ) f() = lim f( ) + lim g() = f().g () + g().f () (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = ( 5 + - )(7+) Tentukan f() = 5 + - g() = 7+ f () = 5 4 4 - g () = 7 4 = f ().g() + g ().f() = (5-4 - )(7+) + ( 5 + - )(7) = 5 5-8 - +45 4 - + 5 + 4 - = 6 5 + 45 4-4 - - 4.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f() g() maka f'()g() f()g'() (4.) g() 9

f() f( ) h() = ; h(+) = g() g( ) f( ) f() h( ) h() g( ) g() h () = lim lim g().f( ) g( ).f() = lim.g( ).g() g().f( ) f().g() g( ).f() f().g() = lim.g( ).g() f( ) f() g( ) g() = lim g() - lim f().g( ).g().g( ).g() f( ) f() g( ) g() = lim g() - lim f() g( ).g( ) g( ).g( ) g().f'() g'().f() = (terbukti) g() Contoh 4.6 4 Tentukan h () jika h() = 4 f() = 4 f () = 8 6 g() = 4 g () = f'().g() f().g'() (8 6)(4 ) ( 4 )( ) h () = [g()] (4 ) = 6 4 4 4 6 6 6 6 4 6 8 6 6 4 = 4 4.5.6 Turunan fungsi komposisi Jika y = f(u) dan u = g() maka (4.) Jika y = f(u) dan u = g() maka y = f(g()). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(). u = g() u= g(+) g() g(+) = g() + u = u + u Jadi u maka y = f(g()) y = f(g(+)) f(g()) 94

y f(g( )) f(g()) f(g( )) f(g()) u u y f(u u) f(u) u u y lim f(u u) f(u) u lim u f(u u) f(u) u lim. lim u (terbukti) Persamaan 4. disebut aturan rantai Contoh 4.7 Tentukan jika y = (4 + 5 + 4) Misal u = 4 + 5 + 4 y = u u u ( ) ( )(4 5 4) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!. f(t) = at 5 4 bt + 7 6. f() = - 4 5. f() = -5 + 5 7. g(t) = (at +bt+c) (at 7) 5. g() = 8. h(w) = 4 4. h() = 5 9. v(t) = 5. w() = 7 4 -. g(t) = b aw w c (at bt) (ct d) (t ) t t - 4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri Jika y = f() = sin maka f'() cos (4.) f( ) f() sin( ) sin f'() lim lim 95

sin cos cos sin sin lim sin (cos ) cos sin lim (cos ) sin sin cos lim cos sin sin lim cos lim = (sin)() + (cos)() = cos (terbukti) Jika y = sin u dan u = f() maka cos u (4.4) y = sin u cosu u = f() f'() cosu (terbukti) Jika y = f() = cos maka f'() f( ) f() cos( ) cos lim lim coscos sinsin cos lim cos (cos ) sinsin lim (cos ) sin cos sin lim cos cos sin sin lim lim = (cos)() - (sin)() = -sin (terbukti) f'() sin (4.5) Jika y = cos u dan u = f() maka y = cos u sinu sin u (4.6) u = f() f'() 96

sinu (terbukti) Contoh 4.8 Jika y = sin(-), tentukan Misal u = - y = sin u cos u (cos u)( ) cos( ) Contoh 4.9 Jika y = cos tentukan Misal u = y = cos u / sin u ( sin u)( ) - sin Contoh 4. Jika y = sin cos, tentukan Misal u = sin v = cos dv cos sin dv.v u (cos)(cos) (sin)( sin) cos.cos sin.sin Contoh 4. sin Jika y = cos 4.v v, tentukan Misal u = sin v = cos 4 dv cos 4sin 4 dv u. (cos)(cos 4) (sin)( 4sin4) (cos 4) cos.cos 4 4 sin.sin 4 cos 4 97

Jika y = f() = tan maka f'() sec (4.6) sin y = tan = cos u = sin v = cos dv cos sin dv.v u. = v (cos )(cos ) = sec (terbukti) cos (sin )( sin ) cos sin = cos (cos ) Jika y = tan u maka (sec u) (4.7) y = tan u sec u u = f() f'() (sec u) (terbukti) Contoh 4. Jika y = 5 tan, tentukan Misal u = y = 5 tan u 5 sec u (5 sec u)() 5 sec u 5 sec Jika y = f() = cot maka cos y = cot = sin u = cos v = sin dv sin cos f'() csc (4.8) 98

dv.v u. = v = csc (terbukti) sin ( sin )(sin ) (cos )(cos ) (sin ) (sin cos ) = sin Jika y = cot u maka ( csc u) (4.9) y = cot u csc u u = f() f'() ( csc u) (terbukti) Contoh 4. Jika y = cot, tentukan Misal u = y = cotu csc u ( csc u)( ) csc u csc 6 6 Jika y = f() = sec maka y = sec = cos u = v = cos dv sin dv.v u. ( )(cos ) ()( sin ) = v (cos ) sin = sec tan (terbukti) cos f'() sec tan (4.) 99

Jika y = sec u maka (sec u tanu) (4.) y = sec u secu tanu u = f() f'() (sec u tan u) (terbukti) Jika y = f() = csc maka f'() csc cot (4.) y = csc = sin u = v = sin dv cos dv.v u. ( )(sin) ()(cos ) cos = = csc cot (terbukti) v (sin ) sin Jika y = csc u maka y = csc u cscu cotu u = f() f'() ( csc u cot u) (terbukti) Contoh 4.5 Jika y = csc( ), tentukan Misal u = - y = cscu cscu cotu ( cscu cotu)( ) ( csc u cotu) (4.) cscu cotu csc( ) cot( - ) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! PR :, 5, 6 & 9. f() = sin( ) 6. f() = csc 4 ( )

. f() = cos ( ) 7. g(t) = sint cos t. g() = tan sin(aw ) 8. h(w) = cos( bw) 4. h() = cot 9. v(t) = 5. w() = sec 5 ( ). g(t) = at sint cos(b t) cost sin t sint 4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers Jika y = f() = arcsin maka f'() (4.4) y = arcsin sin y = cos y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cosy sin y = cos y = (terbukti) y Jika y = arcsin u dan u = f() maka y = arcsin u u. (terbukti) u Contoh 4.6 Jika y = arcsin( ), tentukan 8 Misal u = y = arcsinu 8 (4.5) u

8 8 u u 8 9 Jika y = f() = arccos maka f'() (4.6) y = arccos cos y = siny Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! siny cos y = sin y = (terbukti) y Jika y = arccos u dan u = f() maka y = arccos u Contoh 4.7 Jika y = arccos u. (terbukti) u, tentukan Misal u = y = arccosu u () u 6 4 (4.7) u

Jika y = f() = arctan maka f'() (4.8) y = arctan tan y = sec y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sec y tan y = sec y = (terbukti) y Jika y = arctan u dan u = f() maka y = arctan u u. u (terbukti) u (4.9) Contoh 4.8 Jika y = arctan 5 Misal u =, tentukan y = arctan u 5 5 u 5 u 5( ) 9 Jika y = f() = arccot maka f'() (4.) y = arccot cot y = -csc y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y cot y = csc y =

(terbukti) y Jika y = arccot u dan u = f() maka y = arccot u u. u (terbukti) (4.) u Contoh 4.9 Jika y = arccot, tentukan Misal u = y = arccot u u 6 () u 9 Jika y = f() = arcsec maka f'() (4.) y = arcsec sec y = secy tany Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! secy tan y sec y = sec y tan y = (terbukti) y Jika y = arcsec u dan u = f() maka y = arcsec u u u. (terbukti) u u (4.) u u 4

Contoh 4. Jika y = arcsec ( ), tentukan Misal u = y = arcsec u u u u ( ) u ( ) ( ) Jika y = f() = arccsc maka f'() (4.4) y = arccsc csc y = -csc y cot y cscy cot y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y = csc y cot y = (terbukti) y Jika y = arcsec u dan u = f() maka y = arccsc u u u. (terbukti) u u Contoh 4. Jika y = arccsc ( ), tentukan Misal u = y = arccsc u u u (4.5) u u 5

u () u ( ) ( ) Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut! cos. y = arcsin(-). y arccos. y = - arccos 4 4. y = arctan sin 4.8 Turunan fungsi Eksponen Jika y = f() = e maka f'() e (4.6) e n didefinisikan sebagai n lim n Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n n n. n n n n(n ). n(n )(n ). n =! n! n! n! n n ( /n) n = ( /n)( /n)!! n n lim ( /n) ( /n)( /n) n = n lim!! e = (4.7)! Sehingga : e =!! Jika y = f() = e Maka! f( ) f() e e f'() lim lim e (e ) lim Karena e =, maka e =!! Sehingga e (e ) lim = lim e e (terbukti)! (4.8) Jika y = e u dan u = f() maka y = e u u e f'( u = f() ) u e (4.9) 6

7 e u (terbukti) Contoh 4. Jika y = b a e, tentukan Misal : u = a b = -b b a b a be b) )( (e 4.9 Turunan fungsi logaritma Jika y = f() = ln maka ) f'( (4.4) y = f() = ln ln lim ln ) ln( lim f() ) f( lim f'() ln lim ln lim ln lim Berdasarkan teorema binomial maka :!!! Jadi :!!! ln lim ln lim!! ln lim ln lim ln e!! ln (terbukti)

Jika y = ln u dan u = f() maka y = ln u u u = f() f'() (terbukti) u (4.4) u Contoh 4. Jika y = e ln tentukan Misal : u = e v = ln dv e Jika y = f() = a log maka.v u. y = a log a y = y ln a = ln y = ln lna (terbukti) (ln a) dv f'() e ln e (ln a) e ln (4.4) Jika y = a log u dan u = f() maka y = a log u (ln a)u.. (terbukti) (ln a)u (4.4) (ln a)u Contoh 4.4 Jika y = 7 log(-5) tentukan Misal : u = 5 5 5 (lna) u (ln7)( 5) 8

Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!. y = e ln e 4. y = 7. y = 4 e ln4. y = e 5. y =. y = ln 6. y = (ln 4 e ) e ln 5 6 8. y = 9. y = 5 log( ) e ab e log4. y = ln5 e e ln 4. Turunan fungsi hiperbolik Jika y = f() = sinh maka f'() cosh (4.44) y = f() = sinh = (e e ) f'() = (e e ) = cosh (terbukti) Jika y = sinh u dan u = f() maka y = sinh u coshu. coshu (terbukti) cosh u (4.45) Contoh 4.5 Jika y = sinh, tentukan 5 Misal : u = 5 y = sinh u cosh u 5 9

(cosh u)( ) cosh 5 5 Jika y = f() = cosh maka f'() y = f() = cosh = (e e ) f'() = (e e ) = sinh (terbukti) sinh (4.46) Jika y = cosh u dan u = f() maka y = cosh u sinh u. sinh u (terbukti) sinh u (4.47) Contoh 4.6 Jika y = cosh (-), tentukan Misal : u = - y = cosh u sinh u (sinh u)(-) sinh( ) Jika y = f() = tanh maka y = f() = tanh = sinh cosh f'() sech (4.48) f'() = (cosh )(cosh ) (sinh )(sinh ) cosh sinh (cosh ) cosh = sech (terbukti) cosh Jika y = tanh u dan u = f() maka sech u (4.49)

y = tanh u sech u. sech u (terbukti) Contoh 4.7 Jika y = tanh (a+b), tentukan Misal : u = a+b y = tanh u b sech u (sech u)(b) b sec h (a b) Jika y = f() = coth maka y = f() = coth = cosh sinh f'() -csch (4.5) f'() = (sinh )(sinh ) (cosh )(cosh ) sinh cosh (sinh ) sinh = csch (terbukti) sinh Jika y = coth u dan u = f() maka y = tanh u csch u. csch u (terbukti) - csch u (4.5) Contoh 4.8 Jika y = coth (a+bt), tentukan dt Misal : u = a+bt y = coth u b csch u dt ( csch u)(b) b csch (a bt) dt dt Jika y = f() = sech maka y = f() = sech = cosh f'() -csch (4.5)

Misal u = V = cosh dv sinh dv.v u. ( )(cosh) ()(sinh ) = = v (cosh ) = - tanh sech (terbukti) sinh cosh Jika y = sech u dan u = f() maka y = sech u tanh u sech u. tanhu sechu (terbukti) - tanhu sechu (4.5) Contoh 4.9 Jika y = sech ( ) 5, tentukan dt Misal : u = y = sech u 5 tanhu sechu 5 ( tanhu sechu)(- ) tanh( dt dt 5 5 y = f() = csch maka y = f() = sech = f'() sinh Misal u = ) 5 sech( ) 5 -csch coth (4.54) dv V = sinh cosh dv.v u. ( )(sinh ) ()(cosh) = = v (sinh ) = - coth csch (terbukti) cosh sinh Jika y = csch u dan u = f() maka y = csch u coth u csch u - cothu cschu (4.55)

. cothu cschu (terbukti) Contoh 4. Jika y = -csch ) 5 dt Misal : u = 5 y = - csch u cothu cschu ( cothu cschu)( ) coth( ) dt dt 5 sech( 5 ) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! a. y = sinh(-) 6. y = b c coth( ). y = cosh(a b) 7. y =. y = sinh5 8. y = e a sech sec h ln(4 5) 4. y = e m cosh 9. y = csch( -) 5 5. y = ln(-) tanh. y = e csch(a-b) 4. Turunan fungsi hiperbolik invers Jika y = f() = sinh - maka f'() (4.56) y = f() = sinh - = ln( ). (terbukti) Jika y = sinh - u dan u = f() maka y = sinh - u u. (terbukti) u (4.57) u

Contoh 4. Jika y = -sinh -, tentukan dt Misal : u = y = - sinh - u u dt dt ( )( ) u 4 Jika y = f() = cosh - maka f'(), > (4.58) y = f() = cosh - = ln( )., > (terbukti) Jika y = cosh - u dan u = f() maka y = cosh - u u., u > (terbukti) u Contoh 4. Jika y = cosh -, tentukan 4 Misal : u = y = cosh - u 4 4 u ( )( ) dt dt 4 u 9 4 6, u > (4.59) u Jika y = f() = tanh - maka f'() y = f() = tanh - = ln,, (4.6) 4

., (terbukti) ( ) Jika y = tanh - u dan u = f() maka u (4.6) y = tanh - u u., u (terbukti) u, u Contoh 4. Jika y = tanh - (-), tentukan Misal : u = - y = tanh - u u ( )() u ( ) Jika y = f() = coth - maka f'(), (4.6) y = f() = tanh - = ln,., (terbukti) ( ) Jika y = coth - u dan u = f() maka u y = tanh - u u., u (terbukti) u, u (4.6) Contoh 4.4 Jika y = coth - (-), tentukan Misal : u = - ( u y = tanh - u u 9 )( ) ( ) 5

Jika y = f() = sech - maka f'() y = f() = sech - = ln,, (terbukti), (4.64) Jika y = sech - u dan u = f() maka y = sech - u u u., u (terbukti) u, u (4.65) u u Contoh 4.5 Jika y = - sech - (-), tentukan Misal : u = - ( u Jika y = f() = csch - maka y = sech - u u u )( ) u ( ) f'() ( ) (4.66) y = f() = csch - = ln (terbukti) Jika y = csch - u dan u = f() maka y = csch - u u u. (terbukti) u u (4.67) u u Contoh 4.6 6

Jika y = csch - (sin), tentukan Misal : u = sin y = csch - u cos u u ( )(cos ) u u sin cos sin Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi :. y = sinh - (cos) 4. y = coth -. y = cosh - (sin) 5. y = sech - ( sin). y = tanh - (+) 6. y = e - csch - (-) 4. Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f() yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f (). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kea dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kea dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kea dan ketiga ditulis dengan lambang : d y d y, dan atau f (), f () dan f (). Sedangkan untuk turunan ke n, dimana n ³4, maka kita gunakan lambang : n d y n atau f (n) (). Contoh 4.7 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f() = ( -4) f'() ( 4) () 6( 4) d y f''() 6( 4) 6(4)( 4) 6( 4) 4 ( 4) d y f'''() 4( 4) 48( 4) 48 88 4 d y (4) f () 6 88 4 Soal-soal Tentukan turunan kea dari fungsi-fungsi :. f() = e -. f() = ln(a-b). f() = 7

4. f() = 4 5. f() = sin (a-b) 6. f() = cos (m+n) 4. Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang / sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dan secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(). Dari Gambar 4.5 y f( + ) f() y l l f() = + Gambar 4.5 y didapat : y (4.68) Jika harga sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi : f () (4.69) Pada persamaan 4.69 diatas dan disebut differensial dari dan y. Differensial y atau adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah atau. Contoh 4.8 Jika y = -, tentukan differensial y f() = - f () = Sehingga : = (-) = (-) Contoh 4.9 8

Volume sebuah silinder adalah V = r h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar % dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. f(r) = r h f (r) = rh dv = f (r) dr = rh (,r) =, r h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar, r h Soal-soal. Sebuah bola mempunyai jari-jari 5 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 5, cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut?. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.ukuran kolam renang tsb adalah sebagai berikut : panjang = 5 m, lebar = meter dan kedalaman = meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi,98 m. Berapakah volume air yang menguap? Penjelasan : Kerjakan kea soal tersebut diatas dengan metode differensial! 4.4 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(,y) =. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut :. Jika pada F(,y) = menganng suku g(), maka : d g() g'() (4.7). Jika pada F(,y) = menganng suku h(y), maka : d h(y) h'(y) (4.7). Jika pada F(,y) = menganng suku u() dan v(y), maka : d u().v(y) u'().v(y) u().v'(y) (4.7) = Contoh 4.4 Tentukan dari : y +y = 4 y +y = 4 y +y 4 = 9

y + y - = ( y ) = y - y y Contoh 4.4 Tentukan dari : y + y = 6 pada titik (,) y + y = r y + y - r = y + + y + y = ( + y) = -(y + y (y y ) ) ( y) y 8 5 Soal-soal. Tentukan dari : i) + y = siny ii) y = cos (+y) iii) y = e y iv) y = ln(y). Tentukan nilai pada titik (,) dari : i) y + e +y = e ii) + y + y = 4.5 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk : = f(t) dan y = g(t), dengan t adalah parameter (4.7) Untuk menentukan turunan pertama atau / dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan /dt dan /dt. Serlanjutnya / dicari dengan rumus: / dt (4.74) / dt Soal-soal Tentukan dari fungsi parameter berikut :

. ïî ï í ì 4) (t y ) (t. î í ì cost y ) sin(t. ïî ï í ì 7) ln(5t y e t 4. ï ï î ï ï í ì t t y t t