DEFINISI TURUNAN Turunan dari y () teradap dideinisikan dengan : dy d lim ( y () ) - ()
Tentukan turunan dari ungsi ini ) )( ( () g. () b. (). 4 () a. () j. () e. ) ( () i. () d. (-) ) ( (). 7 () c. -5
RUMUS-RUMUS TURUNAN. () k maka (). () k. maka () k. () n maka () n n- 4. () k. n maka () k.n n-
RUMUS-RUMUS TURUNAN 5. () UV maka () U V 6. () U -V maka () U V 7. () U.V maka () UV UV 8. () U V n maka () UV - U.V V n- 9. () U maka () n.u U
Turunan ke-n dan turunan di = k Turuan kedua dari ungsi () dinotasikan dengan () didapat dari turunan pertama yang diturunkan kembali () = ( ()) Turunan pertama suatu ungsi () di titik Turunan pertama suatu ungsi () di titik didapatkan dengan menurunkan ungsi ()menjadi () kemudian memasukkan nilai pada ()
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI TEOREMA. FUNGSIKONSTAN Jika () k dengan k konstan maka : BUKTI: dk '(). atau d ( ) - () '() Limit k - k Limit Limit (Terbukti )
CONTOH Hitungla Jawab : Limit5 ' () Limit ( ) () 5 Limit 5 Limit
FUNGSI IDENTITAS TEOREMA. FUNGSI IDENTITAS Jika (),maka ' () atau d d ( )
( ) () BUKTI: ' () Limit - Limit Limit Limit (Terbukti )
FUNGSI PANGKAT ) ( Limit () ) - ( Limit () ' : BUKTI n ) ( d d atau n () ' maka rasional, n bilangan dan () Jika FUNGSIPANGKAT TEOREMA. n n n- n n- n ). Terbukti ( n n... n n Limit n n... n n n Limit Limit Limit () ' : BUKTI n- n- n n- n- n n n- n- n
CONTOH 5 () c. () b. () a. : berikut ungsi - ungsi dari ungsi Turunan Carila 5 5 5.5 n () ' 5, maka,n 5 () c. n () ' maka,,n () b. n () ' maka,n () a. SOLUSINYA: 49 5- n- 5 99 n- n-
AKTIVITAS SISWA. Tentukan a. () 4 d. () b. () Turunan 5 dari ungsi - ungsi berikut e. () - 4 c. (). (). Buktikan Teorema benar untuk n bilangan bulat negati dan pecaan - :
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI TEOREMA4. BUKTI: HASILKALIKONSTANTADENGAN FUNGSI Jika suatu dideinisi kan ungsi, ole c suatu g() d g '() c. '() atau d g( ) - g() g '() Limit c.( ) - c.() Limit ( ) - () Limit c. c. '() ( Terbukti ) konstanta, c.()dan d d dan '()ada, ungsi maka c.() c. () c. '() g : yang
CONTOH () '.g () ', () b. 5 5 6 () c. 5.5 () b. () 5.g ' () ', 5 () a. SOLUSINYA: 5 () a. : ()berikut ungsi Turunan Tentukan. 9 49 55 49 9 5 5 66.55 5 6 ().g ' 5 6 () ', 5 6 () c. 9.9 () '.g () ', () b. 54 54 55 89 89 9
AKTIVITAS SISWA Tentukan a. b. c. () () () Turunan 5 88 - ungsi ()berikut d. e. : () () 55 5 5-5 -5-5.
JUMLAH DUA FUNGSI TEOREMA5. JUMLAHDUAFUNGSI Jika Udan Vadala ungsi - ungsi dari yang dapat diturunkan dan y () U() V(), maka y ' ' () U'() V'() atau d d (U V) U' V'
BUKTI v() u() ) v( ) u( Limit () ) - ( Limit () ' ) Terbukti ( () v' () u' v() ) - v( Limit u() ) u( Limit v() ) - v( u() ) u( Limit
SELISIH DUA FUNGSI TEOREMA6. SELISIHDUAFUNGSI Jika Udan Vadala ungsi - ungsi dari yang dapat diturunkan dan y () U()- V(), maka y ' '() U'()- V'() atau d d (u v) u' - v'
CONTOH SOLUSINYA: 7 6 () dari Turunan Tentukan 7-7. 6. - () d d () d d 7 ) ( d d 6 () d d ) (7 d d ) (6 d d () ' 7 6 ()
CONTOH SOLUSINYA: a. produksiny biaya dari marjinal biaya Tentukan rupia. ribuan 8 8 C() sebesar produksi biaya dibutukan barang unit i memproduks untuk bawa menaksir perusaaan Sebua 4.. 8 () d d ) ( d d 8 8 d d d d 8 d d 8 8 d d C'() : berlaku seingga C()dengan ) - C( C Biaya Marginal
AKTIVITAS KELAS CARILAHTURUNANFUNGSI- FUNGSIBERIKUT: a. () 4 5 b. c. () () (6 - )
PERKALIAN DUA FUNGSI TEOREMA7. PERKALIANDUAFUNGSI. Jika yang maka atau d d Udan : dapat V ungsi diturunkan ungsi ' () U'().V() (U.V) - U'.(V) dan U.(V') dari () U().V' () U().V(),
BUKTI ( ) - () '() Limit u( ).v( ) - u().v() Limit u( ).v( ) - u( ).v() u( ).v()- u().v() Limit u( ) v( ) - v() v().u( ) - u() Limit.Limit v( ) - v() u( ) - Limit u( ).Limit Limit v().limit U().V' () V().U' () ( Terbukti ) u()
CONTOH : 7 didapat teorema dalam ke Masukan 4 V'() dan 6 U'() V() dan U() Misalkan SOLUSINYA: ) )( ( () pertama turunan mencari 7 untuk Teorema Gunakan 4 4 9 8 8 6 6 8 ) )( (6 ) ).(4 ( U'().V() () U().V' () ' : 7 didapat teorema dalam ke Masukan 5 5 5 4
PEMBAGIAN DUA FUNGSI TEOREMA8. PEMBAGIANDUAFUNGSI. Jika Udan dan () '() V ungsi - U(),V() V() U'().V() - ungsi dari, maka U().V' () atau yang d d dapat U V() V V diturunkan U' V UV',
CONTOH Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan () SOLUSINYA : Misalkan U() V() Berdasarkan Teorema 8 didapat : '() 6 4-4 (6 ).( V() U'() 6 9 V'() U'().V() - U().V'() 4 54 9 ( 9) 9) ( ( 9) 54 9 9 ( 9) 4 (6)( )( ) 9 9) - ( ).( ( 9) )
AKTIVITAS SISWA Hitungla Turunan Fungsi - ungsi berikut : a. 4 () c. () 5 - b. - 4 - () d. () 5 -
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI TEOREMA9. DALILRANTAI Jika dan serta y u maka y : (u) merupakan g() merupakan (g())merupakan ungsi ungsi dari dari ungsi d y' () ((g()) ' (g()).g'() d dy dy du atau. d du d u yang yang dari dapat yang dapat dapat diturunkan diturunkan diturunkan
CONTOH 6 6 U y maka 5 4 U SOLUSINYA: ) 5 (4 y : dari Turunan Tentukan 5 5 5 5 6 ) 5 )(4 (48-5.8 ) 5 6(4 d du. du dy d dy 5 8 d du ) 5 6(4 6U du dy U y maka 5 4 U
CONTOH Carila Turunan dari ungsi berikut ini : y ( )( 4 )
AKTIVITAS SISWA - u dan u y a. ini berikut soal pada d dy Tentukan. 5 () b. 5-7 () a. : berikut ungsi Turunan Tentukan. u dan 4u y b. -
RUMUS-RUMUS TURUNAN () maka k (). k.n () maka k. (). n- n U n.u () maka U (). () maka k (). n- n
RUMUS-RUMUS TURUNAN () U.V 4. () U.V maka 5. () U V maka () U V - V U.V U.V
Deinisi Turunan Fungsi (a ) (a) '(a) Limit,
CONTOH. Carila turunan ungsi () -, pada
JAWAB () -, pada adala '() '() Limit ( ) - () '() Limit {- ( )}-{- ()} '() Limit Limit Jadi turunan ungsi () -, pada adala '() -
CONTOH Turunan Fungsi () 4, pada a, mempunyai nilai, itungla nilai a
Jawab } {4 } ) 4 8 {4a Limit } {4 } ) {4(a Limit } ) {4( } ) ( ) {4( Limit ) - (a) (a Limit '(a) adala, pada 4 () Turunan ungsi a a a a a a a a a a a a a untuk nilai nilai mempunyai a pada 4 () turunan ungsi Jadi a 6 8a 8a - 8 8 4 Limit } 8 {4 Limit } 8 {4 Limit } ) 4 {8 Limit Limit a a a a a
SOAL LATIHAN. Carila turunan dari ungsi - ungsi berikut untuk nilai - nilai yang disebutkan a. () 5-, pada b. (), pada 4. Diketaui daera asal a. b. Carila Jika () D '(a) { / '(a) dengan a R 9, carila nilai R} 7,dengan a yang mungkin
Soal ke- Jika () = + 4 maka nilai () yang mungkin adala. A. C. 9 E. B. 6 D.
Pembaasan () = + 4 () = 6
Soal ke- Nilai turunan pertama dari: () = () + 8 + 4 adala A. 8 + 5 D. 6 + 4 + 8 B. 4 E. 6 + 4 8 C. + 4
Pembaasan () = + 8 + 4 () = 6 + 4 8
Soal ke- Turunan ke- dari () = (-)(4+) Adala A. 4 + 5 D. 5 B. 4 5 E. C. + 5
Pembaasan () = (-)(4+) () = + 8 () = 5 () = 4 5
Soal ke- 4 Nilai A. B. C. 4 () dari () 6 - adala... 5 5 5 - - D. E. 4 4 5 5 - -
Pembaasan 6 - () () 6. 6 - (-). -- () 4 5 - -
Soal ke- 5 Turunan ke - dari y 6 adala... A. C. E. B. D.
Pembaasan y 6 y 6 y y
Soal ke- 6 Jika () = ( ) maka nilai () adala A. + D. 4 + 6 B. 6 E. 4 4 + 6 C. 6 +
Pembaasan () = ( ) () = ( ) () () = 6( ) () = 6( )( ) () = 6(4 4+) () = 4 4 + 6
Soal ke- 7 Turunan pertama dari () = (5 ) adala A. D. 5 4 + B. E. 5 4 + C.
Pembaasan () = (5 ) () = (5 ) () () = (5 ) () =
Soal ke- 8 Turunan pertama A. ( -4) ( 8) B. ( -4) ( C. (4 - ) (4 ) - ) dari () D. E. 4 (4 - ) (4 (4 ) (4 adala... - ) ) -
Pembaasan ) (4 () 4 () ) )(4 (4 () ) (8 ) (4 () ) (4 ()
Soal ke- 9 Turunan pertama dari () = ( 6) ( + ) adala A. D. 9 B. 6 E. 9 + C. 6 +
Pembaasan () = ( 6) ( + ) Cara : Misal : U = 6 U = 6 6 V = + V =
Pembaasan Seingga: () = (6 6)(+)+( +6). () = 6 + 6 + 6 () = 9
Pembaasan () = ( 6) ( + ) Cara : () = - +6 6 () = 9 + () = 9
Soal ke- Turunan pertama dari A.6 B.6 C. 4-8 8-8 - ( ) () adala... 4 - D. 4 E. 6-8 - - - 8
Pembaasan () Misal: U V U V 4-4 - 4
Pembaasan Maka: U V - UV () V () (4 ) (4 ( ) )4
Pembaasan () 8 6 8 () 6 8
Soal ke- Diketaui Jika () 5 A. 4 B. () 4. Nilai C. D. - 4 6 yang mungkin adala E....
Pembaasan () = 4 + 6 () = 6 4 Jika () = 4
Pembaasan Maka: 4 6 4 4 6 8 6 6 8 8 6 4 4
Soal ke- Diketaui () = 5 ++7. Nilai (-) Adala. A. -9 D. -7 B. -7 E. 7 C. -7
Pembaasan () = 5 + 7 () = Maka untuk (-) adala (-) = (-)+ (-) = -+ (-) = -7
Soal ke- Diketaui Nilai '' A. - 6 B. - () - adala C. D.... 4 5 E. 6 6
Pembaasan () - 6 5-6 " () 6-5 " () - Maka untuk " adala...
Pembaasan " - " 6 - " - 6
Soal ke- 4 Turunan pertama dari A. () (8 -) ( () 5 -) 4 6 adala... B. () (8 - ) ( 5 ) C. () (8 -) ( - 4) D. () (8 -) ( - 4) E. () (8 -) ( - 4)
Pembaasan 6 6 4) (6 4) ( 6. () 4) ( () 5 5 6 4) )( (8 () 4) (6 4) ( () 4) (6 4) ( 6. ()
Soal ke- 5 Diketaui maka nilai A. B. () 6 untuk yang mungkin adala... C. D. 4 E. 5 ( )
Pembaasan () () 6 - untuk () maka: -
Pembaasan 4 6 6 4 7 4 4 7 4 7
Soal ke- 6 Turunan pertama dari: () 4 4 8 - adala... A. 4 C. 8 - E. 8 4 B. 8 D. 8-4
Pembaasan () 4 ( -) 8 () ( -) 8 4 () ( -)
Pembaasan () ( )() () 4( ) () 8 4
Soal ke- 7 Turunan untuk y adala... A. B. - - 5 pertama dari. Maka nilai C. D. E. y - yang mungkin 5 6
Pembaasan y y y (5 6) 6 (5-6) (5-6) 6 y (5-6) (5) y (5-6)
Pembaasan Untuk y, maka: 5-6 6 5 5 6 6 5 5
CONTOH 8 6 6 U y maka 5 4 U SOLUSINYA: ) 5 (4 y : dari Turunan Tentukan 5 5 5 5 6 ) 5 )(4 (48-5.8 ) 5 6(4 d du. du dy d dy 5 8 d du ) 5 6(4 6U du dy U y maka 5 4 U
CONTOH 9 Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan () SOLUSINYA : Misalkan U() V() Berdasarkan Teorema 8 didapat : '() (6).( 6 4-4 54 ( U'() 6 9 V'() U'().V() - U().V'() V() 9 9) 9) ( ( 9) 4 54 ( 9) )( ) (6)( 9 9) - ( ).( ( 9) )
CONTOH : 7 didapat teorema dalam ke Masukan 4 V'() dan 6 U'() V() dan U() Misalkan SOLUSINYA: ) )( ( () pertama turunan mencari 7 untuk Teorema Gunakan 4 4 9 8 8 6 6 8 ) )( (6 ) ).(4 ( U'().V() () U().V' () ' : 7 didapat teorema dalam ke Masukan 5 5 5 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI. () Sin ; '() cos. () Cos ; '() - sin. () Tan ; '() sec ( )
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
. TURUNAN Y=SIN X Sinβ Sinα - Rms) (Gunakan Sin ) Sin( Limit () ) - ( Limit () ' : BUKTI Cos Y'() maka Sin, Jika Y SINX F(X) ) Terbukti ( Cos ) LimitCos( ). LimitCos( Sin ).Limit LimitCos( )Sin Cos( Limit )Sin ( Cos Limit
. TURUNAN Y=COS X Cosβ Cosα - Rms) (Gunakan Cos ) Cos( Limit () ) - ( Limit () ' : BUKTI Sin - Y'() maka, Cos Jika Y COS X F(X) ) Terbukti ( Sin ) Sin( Limit). Sin( Limit Sin ).Limit Sin( Limit )Sin Sin( - Limit )Sin ( Sin - Limit
. TURUNAN Y=TAN X Cos U'() Sin U() dimana () U().V' - U'().V() Y'() dapat di ungsi) dua bagi Hasil Rms. (Gunakan V() U() Cos Sin Tan Y : BUKTI SEC X Y'(X) TANX Y Jika ) Terbukti ( Sec Cos Cos Sin Cos Cos Sin(-sin) Cos.Cos - Y'() maka -Sin V'() Cos V() dan Cos U'() Sin U() dimana V() () U().V' - U'().V() Y'()
CONTOH Tentukan Turunan dari ungsi-ungsi berikut:. () = 4sin cos. () = sincos
SOLUSINYA. () = 4sin cos () = 4. dsin-.dcos =4cos+sin. () = sincos = sin () = d.dsin =cos
Buktikan Turunan dari. y= cosec. Y=sec. Y=cot
AKTIVITAS SISWA sin - y. a tan y c. sin - y g. b) cos(a y b. 4cos sin y. b) sin (a y a. : berikut ungsi - Fungsi Turunan Tentukan 4-4cos y j. 4cos sin y e. sin cos y i. b) (a tan y d.