Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan l, maka perhatikan 10 aksioma berikut; 1. If u and v are objects in V, then u + v is in V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4. There is an object 0 in V, called a zero vector for V, such that 0 + u = u + 0 = u for all u in V. 5. For each u in V, there is an object -u in V, called a negative of u, such that u + (-u) = (-u) + u = 0. 6. If k is any scalar and u is any object in V, then ku is in V. 7. k (u + v) = ku + kv 8. (k + l) u = ku + lu 9. k (lu) = (kl) (u) 10. 1u = u

Definisi : VECTOR SPACE Skalar k, l dapat berupa bilangan real atau bilangan complex. Ruang vektor dengan skalar bilangan real : ruang vektor real Ruang vektor dengan skalar bilangan kompleks : ruang vektor kompleks. Setiap jenis objek bisa menjadi suatu vektor, namun ke-10 aksioma harus dipenuhi.

Real Vector Spaces

Real Vector Spaces Example Vector Spaces of 2x2 Matrices The set V of all 2 2 matrices with real entries is a vector space if vector addition is defined to be matrix addition and vector scalar multiplication is defined to be matrix scalar multiplication. u11 u12 Let u and u u 21 22 v v v 11 21 v v 12 22 If u and v is an object in V; then u + v is a 2 2 matrix in V. Axiom 1 : : : Axiom 10

Real Vector Spaces Example Plane Through The Origin Jika V merupakan sebarang bidang yang melalui titik asal dalam R 3, maka; Titik-titik dalam V membentuk suatu ruang vektor yang memenuhi ke-10 aksioma ruang vektor untuk operasi penjumlahan dan perkalian skalar vektor vektor dalam R 3. Suatu vektor V yang melalui titik asal memiliki persamaan : ax + by + cz = 0 Bukti : Jika u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) adalah titik-titik dalam V, maka: au 1 + bu 2 + cu 3 = 0 av 1 + av 2 + av 3 = 0 + a(u 1 +v 1 ) + b(u 2 +v 2 ) + c(u 3 +v 3 ) = 0 Koordinat titik u + v = (u 1 +v 1, u 2 +v 2, u 3 +v 3 ) Memenuhi aksioma (1), jadi u+ v terletak pada bidang V.

Real Vector Spaces Example Polynomial P n P 2 adalah himpunan semua polinomial berderajat 2 atau kurang dengan koefisien bilangan real. Didefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut: p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 dan q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 maka, p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 ) x + (a 2 + b 2 ) x 2 Dan bila c suatu skalar, maka: cp(x) =c a 0 + ca 1 x +ca 2 x 2 P 2 merupakan ruang vektor dan dapat diperluas untuk P n dengan n 0

Real Vector Spaces ; Zero Vector Space Jika V terdiri dari suatu objek tunggal 0, maka : 0 + 0 = 0 dan k 0 = 0 untuk semua skalar k. Seluruh aksioma terpenuhi dan disebut zero vector space. Jika V adalah ruang vektor, u suatu vektor dalam V, and k suatu skalar; maka: o 0 u = 0 o k 0 = 0 o (-1) u = -u o Jika k u = 0, maka k = 0 or u = 0.

5.2. SubSpaces

Definisi: SubSpaces Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W merupakan suatu ruang vektor yang penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan pada V. V adalah ruang vektor W adalah sub ruang vektor jika 10 aksioma yang ada dipenuhi oleh W

SubSpaces Contoh 1. Titik-titik pada suatu bidang melalui titik asal R 3 membentuk sub ruang R 3. W merupakan bidang yang melalui titik asal dan anggap u dan v sebarang vektor dalam W. o u + v pasti terletak dalam W (diagonal jajaran genjang). o ku pasti terletak di W Vektor u +v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v. W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, sehingga W merupakan sub ruang dari R 3.

SubSpaces Contoh 2: Garis yang Melalui Titik Asal R 3 merupakan sub ruang R 3 W garis yang melalui titik asal R 3 dengan 2 vektor u dan v. Maka u+v dan ku terletak pada garis tersebut di R 3 Jadi W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar Terbukti bahwa W adalah sub ruang R 3.

Subset of R 2 That Is Not a Subspace Contoh 3: W bukan Ruang Vektor Jika W adalah himpunan semua titik (x, y) dalam R 2 dimana x 0 dan y 0 : titik-titik dalam Q1. Himpunan W bukan Sub Ruang R 2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar. v = (1, 1) terletak pada W, tetapi (-1)v = -v = (-1, -1) tidak terletak pada W.

PERHATIKAN!! SubSpaces Setiap ruang vektor tak nol V setidaknya memiliki: 1. V sendiri sebagai suatu sub ruang dan; 2. Himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol dalam V dan disebut sub ruang nol. Sub-ruang dari R 2 : {0} Garis-garis yang melalui titik asal R 2 Sub-ruang dari R 3 : {0} Garis-garis yang melalui titik asal Bidang yang melalui titik asal R 3

Subspaces of M nn Contoh 4: Matriks Simetris n x n sub Ruang dari ruang vektor M nn Jumlah dua matriks simetris adalah simetris. Perkalian skalar matriks simetris adalah simetris Himpunan matriks simetris n x n merupakan sub ruang dari ruang vektor M nn dari semua matriks-matriks nxn. Setiap himpunan matriks (matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah dan matriks diagonal) nxn tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Contoh 5: Polinom real berderajat n A Subspace of Polynomials Anggap n adalah suatu bilangan bulat positif dan anggap W terdiri dari semua fungsi yang dinyatakan dalam bentuk : p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n dimana : a 0,, a n adalah bilangan-bilangan real ; n bilangan bulat positif Jika p dan q terletak pada W, maka: p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n q(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n (p+q)(x) = p(x) + q(x) (p+q)(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a n +b n )x n dan (kp)(x) = kp (x)= (ka 0 ) + (ka 1 )x + + (ka n )x n

Ruang Penyelesaian untuk Sistem Homogen o Jika Ax = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor penyelesaian dari sistem tersebut. o Vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen Ax = 0 membentuk suatu ruang vektor atau ruang penyelesaian dari sistem homogen tersebut. [A] [x] = [0] vektor penyelesaian Ruang vektor/ ruang penyelesaian Theorema Jika Ax = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah subruang dari R n.

Example 1. SubSpaces Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R 3. Mis al y = s, z = t, maka x = 2s - 3t, x = 2y - 3z or x 2y + 3z = 0 This is the equation of the plane through the origin with n = (1, -2, 3) as a normal vector.

Example 2. SubSpaces Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R 3.

Example 3. SubSpaces Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R 3. Solution

Kombinasi Linear Definisi o Suatu vektor w adalah Kombinasi Linear dari vektor v 1, v 2,, v r jika vektor w tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k r v r dimana k 1, k 2,, k r adalah skalar.

Vektor in R 3 are Linear Combination of i, j, and k Setiap vektor v = (a, b, c) dalam R 3 bisa dinyatakan sebagai suatu Kombinasi Linear dari vektor vektor basis standar karena i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) v = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a i + b j + c k

Example : Checking a Linier Combination Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R 3. Tunjukkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah sebuah Kombinasi Linear dari u dan v Syarat w merupakan Kombinasi Linear dari u dan v, hrs terdpt skalar k 1 dan k 2 sedemikian hingga w = k 1 u + k 2 v; (9, 2, 7) = k 1 (1,2,-1) +k 2 (6,4,2) (9, 2, 7) = (k 1 + 6k 2, 2k 1 + 4k 2, -k 1 + 2k 2 ) Atau : k 1 + 6k 2 = 9 2k 1 + 4k 2 = 2 -k 1 + 2k 2 = 7 Didapat k 1 = -3, k 2 = 2, sehingga w = -3u + 2v

Kombinasi Linear Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R 3. Tunjukkan bahwa w = (4, -1, 8) bukan suatu Kombinasi Linear dari u dan v. Agar w merupakan Kombinasi Linear of u dan v, harus ada k 1 dan k 2 sehingga w'= k 1 u + k 2 v; (4, -1, 8) = k 1 (1, 2, -1) + k 2 (6, 4, 2) (4, -1, 8) = (k 1 + 6k 2, 2k 1 + 4k 2, -k 1 + 2k 2 ) Atau k 1 + 6k 2 = 4 2 k 1 + 4k 2 = -1 - k 1 + 2k 2 = 8 Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada k 1 dan k 2. Maka w' bukan Kombinasi Linear u dan v.

Kombinasi Linear Theorema Jika v 1, v 2,, v r adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V, maka: o Himpunan W sebagai kombinasi linier v 1, v 2,, v r merupakan sub-ruang dari V. o W adalah sub ruang terkecil dari V berisi v 1, v 2,, v r dalam arti bahwa setiap sub ruang lain dari V yang v 1, v 2,, v r pasti mengandung W.

Kombinasi Linear dan Rentang Definition o o Jika S = {v 1, v 2,, v r } adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v 1, v 2,, v r, dan disebut vektor-vektor v 1, v 2,, v r adalah terentang W. W ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S = {v 1, v 2,, v r }, ditulis; W = rent(s) or W = span{v 1, v 2,, v r }.

Kombinasi Linear dan Rentang Jika v 1 and v 2 adalah vektor-vektor tak kolinear dalam R 3 dengan titik pangkal di titik asal, maka span{v 1, v 2 } berisi semua kombinasi linear k 1 v 1 + k 2 v 2 adalah bidang yang ditentukan oleh v 1 and v 2 (a ). Jika v vektor tidak nol dalam R 2 atau R 3, maka span{v} merupakan himpunan perkalian skalar kv, adalah garis yang dibentuk oleh v (b). Rent (v 1, v 2 ) adalah bidang yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v 1 dan v 2 Rent (v) adalah garis yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v

Kombinasi Linear dan Rentang Theorema J ika S = {v 1, v 2,, v r } dan S = {w 1, w 2,, w r } adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka span{v 1, v 2,, v r } = span{w 1, w 2,, w r } jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah Kombinasi Linear dari S dan tiap vector dalam S adalah sebuah Kombinasi Linear dari vektor-vektor dalam S.

Three Vectors that Do Not Span R 3 Tentukan apakah v 1 = (1, 1, 2), v 2 = (1, 0, 1), and v 3 = (2, 1, 3) merentang dalam ruang vektor R 3. Misal kan vektor b = (b 1, b 2, b 3 ) in R 3 diekspresikan sebagai Kombinasi Linear b = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 b = (b 1, b 2, b 3 ) = k 1 (1, 1, 2) + k 2 (1, 0, 1) + k 3 (2, 1, 3) = (k 1 +k 2 +2k 3, k 1 +k 3, 2k 1 +k 2 +3k 3 ) k 1 + k 2 + 2k 3 = b 1 k 1 + k 3 = b 2 2k 1 + k 2 + 3 k 3 = b 3 Sistem ini konsisten untuk semua b 1, b 2, b 3 jika dan hanya jika matriks koefisien memiliki invers atau determinan matriks koefisien 0. Buktikan bahwa det (A) = 0, sehingga v 1, v 2, and v 3, tidak terentang pada R 3.