TRANSFER MOMENTUM ALIRAN DALAM ANULUS

Transkripsi

1 SEMESTER GENAP 008/009 TRANSFER MOMENTUM ALIRAN DALAM ANULUS Alian dalam anulus adalah alian di antaa dua pipa yang segais pusat. Jadi ada pipa besa dan ada pipa kecil. Pipa kecil beada dalam pipa besa. Ruang yang tebentuk oleh dua pipa ini disebut anulus. Pipa besa Pipa kecil Ruang anulus adalah jai-jai pipa lua bagian dalam. adalah jai-jai pipa dalam bagian lua. Fluida mengali di antaa dan. Untuk kepeluan analisis alian, kita tetapkan telebih dahulu jai-jai pipa, yaitu adalah jai-jai pipa lua bagian dalam. adalah jai-jai pipa dalam bagian lua. Sketsa alian fluidanya adalah sepeti pada gamba beikut. Di sini fluida begeak ke aah kanan (aah x positif). ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 44

2 SEMESTER GENAP 008/009 x p 1 Fluida: ρ, μ p p 1 Fluida: ρ, μ p X = 0 L X = L Untuk memudahkan analisis, sistem pada gamba di atas ini masih haus dijelaskan lebih lanjut dalam bentuk volume atu (Contol Volume) aga kita bisa membuat neaca momentumnya. Gambaannya sepeti beikut. Pipa lua Volume atu bebentuk gelang dengan ketebalan d dan bejai-jai. Tekanan pada sisi yg menghadap pembaca sebesa p 1 dan sebesa p pada sisi penampang yang menembus halaman ini. Pipa dalam Fluida mengali dai aah pembaca menuju ke aah belakang halaman ini. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 45

3 SEMESTER GENAP 008/009 Analisis Tehadap Volume Atu Neaca Gaya: 1. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesa F 1 = p 1 A; A = π Jadi F 1 = p 1 [π ]. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesa F = -p A; Jadi F = -p [π ] 3. Ada gaya (viskous) masuk ke elemen volume melalui pemukaan dalam pada posisi, yaitu: [πl. τ ] 4. Ada Gaya (viskous) kelua dai elemen volume melalui pemukaan lua pada posisi +, yaitu: [π L. τ ] 5. Ada gaya (inesia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesa: [π v x. ρv x ] 6. Ada momentum (gaya inesia) kelua pada penampang, (pada x = L), sebesa: [π v x. ρv x ] ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 46

4 SEMESTER GENAP 008/009 Sekaang kita jumlahkan semua gaya: p 1 [π ] - p [π ] + [πl. τ ] - [πl. τ ] + [π v x. ρv x ] - [π v x. ρv x ] = 0 (keadaan stedi) Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan kaena v x -nya sama (A sama). Sehingga kita peoleh: p 1 [π ] - p [π ] +[πl. τ x ] [πl. τ x ] + = 0 Atau: [πl. τ x ] [πl. τ x ] =[π ] (p 1 -p ) Kita bagi dengan π L Kita peoleh: π L τ x + τ x π L τ x + τ x = [π ](p1 p) π L = (p1 p) L Kalau nilai diambil limitnya mendekati nol, maka suku sebelah kii meupakan tuunan petama tehadap τ x, yaitu: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 47

5 SEMESTER GENAP 008/009 d d ( τ ) = p L dan p = (p p ). Atau: d(τ ) = p L d Untuk mempeoleh distibusi fluks momentum, pesamaan ini kita ingtegalkan: d(τ ) = p L d Kita peoleh: τ = p L 1 + C atau τ = p L + C Beapakah nilai C1?? Sayang sekali, tidak ada infomasi sedikitpun tentang nilai fluksi momentum baik pada = maupun pada =. Namun masih bisa dimanipulasikan, bahwa pada posisi tetentu tedapat kecepatan alian yang maksimum, misalnya saja posisi yang dimaksud adalah pada jaak = ξ. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 48

6 SEMESTER GENAP 008/009 = ξ Pada jaak = ξ, fluksi momentumnya adalah nol. Sehingga, pesamaan τ = p L + C dengan memasukkan = ξ, menjadi: 0 = p L ξ + C Atau C1-nya adalah: Dengan demikian: ξ C = p L (ξ ) τ = p L + p L (ξ ) τ = p ξ L Ingat bahwa ξ masih belum diketahui. Tujuan menggantikan konstanta integasi C1 dengan ξ semata-mata kaena ξ memiliki ati fisis yang cukup bemakna. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 49

7 SEMESTER GENAP 008/009 Teapkan hukum Newton tentang viskositas: τ = μ dv x d maka: Atau: Integasikan: Dipeoleh: Atau: dv d = p μl dv = p μl dv = p μl V = p 4μL V = pr 4μL ξ ξ ξ d d ξ ln + C ξ ln + C V = pr ξ ln + C 3 (*) 4L Untuk menentukan ξ dan C3, kita pegunakan syaat batas, yaitu: Pada =, V x = 0 =, V x = 0 ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 50

8 SEMESTER GENAP 008/009 Masukkan ke pes (*) dan kita peoleh dua pesamaan seentak (simultan), yaitu: 0 = μ 0 = μ Atau: ξ ln + C R ξ ln + C 0 = 0 = ξ ln ξ ln Dikuangi dan didapat: + C + C 0 = 1 ξ ln 1 = ξ ln ξ = 1 ln Dan dengan memasukkan nilai ξ tesebut ke salah satu pesamaan batas tsb, kita dapatkan untuk C3: 0 = ξ ln + C ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 51

9 SEMESTER GENAP 008/009 0 = R ln + C 0 = C Sehingga Kemudian masukkan ξ = kepesamaan fluksi momentum ini : C = 1 τ = p L 1 ln ξ τ = p L Untuk pofil kecepatan, masukkan nilai dan 1 R ln ξ = 1 ln C = 1 ke dalam pesamaan ini: V = pr Dipeoleh: 4L ξ ln + C 3 ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 5

10 SEMESTER GENAP 008/009 V = pr 4μL Dengan batasan: RIO R 1 ln ln 1 Gamba beikut adalah plotv vs untuk nilai-nilai: μ = 100 satuan ; dan = 10 satuan. = 0,4 ; atau = 4 satuan Kecepatan, Vx Jaak dai pusat pipa, Kecepatan maksimum tejadi pada = ξ ; yaitu: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 53

11 SEMESTER GENAP 008/009 = ξr = R R 1 ln R. R = ξr = 0, = 0, = 6,77 satuan ln0,4 1,833 yang kecepatan maksimumnya adalah: 18,436 satuan. Untuk menentukan kecepatan maksimum sebenanya juga bisa dipeoleh dengan menuunkan satu kali V tehadap dai pesamaan: hingga yaitu pada : Dengan V = pr 4μL dv d = 0 = ξr 1 ln ξ = R R 1 ln R R ln 1 Tenyata kecepatan maksimum tidak beada di tengahtengah anulus. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 54

12 SEMESTER GENAP 008/009 Sekaang pehatikan sekali lagi pesamaan pofil kecepatan yang sudah kita peoleh: atau V = pr 4μL 1 ln ln 1 atau atau V = pr 1 4μL V = pr 1 4μL ln (ट) 1 ln(ट) ln ln dengan V = pr 1 4μL + 1 ट ln 1 ट ln ट = Maka jika ट mendeka nol, pesamaan pofil kecepatannya menjadi: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 55

13 SEMESTER GENAP 008/009 V = pr 1 4μL yang sama saja dengan pofil kecepatan dalam suatu pipa bejai-jai R sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yaitu: v = pr 4μL 1 R ===================== Hingga tahap ini, untuk alian dalam anulus kita sudah mempeoleh: Pofil Shea Stess: τ = p L Pofil Kecepatan: V = pr 1 4μL ट 1 lnट + 1 (ट) ln 1 ln ट Kecepatan Maksimum tejadi pada = ξr dengan ξ = (ट) 1 ln(ट) dan ट = ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 56