ANALISIS KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN BARU UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA Rini Christine Prastika Sitompul 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 Rinichristine58@yahoo.com ABSTRACT This article discusses the uniqueness and convergence analysis of the new Adomian decomposition method, modified from Adomian decomposition method, to solve a nonlinear Volterra integral equation of the second kind. Numerical comparison through two examples shows that the solutions of nonlinear Volterra integral equations of the second kind obtained through the new Adomian decomposition method is better than that of Adomian decomposition method. Keywords: Adomian decomposition method, convergence analysis, nonlinear Volterra integral equation of the second kind ABSTRAK Artikel ini membahas ketunggalan dan analisis konvergensi metode dekomposisi Adomian baru, dimodifikasi dari metode dekomposisi Adomian, untuk memecahkan persamaan integral Volterra nonlinear dari jenis kedua. Perbandingan numerik melalui dua contoh menunjukkan bahwa solusi dari nonlinear Volterra persamaan integral dari jenis kedua diperoleh melalui metode dekomposisi Adomian baru lebih baik dari yang diperoleh dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: Metode dekomposisi adomian, analisis konvergensi, persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua 1. PENDAHULUAN Salah satu permasalahan di alam yang dapat dibuat model matematika dinyatakan dalam bentuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua yang bentuk umumnya mengandung fungsi f yang tidak diketahui diberikan oleh[3] y(t) = x(t) + k(t, τ)f(y(τ))dτ. (1) Repository FMIPA 1
Pada persamaan (1), diasumsikan x(t) terbatas untuk semua t J = [, T ], dan kernel k(t, τ) diasumsikan untuk membatasi k(t, τ) M, untuk setiap τ t T, dimana f(y(τ)) adalah fungsi nonlinear dari y(τ). Bentuk nonlinear f(y) adalah kontinu Lipschitz dengan definisi f(y) f(z) L y z. (2) Penyelesaian persamaan (1) dapat dilakukan dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian baru yang merupakan hasil modifikasi dari metode dekomposisi Adomian lama. Dengan menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan integral nonlinear diperoleh solusi yang mendekati solusi eksak. Pada artikel ini bagian dua dibahas metode dekomposisi Adomian baru dan lama, kemudian pada bagian tiga dibahas konvergensi metode dekomposisi Adomian baru terhadap persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua yang merupakan kajian ulang dari artikel I.L. El-Kalla [3], dengan judul Convergence of the Adomian method applied to a class of nonlinear integral equations dan kemudian dilanjutkan dengan melakukan uji komputasi numerik. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN 2.1 Metode Dekomposisi Adomian Lama[1] Metode dekomposisi Adomian terdiri dari penguraian solusi deret dalam bentuk deret fungsi y(t) = y i (t), (3) i= dengan y i adalah perhitungan rekursif dan fungsi nonlinear dari fungsi f(y) didefinisikan sebagai f(y) = A i (y, y 1,, y i ), (4) i= Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh y i (t) = x(t) + i= k(t, τ) A i (y, y 1,, y i (τ))dτ, (5) dari persamaan (5) dapat diketahui A fungsi dari y, A 1 fungsi dari y dan y 1, A 2 fungsi dari y, y 1 dan y 2,...,sehingga A i fungsi dari y, y 1,... dan y i. Dari persamaan i= Repository FMIPA 2
(5) dapat dibentuk rumus rekursif sebagai berikut y (t) = x(t), y 1 (t) = y 2 (t) =. =. y i (t) = k(t, τ)a (y (τ))dτ, k(t, τ)a 1 (y, y 1 (τ))dτ, k(t, τ)a i 1 (y, y 1,, y i (τ))dτ. (6) Fungsi nonlinear f(y) pada persamaan (1) dapat diperluas menggunakan deret Taylor untuk y mendekati y yaitu f(y) = f(y ) + (y y )f (y ) + 1 2! (y y ) 2 f y + 1 3! (y y ) 3 f (y ) + f(y) = f(y ) + f (y )(y 1 + y 2 + y 3 + ) + 1 2! (y 1 + y 2 + y 3 + ) 2 f (y ) + 1 3! (y 1 + y 2 + y 3 + ) 3 f (y ) + f(y) = f(y ) + f (y )(y 1 + y 2 + y 3 + ) + 1 2! f (y )(y 2 1 + 2y 1 y 2 + 2y 1 y 3 + + y 2 2 + 2y 2 y 3 + + y 2 3 + ) + 1 3! f (y )(y 3 1 + 3y 2 1y 2 + 3y 1 y 2 2 + 3y 2 1y 3 + 3y 1 y 2 3 + + y 3 2 + 3y 2 2y 3 + 3y 2 y 2 3 + + 3y 2 3 + ). (7) Dari persamaan (7) diperoleh polinomial Adomian lama sebagai berikut A = f(y ), A 1 = y 1 f (y ), A 2 = y 2 f (y ) + 1 2! y2 1f (y ), A 3 = y 3 f (y ) + y 1 y 2 f (y ) + 1 3! y3 1f (y ),. =. ( ) ( ( 1 d n A n = f λ i y n! dλ n i )). (8) i= Repository FMIPA 3
2.2 Metode Dekomposisi Adomian Baru[4] Bedasarkan persamaan (7) dapat disusun sebagai berikut ( f(y) = f(y ) + y 1 f (y ) + 1 2! y2 1f (y ) + 1 3! y3 1f (y ) + + y 2 f (y ) + 1 2! (y2 2 + 2y 1 y 2 )f (y ) + 1 3! (3y2 1y 2 + 3y 1 y 2 2 + y 3 2)f (y ) + + y 3 f (y ) + 1 2! (y2 3 + 2y 1 y 3 + 2y 2 y 3 )f (y ) + 1 3! (y3 3 + 3y 2 3(y 1 + y 2 ) + 3y 3 (y 1 + y 2 ) 2 )f (y ) + ). (9) Sehingga diperoleh polinomial Adomian[4] A = f(y ), A 1 = y 1 f (y ) + 1 2! y2 1f (y ) + 1 3! y3 1f (y ) +, A 2 = y 2 f (y ) + 1 2! (y2 2 + 2y 1 y 2 )f (y ) + 1 3! (3y2 1y 2 + 3y 1 y2 2 +y2)f 3 (y ) +, A 3 = y 3 f (y ) + 1 2! (y2 3 + 2y 1 y 3 + 2y 2 y 3 )f (y ) + 1 3! (y3 3 + 3y3(y 2 1 + y 2 ) + 3y 3 (y 1 + y 2 ) 2 )f (y ) +. =. (1) Misalkan jumlah parsial S n sebagai berikut = n i= y i(t), maka persamaan (1) diperoleh hasil A = f(y ) = f(s ), ( A + A 1 = f(y ) + y 1 f (y ) + 1 2! y2 1f (y ) + 1 ) 3! y3 1f (y ) +, = f(y + y 1 ), A 1 = f(s 1 ), A + A 1 + A 2 = f(y + y 1 ) + = f(y + y 1 + y 2 ) A 2 = f(s 2 ). =. A + A 1 + A 2 + + A n = f(y + y 1 + y 2 + + y n ). Misalkan A + A 1 + A 2 + = n 1 i= A i maka n 1 A i + A n = f(s n ), i= ( y 2 f (y ) + 1 2 (y2 2 + 2y 1 y 2 )f (y ) + 1 6 (3y2 1y 2 + 3y 1 y 2 2 + y 3 2f (y ) + ), Repository FMIPA 4
sehingga diperoleh rumus lain untuk polinomial Adomian baru n 1 A n = f(s n ) A i. (11) 3. ANALISIS KONVERGENSI PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA i= Teorema 1 (Teorema Ketunggalan) [3] Masalah persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua pada persamaan (1) memiliki solusi tunggal bilamana < α < 1, dengan α = LMT, dimana L= fungsi Lipschitz, M= batas k(t, τ) M dan T = t J = [, T ], dτ T. Bukti: Asumsikan y dan y dua solusi berbeda untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua sehingga dan y = y = k(t, τ)f(y) dτ, (12) k(t, τ)f(y ) dτ. (13) Selanjutnya dengan mengurangi persamaan (12) ke persamaan (13) diperoleh y y = k(t, τ)f(y) dτ k(t, τ)f(y ) dτ (14) Jika kedua ruas di mutlakkan maka persamaan (14) dapat ditulis y y = k(t, τ)(f(y) f(y )) dτ. (15) Bedasarkan teorema nilai mutlak sehingga persamaan (15) menjadi y y k(t, τ) (f(y) f(y )) dτ. (16) Pada persamaan (16) yang memenuhi kontinu Lipschitz dengan k(t, τ) M, untuk setiap τ t T diperoleh y y M f(y) f(y ) dτ, ML y y y y LM y y dτ, dτ. (17) Repository FMIPA 5
Karena t J = [, T ] maka dτ T, sehingga persamaan (17) dapat ditulis y y LM y y T, LMT y y, y y α y y. (18) Persamaan (18) dapat ditulis menjadi (1 α) y y, dimana < α < 1, sehingga y y =, maka terbukti y = y. Teorema 2 (Kekonvergenan Metode Dekomposisi Adomian) [3] Solusi deret i= y i(t) pada permasalahan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua pada persamaan (1) menggunakan metode dekomposisi Adomian konvergen jika < α < 1 dan y 1 <. Bukti: Misalkan (C[J],. ) ruang Banach dari setiap fungsi kontinu pada J yang bernorm f(t) = max f(t). Definisi suatu barisan dari jumlah parsial {S n }; misalkan S n dan S m merupakan dua penjumlahan parsial dengan n m. Sekarang akan dibuktikan bahwa {S n } adalah barisan Cauchy di ruang Banach. S n S m = max S n S m n S n S m = max y i (t) i= m y i (t) Bedasarkan persamaan (6) maka persamaan (19) diperoleh n m S n S m = max k(t, τ)a i 1 (τ)dτ k(t, τ)a i 1 (τ)dτ, i= i= n m = max k(t, τ)a i 1 (τ)dτ k(t, τ)a i 1 (τ)dτ i= i= m m + k(t, τ)a i 1 (τ)dτ k(t, τ)a i 1 (τ)dτ, i= i= n 1 S n S m = max k(t, τ) A i (τ)dτ, (2) i=m dengan menggunakan persamaan (4) maka persamaan (2) dapat ditulis dengan S n S m = max k(t, τ) (f(s n 1) f(s m 1)) dτ. (21) Pada persamaan (21) yang memenuhi kontinu Lipschitz dengan k(t, τ) M, untuk setiap τ t T sehingga diperoleh S n S m L max S n S m LM max i= M S n 1 S m 1 dτ, (19) S n 1 S m 1 dτ. (22) Repository FMIPA 6
Karena t J = [, T ] maka dτ T. Sehingga persamaan (22) menjadi S n S m LMT S n 1 S m 1, S n S m α S n 1 S m 1. (23) Pada persamaan (23) dimisalkan n = m + 1, maka S m+1 S m α S m S m 1 α 2 S m 1 S m 2 α m S 1 S. (24) Dengan menggunakan sifat norm[2] pada persamaan (24) diperoleh S n S m = S m+1 S m + S m+2 S m+1 + + S n S n 1, S m+1 S m + S m+2 S m+1 + + S n S n 1, S n S m α m (1 + α + α 2 + + α n m 1 ) S 1 S. (25) Jika kedua ruas persamaan (25) dikalikan dengan α maka diperoleh α S n S m (α m+1 + α m+2 + + α n ) S 1 S. (26) Berikutnya persamaan (25) dikurangkan ke persamaan (26), sehingga diperoleh (1 α) S n S m (α m α n ) S 1 S ( ) 1 α S n S m α m n m S 1 S. (27) 1 α Misalkan S 1 S = y 1 (t) persamaan (27) menjadi S n S m α m ( 1 α n m 1 α ) y 1 (t). (28) Karena < α < 1 dan n m maka (1 α n m ) 1 sehingga persamaan (28) dapat ditulis dengan ( ) α m S n S m 1 α αn y 1 (t). (29) 1 α Kemudian hitung nilai limit dari persamaan (29) dengan n seperti berikut ( ) α m lim S n S m lim n n 1 α αn y 1 (t), 1 α α m lim n 1 α y α n 1(t) lim n 1 α y 1(t), S n S m Karena y = max y 1(t) maka persamaan (3) menjadi αm 1 α y 1(t). (3) S n S m αm 1 α max y 1(t). (31) Jika y 1 < dan m maka S n S m. Diperoleh bahwa {S n } adalah barisan Cauchy di C[J] dan deretnya i= y i(t) adalah konvergen. Repository FMIPA 7
Teorema 3 (Penaksir Error) [3] Error maksimum mutlak dari solusi deret persamaan (3) pada persoalan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua persamaan (1) diberikan oleh m max y(t) y i (t) Kαm+1 L(1 α), K = max f(x(t)). i= Bukti: Dari Teorema 2 yaitu pada persamaan (31) diperoleh S n S m αm 1 α max y 1(t). Jika S n = n i= y i(t) dengan n maka S n y(t) dan max y 1(t) T M f(y ) serta α = LMT maka T M = α dan y L (t) = x(t)sehingga diperoleh max S n S m y(t) S m αm 1 α max y 1(t), αm 1 α T M max f(y ), αm α 1 α L max f(x(t)), αm+1 L(1 α) max f(x(t)). Ubah bentuk y(t) S m ke dalam bentuk max y(t) m y 1 (t) maka max y(t) S m i= αm+1 L(1 α) max f(x(t)), K αm+1 L(1 α), m y(t) y 1 (t) K αm+1 L(1 α). (32) i= Persamaan (32) adalah error maksimum mutlak dari solusi deret persamaan (2) pada persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua (1) yang berada pada interval J. 3. CONTOH NUMERIK Contoh 1 Selesaikan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua berikut dengan metode dekomposisi Adomian lama y(t) = 1 2 (3 + 315t2 + 5t 4 + t 6 ) 1 15 dengan solusi eksak y(t) = 15(t 2 + 1). (t τ)y 2 (τ)dτ, (33) Repository FMIPA 8
Penyelesaian: Dengan menerapkan rumus polinomial Adomian lama pada persamaan (8) diperoleh Dari persamaan (5) solusi y(t) adalah untuk i =, y i (t) = x(t) + i= A = y 2, A 1 = 2y y 1, =. k(t, τ) A i (y, y 1,, y i (τ))dτ, i= y = 15 + 63 4 t2 + 1 4 t4 + 1 2 t6. Kemudian dilakukan perhitungan rekursif untuk komponen y 1, y 2, diperoleh untuk i = 1, y 1 = 1 15 = 1 15 (t τ)a (τ)dτ, (t τ)y (τ) 2 dτ, y 1 = 3 4 t2 21 8 t4 1363 24 t6 1 896 t8 131 18 t1 1 792 t12 =. 1 192 t14. Dari y, y 1, diperoleh solusi untuk y(t) dengan menggunakan Maple 13 sebagai berikut y(t) = y (t) + y 1 (t) + y(t) = 15 + 33 2 t2 1 8 t4 163 24 t6 1 896 t8 131 18 t1 1 + 792 t12 1 192 t14 Jadi, persamaan (34) merupakan solusi numerik pada persamaan (33) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian lama. Selanjutnya, hasil pada komputasi Contoh 1 dapat dilihat pada Tabel 1. Pada Tabel 1 kolom y(t) merupakan solusi eksak untuk persamaan (33) dengan t diberikan. Kolom m menyatakan batas solusi numerik yang diperoleh dengan metode dekomposisi Adomian lama. Sedangkan kolom y(t) m i= y i(t) menunjukkan selisih antara solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian lama dengan solusi eksak sehingga diperoleh error solusi mutlak untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua. (34) Repository FMIPA 9
Tabel 1: Hasil Komputasi Contoh 1 untuk t = 1 dan m = 2 t y(t) = 15(t 2 + 1) m y(t) m i= y i(t) 1 3 5.15857925e 2 1 3 1.158236178e 2 1 3 15.158236179e 2 1 3 2.158236179e 2 Contoh 2 Selesaikan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua berikut dengan metode dekomposisi Adomian baru y(t) = 1 2 (3 + 315t2 + 5t 4 + t 6 ) 1 15 dengan solusi eksak y(t) = 15(t 2 + 1). (t τ)y 2 (τ)dτ, (35) Penyelesaian: Dengan menerapkan rumus polinomial Adomian baru pada persamaan (11) diperoleh A = y 2, Dari persamaan (5) solusi y(t) adalah untuk i =, y i (t) = x(t) + i= A 1 = y 2 1 + 2y y 1, =. k(t, τ) A i (y, y 1,, y i (τ))dτ, i= y = 15 + 63 4 t2 + 1 4 t4 + 1 2 t6. Kemudian dilakukan perhitungan rekursif untuk komponen y 1, y 2, diperoleh untuk i = 1, y 1 = 1 15 = 1 15 (t τ)a (τ)dτ, (t τ)y (τ) 2 dτ, y 1 = 3 4 t2 63 8 t4 1363 48 t6 1 128 t8 131 27 t1 1 72 t12 1 84 t14. =. Repository FMIPA 1
Dari y, y 1, diperoleh solusi untuk y(t) dengan menggunakan Maple 13 sebagai berikut y(t) = y (t) + y 1 (t) + + y 5 (t), y(t) = 15 + 33 2 t2 1 8 t4 163 24 t6 1 896 t8 131 18 t1 1 792 t12 + (36) Jadi, persamaan (36) merupakan solusi numerik pada persamaan (35) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian baru. Selanjutnya, hasil komputasi pada Contoh 2 dapat dilihat pada Tabel 2. Pada Tabel 2 kolom y(t) merupakan Tabel 2: Hasil Komputasi Contoh 2 untuk t = 1 dan m = 2 t y(t) = 15(t 2 + 1) m y(t) m i= y i(t) 1 3 5.138958158e 2 1 3 1.138737178e 2 1 3 15.138737179e 2 1 3 2.138737179e 2 solusi eksak untuk persamaan (33) dengan t diberikan. Kolom m menyatakan batas solusi numerik yang diperoleh dengan metode dekomposisi Adomian baru. Sedangkan kolom y(t) m i= y i(t) menunjukkan selisih antara solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian baru dengan solusi eksak sehingga diperoleh error solusi mutlak untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Ibu Dr. Leli Deswita, M.Si dan Bapak Drs. Endang Lily, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi penulis yang menjadi acuan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [2] Atkinson, K. & W. Han. 25. Theoretical Numerical Analysis, 3 nd Ed. Springer, New York. [3] El-Kalla, I. L. 25. Convergence of the Adomian method applied to a class of nonlinear integral equations. Applied Mathematics Letters, No. 21, 372-376. [4] El-Kalla, I. L. 27. Error analysis of adomian series solution to a class of nonlinear differential equations. Applied Mathematics E-Notes, No. 7, 214-221. [5] Wazwaz, A. M. 211. Linear and Nonlinear Integral Equations. Higher Education Press, Beijing. Repository FMIPA 11