SolusiPersamaanNirlanjar

Transkripsi

1 SolusiPesamaanNilanja (Bagian2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Infomatika I Oleh; Rinaldi Muni(IF-STEI ITB) Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 1

2 MetodeSecant Posedu lelaan metode Newton-Raphson memelukan pehitungantuunanfungsi, f'(). Saangna, tidaksemuafungsimudahdicaituunanna, teutamafungsiang bentuknaumit. Tuunan fungsi dapat dihilangkan dengan caa menggantinadenganbentuklain ang ekivalen. Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan metode secant Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 2

3 = g() f '( ) = = AC BC = f ( ) f ( ) Sulihkan ke dalam umus Newton-Raphson: + 1 = f f ( )( ) 1 ( ) f ( ) = f f ' ( ) ( ) Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 3

4 Metode Secant memelukan dua buah tebakan awal aka, aitu 0 dan 1. Kondisi behenti lelaan adalah bila +1 - < ε (galatmutlak) atau < δ +1 Sepintas metode secant miip dengan metode egula-falsi, namun sesungguhna pinsip dasa keduana bebeda, sepeti ang diangkum pada tabel di bawah ini: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 4

5 Metode Regula Falsi 1. Dipelukan dua buah nilai awal a dan b (ujung-ujung selang) sedemikian sehingga f(a) f(b) < 0. Metode Secant 1. Dipelukan dua buah nilai awal 0 dan 1 (tebakan awal aka), tetapi tidak haus f( 0 ) f( 1 ) < Lelaan petama: 2. Lelaan petama: = f() = f() a b -1 c +1 Pada lelaan petama, tidak ada pebedaan antaa egula-falsi dan secant. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Pada lelaan petama tidak ada pebedaan antaa secant dan egula falsi. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 5

6 Lelaan kedua: Lelaan kedua: = f() = f() a b +1-1 Pepotongan gais luus dengan sumbu tetap beada di dalam selang ang mengandung aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaanna selalu konvegen Pepotongan gais luus dengan sumbu- mungkin menjauhi aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaanna mungkin divegen. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 6

7 pocedue Secant(0, 1:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode secant K.Awal : 0 dan 1 adalah tebakan awal aka, tedefenisi nilaina K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laa } const epsilon = ; { toleansi galat aka hampian } va _sebelumna: eal; function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } begin epeat _sebelumna:=1; :=-(f(1)*(1-0)/(f(1)-f(0))); 0:=1; 1:=; until (ABS(-_sebelumna) < epsilon); { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); end; Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 7

8 Hitunglah aka f() = e dengan metode secant. Gunakan ε = Tebakan awal aka 0 = 0.5 dan 1 = 1. Penelesaian: Tabel lelaanna: i Aka = Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 8

9 SistemPesamaanNilanja Dalam dunia nata, umumna pesamaan matematika dapat lebihdaisatu, sehinggamembentuksebuahsistemang disebutsistempesamaannilanja. Bentuk umum sistem pesamaan nilanja dapat ditulis sebagai f 1 ( 1, 2,..., n ) = 0 f 2 ( 1, 2,..., n ) = 0... f n ( 1, 2,..., n ) = 0 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 9

10 Solusisisteminiadalahhimpunannilaisimultan, 1, 2,..., n, ang memenuhiseluuhpesamaan. Sistem pesamaan dapat diselesaikan secaa belela dengan metode lelaan titik-tetap atau dengan metode Newton-Raphson. Masing-masing dijelaskan pada slide beikut ini Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 10

11 1) MetodeLelaanTitik-Tetap Posedu lelaanna titik-tetap untuk sistem dengan dua pesamaan nilanja: +1 = g 1 (, ) +1 = g 2 (, ) = 0, 1, 2,... Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metode lelaanjacobi. Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < εdan +1 - < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 11

12 Kecepatan konvegensi lelaan titik-tetap ini dapat ditingkatkan. Nilai +1 ang baudihitunglangsung dipakaiuntukmenghitung +1. Jadi, +1 = g 1 (, ) +1 = g 2 ( +1, ) = 0, 1, 2,... Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metodelelaanseidel. Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < εdan +1 - < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 12

13 Untuk fungsi dengan tiga pesamaan nilanja, lelaan Seidel-na adalah +1 = g 1 (,, z ) +1 = g 2 ( +1,, z ) z +1 = g 3 ( +1, +1, z ) = 0, 1, 2,... Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < ε dan +1 - < ε dan z +1 -z < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 13

14 Contoh: Selesaikan sistem pesamaan nilanja beikut ini, f 1 (, ) = = 0 f 2 (, ) = = 0 (Akasejatinaadalah = 2 dan = 3) Penelesaian: Posedu lelaan titik-tetapna adalah = +1 = Gunakantebakanawal 0 = 1.5 dan 0 = 3.5 dan ε= Tabel lelaanna: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 14

15 Tenata lelaanna divegen! Sekaang kita ubah pesamaan posedu lelaanna menjadi = 10 = Tebakanawal 0 = 1.5 dan 0 = 3.5 dan ε= Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 15

16 Hasilna, Aka = ; = Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 16

17 2) MetodeNewton-Raphson Tinjaufungsidenganduapeubah, u = f(, ). Deet Talo ode petama dapat dituliskan untuk masingmasing pesamaan sebagai u +1 = u + ( +1 - ) u + ( +1 - ) dan v +1 = v + ( +1 - ) + ( +1 - ) v u v Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 17

18 Kaenapesoalanmencaiaka, maka u +1 = 0 dan v +1 = 0, untukmembeikan u u = -u + u + u v v = -v + v + v Dengan sedikit manipulasi aljaba, kedua pesamaan teakhiinidapatdipecahkanmenjadi: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 18

19 v u v u u v v u + = +1 u v v u Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 19 v u v u v u + = +1 Penebut dai masing-masing pesamaan ini diacu sebagai deteminan Jacobi dai sistem tesebut

20 Contoh: Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencai aka f 1 (, ) = u= = 0 f 2 (, ) = v= = 0 dengantebakanawal 0 =1.5 dan 0 =3.5 Penelesaian: u u o = 2+ = 2(1.5) = 6.5 u o v o = = 1.5 = 3 2 = 3(3.5) 2 = v o = 1+ 6= 1 + 6(1.5) = 32.5 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 20

21 Deteminan Jacobi untuk lelaan petama adalah 6.5(32.5) - 1.5(36.75) = Nilai-nilai fungsi dapat dihitung dai tebakan awal sebagai u 0 = (1.5) (3.5) -10 = -2.5 v 0 = (3.5) 2 + 3(1.5)(3.5) 2-57 = Nilaidanpadalelaanpetamaadalah dan ( 2.5 )( 32.5 ) ( 1.5 ) = 1.5 = ( 2.5)( 36.75) 1.625( 6.5) = = Apabila lelaanna diteuskan, ia konvegen ke aka sejati = 2 dan = 3. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 21

22 ContohPeneapan Dalam suatu poses Teknik Kimia, campuan kabon monoksida dan oksigenmencapaikesetimbanganpadasuhu300 K dantekanan5 atm. Reaksi teoitisna adalah CO + 1/2 O 2 CO 2 Reaksi kimia ang sebenana tejadi dapat ditulis sebagai CO + O 2 CO 2 + O 2 + (1 -) CO 2 Pesamaankesetimbangankimiauntukmenentukanfaksimol CO ang tesisa, aitu, ditulis sebagai ( 1 )( 3+ ) ( + 1) 1 p K p =, 0 < < ang dalamhalini, K p = 3.06 adalahtetapankesetimbanganuntuk eaksico + 1/2 O 2 pada3000 K danp = 5 atm. Tentukannilaidengan metode egula falsi ang dipebaiki. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 22

23 Penelesaian: Pesoalan ini memang lebih tepat diselesaikan dengan metode tetutup kaena adalah faksi mol ang nilaina teletak antaa0 dan1. Fungsi ang akan dicai akana dapat ditulis sebagai 1 2 ( 1 )( 3 + ) f() = - K p, 0 < < ( + 1) 1 p dengank p = 3.06 danp =5 atm. Selang ang mengandung aka adalah[0.1, 0.9]. Nilai fungsi di ujungujung selang adalah f(0.1) = dan f(0.9) = ang memenuhi f(0.1) f(0.9) < 0. Tabel lelaanna adalah: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 23

24 a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebana [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [a, c] Hampian aka = Jadi, setelah eaksi belangsung, faksi mol CO ang tesisa adalah Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 24