MATA KULIAH ALJABAR LINIER

Transkripsi

1 HAND OUT (BAHAN AJAR) MATA KULIAH ALJABAR LINIER Oleh: Saminanto, S.Pd., M.Sc PRODI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH IAIN WALISONGO SEMARANG TAHUN Aljabar Linier

2 KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohiim Segala puji bagi Allah, Tuhan seru sekalian alam. Hanya dengan berkah dan petunjuk-nyalah, penulis selaku dosen dapat menyusun bahan ajar ini. Shalawat dan salam penulis sampaikan kepada Nabi Agung Muhammad SAW yang selalu diteladani dan diharapkan syafa atnya. Dalam proses perkuliahan dosen memiliki tugas membuat perencanaan perkuliahan, melaksanakan perkuliahan dan melakukan penilaian. Perencanaan perkuliahan meliputi pembuatan silabus perkuliahan, satuan ajar perkuliahan (SAP) yang dilengkapi dengan bahan ajar perkuliahan. Bahan ajar sangat penting dikembangkan untuk mendukung dan memberikan panduan perkuliahan terkait materi apa saja yang akan menjadi substansi dari suatu kompetensi yang akan di capai. Untuk itu dosen dalam melaksanakan perkuliahan diharapkan dapat mengembangkan bahan ajar sendiri sesuai dengan kompetensi yang diinginkan. Dengan berbekal kemauan yang berdasarkan kebutuhan perkuliahan yang tertuang dalam silabus yang dijabarkan dalam SAP terwujudlah hand out/bahan ajar perkuliahan yang sederhana ini. Penulis menyadari dan memaklumi sepenuhnya bahwa bahan ajar ini jauh dari sempurna. Karenanya, segala kritik konstruktif dan saran perbaikan senantiasa diharapkan dan diterima dengan lapang dada dan senang hati untuk perbaikan penyusunan bahan ajar perkuliahan berikutnya. Akhirnya, penulis hanya bisa berharap semoga bahan ajar ini bermanfaat untuk perkuliahan. Hanya kepada Allah-lah penulismenyembah dan memohon pertolongan, semoga laporan penelitian yang sederhana ini bermanfaat. Amien... Semarang, Februari Saminanto, S.Pd, M.Sc Aljabar Linier

3 DAFTAR ISI BAB I PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK... BAB II DETERMINAN... 6 BAB IIIVEKTOR-VEKTOR DI RUANG- DAN RUANG BAB IVRUANG-RUANG VEKTOR... 5 BAB V NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Aljabar Linier

4 BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK. Pengantar Kepada Sistem-Sistem Persamaan Linier Sebuah garis di dalam bidang y secara al jabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan berbentuk : a + a y = b secara lebih umum, persamaan linier dalam n ariabel,,.. n sebagai sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a + a +..+ a n n = b dimana a, a,.., a n dan b konstanta riel. Contoh Berikut ini contoh persamaan linier + y = = 7 Berikut ini yang bukanlah persamaan linier y - sin = + + = Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a + a +..+ a n n = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s, s,.., s n sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan = s, = s,.., n = s n, Sehingga himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya (its solution). Sebuah sistem yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent). Jika ada stidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut konsistent (consistent). Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan yang tidak diketahui akan dituliskan sebagai a + a a n n = b a + a a n n = b a m + a m a mn n = b m Jika ditulis ke dalam bentuk matri adalah sebagai berikut : Aljabar Linier

5 Susunan di atas dinamakan matri diperbesar (augmented matri) untuk sistem tersebut Contoh : + + = = = Maka bentuk matri diperbesarnya adalah : Dalam menyelesaikan persamaan ada beberapa cara, diantaranya adalah : a) Mengeliminasi bilangan-bilangan yang tidak diketahui secara sistematis, caranya adalah : Kalikanlah sebuah persamaan dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol Tukarlah dua persamaan tersebut Tambahkan kelipatan dari satu persamaan kepada yang lainnya Contoh soal : + y + z = 9 + 4y- z = + 6y - 5z = Tambahkan n- kali persamaan pertama kepada persamaan kedua untuk mendapatkan + y + z= 9 y - 7z = y - 5z = Tambahkanlah - kali persamaan kedua kepada persamaan ketiga untuk mendapatkan + y + z = 9 Aljabar Linier 4

6 y - 7z= - 7 y-z = - 7 Kalikanlah persamaan kedua dengan ½ untuk mendapatkan + y + z = 9 y - 7 z= -7 y - z = - 7 Tambahkan - kali persamaan kedua kepada persamaan ketiga untuk mendapatkan + y + z = 9 y - 7 z= -7 - z = - Kalikan persamaan ketiga dengan - untuk mendapatkan + y + z = 9 y - 7 z= -7 z = Tambahkan - kali persamaan kedua kepada persamaan pertama untuk mendapatkan + z = 5 y - 7 z= -7 z = Tambahkan - kali persamaan ketiga kepada persamaan pertama dan 7 kali persamaan ketiga kepada persamaan kedua untuk mendapat = y = z = b) Operasi Baris Elementer Caranya : Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol Pertukarlah dua baris Tambahkan kelipatan dari satu baris pada baris lainnya Aljabar Linier 5

7 Contoh soal : Dari soal di atas dapat dibentuk matri Tahap Tahap Tahap Tahap 4 Tahap 5 Aljabar Linier 6

8 Tahap 6 Soal Sub Bab.. Carilah matri yang diperbesar dari sistem persamaan linier berikut ini = = Pemecahan Masalah : Tahap Ubah ke dalam bentuk matriks. Carilah sebuah sistem persamaan linier yang bersesuaian dengan setiap matriks yang diperbesar berikut Pemecahan Masalah : + + (- ) = + + = + (- ) + = 4 Atau dapat ditulis + - = Aljabar Linier 7

9 + + = - + = 4. Eliminasi Gauss Di sub bab ini kita memberikan sebuah prosedur yang sistematis untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linier Bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row echelon form) Caranya Supaya bentuk seperti itu, maka matri harus mempunyai sifat-sifat berikut : Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah. (kita menamakan ini utama) Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matri Di dalam sembarang dua baris yang berurutan yang tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka satu utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kana daripada utama did dalam baris yang lebih tinggi Setiap kolom yang mengandung sebuah utama mempunyai nol di tempat lain Sebuah matri yang mempunyai sifat-sifat, dan dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris (row echelon form). Contoh matri di dalam betuk eselon baris yang direduksi : Aljabar Linier 8

10 Contoh matri di dalam bentuk eselon baris : Contoh soal : Misalkan bahwa matri yang diperbesar untuk sebuah sistem persamaan-persamaan linier telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti yang diberikan. Pecahkanlah sistem tersebut : sistem persamaan di atas adalah : = 5 = - = 4 dengan pemeriksaan maka = 5, = -, = 4 Dalam pembahasan berikutnya kita akan mempelajari eliminasi gauss-jordan yang dapat digunakan untuk mereduksi sembarang matri menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Untuk mempermudah pemahaman, mari kita lihat contoh soal berikut ini : Pecahkanlah + y + z = 9 + 4y - z = + 6y - 5z = Dengan menggunakan eliminasi Gauss Jawaban : Aljabar Linier 9

11 Tahap Ubah dalam bentuk matri yang diperbesar Tahap Menjadi bentuk eselon baris Tahap maka sistem yang bersesuaian dengan matri ini + y + z = 9 y - 7 z = - 7 z = Tahap 4 y - 7 z = - 7, lalu mensubstitusikan z = y - = - 7 y = y = 4 = Tahap 5 + y + z = 9 lalu substitusi y dan z + + () = = 9 = Soal. Pecahkan setiap sistem berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan + + = = = Aljabar Linier

12 Jawaban : Maka, = = =. Dalam setiap bagian misalkanlah bahwa matri yang diperbesar untuk sistem persamaan-persamaan linier telah direduksi oleh opera baris menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti yang diberikan. Pecahkanlah sistem tersebut Jawaban : Aljabar Linier

13 + - 4 = - = = maka, - = dapat disubstitusi dengan = - () = - 4 = = 5 dapat dipecahkan pula = dengan mensubstitusi = 5 dan =, sehingga + (5) - 4() = = = jadi, dapat ditemukan bahwa =, = 5, =. SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Suatu sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstantanya sama dengan nol. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut : a a a a a a n n n n a m + a m a mn n Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena =, =,, n = selalu merupakan pemecahan. Pemecahan tersebut dinamakan pemecahan triial (triial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan lain tersebut dinamakan pemecahan yangtak triial (non triial solution). Contoh : Selesaikan sistem persamaan linier homogen berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan Aljabar Linier

14 Aljabar Linier Penyelesaian : Persamaan tersebut kita ubah menjadi matrik yang diperbesar ) ( ketiga pertama ditukar dengan baris baris baris ketiga pertama baris baris kedua pertama baris ) ( ) ( ( keempat) baris kedua ditukar dengan baris ketiga baris baris kedua pertama baris baris kedua ) ( ) ( ( sepertiga) baris ketiga baris keempat baris ketiga baris kedua baris ketiga pertama baris baris ketiga ) ( ) ( ) (

15 Variabel utama : baris pertama, baris ketiga, baris keempat(,, 4 ) Dimisalkan = s 5 = t Dikembalikan ke sistem persamaan linier semula t s t Himpunan Penyelesaian = ( s t); s; ( t); ; ( t) Teorema. Sebuah sistem persamaan-persamaan linier homogen dengan lebih banyak bilangan yang tak diketahui daripada banyaknya persamaan selalu mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan..4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Definisi. Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan di dalam susunan-susunan tersebut dinamakan entri di dalam matriks. Bentuk matriks : a a am a a a m a a a m a a a n n mn Ukuran matriks = baris kolom. Aljabar Linier 4

16 Baris = ukuran matriks yang menyatakan banyaknya baris (garis horizontal) Kolom = ukuran matriks yang menyatakan banyaknya kolom (garis ertikal) Kalau misalkan banyak baris pada matrik adalah 5, dan banyak kolom pada matrik adalah. Maka ukuran matriks = 5. Operasi matriks. Penjumlahan Definisi. Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlaha + B adalah matriks yang didapatkan dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Contoh : A = B = A + B = = 5 Jadi dapat disimpulkan bahwa jika matriks A = a c b e f d, B = g h ditambahkan, maka akan menjadi A + B = a e c g b f d h Dan jika kedua matriks berbeda ukurannya, maka tidak bisa ditambahkan. Karena tidak punya pasangan matriks(jomblo).. Pengurangan Definisi. Sama dengan penjumlahan, yang membedakan adalah operasinya. Contoh : Aljabar Linier 5

17 A = B = A B = = Jadi dapat disimpulkan bahwa jika matriks A = a c b e f d, B = g h dikurangkan, maka akan menjadi A B = a e c g b f d h Dan jika kedua matriks berbeda ukurannya, maka tidak bisa dikurangkan. Karena tidak punya pasangan matriks(jomblo).. Perkalian Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, maka hasil kali ABadalah m n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri di dalam baris i dan kolom j dari A B, maka pilihlah baris i dari matrik A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan. Contoh : A B 5 7 ( 4) (75) (5) AB (4) (65) (4) ( 7) (7) (5) (7) (6) (4) 4 5 AB Aljabar Linier 6

18 49 AB 46 9 Keterangan : A m r B r n AB m n A B AB.5 KAIDAH-KAIDAH ILMU HITUNG MATRIK Pada bilangan riel a dan b, kita mempunyai ab = ba sering kita sebut hukum komutatif untuk perkalian.tapi dalam matrik, AB dan BA tidak slalu sama, hal ini bisa terjadi karena: AB terdefinisikan tetapi BA tidak, atau kedua duanya terdefinisikan tetapi ukurannya berbeda. Contoh: A = B = Maka, AB = 4 BA = 6 Teorema: Dengan menganggap bahwa ukuran ukuran matrik adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang di tunjukkan dapat dilakukan, maka kaidah kaidah ilmu hitung matrik berikut akan berlaku. a) A + B = B + A b) A +(B + C) = (A + B) + C c) A(BC) = (AB)C d) A (B + C) = AB + BC e) (B + C) A = BA + BC f) A (B - C) = AB - BC g) (B - C) A = BA - BC h) a(b + C) = ab + ac Aljabar Linier 7

19 i) a(b - C) = ab - ac j) (a + b)c = ac + bc k) (a + b)c = ac + bc l) (ab)c = a (bc) m) a (BC) = (ab) C = B (ac) Sebuah matrik yang semua entrinya sama dengan nol,dinamakan matrik nol ( zeromatri). i. Jika ab = ac dan a, maka b = c (hukum peniadaan) ii. Jika ab = maka stidaknya satu dari faktor di sebelah kiri adalah Teorema. Dengan menganggap bahwa ukuran ukuran matrik adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang di tunjukkan dapat dilakukan, maka kaidah kaidah ilmu hitung matrik berikut akan berlaku. a) A + = + A = A b) A A= c) A = - A d) A =, A = A Teorema 4. Tiap-tiap sistem persamaan-persamaan linier akan mempunyai tidak ada pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Bukti: Anggaplah AX = B Misal: AX = B, AX = C, maka AX AX = atau AA(X AX ) = maka: X = X X k = sembarang skalar A (X + kx ) = AX + A kx = AX + k AX = B + k = B + Aljabar Linier 8

20 = B Teorema.5. jika B dan C kedua-duanya aalah infers dari matrik A maka B = C Bukti: Karena B adalah sebuah infers dari A, maka AB = I. Dengan mengalihkan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan di berikan (BA)C = IC = C, tetapi (BA)C = B (AC) = BI = B, sehingga B = C. Teorema. 6. Jika A dan B adalah matrik-matrik yang dapat dibalik dan yang ukuranyya sama maka: a) AB dapat dibalik b) AB = A B Sebuah hasil perkalian matrik-matrik yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan infers dari perkalian tersebut adalah hasil perkalian dari iners-iners di dalam urutan yang dibalik Teorema.7.jka A adalah sebuah matrik rang dapat dibalik, maka: a) A dapat dibalik dan (A ) b) A n dapat dibalik dan (A n ) = (A ) n untuk n =,,,... c) Untuk setiap skalar k yang tak sama dengan nol, maka ka dapat dibalik dan (ka) = /k. A Bukti: a) Karena AA = A A = I, maka A dapat dibalik dan (A ) = A.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODA UNTUK MENCARI A - Definisisebuah matriks n n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan n n yakni I n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal. Aljabar Linier 9

21 Contoh diperoleh dari mengalikan baris kedua dengan - Tambahkan tiga kali baris ketiga kemudian jumlahkan dengan baris pertama Teorema 8. Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan operasi baris tertentu pada I m dan jika A adalah sebuah matriks m n, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama dilakukan pada A. Teorema 9. Tiap-tiap matriks elementer data dibalik, dan inersnya adalah juga sebuah matriks elementer. Bukti jika E adalah matriks elementer yang diperoleh dari melakukan operasi baris pada I. Misalkan E adalah matriks satuan yang dihasilkan bila iners operasi ini dilakukan ada I. Dengan memakai teorema 8 dan dengan menggunakan kenyataan bahwa operasi baris iners akan saling meniadakan efek satu sama lain maka diperoleh E E = I dan EE = I Jadi, matriks elementer E adalah iners dari E. Teorema. Jika A adalah sebuah matriks n n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuialen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu. (a) A dapat dibalik (b) AX = hanya mempunyai satu pemecahan triial. (c) A ekialen baris ada I n. Aljabar Linier

22 Bukti ekialen ini akan dibuktikan dengan menghasilkan rangkaian implikasi berikut : a b c a a b : anggaplah A dapat dibalik dan misalkan X adalah suatu pemecahan kepada AX =. Dengan mengalikan kedua ruas dengan A - maka akan memberikan A - (AX )= A - atau IX =, atau X =. Jadi AX = hanya mempunyai satu pemecahan triial. b c : misalkan AX = adalah bentuk matriks dari system a + a + a n n = a + a + a n = a n + a n + a nn n = (.6) Anggaplah system tersebut mempunyai penyelesaian triial. Ika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jourdan, system persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris yang tereduksi dari matriks yang diperbesar menjadi = = = n = (.7) Jadi matriks yang diperbesar tersebut adalah a a a n a a a n a n a n nn Supaya (.6) dapat reduksi menjadi matriks yang diperbesar Untuk (.7) dengan sebuah urutan operasi baris elementer. Jika kita tidak memerdulikan kolom terakhir di dalam setiap matriks ini, maka kita dapat menyimpulkan bahwa A dapat direduksi kepada I n dengan sebuah urutan operasi baris elementer, yakni A ekialen baris kepada I n Aljabar Linier

23 c a anggalah A ekialen baris kepada I n sehingga A data direduksi kepada I n dengan operasi baris elementer. Menurut teorema 8 setiap operasi ini dapat dirampungkan dengan mengalikan dengan matriks elementer yang bersesuaian di sebelah kiri. Jadi, kita dapat mencari matriks elementer E, E,..., E k sehingga E k... E E A = I n (.8) Menurut teorema 9, E, E,..., E k dapat dibalik. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kiri dengan E k -... E - E - maka diperoleh A = E - k... E - E - I n = E - k... E - - E (.9) Karena (.9) menyatakan A sebagai hasil perkalian matriks-matriks yang dapat dibalik maka kita data menyimpulkan bahwa A dapat dibalik..7. Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan Dan Keterbalikan Teorema Jika A adalah sebuah matriks n n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n, system persamaan AX = B mempunyai persiis satu pemecahan, yakni, X = A B. Bukti: Karena A(A B) = B, maka X = A B adalah sebuah pemecahan dari AX = B. dalam pembuktian ini, anggaplah bahwa X adalah sebuah pemecahan sebarang dan kemudian memperlihatkan bahwa X harus merupakan pemecahan A B AX = B A A ( AX ) A. A. X A I. X A X A B B ( B) ( B) (Dalam teorema sebelumnya pada sub bab.5 telah dibuktikan bahwa A. A = I ) Contoh soal: Aljabar Linier

24 Aljabar Linier Tinjaulah system persamaan linier berikut, dan tentukanlah nilai,, A A A! X X X X X X X X Jawab: Di dalam bentuk matriks maka system ini dapat dituliskan sebagai AX = B, dimana 8 5 A X X X A 7 5 B Langkah : Menginerskan A Dengan menggunakan cara Operasi bilangan Elementer didapatkan A Langkah : mencari nilai,, A A A AX =B X X X B A X X X X = HP = {, -, } Teorema Misalkan A adalah sebuah matriks kuadrat (a). Jika B adalah sebuah matriks kuadrat yang memenuhi BA = I, maka B = A

25 (b). Jika B adalah sebuah matriks kuadrat yang memenuhi AB = I, maka B = A Bukti : (a). dimisalkan A adalah sebarang matriks kuadrat, akan dibuktikan bahwa A. A = A. A a Dimisalkan A = c b d d b maka, A = c a A. A = A. A d c b a a c b a b d = c d d c b a da bc ad bc cb ad = cb ad Terbukti bahwa A. A = A. A sehingga A. A = I Kemudian anggaplah BA = I, kalikan kedua ruas dengan A BA = I BA. A =I. A B. I = I A B = A terbukti (b). Anggaplah AB = I (A.B) = A (B) A I.B = A. I B = A terbukti Teorema Jika A adalah sebuah matriks n n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekuialen satu sama lain. Aljabar Linier 4

26 (a). A dapat dibalik (b). AX = hanya mempunyai pemecahan triial (c). A ekuialen baris kepada In (d). AX = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran n Bukti : karena kita telah membuktikan di dalam teorema bahwa (a), (b), dan (c) ekuialen satu sama lain, maka kita cukup membuktikan bahwa (a)(d) dan (d) (a) (d)(a) : (a)(d) : jika A dapat dibalik dan B adalah sebarang matriks n maka X = A adalah pemecahan dari AX = B menurut teorema, jadi AX = B konsisten. Aljabar Linier 5

27 BAB II DETERMINAN. Fungsi Determinan Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {,,,,n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut. CONTOH : Permutasi dari himpunan bilangan bulat {,,} adalah : (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) Metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi. Rumus untuk menghitung jumlah permutasi adalah = n! Inersi adalah jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Contoh : inersi dari permutasi (,4,,) adalah : + + =. Permutasi genap adalah jika jumlah inersi seluruhnya adalah bilangan bulat genap dan permutasi ganjil adalah jika jumlah inersi seluruhnya adalah bilangan bulat ganjil. Sebuah matrik A yang berukuran n n mempunyai n! hasil perkalian elementer yang berbentuk a j, a j,, a njn di mana (j, j,, j) adalah sebuah permutasi dari {,,,,n} yang diartikan sebagai hasil perkalian elementer bertanda dari A. CONTOH : a a a Daftar hasil perkalian elementer yang bertanda dari matrik a a a a a a adalah : Hasil perkalian Elementer Permutasi yang Diasosiasikan Genap/ Ganjil Hasil perkalian elementer yang bertanda a a a (,,) Genap a a a a a a (,,) Ganjil a a a a a a (,,) Ganjil a a a a a a (,,) Genap a a a a a a (,,) Genap a a a a a a (,,) Ganjil a a a Aljabar Linier 6

28 Determinan adalah jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda. Fungsi determinan dari matrik A di tulis det (A) atau A. dari contoh di atas, dapat pula dituliskan : a a a a a a a a a _ a a a a a a Determinan dari matrik tersebut adalah : det (A) = a. a.a + a.a.a + a.a.a a.a.a a.a.a a. a. a Secara simbolis dapat ditulis sebagai : det (A) = ±a j. a j. a njn CONTOH : A = 4 maka det (A) =.(-) (.4) = -. Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris Untuk menghitung determinan dengan reduksi baris dapat menggunakan teoremateorema berikut :. Jika A adalah sembarang matrik yang mengandung sebaris nol, maka det (A) = Jika A adalah matrik segitiga yang berukuran n n maka det (A) adalah hasil perkalian entrientri dari diagonal utama. Matrik segitiga atas : Matrik segitiga bawah : a a a a a a a a a a a a. Misalkan A adalah sembarang matrik n n, a. Jika A adalah matrik yang diperoleh dari sebuah baris tunggal dari A dikalikan dengan konstanta k, maka det (A ) = k det(a). Aljabar Linier 7

29 b. Jika A adalah matrik yang dihasilkan bila baris dari matrik A dipertukarkan, maka det (A ) = - det (A). c. Jika A adalah matrik yang dihasilkan dari kelipatan dari satu baris ditambahkan pada baris yang lain pada matrik A, maka det (A ) = det (A). Untuk mencari determinan matrik dengan reduksi baris caranya adalah dengan melakukan OBE dengan menggunakan teorema di atas (,,) sehingga terbentuk perkalian konstanta dengan matrik dalam bentuk eselon baris. Jadi determinan adalah hasil perkalian konstanta tersebut. CONTOH : Hitung det (A) dimana : A = JAWAB : 5 det (A) = = 5 tukar baris pertama dengan baris kedua (Teorema ) 6 = 5 faktorkan baris pertama (B )..(Teorema a) 6 = 5 (B (-)) + B. (Teorema c) 5 = 5 55 =. ( 55) = - (-55). = 65 5 (B + B (Teorema c) faktorkan baris ke-...(teorema a). Sifat-sifat Fungsi Determinan. Jika A adalah sembarang matrik kuadrat, maka : det (A) = det (A t ). Jika A n n dan k sembarang skalar dan k merupakan faktor bersama untuk semua entri pada matrik A, maka : Aljabar Linier 8

30 det (A) =k n. Det (A). Jika A, B, dan C adalah matrik kuadrat yang ukurannya sama dengan : Maka : A = a b B = c d a b C = c d det (A) + det (B) = det (C) a b c + c d + d 4. jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, maka : det (A.B) = det (A). det (B) 5. Suatu Matrik A dapat dibalik (memiliki Iners) jika dan hanya jika det (A) 6. Jika matrik kuadrat A dapat dibalik, maka : CONTOH :. Buktikan dengan sifat jika A = det (A ) = det (A) Jawab : sifat adalah det (A) = det (A t ) 7 det (A) = A = 6 8 det (A) = A = (-4) (-6) = 6 A t = maka det (A t ) = A t = = + (-4) + 6 (-6) = 6 Terlihat bahwa det (A) = det (A t ) = 6 (terbukti). Buktikan bahwa det(a.b) = det (A). det (B) untuk matrik berikut : A. B = 4 A = A = 7 5 = = Aljabar Linier 9

31 det (A.B) = = 8 + (-7) + 8 (-6) = -7 det (A) = det (B) = det (A). det (B) = (-7) = -7 jadi det(a.b) = det (A). det (B) = -7 = = = + (-) (-7) = -7.4 Ekspansi Kofaktor; Kaidah Cramer DEFINISI : Jika A adalah matrik kuadrat maka minor entri a ij adalah determinan sub matrik tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari matrik A, yang ditulis M ij. Adapun kofaktor entri a ij yang dinyatakan oleh C ij adalah bilangan ( ) i+j M ij. CONTOH : Jika A = Minor entri a adalah : M = = 6, maka : Kofaktor entri a adalah C = ( ) + M =. 6 = 6 Menentukan determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor caranya adalah dengan mengalikan entri-entri dalam satu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali-kali yang diperolehnya. DEFINISI : Determinan sebuah matrik A yang berukuran n n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri di dalam satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil perkalian yang dihasilkan, yakni untuk setiap I j n, maka : det (A) = a j C j + a j C j +.+a nj C nj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j) det (A) = a i C i + a i C i +.+a in C in Aljabar Linier

32 (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) CONTOH : A = maka : ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- : M = = 6 C = ( ) + M =.6 = 6 M = 6 8 = C = ( ) + M =. = M = 5 4 = C = ( ) + M =. = Jadi det (A) = a C + a C + a C = = 6 ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- : M = = 6 C = ( ) + M =.6 = 6 M = = 4 C = ( ) + M =. 4 = 4 M = = 6 C = ( ) + M =.6 = 6 Jadi det (A) = a C + a C + a C = = 6 Terlihat bahwa hasil determinan dengan dua cara di atas adalah sama. Ekspansi kofaktor juga dapat digunakan untuk menentukan suatu matrik yang dapat dibalik, TEOREMA : Jika A adalah matrik n n maka iners dari matrik A yang ditulis A dapat dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor dengan cara sebagai berikut :. Tentukan determinan dari A atau A. Tentukan matriks kofaktor dari A : C C C C C n C n C nn. Tentukan matrik Adjoin (A) yaitu matrik yang didapat dengan mentranspose matrik kofaktor dari A C n C n 4. A = A Adj (A) Aljabar Linier

33 CONTOH : tentukan Iners dari matrik A = Jawab : Dengan mencari minor entri dan kofaktornya kita dapatka det(a) = 6 Matrik kofaktor dari A adalah : Adj (A) = A = A Adj (A) = = Ekspansi kofaktor juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaa linear. TEOREMA : Jika AX = B adalah sebuah sistem yang terdiri dari n persamaan dan peubah (matrik bujur sangkar) sehingga det (A), sistem tersebut mempunyai penyelesaian sebagai berikut : X = A A, X = A A,., X n = A n A Inilah yang biasa disebut dengan kaidah Cramer, di mana A j adalah matrik yang didapatkan dengan menggantikan entri-entri di dalam kolom ke-j dari matrik A dengan entri-entri matrik hasil (matrik B). CONTOH : Gunakanlah Kaidah Cramer untuk memecahkan Himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut : X + X = 6 X + 4X + 6X = X + X + X = 8 Jawab : Maka X = A A A = A = = 4 = A = A = Aljabar Linier

34 X = A A X = A A = 7 = 8 44 = 5 = 8 44 Jadi HP = {, 8, 8 } LATIHAN SOAL BAB. Hitunglah Determinan matrik berikut menggunakan hasil perkalian elementer yang bertanda: a. A = b. A = k 9 4 k + k. Hitunglah determinan matrik berikut menggunakan reduksi baris : a. A = 7 7. Anggaplah det (A) = 5. Di mana : A = a. det (A) b. det( A ) c. det b. A = a b c d e f maka carilah : g i a g d b e c i f 4. tentukan minor dan kofaktor entri a dari matrik : A = Tentukan minor dan kofaktor entri a dari matrik : A = Tentukan determinan matrik A = kofaktor berdasarkan : a. Baris kedua b. kolom kedua 7. Dengan ekspansi kofaktor, tentukan iners dari matrik : a. A = b. A = dengan menggunakan ekspansi Aljabar Linier

35 8. Gunakan aturan Cramer untuk mencari nilai z tanpa mencari nilai, y, dan w, jika : 4 + y + z + w = 6 + 7y z + w = 7 + y 5z + 8w = + y + z + w = Kunci Jawaban :. a. 45 b. k 4 k +8k + 9k. a. - b. 4. a. 5 b. 8 5 c M = C = 5. M = C = 6. a. -7 b a. A = b. A = z = Aljabar Linier 4

36 BAB III VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG- DAN RUANG-. Pengantar Kepada Vektor (Geometrik) Vektor-ektor dalam dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis yang terarah atau panah-panah di dalam ruang- atau ruang-; arah panah menentukan arah ektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik permulaan (initial point) dari ektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Kita akan menyatakan ektor dengan huruf kecil tebal a, k,, w dan. Bila membicarakan ektor, maka kita akan menyatakan bilangan sebagai skalar. Semua skalar merupakan bilangan riel dan akan dinyatakan oleh huruf kecil biasa seperti a, k, dan. B A (a) (a) Vektor AB. (b) (b) Vektor-ektor ekialen Di dalam gambar (a) titik permulaan sebuah ektor adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka kita menuliskan = AB Vektor-ektor yang mempunyaipanjang yang sama, seperti ektor-ektor di dalam Gambar (b) dinamakan ekialen. Jika dan w ekialen maka dapat ditulis = w Aljabar Linier 5

37 Definisi. Jika dan w adalah sebarang dua ektor,maka jumlah + w adalah ektor yang ditentukan sebagai berikut. Dudukkanlah ektor w sehingga titik permulaannya berimpit dengan titik terminal dari. Vektor +w dinyatakan oleh panah dari titik permulaan dari kepada titik terminal dari w (Gambar a). Di dalam Gambar b kita telah membentuk dua jumlah, yakni + w (panah hitam) dan w + (panah merah muda). Jelaslah bahwa + w = w + dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal dari paralelogram yang ditentukan oleh dan w bila ektor-ektor ini diletakkan sehingga ektorektor tersebut mempunyai titik permulaan yang sama. w w + w + w + w (a) aturan segitiga (b) aturan jajargenjang Vektor yang panjangnya sama dinamakan ektor nol(zero ector) dan dinyatakan dengan. kita mendefinisikan + = + = Aljabar Linier 6

38 Definisi. Jika dan w adalah sebarang dua ektor, maka pengurangan didefinisikan oleh w = + ( w) (Gambar a). untuk mendapatkan selisih w tanpa menggambarkan w, maka dudukkanlah dan w sehingga titik-titik permulaannya berimpit; ektor dari titik terminal dari w ke titik terminal dari adalah ektor w (Gambar b). w w w w (a) w (b) Definisi. Jika adalah sebuah ektor dan k adalah sebuah bilangan riel (skalar), maka hasil perkaliank didefinisikan sebagai ektor yang panjangnya k kali panjang dari dan yang arahnya adalah sama seperti arah dari jika k> dan berlawanan dengan arah jika k<. kita mendefinisikan k = atau = Gambardi bawah melukiskan hubungan di antara sebuah ektor dan ektor-ektor, dan (- ). ( ) Aljabar Linier 7

39 ( ) operasi penambahan ektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah untuk dilaksanakan di dalam komponen-komponen.seperti yang dilukiskan di dalam gambar di bawah, jika = (, ) dan w = (w, w ) maka + w = ( + w, + w ) y ( + w, + w ) w w + w w jika = (, ) dan k adalah sebarang skalar, maka dengan menggunakan argumentasi geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serupa, dapat diperlihatkan bahwa k = (k, k ) jadi misalnya jika = (, -) dan w = (7, 6), maka + w = (, -) + (7, 6) = ( + 7, - + 6) = (8, 4) Aljabar Linier 8

40 dan 4 = 4(, -) = (4(), 4(-)) = (4, -8) Pemecahan dalam soal dapat disederhanakan dengan mentranslasikan sumbu-sumbu koordinat untuk mendapatkan sumbu-sumbu baru yang sejajar dengan sumbu-sumbu aslinya. Dalam Gambar a di bawahtelah ditranslasikan sumbu-sumbu koordinat y untuk mendapatkan sebuah sistem koordinat y yang titik asalnya O berada di titik (, y) = (k, l). Sebuah titik P di dalam ruang- sekarang mempunyai kedua-dua koordinat (, y) dan koordinat (, y ). y y y y (, y) P (, y ) O O (k, l) O O (k, l) (, ) (a (b Untuk melihat bagaimana kedua koordinat tersebut dihubungkan, maka tinjaulah ektor O P Gambar b di dalam sistem y titik pemulaannya berada di (k, l) dan titik terminalnya berada di (, y); jadi OP = ( k, y l). Di dalam Aljabar Linier 9

41 sistem y titik permulaannya berada di (,) dan titik terminalnya berada di (, y ); jadi OP = (, y ). Maka = k y = y l Persamaan-persamaan ini dinamakan persamaan translasi Untuk melukiskannya, jika titik asal yang baru tersebut berada di (k, l) = (4, ) dan koordinat-koordinat y dari sebuah titik P adalah (, ), maka koordinatkoordinat y dari P adalah = -4 = - dan y = = - Di dalam ruang- persamaan translasi adalah = k y = y l z =z m di mana (k, l, m) adalah koordinat-koordinat yz dari titik asal yang baru Latihan: ) Diberikan ektor dan w seperti pada gambar. Lukislah ektor + w dengan aturan segitiga dan jajargenjang. ) Diberikan ektor-ektor sebagai berikut u = (, 4) dan w = (5, -4) Tentukan a) u + w b) u w w Jawab: ) Aturan segitiga Keterangan: + w Aljabar Linier 4

42 Translasikan ektor w sehingga titik pangkal w berimpit dengan titik ujung ektor Jumlah ektor dan w adalah + w, yaitu suatu ektor yang ditarik dari titik pangkal ektor ke titik ujung ektor w. Aturan Jajargenjang Keterangan: + w Translasikan ektor w (atau ) sehingga titik pangkal w berimpit. Dari titik ujung, lukis suatu ektor yang sama dengan w; dari titik ujung w, lukis suatu ektor yang sama dengan ektor. Jumlah ektor dan w adalah + w, yaitu diagonal jajargenjang yang terbentuk. w + w + w w ) a) u + = (, 4) + (5, -4) = ( + 5, ) = (8, ) b) u w = (, 4) (5, -4) = ( 5, 4 (-4)) = (-, 8). Norma Sebuah Vektor ; Ilmu Hitung Vektor Teorema Jika u, dan w adalah ector-ektor di dalam ruang- atau ruang- dan k dan l adalah scalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku : a. u + = + u b. (u + ) + w = u + ( + w ) Aljabar Linier 4

43 c. u + = + u = d. u + (-u) = e. k(lu) = (kl) u f. k (u + ) = ku + k g. (k + l)u = ku + lu h. lu = u bukti : b. Secara analitik jika u = ( u u u ), = ( ), w = ( w w w ) (u + ) + w = [(u u u ) + ( ) + ( w, w, w, ) ] = (u +, u +, u + ) + ( w, w, w, ) = ([u +, ] + w, u + + w, u + + w, ) = (u +, + w, u + [ + w ], u + [ + w ] = ( u u u ) + (, + w, ( + w ), ( + w ) = u + ( + w) Panjang sebuah ector seringkali dinamakan norma dari dan dinyatakan dengan. Norma sebuah ector = (, ) di dalam ruang- adalah : = + Q R u u+ P Aljabar Linier 4

44 Misalkan = ( ), di dalam ruang- : = + + Jika P, y, z danp (, y, z ) adalah dua titik didalam ruang-, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah norma ector P P P P =, y y, z z Maka d= ( ) + (y y ) + (z z ) Latihan:. Norma ector = ( -,,) adalah? jawab : = + + = 4. Jarak antara P (, -, -5 ) dan titik P (4, -, ) adalah jawab : d = = 44 =. Perkalian Titik; Proyeksi Definisi: jika u dan adalah ektor-ektor didalam ruang- dan ruang- dan adalah sudut diantara u dan, maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam euklidis (Euclidean inner product) u. didefinisikan oleh:.. jika u dan adalah dua ektor di dalam ruang-.. jika u dan adalah dua ektor di dalam ruang-. Teorema Aljabar Linier 4

45 Misalkan u dan adalah ector-ektor di dalam ruang- atau ruang-, maka:.. jika u dan adalah ector-ektor tak nol dan adalah sudut diantara kedua ector tersebut, maka: a. lancip b. tumpul c. Teorema Jika u, dan w adalah ector-ektor di dalam ruang- atau ruang- dan k adalah sebuah scalar, maka: Jika u dan adalah ektor-ektor tak nol di dalam ruang- atau ruang-, adalah proyeksi orthogonal dari u pada dan ector u yang orthogonal kepada, maka: adalah komponen dari.. Contoh: Jika Tentukan: a. u. dan Aljabar Linier 44

46 b. cosines sudut diantara u dan c. proyeksi orthogonal dari u pada jawab: a. b. c. ) Latihan:. carilah u. dari: a. dan b. dan. carilah cosines sudut diantara u dan, jika: a. dan b. dan. dari soal no. carilah proyeksi orthogonal dari u pada pembahasan:. a. b.. a. b. Aljabar Linier 45

47 . a. b..4. Perkalian Silang. Definisi Jika u = (u, u, u ) dan = (,, ) adalah ektor-ektor di dalam ruang, maka perkalian silang u adalah ektor-ektor yang didefinisikan oleh: u = (u u, u u, u u ) atau di dalam notasi determinan: u = Pola determinan di atas berasal dari: Komponen pertama dengan menghapus kolom pertama. Komponen kedua dengan menghapus kolom kedua. Komponen ketiga dengan menghapus kolom ketiga. Contoh: Carilah u dimana u = (,, -), = (,, ) Penyelesaian: u = = (, -7, -6) Catatan : Perkalian titik dua ektor adalah skalar Perkalian silang dua ektor adalah ektor lain.. Teorema-teorema hubungan perkalian titik dan perkalian silang Jika u dan adalah ektor-ektor di ruang-, maka: a. u. (u ) = (u ortogonal terhadap u) Aljabar Linier 46

48 b.. (u ) = (u ortogonal terhadap ) c. u = u (u ) Bukti: Misalkan u = (u, u, u ) dan = (,, ) a. u. (u ) = (u, u, u ). (u u, u u, u u ) = u (u u ) + u (u - u ) + u (u - u ) = b. Serupa dengan (a) c. u = (u u ) + (u - u ) + (u - u ) = (u ) + (u ) + (u ) + (u ) + (u ) + (u ) - (u u ) - (u u ) - (u u ) u - (u. ) = (u + u + u ) + (,, ) (u + u +u ) = (u ) + (u ) + (u ) + (u ) + (u ) + (u ) - (u u ) - (u u ) - (u u ) Contoh: u = (,, -) dan = (,, ) u = (, -7, -6) maka u. (u ) =. +. (-7) + (-) (-6) = u. (u ) =. +. (-7) +. (-6) =. Sifat-sifat ilmu hitung utama dari perkalian hitung Teorema: jika u,, dan w adalah ektor-ektor sembarang di dalam ruang- dan k adalah sembarang skalar, maka: a. u = - ( u) b. u ( + w) = (u ) + (u w) Aljabar Linier 47

49 c. (u + ) + w = (u w) + ( w) d. k (u ) = (ku) = u (k) e. u = u = f. u u = 4. Contoh Tinjaulah ektor-ektor i = (,, ), j = (,, ), k = (,, ) Masing-masing mempunyai panjang l dan terletak sepanjang sumbu ordinat yang dinamakan ektor-ektor satuan standar di dalam ruang-. Tiap ektor = (,, ) dapat dinyatakan i, j, dan k, yang dituliskan. = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = i + j + k misal: (, -, 4) = i -j + 4k z (,, ) k j y i (,, ) (,, ) Atau dalam notasi determinan dinyatakan i j = hasil-hasil perkalian silang: i i = j j = k k = i j = k, j k = i, k i = j j i = -k, k j = -i, i k = -j atau dalam diagram: = (,, ) = k i Aljabar Linier 48

50 k j Keterangan: a. Putaran searah karum jam, perkalian dua ektor adalah ektor berikutnya. b. Putaran berlawanan arah jarum jam, perkalian dua ektor adalah negatif ektor berikutnya. Atau menggunakan kaidah tangan kanan: Keterangan y = ibu jari jika i dihimpitkan ke j sepanjang i j = k maka hasilnya adalah k 5. Jika u adalah ektor tak nol dalam ruang-, maka norm dari u mempunyai tafsiran geometrik yang berguna. Yaitu identitas lagrange yang dinyatakan: u = u (u ) Jika adalah sudut antara u dan, maka u. = u. cos Sehingga: u = u - u cos Aljabar Linier 49

51 = u ( cos ) = u sin Jadi u = u sin Tetapi sin adalah tinggi paralelogram dari u, jadi luas A dari paralelogram dinyatakan. A = (alas) (tinggi) = u sin = u Dengan kata lain, norm dari u sama dengan luas paralelogram yang ditentukan oleh u dan. sin u u Contoh: Carilah luas segitiga yang ditentukan oleh titik-titik P (,, ), P (-,, ), P (, 4, ) Pemecahan: Luas A dari segitiga tersebut adalah ½ luas pralelogram yang ditentukan oelh ektor dan = (-, -, ) = (-,, ) = (-, 5, -) Dan sebagai konsekuensinya A = ½ = ½ (5) = 5/.5 Garis dan Bidang di ruang- Persamaan Bidang Titik P (, y, z ) dan ector tak nol n (a, b, c) sebagai normal. Titik P (, y, z) untuk ortogonal n, yang bisa dituliskan n, dimana Aljabar Linier 5

52 n. =. Karena n = (a, b, c ) dan = ( -,, y-y, z-z ), maka dapat dituliskam kembali menjadi : a (- ) + b (y-y ) + c (z-z ) = ( bentuk normal titik ) Teorema 6. Jika a, b, c dan d adalah konstanta dan a, b dan c tidak semuanya nol, maka grafik persamaan a + by +cz = adalah sebuah bidang yang mempunyai ector n = (a, b, c) sebagai normal. Bukti: a + by + cz = a ( + ( )) + by + cz =, dimana n (,, ) Sekarang, bagaimana mendapatkan persamaan untuk garis di dalam R-. Misalkan l adalah garis di dalam R- yang melalui titik P (, y, z ) dan yang sejajar dengan ector tak nol = (a, b, c). P (, y, z) P (, y, z ) = ( a, b, c ) Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa l persis terdiri dari titik-titik P (, y, z ) untuk mana sejajar dengan, yang mana terdapat sebuah scalar t, sehingga : Aljabar Linier 5

53 = t ( -,, y-y, z-z ) = t (a, b, c) Dari komponen-komponen diatas dapat diperoleh, persamaan parametric, yaitu : = + ta y = y + tb dimana z = z + tc Sedang untuk a, b, c, maka : = + ta y = y + tb z = z + tc Aljabar Linier 5

54 BAB IV RUANG-RUANG VEKTOR 4. Ruang n-euclidis Definisi I Jika n adalah bilangan bulat positif maka tupel n terorde adalah sebuah bilangan real { a, a, a,..., a n } Himpunan semua tupel n terorde dinamakan ruang-n (R n ). Tupel terorde { a, a, a,..., a n }, dapat dipandang sebagai: y R (a,a, a ) z Contoh : R. Vektor, di ruang R n Contoh : R y (a,a, a ) z Definisi II Dua ektor u = (u, u,..., u n ) dan = (,,..., n ) pada ruang R n dan k suatu skalar maka dikatakan:. Sama, jika u =, u =,..., u n = n. Penjumlahan u + = {c}. Perkalian skalar ku = ku, ku,..., ku n Aljabar Linier 5

55 4. Iners penjunlahan u adalah u = {-u, -u,..., -u n ) 5. Vektor nol = = {,,..., } Teorema Jika u,, w adalah ektor-ektor dalam R n dan k, l, adalah suatu skalar, maka berlaku: a. u + = + u b. u + ( + w ) = ( u + ) + w c. u + = + u = u d. u + ( -u ) =, yakni u u = e. k ( lu ) = ( kl ) u f. k ( u + ) = ku + k g. ( k + l ) u = ku + lu h. u = u Definisi Jika u,, dan w adalah ektor-ektor dalam R n, maka perkalian dalam euclidisnya dalah u. = u +, u +,..., u n + n Teorema Jika u,, dan w adalah ektor-ektor dalam R n dan k adalah sembarang skalar, maka: a. u. =. u b. ( u + ). w = u. w +. w c. ( ku ). = k ( u. ) d.., maka berlaku. = = Definisi 4. Jika u, adalah ektor-ektor pada R n maka norma/panjang euclides ektor u adalah u = ( u. u ) / / = ( u. u + u. u + u n. u n ) = ( u + u u n ) / = u + u +... u n u = u + u +... u n. Jarak euclides titik u dan adalah: Aljabar Linier 54

56 d ( u, ) = u d ( u, = ) = u u. = + uu u n + u +. n.. + u n n Contoh: Jika u = (,, -, ), = ( 5, 4, 7, ), w = ( 6,,, 9), tentukan: a. ( u + w ) b. sehingga u - + = 7 + w Jawab: a. ( u + ) = ( 5, 4, 7, ) ((,, -, ) + ( 6,,, 9 )) = ( 5, 4, 7, ) ( 8,, -, ) = ( -,, 8, - ) b. u + = 7 + w (,, -, ) ( 5, 4, 7, ) + = 7 + ( 6,,, 9 ) ( 4,, -, 6 ) ( 5, 4, 7, ) + = 7 + ( 6,,, 9 ) ( -, -4, -9, 5 ) ( 6,,, 9 ) = 6 ( -7, 6, -9, 4 ) = 6 = ( 7, -,, ) 6 4. RUANG VEKTOR UMUM Definisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda, dimana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riel) Aljabar Linier 55

57 Operasi penjumlahan(addition) dapat diartikan sebagai suatu kaidah untuk mengasosiasikan setiap pasang benda u dan di dalam V sebuah elemen u +, yang disebut jumlah (sum) dari u dan. Operasi perkalian skalar(skalar multiplication) dapat diartikan sebagai suatu kaidah untuk mengasosiasikan dengan setiap skalar k dan setiap benda u di dalam V sebuah elemen ku, yang dinamakan kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh benda u,, w didalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang ektor (ector space) dan bendabenda didalam V kita namakan ektor. () Jika u dan adalah benda-benda didalam V, maka u + berada di dalam V () u + = + u () u + ( + w) = (u + ) + w (4) Ada sebuah benda di dalam V sehingga + u = u + = u untuk semua u di dalam V (5) Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda u didalam V yang dinamakan negatif dari u sehingga u + (-u)= (-u) + u = (6) Jika k adalah sembarang bilangan riel dan u adalah senbarang benda di dalam V, maka ku berada di dalam V (7) k (u + ) = ku + k (8) (k + l) u = ku + lu (9) k(lu) = (kl) (u) () u = u Vektor di dalam aksioma 4 dinamakan ektor nol (zero ektor) untuk V Catatan : Skalar dapat berupa bilangan riel atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya. Ruang ektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut ruang ektor kompleks (comple ector space), dan ruang ektor dinama skalar-skalarnya merupakan bilangan real disebut ruang ektor real (real ector space). Contoh: Aljabar Linier 56

58 . Misalkan V adalah bidang sebarang yang melewati titik sembarang di R. Tunjukkan bahwa titik-titik pada V membentuk suatu ruang ektor dibawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar untuk ektor-ektor pada R. Jawab: aksioma,,7, 8, 9 dan berlaku untuk semua titik di R dan sebagai konsekuensinya untuk semua titik pada bidang V. Oleh karena itu kita hanya perlu menunjukkan bahwa aksioma, 4, 5 dan 6 terpenuhi. Karena bidang V melewati titik asal, maka bidang tersebut memiliki persamaan berbentuk a + by + cz = () Jadi, jika u = (u,u, u ) dan = (,, ) adalah titik pada V, maka au, bu,cu = dan a, b, c =. Dengan menunjukkan persamaan-persamaan ini akan menghasilkan a u + + b u + + c u + = Kesamaan ini menunjukkan pada kita bahwa koordinat-koordinat pad titik u + =(u +, u +, u +, ) Memenuhi (); jadi, u + terletak pada bidang V. Ini membuktikan bahwa aksioma dipenuhi. Dengan mengalikanau + bu + cu = dengan - maka akan memberikan a u + b u + c u = Jadi - u = ( u, u, u ) terletak di dalam V. Ini menghasilkan aksioma 5.. Misalkan V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan, dan definisikan + = dan k = Untuk semua skalar k. Pemeriksaan untuk mengetahui apakah semua aksioma ruang ektor telah terpenuhi dapat dilakukan dengan mudah. Kita menyebut ruang ektor ini sebagai ruang ektor nol (zero ektor space) Beberapa Sifat Vektor : Sejalan dengan semakin mendalamnya pembahasan kita, akan lebih banyak contoh ruang yang ektor yang dapat ditambahkan ke dalam daftar yang telah kita miliki. Kita akan menutup sub bab ini dengan suatu teorema yang berisi daftar sifat-sifat ektor yang berguna. Teorema Aljabar Linier 57

59 MisalkanV adalah suatu ruang ektor, u adalah suatu ektor pada V, dan k adalah suatu skalar, maka: a. u = b. k = c. ( - )u = -u d. Jika ku =, maka k = atau u = Bukti a. Kita dapat menulis u + u = ( + ) u Aksioma 8 = u Sifat dari bilangan Berdasarkan Aksioma 5, ektor u memiliki bentuk negatif, -u. Dengan menambahkan negatifnya ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan [u + u] + (-u) = u + (-u) Atau u + [u + (-u)] = u + (-u) Aksioma u + = Aksioma 5 u = Aksioma 4 b. Untuk menunjukkan (-)u = -u, perlihatkan bahwa u + (-)u = u + (-) u = u + (-)u aksioma = ( + ()) u aksioma 8 = u sifat dari bilangan = SOAL. Misalkan V = R dan definisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut : Jika u = (u, u ) dan = (, ) maka didefinisikan u + = (u +, u + ) dan jika k adalah bilangan real sembarang, maka definisikan ku = (ku, ) jawab; Sebagai contoh, jika u = (,4), = (-,5) dan k = 7, maka u + = ( + (-),4 + 5) = (-,9) ku = 7u = (7, ) = (4,) Aljabar Linier 58

60 Operasi penjumlahan merupakan operasi penjumlahan standar pada R, tetapi operasi perkalian skalar bukan merupakan perkalian skalar standar.. Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matrik dengan entri-entri real adalah suatu ruang ektor jika penjumlahan ektor didefinisikan sbagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar ektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks Jawab; u = u u u u dan = untuk membuktikan aksioma, kita harus menunjukkan bahwa u + adalah suatu objek pada V. Atau dengan kata lain, kita harus menunjukkan bahwa u + adalah suatu matriks. Hal ini dapat diperoleh dari definisi penjumlahan matriks, karena u + = u u u u + = u + u + u + u + dengan cara serupa, aksioma 6 juga berlaku, karena untuk bilangan real sebarang k, kita memperoleh ku = k u u u u = ku ku ku ku sehingga ku adalah matrik dan sebagai konsekuaensinya merupakan objek pada V. Aksioma u + = u u u u + = + u u u u = + u Untuk membuktikan aksioma 4 kita harus menentukan suatu objek pada V sedemikian rupa + u = u + = u untuk semua u pada V. Ini dapat dilakukan dengan memdefinisikan sebagai Dengan definisi ini = + u = + u u u u = u u u u =u Dan demikian juga u +. Untuk membuktikan aksioma 5, kita harus menunjukkan bahwa setiap objek u pada V memiliki bentuk negatif u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = dan (-u) + u =. Ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan dari u sebagai Dengan definisi ini -u = u u u u Aljabar Linier 59

61 u + (-u)= u u u u + u u u u = = Dan demikian juga (-u) + u =. Sehingga pada akhirnya, Aksioma merupakan perhitungan yang sederhana u= u u u u = u u u u =u 4. SUBRUANG Definisi: Sebuah subhimpunan w dan sebuah ruang ektor dinamakan sebuah subruang (subspac) dan jika w itu sendiri adalah sebuah ruang ektor dibawah penambahan dan perkalian sekalar yang dideinisikan pada. Teorema 4: Jika w adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih Vektor dari sebuah ruang Vektor, maka w adalah sebuah subruang dari jika dan hanya jika kondisikondisi berikut berlaku. (a) Jika u dan adalah ektor-ektor di dalam w, maka u + berada didalam w. (a) Jika k adalah sembarang sekalar dan u adalah sembarang ektor di dalam w, maka ku berada di dalam w. [Kondisi-kondisi (a) dan (b) sering kali dijelaskan dengan mengatakan bahwa w tertutup di bawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian sekalar]. Contoh. Himpunan w adalah semua matrik dengan bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang ektor M dari semua matrik k. Misal: a b A dan B a b Adalah sembarang matrik dalam w dan k adalah sembarang sekalar. Maka Aljabar Linier 6

62 ka a b ka dan A B ka a b ka dan A+B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka ka dan A+B teletak di w. Jadi w sebuah subruang M. Contoh : Miasal n adalah bilangan bulat positif dan w terdiri dari fungsi nol yang polinomial real mempunyai derajat n dapat dinyatakan dalam bentuk p() = a n a... an di mana a,..., a Misalkan p dan q adalah polinomial-polinomial P() = q() = a b a... b... a b n n maka (p + q)() = p () + q () = ( n n a b adalah bikangan real. n ) + ( a b ) ( a n b ) n n dan (kp) () + kp () = kp () = (ka ) + (k ) (k ) a an n maka p+q dan kp terletak didalam w. Kita nyatkan ruang ektor w di dalam contoh ini dengan simbol pn. Contoh 6: Vektor u =(,,-), =(6, 4, ) di R. Tunjukan bahwa w =(9,,7) adalah kombinasi linier dari u dan dan w =(4,-,8) bukanlah kombinasi linier dari u dan. Pemecahan: agar w kombinasi linear dari u dan, harus ada sekalar dan k k Maka w=k u+ k (9,,7) = (,,-) + k k (6,4,) (9,,7) = (k + 6 k, k + 4 k, - k + k ) Sehingga menjadi +6 k k = 9 k +4 k = Aljabar Linier 6

63 -k + k =7 Dengan memecahkan seperti ini akan menghasilkan = -, k k = Sehingga w = -u + Supayaw adalah kombinasi linier dri u dan, maka harus ada skalar dan k k Makaw = u + k k (4, -, 8) = (,, -) + k k (6, 4, ) (4, -, 8) = ( k 6k,k 4 k, k k ) k k Menjadi 4 k 6 k k 4 k - 8 Sistem persamaan seperti ini tidak konsisten, sehingga tidak ada skalar-skalar seperti itu. Maka w bukanlah kombinasi linier dari u dan. Definisi : jika,,..., adalah ektor-ektor didalam sebuah ruang ektor r dan jika tiap-tiap ektor didalam dapat dinyatakan dengan kombinasi linier dari,,..., maka kita mengatakan bahwa ektor-ektor ini merentang. r Contoh 7: Vektor-ektor i =(,, ), j =(,, ) dan k = (,, ) merentang R karena tiaptiap ektor (a, b, c) di dalam R dapat di tulis sebagai (a, b, c) = Yang merupakan kombinasi linier dari i, j, dan k. ai a,, j c k Contoh 8: Polinomial-polinomial,,,... n merentang ruang ektor p n (lihat contoh ) karena setiap polinomil p didalam p n dapat ditulis sebagai Aljabar Linier 6