TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember
O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN
OBJEKTIF Teori Contoh Simplan Latihan Mahasiswa mamp: Tjan Pembelajaran. Menjelaskan konsep rang vektor real. Menghitng solsi sistem linear yang dibentk dari vektor. Mendapatkan basis dan dimensi dari rang solsi sistem linear 4. Menghitng rank sat matriks
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Pendahlan Rang vektor real merpakan generalisasi konsep rang vektor. Beberapa kegnaan dari konsep ini adalah ntk memeroleh rang solsi sistem linear homogen (nonhomogen) dan mencari rank dari sat matriks.
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rang Vektor Real: Definisi V merpakan himpnan objek tak-kosong dengan da operasi berikt didefinisikan pada V penjmlahan dari pasangan objek dalam V perkalian objek dengan skalar V disebt rang vektor jika aksioma-aksioma berikt terpenhi oleh selrh objek,v,w dalam V dan skalar k dan l. Objek dalam V tersebt disebt dengan vektor
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Aksioma: () ) Jika dan v adalah objek (vektor) dalam V, maka + v jga objek dalam V ) + v v + ) +(v +w) (+ v) + w 4) Objek dalam V disebt vektor nol ++ ntk sema dalam V 5) Untk tiap dalam V, objek dalam V disebt negatif dari + (- ) (- ) +
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Aksioma: () 6) Jika k adalah skalar sebarang dan adalah objek dalam V, maka k jga dalam V 7) k( + v) k + kv 8) (k+l) k + lv 9) k(l) (kl) )
Bkti: () TEORI Objektif Contoh Simplan Latihan Misal: v v v v v + + + + + + v v v v v v v v v k k k k k k + + + + ) (
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Sbrang (sbspace) Definisi: Sbset W dari rang vektor V disebt sbspace dari V jika W merpakan rang vektor yang dibentk dari operasi penjmlahan dan perkalian dalam V Bila W adalah himpnan yang terdiri dari sat vektor ata lebih dari rang vektor V, maka W merpakan sbspace dari V iff Jika dan v vektor dalam W, maka +v jga dalam W Jika k sebarang skalar dan adalah sebarang vektor dalam W, maka k jga dalam W
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Sbrang (sbspace) Vektor +v dan k terletak pada bidang yang sama dengan dan v W adalah sbrang dari R v + v k W Garis melali origin adalah sbrang dari R v + v W k W
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Sbrang di R dan R Tiap rang vektor tak-nol V minimal terdiri dari sbrang: Sbrang V Vektor nol dalam V sbrang nol (zero sbspace) Sbrang dari R Sbrang dari R {} Garis melali origin R {} Garis melali origin Bidang melali origin R Contoh
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Kombinasi Linear Vektor Vektor w adalah kombinasi linear dari v, v,, v r dan k,k,, k r jika Untk r : w k v w k v + k v + + k r v r Kombinasi linear vektor tnggal v Vektor v (a,b,c) di R ditlis sebagai kombinasi linear dari vektor basis standar v ( a, b, c) a(,, ) + b(,, ) + c(,,) ai + bj + ck Contoh
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rentangan (span) Jika v, v,, v r adalah vektor dalam rang vektor V, maka Himpnan W dari selrh kombinasi linear v, v,, v r adalah sbrang V W adalah sbrang terkecil dalam V yang berisi v,v,, v r Jika S {v, v,, v r } adalah himpnan vektor dalam rang vektor V, maka Sbrang W dari selrh kombinasi linear v, v,, v r disebt rang yang direntang oleh vektor tersebt W span (S) ata W span {v, v,, v r }
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rentangan (span) Jika v dan v adalah vektor di R dengan titik awal pada origin Span{v, v } yang berisi selrh kombinasi linear k v + k v bidang melali origin yang ditentkan oleh v dan v z k v v span{v, v } v k v k v + k v y z span{v} Jika v merpakan vektor di R ata R Span{v} yang berpa selrh perkalian kv garis yang ditentkan oleh v v kv y Contoh
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Kebebasan Linear Himpnan vektor S {v, v,, v r }, pers. vektor k v + k v + + k r v r Jika hanya ada sat solsi k, k,, k r S adalah himpnan bebas linier (linearly independent) Jika ada solsi yang lain S disebt himpnan takbebas linear
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Eksistensi solsi trivial Kebebasan Linear Determinan matriks koefisien sama dengan nol Matrik tsb tidak dapat diinverskan
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Interpretasi geometris dari kebebasan linear z z z v v y v v y v v y (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier z z z v v v v y v y v y v v v (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier Contoh 4
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Definisi: Basis Untk Rang Vektor Jika V adalah rang vektor S {v, v,, v n }: himpnan vektor dalam V S disebt basis ntk V jika memenhi kondisi berikt Teorema: S adalah bebas linear S merentang V (S spans V) Jika S {v, v,, v n }: basis ntk rang vektor V Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam sat cara saja
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Bkti: Basis Untk Rang Vektor dan v c v + c v + + c n v n v k v + k v + + k n v n Solsi trivial: (c k )v + (c k )v + + (c n k n )v n c - k c - k c n - k n c k c k c n k n Contoh 5
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan D I M E N S I Bila S {v, v,, v n } adalah basis ntk rang vektor dimensi terbatas V Selrh basis ntk V memiliki jmlah vektor yang sama dengan basis S Dimensi jmlah vektor basis dalam rang vektor V Contoh 6
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rang baris, rang kolom dan rang nl Matriks A(m n): sbrang di R n direntang oleh vektor baris dari A rang baris dari A sbrang di R m direntang oleh vektor kolom dari A rang kolom dari A rang solsi dari sistem homogen dengan pers. A yang merpakan sbrang di R n rang nl dari A Teorema: sistem persamaan linear A b adalah konsisten iff b merpakan rang kolom dari A Contoh 7
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rang baris, rang kolom dan rang nl Operasi baris elementer tidak mengbah rang nl dan rang baris dari matriks Jika matriks R merpakan matriks hasil redksi baris: Vektor baris dengan leading (baris tak nol) basis ntk rang baris Vektor kolom dengan leading basis ntk rang kolom
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Rank RANK dan Nllity dimensi dari rang baris dan rang kolom notasi: rank(a) rank(a) dim(rang baris A) dim(rang kolom A T ) Nlitas (nllity) dimensi dari rang nl notasi: nllity(a) rank(a) + nllity(a) n banyaknya var. leading banyaknya var. bebas
Objektif TEORI Contoh Simplan Latihan Teorema RANK Jika A matriks m n, maka rank(a) banyaknya var. leading dalam solsi A nllity(a) banyaknya parameter dalam solsi A m n, rank(a) nilai terkecil antara m dan n Nilai maksimm rank: rank(a) min(m,n)
CONTOH Contoh Objektif Simplan Latihan Teori Dapatkan solsi sistem linear berikt: 6 4 8 7 a) z y 4 8 7 b) z y
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh a) Bentk eselon baris teredksi Solsi: -5t, y -t, z t Pers. garis melali origin paralel dengan vektor (-5, -, ) 5 b) Bentk eselon baris teredksi Solsi:, y, z rang solsi titik origin {}
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Contoh Vektor (,,-) dan v (6,4,), tnjkkan bahwa w(9,,7): kombinasi linear dari dan v w (4,-,8): bkan kombinasi linear
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh w diekspresikan sebagai kombinasi linear dari dan v w k + k v (9,,7) k (,,-) + k (6,4,) (9,,7) k +6k, k +4k, -k +k k + 6k 9; k + 4k ; -k + k 7 k -; k Maka, w - + v
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Contoh Tnjkkan bahwa v (,,), v (,,), v (,,) merentang rang vektor pada R
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh Tentkan vektor sem b(b,b,b ), nyatakan b kombinasi linear b k v + k v + k v (b,b,b ) k (,,) + k (,,)+k (,,) k + k + k b k + k b k + k + k b Sistem linear konsisten iff matriks koef. A memiliki invers det(a) A tidak dapat diinverskan v, v dan v tidak dapat merentang pada R
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Contoh 4 Tnjkkan bahwa v (, -,), v (5,6,-), v (,,) membentk himpnan bebas linear ata tak bebas linear
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh 4 Persamaan vektor dalam komponen k v + k v + k v k (, -,) + k (5,6, -)+k (,,)(,,) (k +5k +k, k +6k +k, k k +k ) (,,) Persamaan ntk tiap komponen k + 5k + k k + 6k + k k k + k
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh 4 Solsi sistem k t/; k -t/; k t Solsi nontrivial Vektor v, v dan v : himpnan takbebas linear
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Contoh 5 Bktikan bahwa himpnan vektor S{v, v, v } merpakan basis ntk R dengan v (,, ), v (, 9, ) dan v (,, 4).
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Jawaban Contoh 5 Tentkan vektor sem b(b, b, b ), dan ekspresikan sebagai kombinasi linear: b k v + k v + k v Pers. dalam komponen vektor (b, b, b ) k (,, )+k (, 9, )+k (,, 4) (b, b, b ) (k +k +k, k +9k +k, k +4k ) Pers. linear ntk tiap komponen k + k + k b k + 9k + k b k + 4k b A b
Matriks A: Jawaban Contoh 5 CONTOH Objektif Simplan Latihan Teori Determinan A: det(a), maka S merpakan basis ntk R 4 9 A 4 9 ) det( A
Objektif Teori CONTOH Simplan Latihan Contoh 6 Tentkan basis dan dimensi ntk solsi rang sistem homogen berikt: + + 5 + 4 + 5 + 5 + 4 + 5
Jawaban Contoh 6 CONTOH Objektif Simplan Latihan Teori Matriks agmentasi: Bentk eselon baris teredksi: Solsi: s t; s; t; 4 ; 5 t;
Jawaban Contoh 6 CONTOH Objektif Simplan Latihan Teori Dalam bentk vektor: Vektor yang merentang rang solsi: + + 5 4 t s t t t s s t t s t s dan v v Rang solsi: da-dimensi bebas linear basis
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Tnjkkan bahwa b merpakan rang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A: CONTOH Objektif Simplan Latihan Teori 9 Contoh 7
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor CONTOH Objektif Simplan Latihan Teori Solsi sistem: ; ; Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A + 9 Sistem konsisten b merpakan rang kolom A Jawaban Contoh 7
Objektif Teori Contoh SIMPULAN Latihan Rang Vektor Real Rank matriks sebarang adalah sama dengan banyaknya basis n... Sistem linear Ab adalah konsisten (memiliki tepat sat solsi), bila b merpakan rang kolom dari A
Objektif LATIHAN Contoh Simplan Soal 7 5 + + +. Dapatkan rang solsi sistem linear homogen berikt: Teori 5 4. Dapatkan rank dan nlitas dari matriks berikt: