PERAMALAN DATA TIME SERIES DENGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL HOLT - WINTER Adi Suwadi 1, Aisa 2, Adi Kresa Jaya 3 JurusaMatematika FMIPA UiversitasHasauddi Makassar 90245 ABSTRAK Dalam time series dega pola data memuat tred, metode yag serig diguaka sebagai ramala utuk periode medatag adalah peghalusa ekspoesial gada. Namu metode ii tidak cocok utuk meramalka data yag megadug musima. Metode peghalusa ekspoesial Holt-Witers dapat diguaka utuk data time series yag megadug tred da musima. Metode ii mempuyai dua metode yaki metode perkalia musima (Multiplicative Seasoal Method) da metode peambaha musima (Additive Seasoal Method). Model multiplicative diguaka apabila terdapat kecederuga atau tada bahwa pola musima bergatug pada ukura data. Dega kata lai, pola musima membesar seirig meigkatya ukura data. Sedagka model additive diguaka jika kecederuga tersebut tidak terjadi. Pada tulisa ii aka diterapka metode peghalusa ekspoesial Holt-Witers utuk meramalka jumlah peumpag badara hasauddi bula jauari 2006 sampai bula desember 2013. Dari hasil yag diperoleh, metode Holt- Witer dega model additive memiliki ukura kesalaha yag lebih kecil dibadigka model multiplicative. Kata kuci : tred, musima, peghalusa ekspoesial, Holt-Witer Abstract I time series data patters icludes tred, the method is ofte used as a forecast for the comig period is double expoetial smoothig. But this method is ot suitable for forecastig seasoal data it cotais. The method of expoetial smoothig Holt-Witers ca be used for time series data cotaiig tred ad seasoal. This method has two methods amely seasoal multiplicatio method (Multiplicative Seasoal Method) ad the seasoal additio method (Additive Seasoal Method). Multiplicative model is used whe there is a tred or a sig that the seasoal patter depeds o the size of the data. I other words, the seasoal patter is elarged with icreasig data size. While the model of additive used if the tred does ot occur. I this paper the method will be applied to the Holt-Witers expoetial smoothig to forecast the umber of passegers Hasauddi airport i uary 2006 util December of 2013. From the results obtaied, Holt-Witer method with additive models have size error smaller tha multiplicative models. Keywords: tred, seasoality, expoetial smoothig, Holt-Witer
1. Pedahulua Peramala (forecastig) merupaka pedugaa masa depa yag dilakuka berdasarka ilai masa lalu dari satu variabel. Peramala serig diterapka dalam bidag pariwisata, ivestasi (saham), klimatologi, produksi pertaia, dsb. Peramala merupaka bagia petig bagi setiap orgaisasi bisis utuk pegambila keputusa maajeme yag sagat sigifika. Ada bayak jeis-jeis peramala, misalya Metode Peghalusa Ekspoesial (expoetial smoothig) da Metode Box Jekis. Cotoh pegguaa peramala yag telah dilakuka di Idoesia yaitu megguaka Autoregressive Itegrated Movig Average (ARIMA). Selai itu, ada juga metode peramala lai yag serig diguaka yaitu metode peghalusa ekspoesial. Hal ii disebabka keuggula metode ii dibadigka metode metode laiya. Pertama, metode peghalusa ekspoesial bersifat sederhaa, ituitif da mudah dipahami. Artiya, walaupu sederhaa amu sagat bergua bagi peramala pedek (shortterm forecastig) dari data time series yag pajag [4]. Kedua, model peghalusa ekspoesial memiliki tigkat kompleksitas yag redah dari ARIMA da membuatya sagat populer. Ketiga, [6] meemuka perbedaa yag cukup kecil secara akurasi dalam peramala atara tekik pemulusa ekspoesial dega model ARIMA. Secara umum, model pemulusa ekspoesial direkomedasika sebagai sebuah tekik yag tidak kompleks da ekoomis (iexpesive techique) dega hasil ramala yag cukup baik dalam variasi aplikasi yag luas [4]. Metode ii terdiri dari beberapa macam, diataraya peghalusa ekspoesial tuggal da peghalusa ekspoesial gada. Metode peghalusa ekspoesial tuggal diguaka jika data time series tidak megadug usur tred da musima sedagka metode peghalusa ekspoesial gada diguaka jika data time series megadug usur tred da tidak megadug usur musima [5]. Permasalaha yag mucul kemudia adalah bagaimaa jika suatu data tidak haya megadug faktor musima melaika megadug usur tred da faktor musima. Karea peghalusa ekspoesial gada haya dapat diguaka pada data yag megadug usur tred, maka diperkealkalah metode peghalusa ekspoesial Holt-Witer yag diguaka utuk peramala jika data memiliki usur tred da musima [8]. 2. Tijaua Pustaka 2.1. Peramala (Forecastig) Peramala adalah perkiraa atau peggambara dari ilai atau kodisi di masa depa. Asumsi yag umum dipakai dalam peramala adalah pola masa lampau aka berlajut ke masa depa [1]. Hampir seluruh peramala didasarka pada asumsi bahwa masa lampau aka berulag. Peramala (forecastig) merupaka prediksi ilai-ilai sebuah peubah kepada ilai yag diketahui dari peubah tersebut atau peubah yag berhubuga. Meramal juga dapat didasarka pada keahlia peilaia, yag pada giliraya didasarka pada data historis da pegalama [5]. 2.2. Metode Peramala Metode Peramala adalah cara memperkiraka secara kuatitatif apa yag aka terjadi pada masa yag aka datag, berdasarka data yag releva pada masa lalu. Metode ii sagat bergua dalam megadaka pedekata aalisis terhadap perilaku atau pola dari data yag lalu, sehigga dapat memberika cara pemikira, pegerjaa da pemecaha yag sistematis da pragmatis serta memberika tigkat keyakia yag lebih. Cotoh metode dalam peramala yaitu metode Box Jekis da peghalusa ekspoesial [5]. Peghalusa Ekspoesial
Peghalusa ekspoesial merupaka suatu model peramala rata-rata bergerak yag melakuka pembobota terhadap data masa lalu dega cara ekspoesial sehigga data palig akhir mempuyai bobot atau timbaga lebih besar dalam rata-rata bergerak. Metode peghalusa ekspoesial telah diguaka selama beberapa tahu sebagai suatu metode yag sagat bergua pada begitu bayak situasi peramala. 1. Peghalusa Ekspoesial Tuggal Peghalusa ekspoesial tuggal dikeal juga sebagai peghalusa ekspoesial sederhaa yag diguaka pada peramala jagka pedek, biasaya haya 1 bula ke depa. Model megasumsika bahwa data berfluktuasi di sekitar ilai mea yag tetap, tapa tred atau pola pertumbuha kosiste [5]. Rumus utuk peghalusa ekspoesial sederhaa adalah sebagai berikut : dega S t α X t S t = αx t + 1 α S t 1, (1) : ilai peghalusa peramala utuk periode t : parameter peghalusa : ilai aktual pada periode t 2. Peghalusa Ekspoesial Gada Model peghalusa ekspoesial dari Holt s atau peghalusa ekspoesial gada memuluska ilai tred dega parameter yag berbeda dari parameter yag diguaka pada series yag asli. Peramala dega peghalusa ekspoesial model dari Holt s didapat dega megguaka dua parameter peghalusa α da γ dega ilai atara 0 da 1. Hal ii membatu utuk meghilagka da meempatka perkiraa dari Holt s ke awal perkiraa ilai data, dega membuat tred data baru, yag meujukka perbedaa atara dua ilai peghalusa terakhir. Adapu tiga persamaa yag diguaka dalam model Holt s, yaitu : Pertama, peghalusa data keseluruha, yaitu dega persamaa: dimaa : L t = αx t + 1 α L t 1 + T t 1 (2) L t α X t L t 1 T t 1 : perkiraa Holt s : parameter peghalusa : ilai dari aktual dari series pada periode t : perkiraa Holt s sebelumya : perkiraa tred sebelumya Kedua, peghalusa perkiraa tred, yaitu dega persamaa: dimaa : T t = β L t L t 1 + 1 β T t 1 (3) T t β : perkiraa tred : parameter peghalusa utuk estimasi tred Ketiga, perkiraa periode p kedepa, yaitu dega persamaa: X t+p = L t + pt t (4) Peghalusa Ekspoesial Holt-Witers
Metode peramala Holt-Witers merupaka gabuga dari dari metode Holt da metode Witers, diguaka utuk peramala jika data memiliki kompoe tred da musima. Metode Holt-Witers didasarka pada tiga persamaa peghalusa, yaki persamaa peghalusa keseluruha, peghalusa tred, da persamaa peghalusa musima. Metode ii terbagi mejadi dua bagia yaki : a. Peghalusa ekspoesial Holt-Witers dega metode muliplicative : Peghalusa keseluruha S t = α X t I t L + 1 α S t 1 + b t 1 Peghalusa tred (5) b t = β S t S t 1 + 1 β b t 1 (6) Peghalusa musima (seasoal) Ramala I t = γ X t S t + 1 γ I t L (7) F t+m = S t + b t m I t L+m (8) b. Peghalusa ekspoesial Holt-Witers dega metode additive : Peghalusa keseluruha S t = α X t I t L + 1 α S t 1 + b t 1 (9) Peghalusa tred b t = β S t S t 1 + 1 β b t 1 (10) Peghalusa musima (seasoal) I t = γ X t S t + 1 γ I t L (11) Ramala F t+m = S t + b t m + I t L+m (12) X t dimaa : : ilai aktual pada periode akhir t α : parameter peghalusa utuk data (0 < α < 1) γ : parameter peghalusa utuk musima (0 < γ < 1) β : parameter peghalusa utuk tred (0 < β < 1) I : faktor peyesuaia musima L : pajag musim F t+m : ramala utuk m periode ke depa dari t. 2.3. Nilai Awal
Meurut [7] rumus metode peghalusa ekspoesial dari Holt-Witers dapat diguaka dega megambil secara sembarag beberapa ilai awal yag telah ditetapka yaki: Utuk model additive : S L = 1 L X 1 + X 2 + + X L (X L+1 X 1 ) L b L = 1 K I k = X k S L, + (X L+2 X 2 ) + + (X L+k X k ) L L dimaa k = 1, 2,, L da L adalah pajag musima. Utuk model multiplicative, ilai awal yag diguaka sama dega additive kecuali utuk peghalusa musima dimaa ia megguaka I k = X k S L. 2.4. Pemiliha Model Ketepata dari suatu metode peramala merupaka kesesuaia dari suatu metode yag meujukka seberapa jauh model peramala tersebut mampu meramalka data aktual. Tidak mugki suatu peramala bear-bear akurat. Nilai hasil peramala aka selalu berbeda dega data aktual. Perbedaa atara ilai peramala dega data aktual disebut kesalaha peramala. Meskipu suatu jumlah kesalaha peramala tidak dapat dihidari, amu tujua peramala adalah agar kesalaha dimiimalisir. Dalam pemodela time series, sebagia data yag diketahui dapat diguaka utuk meramalka sisa data berikutya sehigga memugkika orag utuk mempelajari ketepata peramala [5]. Model yag memiliki ilai kesalaha hasil peramala terkecil yag aka diaggap sebagai model yag cocok, dimaa ilai kesalaha itu adalah : a. Rata-rata kuadrat peyimpaga (Mea squared error) Cara yag serig diguaka utuk megevaluasi hasil peramala yaitu dega metode Mea Squared Error (MSE). Dega megguaka MSE, error yag ada meujukka seberapa besar perbedaa hasil estimasi dega hasil yag aka diestimasi. Dalam fase peramala, megguaka MSE sebagai suatu ukura ketepata juga dapat meimbulka masalah [5]. Ukura ii tidak memudahka perbadiga atar time series yag berbeda da utuk selag waktu yag berlaia, karea MSE merupaka ukura absolut. Lagi pula, iterpertasiya tidak bersifat ituitif bahka utuk para spesialis sekalipu, karea ukura ii meyagkut peguadrata sedereta ilai. Adapu diberika persamaa utuk meghitug MSE yaitu : dimaa : MSE = t=1 e t 2, e t : kesalaha periode t = X t F t : jumlah data
b. Rata-rata peyimpaga absolut (Mea absolute deviatio) Metode utuk megevaluasi metode peramala megguaka jumlah dari kesalahakesalaha yag absolut Mea Absolute Deviatio (MAD) megukur ketepata ramala dega merata-rata kesalaha dugaa (ilai absolut masig-masig kesalaha). MAD bergua ketika megukur kesalaha ramala dalam uit yag sama sebagai deret asli. dapu diberika persamaa utuk meghitug MAD yaitu : MAD = c. Rata-rata peyimpaga persetase absolut (Mea absolute percetage error) Metode ii melakuka perhituga perbedaa atara data asli da data hasil peramala. Perbedaa tersebut diabsolutka, kemudia dihitug ke dalam betuk persetase terhadap data asli. Hasil persetase tersebut kemudia didapatka ilai mea-ya. Suatu model mempuyai kierja sagat bagus jika ilai MAPE berada di bawah 10%, da mempuyai kierja bagus jika ilai MAPE berada di atara 10% da 20% [9]. Adapu diberika persamaa utuk meghitug MAPE yaitu : t=1 e t. dimaa : MAPE = t=1 PE t, PE t X t : kesalaha persetase = e t X t 100 : data aktual periode t : jumlah data
3. Metodologi Gambar 1. Diagram Alir 4. Hasil da Pembahasa Dega memplot data terlihat bahwa jumlah peumpag tahu 2006-2013 cederug megalami keaika setiap tahu. Dari plot data juga terlihat bahwa secara umum jumlah peumpag yag lebih bayak terjadi pada pertegaha tahu yaitu bula juli da agustus, bula oktober serta pada akhir tahu yaitu bula desember sedagka jumlah peumpag teredah terjadi pada bula februari.
Autocorrelatio Autocorrelatio Fuctio for Hasaudi (with 5% sigificace limits for the autocorrelatios) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Lag Gambar 3. Plot ACF data peumpag 12 Dari plot ACF di atas terlihat bahwa ilai Autocorrelatio Fuctio (ACF) yag sigifika pada lag-lag awal kemudia megecil secara bertahap kemudia beragsur-agsur turu medekati ol. Berdasarka retag seperti ii dapat dilihat pada plot ACF bahwa ilai autokorelasi dari data berada di luar batas sigifikasiya. Dega demikia, dapat disimpulka bahwa data tidak stasioer. a. Peghalusa ekspoesial Holt-Witers dega metode additive
Jumlah Peumpag Jumlah Peumpag 350000 Time Series Plot of Xt, Ft Xt Ft 300000 250000 200000 150000 100000 Moth Year 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Gambar 3. Plot hasil peghalusa ekspoesial dega metode additive b. Peghalusa ekspoesial Holt-Witers dega metode multiplicative Time Series Plot of Xt, Ft 350000 Xt Ft 300000 250000 200000 150000 100000 Moth Year 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Gambar 4. Plot hasil peghalusa ekspoesial dega metode multiplicative 2013 2014 Pemiliha model Mea Squared Error (MSE) MSE dihitug dari rata-rata peguadrata error hasil peramala, maka diperoleh : 96 (x 13 F 13 ) 2 +(x 14 F 14 ) 2 + +(x 96 F 96 ) 2 MSE = t=13. 84 Dari persamaa di atas maka diperoleh MSE utuk metode additive yaitu 215607955.581 sedagka utuk metode multiplicative yaitu 559786770,3. Mea Absolute Deviatio (MAD) MAD dihitug dari rata-rata ilai mutlak error hasil peramala, maka diperoleh 96 x 13 F 13 + x 14 F 14 + + x 96 96 MAD = t=13. 84 Dari persamaa di atas maka diperoleh MAD utuk metode additive yaitu 10600,28 sedagka utuk metode multiplicative yaitu 18277,62. Mea Absolute Percetage Error Metode ii melakuka perhituga perbedaa atara data asli da data hasil peramala. Perbedaa tersebut diabsolutka, kemudia dihitug ke dalam betuk persetase terhadap data asli lalu dihitug ilai rata-rataya, maka diperoleh 97 X 13 F13 100 + X 14 F14 100 + + X 96 F96 100 X 13 X 14 X 96 MAPE = t=13. 84 Dari persamaa di atas maka diperoleh MAPE utuk metode additive yaitu 5,849 sedagka utuk metode multiplicative yaitu 9,829.
4. Peutup 1. Dari ilai MSE, MAD da MAPE yag diperoleh terlihat bahwa metode additive memiliki error yag lebih kecil dibadigka metode multiplicative utuk data peumpag Badara Hasauddi. 2. Dega megguaka metode Holt-Witer diperoleh ramala jumlah peumpag badara terbayak utuk tahu 2014 yaitu pada bula agustus kemudia bula jauari da juli. Daftar Pustaka [1] Brow. Robert G. 1963. Expoetial Smoothig for Predictig Demad. Arthur D Little Ic. Cambridge 42, Massachusetts [2] Hydma, R., A. B. Koehler, J. Keith Ord & R. D. Syder. 2008. Forecastig with expoetial smoothig: The state space approach. Spriger Series i Statistics. Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Berli [3] Kalekar, P. S. (2004). Time series forecastig usig holt-witers expoetial smoothig. Kawal Rekhi School of Iformatio Techologys [4] Lai, K.K., L. Yu, S. Y. Wag & W. Huag. 2006. Hybridizig expoetial smoothig ad eural etwork for fiacial time series predictio : V. Alexadro (Ed.) Lecture Notes I Computer Sciece (LNCS) Series. Spriger-Verlag [5] Makridakis, Spyros da Wheelwright, Steve C. 1999, Metode da Aplikasi Peramala. Jakarta : Biarupa Aksara [6]Mills, T.C. 1991. Time series techiques for ecoomists. Cambridge Uiversity Press. Cambridge [7] Motgomery. 2008. Itroductio to Time Series Aalysis ad Forecastig. Caada. Wiley_Itersciece. [8] Mulyaa, 2004, Aalisis Data Time series. Uiversitas Padjadjara: Badug. [9] Zaiu, N. Y., da Majid, M. Z. A., 2003. Low Cost House Demad Predictor. Uiversitas Tekologi Malaysia