KALKULUS VARIASI JURUSAN PENDIDIKAN ISIKA PMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Smak Petanaan! Bang A B Bentuk kuva apakah ang menunjukkan jaak tepenek ang menghubung-kan ttk A an ttk B alam bang ata sampng?
Smak Jawaban! Bang A C B Tentu muah jawabna, atu kuva C ang bebentuk gas luus ang menghubungkan langsung A an B.
Pesoalan kuva ang menana jaak tepenek ang menghubungkan ua ttk alam bang ang kenal sebaga Geoesc tecakup alam pesoalan nla maksmum atau mnmum suatu fungs, atau lebh umum sebut sebaga pesoalan nla Stasone. Menuut kalkulus asa, saat pelu suatu fungs f() benla stasone aalah : f
Dalam ska, pesoalan nla stasone (maksmum/mnmum) suatu fungs banak jumpa, an analss sfat stasone suatu kuanttas fska banak menghaslkan hukum an pnsp. Contoh Sna atang a ttk A menuju cemn ata an pantulkan ke ttk B. Da sekan banak lntasan ang apat lalu sna, hana satu lntasan ang sesungguhna akan lalu sna. A Lntasan manakah tu??? B Cemn ata
Pnsp emat : Sna atang a ttk A menuju cemn an pantulkan ke ttk B akan menempuh satu lntasan tetentu ang jaakna tepenek atau waktu tempuhna tesngkat Da pnsp n lahlah hukum Snelus tentang pemantulan cahaa Suut Datang Suut Pantul
Bukt N A B a l l θ θ - b Cemn ata l l l l a b ( ) Menuut emat l haus tepenek
Bukt Menuut kakulus saat pelu suatu kuanttas mnmum aalah tuunan petama benla nol (), alam hal n : l l a b ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) / / a b ( )( ) a a ( ) ( ) b b ( ) ( ) Sn θ Sn θ θ θ Hukum Snellus
Dalam Kalkulus Vaas, kuanttas atau fungs ang buat stasone natakan alam notas ntegal (I) sebaga bekut : I (,, ) ; Paa pesoalan awal atu kuva ang menana jaak tepenek ang menghubungkan ua ttk alam bang I S S I S I S I S ; (,, ) S ;
Penanganan pesoalan n lakukan engan Pnsp Vaas sehngga teknk n sebut Kalkulus Vaas : Dalam pesoalan n ngn ketahu kuva f() ang menana jaak tepenek atau kuanttas bekut benla palng kecl : I S ; Dengan pnsp Vaas, kuva () vaaskan nlana atas maupun bawah nla sesungguhna. Vaas n wakl oleh suatu fungs sembaang η() sepet paa gamba bekut.
Y Y() (, ) (, ) () Y() () εη() η ε aalah suatu paamete η() η() aalah suatu fungs sembaang ang bekelakuan bak antaa an. nlana nol an
Dengan vaas n, maka sekaang kta mengngnkan kuanttas bekut benla mnmum I Y Dan I sekaang menja fungs paamete ε; jka ε maka Y (). Pesoalan sekaang aalah membuat I(ε) memlk nla mnmum ketka ε. Dengan kata lan : I ; ε ε Jka kta lakukan feensas I tehaap ε, apat : I ε Y Y Y ε
Dan jka kta lakukan feensas pesamaan Y() tehaap, apat : Y ( ) ( ) εη ( ) apat ε η Y ( ) Jka hasl teakh n substtus ke ps I/ε an mengambl I/ε ketka ε, maka apat : I ε ε ( ) η ( )
( ) ( ) I η ε ε ( ) v u η, Kta apat mengntegas secaa b pat (pasal) tehaap ntegal n, sebaga bekut : ( ) v u η, an ( ) ( ) I η η ε ε
apat ( ) ( ) I η η ε ε C sehngga atau
C ( ) C C C ( ) C C C ( C ) K K K K K K B Meupakan pesamaan gas luus lne sepet ang amalkan awal
Kembal ke kuanttas Tap sehngga I Y (,, ), ( ) ( ) εη( ) ( ) (, Y, Y ) I ε I ε Jka I tuunkan tehaap ε, apat atau I ε Y η Y ε Y Y Y Y ε ( ) η ( ) Pesamaan Eule
( ) ( ) I η η ε ε ( ) ( ) ( ) η η η Untuk ε maka I/ε Jka kta lakukan poses ntegas untuk suku keua apat : ( ) I η ε ε Pesamaan Eule Maka : atau
I ( ),,, Dalam pesoalan kuva ang menana jaak mnmum ang menghubungkan ua buah ttk alam bang, akn : maka an, Sama sepet sebelumna an Sehngga pesamaan Eulena :
Lathan Soal.. s 3. e
Penggunaan Pesamaan Eule a. Vaabel lan Vabel an θ (, θ, θ ) ; θ θ θ θ Vabel s an p ( s, p, p ) s; p p s p p s
Vaabel t an ( t,, ) & t ; & t t & st...
Contoh Soal Tentukan lntasan ang akan lalu sna cahaa jka neks bas (alam koonat pola) sebanng engan -! n s s θ θ θ (, θ ) Pesamaan Eule : θ θ
θ Kaena bukan fungs θ ( ) ( ) / θ θ θ θ θ θ θ Kaena bukan fungs θ θ θ C θ θ
θ θ C ( ) θ θ θ C C C ( ) C C θ ( ) C C θ C θ θ ( ) C C C θ
θ C C θ C C θ C C θ CAc SnC B
b. Integal Petama a Pesamaan Eule Pesamaan Eule untuk (,, ) aalah Jka bukan fungs, akn (, ), maka : Sehngga pesamaan Eulena menja : atau C Keaaan n sebut ntegal petama a pesamaan Eule
Integal Petama a Pesamaan Eule Jka suatu pesoalan apat aahkan ke bentuk ntegal petama pesamaan Eule, maka pengejaanna akan lebh muah an lebh seehana. Caa ang apat tempuh aga suatu pesoalan mengaah ke ntegal petama pesamaan Eule aalah melakukan petukaan vaabel, atu petukaan vaabel bebas engan vaabel tekat sepet bekut : an
I ( ),, Tentukan an selesakan pesamaan Eule aga kuanttas bekut stasone! Da soal apat tentukan sebaga bekut : ( ),, ( ) ( ) / 3/ / sehngga
Dengan emkan pesamaan Eulena menja : atau 3/ Tampak tak seehana bukan?? Dan menca solusna tak cukup muah
I Sehngga na sekaang beubah menja : Coba sekaang lakukan petukaan vaabel bebas engan tekat sbb: Sekaang kuanttas ang buat stasone menja : Sehngga na sekaang beubah menja : ( ), Dengan emkan pesamaan Eulena menja :
Dan Sehngga pesamaan Eulena menja : C Tampak lebh muah selesakan a sebelum lakukan petukaan vaabel
Bebeapa vaabel tekat; Pesamaan Lagange Dalam pesoalan nla stasone n sesungguhna tak pelu tebatas paa sesuah vaabel tekat, melankan bsa te atas bebeapa vaabel tekat. Ingat kembal paa kalkulus asa, bahwa jka f(), maka saat pelu aga f() benla stasone aalah : Dan jka suatu z f(,) maka untuk kons n, saat stasone aalah : z an z
Bebeapa vaabel tekat; Pesamaan Lagange Analog engan tu teja pula alam kalkulus vaas. Msalkan kta bekan sebuah ang meupakan fungs a : z, z,,,, an kta ngn menca ua kuva () an z z() ang membuat : I (,, z,, z ); z z benla stasone. Maka nla ntegal I begantung paa () an z(). Untuk kasus n teapat ua pesamaan Eule, satu untuk an satu lag untuk z, sepet bekut an z z
Pnsp Hamltonan alam Mekanka Dalam ska Dasa, hukum II Newton meupakan pesamaan funamental alam membahas geak bena. ma Dalam mekanka lanjut, pesoalan geak bena analss a suut panang ang bebea, ang sebut pnsp Hamltonan Pnsp n menatakan bahwa suatu patkel atau sstem patkel selalu begeak paa suatu lntasan seemkan upa sehngga : t benla stasone, engan : I t L t L T V L sebut Lagangan, T eneg knetk patkel, V eneg potensal patkel
Pesamaan Lagange Untuk pesoalan n teapat pesamaan Eule, ang lebh kenal sebaga pesamaan Eule-Lagange atau pesamaan Lagange, ang jumlahna begantung paa jumlah vaabel tekat. Untuk 3 Dmens maka pesamaan Lagange-na alam sstem katesan aalah : L L z L z L t L L t t & & &
Contoh Soal Sebuah bena jatuhkan secaa bebas a ketnggan tetentu ekat pemukaan bum. Tentukan pesamaan geak bena ang jatuh bebas tesebut! m Dengan Hukum II Newton ma W g h Resultan gaa ang bekeja paa bena aalah gaa beat : sehngga : W mg a mg ma g
Contoh Soal v W g h m Kecepatan bena sbg fungs waktu v g t v gt poss bena sbg fungs waktu v t ( gt ) t gt
Contoh Soal Sebuah bena jatuhkan secaa bebas a ketnggan tetentu ekat pemukaan bum. Tentukan pesamaan geak bena ang jatuh bebas tesebut! m Dengan pnsp Hamltonan L T V Dengan : h T & m V mg W g sehngga : L m & mg
Pesamaan Lagange t L & L L & t m& L mg ( m& ) ( mg) ( m &&) ( mg) a g Sama sepet sebelumna
Pnsp Vaas Van Baak alam Rangkaan DC Dalam ska Dasa, teoema smpal Kchoff meupakan teoema funamental alam membahas angkaan lstk aus seaah (DC). ε R Da suut panang lan, pesoalan angkaan aus lstk DC apat selesakan menggunakan pnsp Vaas Van Baak Pnsp n menatakan bahwa aus lstk akan mengal ke suatu pecabangan angkaan seemkan upa sehngga : S P P g benla stasone, engan : P n k k R k n P g ε k k k
Saat pelu : S k k jumlah cabang alam angkaan
Contoh soal Gunakan pnsp vaas untuk menelesakan pesoalan angkaan lstk bekut n. Tentukan kuat aus lstk ang mengal paa setap cabang angkaan bawah n! R Ω 3 ε V R3 3 Ω ε 3 3V ε V R Ω
Jawab Pnsp Vaas Van Baak : S P Pg ) 6( 4 ) 3( 6 4 3 3 3 3 3 3 3 3 S S Pg R P k k k k ε ), ( ) 6( 4 ) 3( S S S 6 ) 6( 6 4 ) 6( 4 S S
Jawab 8 8 6 6 4 4 3 5 3 5 A 5 5 5 5 9 5 3 5 5 A 8 4 5 5 55 5 5 3 5 5 A 3 8 5 3 3 3
SEKIAN TERIMA KASIH