UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DATA Misalka kita mempuyai data metah dalam betuk array X 1, X 2,, X. Pada Bab ii kita aka mempelajari beberapa ukura yag dapat memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat. 3.1 Notasi Sigma da Sifat-sifatya Notasi sigma X j diguaka utuk meyataka jumlaha X 1 +X 2 + +X. Dega kata lai X j := X 1 + X 2 + + X. Kadag-kadag diguaka otasi X sebagai betuk sigkat dari X j. Beberapa sifat sederhaa otasi sigma ii adalah sebagai berikut: 1. Jika a suatu kostata maka a = a } + a + {{ + a } = a. suku 2. Bila ada dua kelompok data X 1, X 2,, X da Y 1, Y 2,, Y maka X j Y j := X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + + X Y. 3. Bila a suatu kostata maka ax j = ax 1 + ax 2 + + ax = a(x 1 + X 2 + + X ) = a 4. Bila X, Y, Z tiga kelompok data da a, b, c kostata maka (ax + by + cz) = a X + b Y + c Z. X j. 1

Statistika Dasar by J.Heradi 2 3.2 Rata-rata aritmatika 3.2.1 Defiisi Rata-rata aritmatika atau rata-rata atau mea dari buah data X 1, X 2,, X diyataka dega X dibaca X bar didefiisika sebagai X := 1 X j. (3.1) Cotoh 3.2.1. Rata-rata aritmatika dari data 8, 3, 5, 12, 10 adalah 1 38 (8 + 3 + 5 + 12 + 10) = 5 5 = 7.6. Jika dalam buah data tersebut dapat dikelompokka mejadi k kelompok dimaa X 1 terjadi sebayak f 1 kali, X 2 terjadi sebayak f k kali, da seterusya X k terjadi sebayak f k kali maka rata-rata aritmatika data seperti ii dapat diyataka sebagai k f jx j k f = 1 k f j X j. (3.2) j Cotoh 3.2.2. Diperhatika data pada tabel berikut: Data 5 8 6 2 Frekuesi 3 2 4 1 Diperoleh rata-rata aritmatikaya adalah (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) 3 + 2 + 4 + 1 3.2.2 Rata-rata aritmatika terbobot = 57 10 = 5.7. Kalau persamaa (3.2) di atas, para frekuesi f j diperoleh berdasarka data yag ada. Bila utuk setiap data X k ditetapka sebelumya suatu bobot w k maka diperoleh rata-rata terbobot sebagai berikut: X b := k=1 w kx k k=1 w. (3.3) k Cotoh 3.2.3. Misalka seorag dose meetapka bahwa ilai akhir ditetuka oleh rata-rata terbobot kompoe ilai sebagai berikut: Kompoe ilai TGS UTS UAS HDR Bobot 1 3 5 1 Misalka seorag mahasiswa medapatka ilai TGS = 70 (X 1 ), ilai UTS = 45 (X 2 ), ilai UAS = 65 (X 3 ) da ilai HDR = 90 (X 4 ) maka ilai akhir mahasiswa tersebut adalah X b = (1)(70) + (3)(45) + (5)(65) + (1)(90) 1 + 3 + 5 + 1 = 620 10 = 62.

Statistika Dasar by J.Heradi 3 3.2.3 Sifat-sifat rata-rata aritmatika 1. Misalka data X 1, X 2,, X mempuyai rata-rata X. Simpaga data X k didefiisika sebagai selisih atara X k da rata-rataya, yaitu X k X. Selajutya berlaku: (X k X) = X k X k X k X k = 0. k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Ii meujukka bahwa walaupu setiap data kadag berada di atas ratarata da kadag berada di bawah rata-rata amu bila semua simpaga atau deviasi ii dijumlahka maka hasilya ol. Cotoh 3.2.4. Pada Cotoh 3.2.1 di atas, simpaga data 8, 3, 5, 12 da 10 terhadap rata-rataya 7.6 adalah 0.4, -4.6, -2.6, 4.4 da 2.4. Jadi jumlah simpagaya adalah 0.4 4.6 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0. 2. Misalka ada K buah kelompok data, masig-masig mempuyai rata-rata sediri seperti berikut: Kelompok data 1 2 K ukura 1 2 K rata-rata X 1 X 2 X K maka rata-rata gabuga semua data adalah K jx j K. (3.4) j Cotoh 3.2.5. Misalka suatu kelompok data yag terdiri dari 20 aggota mempuyai rata-rata 7.50. Tetuka rata-rata yag baru jika pada kelompok data tadi ditambahka 3 buah data baru: 5.50, 6.25 da 8.75. Peyelesaia. Misalka sampel 1 terdiri dari 20 aggota mempuyai rata-rata X 1 = 7.50, sample 2 mempuyai 3 aggota mempuyai rata-rata X 2 = (5.50 + 6.25 + 8.75)/3 = 6.83. Jadi rata-rata gabugaya adalah: (20)(7.50) + (3)(6.83) 20 + 3 = 7.41.

Statistika Dasar by J.Heradi 4 3. Misalka A suatu bilaga da d j = X j A sebagai simpaga atau deviasi X j terhadap A maka diperoleh relasi berikut: X j = (X j A + A) = A + d j Dega argume yag sama rata-rata (3.2) dapat ditulis sebagai (3.5) k A + f jd j k f. (3.6) j Bilaga A pada kedua rumus di atas biasaya diambil sebagai rata-rata tebaka. 3.2.4 Rata-rata data dalam distribusi frekuesi Misalka sekelompok data disajika dalam distibusi frekuesi dega bayak kelas K. Misalka X j, j = 1, 2,, K meyataka tada kelas atau titik tegah iterval kelas da f j frekuesi yag bersesuaia. Rata-rata data tersebut dapat dihitug dega 2 cara berikut: Cara 1. Megguaka formula (3.2), yaitu K f jx j K f. j Cara 2. Megguaka rata-rata tebaka A. Misalka lebar kelas sama, kataka c maka deviasi d i = X i A dapat disajika sebagai kelipata dari c, yaitu d i = u i c. dimaa u i berupa bilaga bulat 0, ±1, ±2,. Dega megguaka (3.6) maka ( k i=1 A + f k ) id i i=1 k f = A + c f iu i k i f. i Cara kedua ii disebut dega metoda kodig. Cotoh 3.2.6. Diberika distribusi frekuesi berikut: Kelas Frekuesi 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8 100

Statistika Dasar by J.Heradi 5 Tetuka rata-rata data tersebut dega megguaka kedua cara di atas. Peyelesaia: Utuk cara 1, diperhatika tabel berikut: Diperoleh: Kelas Tada Kelas (X) Frekuesi (f) f X 60-62 61 5 305 63-65 64 18 1152 66-68 67 42 2814 69-71 70 27 1890 72-74 71 8 568 f = 100 f6745 6745 100 = 67.45. Sedagka utuk cara 2, kita ambil A = 67 yaitu tada kelas ke 3. Tada Kelas (X) Deviasi (d) Frekuesi (f) fd 61-6 5-30 64-3 18-54 67 0 42 0 70 3 27 81 71 6 8 48 f = 100 fd =45 Dega tabel ii, diperoleh: 67 + 45 100 = 67.45. Betuk lai cara 2 ii adalah dega megguaka lebar kelas c = 3. Tada Kelas (X) u Frekuesi (f) fu 61-2 5-10 64-1 18-18 67 0 42 0 70 1 27 27 71 2 8 16 f = 100 fd =15 Diperoleh, ( ) 15 67 + 3 = 67.45. 100 Perlu diigat bahwa rata-rata yag diperoleh melalui distribusi frekuesi tidaklah persis seperti rata-rata sesugguhya yag ada pada data metahya. Ii haya rata-rata pedekata, semaki sempit lebar itervalya semaki teliti ratarataya.

Statistika Dasar by J.Heradi 6 3.3 Media Media dari sekelompok data adalah ilai tegah setelah data tersebut diurutka. Utuk bayak dataya gajil, ilai tegahya terdefiisi dega jelas. Sedagka utuk bayak dataya geap, ilai tegahya didefiisika sebagai rata-rata dua ilai pertegahaya. Cotoh 3.3.1. Data 3, 4, 4, 5, }{{} 6, 8, 8, 8, 10 mempuyai media 6. Diperhatika bayak dataya gajil sehigga haya ada satu data di tegah (yaitu 6) yag membagi data mejadi 2 kelompok yag sama bayak. Cotoh 3.3.2. Diperhatika data 5, 5, 7, 9, 11 12, 15, 18. Karea bayak dataya }{{} geap maka ada dua data di tegah (yaitu 9 da 11) yag membagi data mejadi 2 kelompok yag sama bayak. Jadi mediaya adalah (9 + 11)/2 = 10. Media data dalam betuk tabel distribusi frekuesi didefiisika secara iterpolasi sebagai berikut: ( N 2 med = L 1 + c ( ) f) 1. (3.7) dimaa f med L 1 : batas bawah kelas media c : ukura iterval kelas media N : total frekuesi ( f) 1 : jumlah frekuesi pada kelas sebelum media f med : frekuesi kelas media. Cotoh 3.3.3. Kita aka meetuka media data yag tersaji dalam betuk distribusi frekuesi berikut. Kelas Frekuesi 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8 100 Bukti. Berdasarka tabel ii, kita mempuyai N = 100, c = 3. Terlihat dega jelas bahwa data ke 50 berada dalam kelas 66-68. Iilah kita ambil sebagai kelas media. Diperoleh L 1 = 65.5, f med = 42 da ( f) 1 = 5 + 18 = 23. Berdasarka formula (3.7) diperoleh: ( ) 50 23 med = 65.5 + 3 = 67.43. 42

Statistika Dasar by J.Heradi 7 3.4 Modus Modus dari sekelompok data adalah ilai data yag mempuyai frekuesi terbesar, atau ilai yag palig serig mucul. Berdasarka defiisi ii, modus mugki tidak ada yaitu dalam kasus dimaa semua dataya mempuyai frekuesi yag sama. Sebalikya modus dapat lebih dari satu dalam kasus dimaa terdapat lebih dari satu data yag mempuyai frekuesi sama. Cotoh 3.4.1. Data 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, da 18 mempuyai modus 9. Data 3, 5, 8, 10, 12, 15, da 16 tidak mempuyai modus. Data 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, da 9 mempuyai 2 modus yaitu 4 da 7. Data terakhir ii disebut bimodal karea ia mempuyai dua modus. Data yag memiliki haya satu modus disebut uimodal. dimaa Utuk modus data dalam tabel distribusi frekuesi diguaka formula berikut: ( ) 1 modus = L 1 + c (3.8) 1 + 2 L 1 : batas bawah kelas modus c : ukura iterval kelas modus 1 : selisih frekuesi kelas modus da frekuesi kelas di bawahya 2 : selisih frekuesi kelas modus da frekuesi kelas di atasya. Cotoh 3.4.2. Kembali diperhatika distribusi frekuesi pada cotoh sebelumya. Di sii kita mempuyai kelas modus 66-68. Jadi diperoleh L 1 = 65.5, c = 3, f mod = 42. Karea kelas di bawahya mempuyai frekuesi 18 da kelas di atasya mempuyai frekuesi 27 maka 1 = 42 18 = 24 da 2 = 42 27 = 15. Akhirya diperoleh ( ) 24 modus = 65.5 + 3 = 67.35. 24 + 15 3.5 Posisi mea, media da modus Utuk distibusi simetris, seperti distribusi ormal kedua ukura ii terletak pada posisi yag sama, yaitu mea = media = modus. Tetapi bila distribusya meceg ke kiri maka mea da media berada di sebelah kiri modus. Sebalikkya utuk distribusi yag meceg ke kaa, modusya berada pada posisi palig kiri. Utuk distribusi yag cukup meceg, terdapat hubuga empiris pedekata diatara ketiga ukura ii, yaitu: mea-modus = 3(mea-media).

Statistika Dasar by J.Heradi 8 Gambar 3.1: Posisi mea, media da modus 3.6 Rata-rata Geometri da rata-rata harmoik Rata-rata geometri dari bilaga X 1, X 2, X adalah X g := X 1 X 2 X. (3.9) Rata-rata harmoik merupaka kebalika dari rata-rata aritmatika, yaitu X h := 1 N 1. (3.10) X j Cotoh 3.6.1. Diberika data 2, 4, da 8. Diperoleh 1. Rata-rata geometri: X g = 3 2 4 8 = 4. 2. Rata-rata harmoik: X h = 3 1 2 + 1 4 + 1 8 = 3.43. Relasi atara ketiga rata-rata ii diberika oleh: X h X g X. Secara khusus utuk dua data X 1 da X 2 berlaku: 2 X 1 X 2 X 1 + X 2. X 1 + X 2 2 Dalam kebiasaa sehari-hari, jika jeis mea tidak diyataka secara eksplisit maka yag dimaksud adalah mea atau rata-rata aritmatika. Ukura laiya yag berhubuga dega mea adalah akar kuadrat mea atau root mea square (RMS) da didefiisika sebagai: RMS = X 2 = X2 j Cotoh 3.6.2. RMS dari data 1, 3, 4, 5, da 7 adalah 12 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 7 2 = 20 = 4.47. 5.

Statistika Dasar by J.Heradi 9 3.7 Kuartil, desil da persetil Jika suatu kelompok data diurutka berdasarka ilaiya maka ilai yag membagi dua sama bayak data tersebut disebut media. Bila pembagia ii dilakuka mejadi 4 kelompok yag sama bayak maka ketiga titik pembagi tersebut disebut kuartil, ditulis Q 1 utuk kuartil pertama, Q 2 utuk kuartil kedua da Q 3 utuk kuartil ketiga. Jadi kuartil kedua da media adalah dua ilai yag sama. Bila kelompok data tadi dipecah mejadi 10 kelompok yag sama bayak maka titik-titik pembagi ii disebut desil. Ada 9 desil yag diperoleh biasa ditulis D 1, D 2,, D 9. Bilamaa kelompok data tadi diperkecil lagi yaitu dibagi mejadi 100 kelompok yag sama bayak maka diperoleh 99 titik pembagi yag disebut persetil, biasaya diyataka P 1, P 2,, P 99. Dari pembagia ii diperoleh idetitas berikut: 3.8 Pegguaa Excel media = Q 2 = D 5 = P 50. Semua ukura pemusata yag telah dibahas diatas dapat dihitug dega batua excel. Adapu fugsi-fugsi yag diguaka diberika pada tebel berikut: Ukura pemusata fugsi excel sitaksis Rata-rata AVERAGE AVERAGE(array data) Media MEDIAN MEDIAN(array data) Modus MODE MODE(array data) Rata-rata Geometri GEOMEAN GEOMEAN(array data) Rata-rata Harmoik HARMEAN HARMEAN(array data) Kuartil QUARTILE QUARTILE(array data, kuartil ke) Persetil PERCENTILE PERCENTILE(array data, persetil ke) Cotoh 3.8.1. Misalka kita mempuyai data sebagai berikut: 25 28 28 28 29 30 32 33 33 33 34 34 35 36 37 38 41 42 42 45 46 47 51 51 53 53 53 55 56 57 57 60 61 62 62 62 67 68 69 71 72 73 73 75 75 79 82 85 86 86 86 88 88 89 91 93 94 96 96 99 Pertama data tersebut disusu kedalam worksheet excel, misalya disusu pada sel A1:A4, B1:B4,..., O1:O4. Fugsi excel yag diguaka utuk meghitug ukura pemusata, diataraya: 1. =AVERAGE(A1:O4) meghasilka ilai rata-rata 59.16667, =MEDIAN(A1:O4) meghasilka media 57, =MODE(A1:O4) meghasilka modus 28. 2. =QUARTILE(A1:O4,2) meghasilka kuartil kedua 57, =QUARTILE(A1:O4,3) meghasilka kuartil ketiga 76, =PERCENTILE(A1:O4,0.25) meghasilka data keduapuluhlima perse 37.75, =PERCENTILE(A1:O4,0.5) meghasilka data kelimapuluh perse 57.

Statistika Dasar by J.Heradi 10 Cara laiya adalah dega megguaka paket statistika pada excel, dega peritah berikut Tools ==> Data Aalysis ==> Descriptive Statistics. Sebelumya pada worksheet excel, data disusu haya dalam satu kolom atau satu baris saja. Misalka data tersebut sudah kita susu pada kolom A, yaitu A1:A60. Setelah diteka Ok maka diperoleh keluara seperti pada bagia bawah. Colum1 Mea 59.16666667 Stadard Error 2.867425336 Media 57 Mode 28 Stadard Deviatio 22.21098115 Sample Variace 493.3276836 Kurtosis -1.244134516 Skewess 0.167174577 Rage 74 Miimum 25 Maximum 99 Sum 3550 Cout 60 Pada keluara ii beberapa ukura seperti rage, stadar error, stadard deviatio, kurtosis, skewess aka dipelajari pada materi yag aka datag.

Statistika Dasar by J.Heradi 11 Soal-soal latiha 1. Diberika dua array (1, 3, 2, 4, 5) da Y = (3, 4, 4, 6, 7). Selesaika ekspresi tada sigma berikut: a. (X Y ), XY, (X 2 Y 2 ), (X Y ) 2. b. ( (X Y )) 2, X 2 ( X) 2, (X + Y )(X Y ). 2. Seorag mahasiswa medapatka ilai pada kegiata akademik mata kuliah fisika adalah sebagai berikut: praktek lab medapat ilai 71, kuliah tatap muka medapat ilai 78 da meghapal rumus medapat ilai 89. Tetuka ilai rata-rata mahasiswa tersebut: a. Jika bobot utuk masig-masig kompoe adalah berturut-turut 2, 4,da 5. b. Jika ketigaya diberika bobot yag sama. 3. Tiga orag guru ekoomi melaporka rata-rata ilai ujia ujia siswa, yaitu 79, 74, da 82 masig-masig terdiri atas 32, 25, da 17 siswa. Hituglah rata-rata keseluruha ilai ekoomi siswa. 4. Suatu kelompok data terdiri dari gaji 50 orag karyawa suatu perusahaa. Diketahui rata-rata gaji ke 50 karyawa tersebut adalah 650000,- rupiah. Pada suatu ketika ada 5 orag karyawa yag berheti da kelimaya mempuyai gaji 450000,-, 625000,-, 800000,-, 700000,- da 500000,-. Berapa rata-rata gaji karyawa yag masih aktif. 5. The mea aual salary paid to all employees i a compay is $36,000. The mea aual salaries paid to male ad female employees of the compay is $34,000 ad $40,000 respectively. Determie the percetages of males ad females employed by the compay. 6. Berdasarka data dari Aciet Races of the Thebaid by Thomso ad Radall-Maciver diperoleh perbadiga ukura tegkorak orag mesir pada tahu 4000 SM da tahu 150 M sebagai berikut: 4000 SM: 131 119 138 125 129 126 131 132 126 128 128 131 150 M: 136 130 126 126 139 141 137 138 133 131 134 129 Perubaha ukura kepala memberika kesa adaya perkawia campura dega mausia dari belaha duia lai. Apakah ada kecederuga perubaha ukura kepala dari tahu 4000 SM ke tahu 150 M. Jelaska jawaba ada? 7. Te values have a mea of 75.0. Nie of the values are 62, 78, 90, 87, 56, 92, 70, 70, ad 93. Fid the teth value.

Statistika Dasar by J.Heradi 12 8. Gaji tahua rata-rata yag dibayarka kepada semua pekerja di suatu perusahaa adalah $36000. Diketahui gaji tahua rata-rata utuk pekerja laki-laki adalah $34000 da utuk pekerja perempua adalah $40,000. Tetuka prosetase pekerja laki-laki da perempua di perusahaa tersebut. 9. Data berikut adalah usia pegedara yag dicatat pihak kepolisia pada saat mereka megalami kecelakaa. 17 38 27 14 18 34 16 42 28 24 40 20 23 31 37 21 30 25. Hituglah rata-rata aritmatika, media, modus, rata-rata geometri, ratarata harmoik, ketiga kuartilya, RMS, da desil ke 8. 10. Diberika data beserta frekuesi sebagai berikut: X : 462 480 498 516 534 552 570 588 606 624 f : 98 75 56 42 30 21 15 11 6 2 Hituglah rata-rataya dega megguaka metoda biasa da metoda kodig dega megambil mea tebaka 516. 11. Data berikut merupaka hasil pegukura data megeai diameter kepala paku yag diproduksi oleh suatu pabrik. Sebayak 250 sampel diambil, diameter kepala paku diukur da disusu dalam distribusi frekuesi berikut: dimater (cm) frekuesi 0.7247-0.7249 2 0.7250-0.7252 6 0.7253-0.7255 8 0.7256-0.7258 15 0.7259-0.7261 42 0.7262-0.7264 68 0.7265-0.7267 49 0.7268-0.7270 25 0.7271-0.7273 18 0.7274-0.7276 12 0.7277-0.7279 4 0.7280-0.7282 1 Total 250 Hituglah rata-rata, media, modus da ketiga kuartil data tersebut.

Statistika Dasar by J.Heradi 13 12. Tiga kota A, B da C berjarak sama satu sama laiya. Seorag pegedara motor meempuh rute dari A ke B dega kecepata rata-rata 30 km/jam, dari B ke C dega kecepata rata-rata 40 km/jam da dari kota C ke A dega kecepata 50 km/jam. Tetuka berapa kecepata rata-rata keseluruhaya. 13. A airplae travels distaces of d 1, d 2, ad d 3 miles at speeds v 1, v 2, ad v 3 mile/h, respectively. Show that the average speed is give by V, d 1 + d 2 + d 3 V = d 1 v 1 + d 2 v 2 + d 3 v 3. This is a weighted harmoic mea. Furthermore, fid V if d 1 = 2500, d 2 = 1200, d 3 = 500, v 1 = 500, v 2 = 400, v 3 = 250. 14. I 1980 ad 1996 the populatio of the Uited States was 226.5 millio ad 266.0 millio, respectively. a. What was the average percetage icrease per year? b. Estimate the populatio i 1985. c. If the average percetage icrease of populatio per year from 1996 to 2000 is the same as i part (a), what would the populatio be i 2000?