MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR

MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan suatu vektor tak nol tertentu sedemikian hingga dan A merupakan pergandaan satu sama lain dan berlaku A= dengan A matrik berukuran m m dan suatu skalar. Kejadian inilah yang dinamakan nilai eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan eigenvektor) dan merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam matriks. Eigenvalue dan eigenvektor secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen dari sebuah matriks bujur sangkar (square matri). Modul ini, erat kaitannya dengan materi-materi determinan dan ruang vektor. Dalam modul ini akan dipelajari bagaimana mendapatkan eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya serta penerapannya dalam diagonalisasi. Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur sangkar, informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigenvalue dan eigenvektor ini. Sebagai contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan penguraian spektral, dimana aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan. 5.. Eigenvalue, Eigenvektor, dan Eigenspace (Ruang Eigen) Definisi 5. (Eigenvalue dan Eigen vekor ) Jika A adalah matriks m m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaan A (5.) untuk m vektor 0, disebut eigenvalue dari A. Vektor disebut eigenvektor dari A yang berhubungan dengan eigenvalue, dan persamaan (5.) diatas disebut persamaan eigenvalue-eigenvektor A. Kadang-kadang eigenvalue dan eigenvektor juga dinyatakan sebagai (latents root and vectors) atau karekteristik roots dan vektor. Persamaan (5.) dapat juga dituliskan sebagai 0 A (5.) Setiap nilai eigenvalue harus memenuhi persamaan determinan, A 0 (5.3)

yang dikenal sebagai persamaan karakteristik A. Dengan menggunakan definisi suatu determinan, kita bisa mengamati bahwa persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial derajat ke-m dalam. Karena itu, skalar 0,, m - seperti halnya persamaan karakteristik diatas dapat juga dinyatakan sebagai m m 0 m 0 Karena polinomial derajat m memiliki m (roots), berarti suatu matriks m m memiliki m eigenvalue, karena itu terdapat m skalar,, m yang memenuhi persamaan karakteristik. Apabila semua eigenvalue A adalah real, kadang-kadang kita jumpai eigenvalue terbesar ke-i matriks A sebagai i (A). Dengan kata lain eigenvalue A dapat juga dituliskan sebagai (A) m (A). Persamaan karakteristik dapat digunakan untuk mencari eigenvalue matriks A. Kemudian dapat juga digunakan dalam persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk mencari eigenvektor. Dari eigenvektor yang telah diperoleh, dalam bebarapa penerapan, seperti penguraian nilai singular dan spektral, yang digunakan adalah eigenvektor ternormalisasi. Eigenvektor ternormalisasi adalah eigenvektor dimana tiap-tiap elemen dibagi dengan panjang vektor tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut : Contoh 5. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berukuran 33 sebagai berikut. 5 3 3 A 4 3 4 4 5 Jawab : Dengan menggunkan definisi 5.3, persamaan karakteristik A adalah, 08

A = 5 4 4 3 4 3 3 5 = (5 ) ( ) 3(4) 4(3) 3(4)( ) 3(4)(5 ) 3(4)(5 ) = 3 8 7 0 = 5 0 Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigenvalue A, yaitu : =5, = dan 3 = Untuk mendapatkan eigenvektor A yang bersesuaian dengan = 5, kita harus menyelesaikan persamaan A=5, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 5 3 3 4 3 5 4 4 5 3 3 yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan : atau 5 4 4 3 4 3 3 3 3 5 3 3 3 5 5 5 ( a) 4 3 7 ( b) () c 3 Dari persamaan (a), misal jika kita ambil = maka 3 =, sehingga dengan persamaan (c) diperoleh dan =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 5 adalah = (,, ) T. Dari persamaan = 3 dan =, anda dapat mengambil sembarang yang lain, pasti akan memenuhi persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa eigenvektor tidak tunggal. Dengan cara yang sama, sekarang untuk =, kita harus menyelesaikan persamaan A=, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 09

5 3 3 3 4 3 3 4 4 5 3 3 Dari persamaan diatas kita peroleh : 3 3 7 3 4 3 4 3 4 4 7 3 Akan terpenuhi jika =, = maka 3 = 0. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (,, 0) T. Dan untuk 3 =, kita harus menyelesaikan persamaan A=, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 5 3 3 3 4 3 3 4 4 5 3 3 Dari persamaan diatas kita peroleh : 3 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 3 Akan terpenuhi jika = 0, = maka 3 =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 3 = adalah = (0,, ) T. Dari ketiga eigenvektor tersebut kita dapatkan eigenvektor yang ternormalisasi : Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan = 5 adalah : 3 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan = adalah : 0 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 3 = adalah : 0 Sehinga eigenvektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigenvalue 5,,. : T T T / 3, / 3, / 3, /, /, 0, 0, /, / 0

Eigenvektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya saja, sehingga nilai eigenvektor tersebut kita kalikan dengan - juga merupakan eigenvektor yang lain. Eigenvalue dan eigenvektor mempunyai interpretasi geometri yang sederhana, misalnya jika merupakan eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan eigenvektor. Vektor A merupakan perkalian skalar dari dengan eigenvalue nya, sehingga panjang dari vektor A. Tanda plus minus tergantung kepada tanda dari. Contoh 5.. Dari matriks segitiga atas, tentukan eigenvalue dan eigenvektornya a a a a 0 a a a 0 0 a a 0 0 0 a 3 4 3 4 33 34 44 Jawab : Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian diagonal utama maka kita dapatkan : a a a a 3 4 0 a a a ( )( )( )( ) 3 4 A I a a a33 a44 0 0 a33 a34 0 0 0 a 44 Sehingga persamaan karakteristiknya adalah : ( a )( a )( a )( a ) 0 33 44 dan diperoleh eigenvalue nya adalah : utama dari A. a ; a ; a dan a yang merupakan elemen-elemen diagonal 33 44 Teorema 5. :

Jika A adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah atau matriks diagonal) berukuran m m, maka eigenvalue dari A adalah elemen-elemen diagonal utama dari A. Contoh 5.3. Tentukan eigenvalue dan eigenvektornya dari matriks berikut : 0 0 A 3 0 5 8 4 8 Jawab : Berdasarkan teorema 6., diatas dengan mudah dapat kita tentukan eigenvalue dari matriks A yaitu ; dan 3 4 Pada prakteknya eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks tidak selalu bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigenvalue dan eigenvektor bilangan komplek. Perhatikan contoh berikut : Contoh 5.4. Perhatikan pada matriks berikut, A Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigenvaluenya. Jawab : Dengan definisi 6.3, persamaan karakteristik matriks A dapat ditentukan : A I ( )( ) 0 Sehingga eigenvalue dari A adalah atau i dan i Untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i, kita tentukan =(, ) T = (y + iz, y + iz ) T. Untuk mendpatkan nilai y,z, y, z kita gunakan persamaan A=i.

Demikian juga untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i, kita tentukan =(, ) T = (y - iz, y - iz ) T. Untuk mendapatkan nilai y,z, y, z kita gunakan persamaan A=-i. Untuk mendapatkan eigenvektor, lakukan sebagai latihan. Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks yang berukuran besar (44 atau lebih), tentulah bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut : Contoh 5.5 Tentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berikut : 0 9 0 0 4 0 0 A 0 0 7 0 0 Jawab : Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan matriks diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai berikut :» A=[0-9 0 0;4-0 0;0 0 - -7;0 0 ] A = 0-9 0 0 4-0 0 0 0 - -7 0 0 inilah bentuk matriks A. Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari matriks A, lakukan perintah sebagai beikut :» poly(a) ans =.0000-8.0000 9.0000-4.0000 48.0000 3

Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan : 4-8 3 + 9-4 + 48 Untuk mendapatkan eigenvalue, lakukan perintah sebagai berikut :» eig(a) ans = 4.0000 4.0000 0 +.73i 0 -.73i Jadi eigenvalue dari matriks A adalah 4, 4,.73i dan -.73i Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks Untuk mendapatkan nilai eigenvektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen, lakukan perintah» [V,D]=eig(A) V = 0.83 0.83 0 0 0.5547 0.5547 0 0 0 0-0.64-0.707i -0.64 + 0.707i 0 0 0 + 0.3536i 0-0.3536i D = 4.0000 0 0 0 0 4.0000 0 0 0 0 0 +.73i 0 0 0 0 0 -.73i dimana V berisikan eigenvektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah matriks Diagonal dengan elemen diagonal adalah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigen vekotor.. - Kolom pertama matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4, - Kolom kedua matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4 4

- Kolom ketiga matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue.73i - Kolom keempat matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue -.73i Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dengan program Matlab. Coba anda kerjakan kembali contoh 6. sampai dengan contoh 6.44, dengan menggunakan bantuan program Matlab, bandingkan hasilnya dengan penghitungan manual. Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan semua eigenvektor yang dihubungkan dengan suatu eigenvalue. Kumpulan semua eigenvektor S A () yang berhubungan dengan eigenvalue tertentu, disebut ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan. Dimana S A ()={: R m dan A = } Teorema 5. : Jika S A () adalah ruang eigen dari matriks A berukuran m m yang bersesuaian dengan maka S A () adalah sub ruang vektor dari R m. Bukti : Dengan menggunakan definisi : jika S A (), maka A =. Maka jika S A () dan y S A (), maka untuk skalar dan berlaku : A( + y) = A + Ay =( )+ (y) = (+ y) Akibatnya (+ y) S A () dan S A () merupakan ruang vektor Contoh 5.6. Diberikan matriks A sebagai berikut : 0 A 0 0 0 0 tentukan ruang eigennya. Jawab : Langkah pertama, menentukan persamaan karakteristik dari matriks A sebagai berikut : 5

0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 maka diperoleh eigenvalue dari A adalah dan. Untuk mendapatkan S A (), selesaikan persamaan A =. 0 0 0 0 0 3 3 ekiuvalen dengan persamaan : 3 3 Misal jika kita pilih = 0 maka = 0 dan kita pilih 3 =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (0, 0, ) T. Pilihan lain yang juga memenuhi adalah untuk = maka = dan kita pilih 3 = 0. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (,, 0) T. Juga merupakan eigen vekor dari A. dimana dua vektor tersebut bebas secara linear, maka vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan =. Sehingga S A () adalah sub ruang yang merentang dengan basis (, ). S A () merupakakan bidang dalam R 3. Untuk mendapatkan S A (), selesaikan persamaan A = 0 0 0 0 0 3 3 3 3 Untuk persamaan diatas yang memenuhi adalah untuk = 0 dan 3 = 0 dan sembarang nilai dari, misal kita beri nilai atau kelipatannya. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (, 0, 0) T. Sehingga S A () adalah garis dalam R 3 yang diberikan oleh {(a,0,0) T :- <a<} 6

Contoh 5.7. Perhatikan pada matriks 3 3 berikut, 3 A 0 0 0 Persamaan karakteristik dari A adalah AI = ()³=0, A memiliki eigenvalue yang berulang tiga kali. Eigenvalue-eigenvektor persamaan A = menghasilkan tiga persamaan skalar. 3 3 3 3 yang mempunyai pemecahan vektor untuk bentuk = (a,0,0) T. Jadi, meskipun perkalian eigenvalue adalah 3, ruang eigen yang bersesuaian S A () = {(a,0,0) T :- a } adalah hanya berdimensi satu. 5.4.. Sifat-sifat Eigenvalue dan Eigenvektor Pada bagian ini, kita buat beberapa hasil yang berguna yang bersesuaian dengan eigenvalue. Bukti dari hasil pada teorema pertama kita dapat dengan mudah diperoleh menggunakan persamaan karakteristik atau persamaan eigenvalueeigenvektor. Teorema 5.3. Jika diberikan matriks A m m. Maka, a) Eigenvalue A T adalah sama dengan eigenvalue A. b) A matriks singular jika dan hanya jika sedikitnya satu eigenvalue A sama dengan 0. c) Elemen-elemen diagonal A adalah eigenvalue A, jika A merupakan matriks segitiga. d) Eigenvalue BAB - sama dengan eigenvalue A, jika B merupakan matriks nonsingular m m. 7

e) Setiap eigenvalue A adalah + atau -, jika A merupakan matriks orthogonal. Bukti : Buktikan teorema 5.3 sebgai latihan anda. Kita perhatikan pada contoh 6.6 bahwa memungkinkan untuk dimensi sebuah ruang eigen yang dikaitkan dengan eigenvalue lebih kecil daripada perkalian. Teorema berikut menjelaskan bagaimana jika dim{s A ()} r. Teorema 5.4. Anggap adalah eigenvalue dari matriks A m m, dengan perkalian r, maka dim{s A ()} r Bukti : Jika adalah eigenvalue A, dengan definisi terdapat 0 yang memenuhi persamaan eigenvalue-eigenvektor A = dan, jelas, dim{s A ()}. Sekarang, diberikan k = dim{s A ()}, dan,, k. akan menjadi eigenvektor independen linear yang bersesuaian dengan. Bentuk nonsingular matriks X berukuran mm yang mana vektor k ini sebagai kolom k, yaitu, X mempunyai bentuk X k X X, dimana X, dan X adalah m (m k). Karena setiap kolom X adalah, eigenvektor A yang bersesuaian dengan eigenvalue, kemudian AX = X, dan X X I (0) k Mengikuti dari kenyataan bahwa X - X=I m. Sebagai hasilnya kita dapatkan, X AX X AX AX X X AX k B ( 0) B dimana B dan B menyatakan pemisahan matriks X - AX. Jika adalah eigenvalue X - AX, maka 0 X AX m 0 k B B mk k B mk 8

dimana persamaan terakhir diperoleh dengan mengulangi penggunaan rumus perluasan kofaktor untuk sebuah determinan. Jadi, haruslah merupakan eigenvalue X - AX dengan perkalian sedikitnya k. Hasilnya sekarang mengikuti karena, berdasarkan teorema 5.3 (d), eigenvalue X - AX adalah sama seperti halnya A. Jika eigenvalue dan eigenvektor suatu matriks A diperoleh, anda dapat dengan mudah mencari eigenvalue dan eigenvektor dari sembarang pangkat bilangan bulat positif dari A. Misalnya jika adaalah suatu eigenvalue dari A dan adalah eigenvektor yang bersesuaian, maka : A =A(A)=A()=(A) = () = Yang menunjukkan bahwa merupakan eigenvalue dari A dan merupakan eigenvektor yang bersesuaian. Secara umum, perhatikan teorema berikut : Teorema 5.5. Diberikan merupakan eigenvalue matriks A m m dan eigenvektor yang berhubungan. Maka, Bukti : (a) Jika n adalah integer, n adalah eigenvalue dari A n yang berhubungan dengan eigenvektor. (b) Jika A adalah nonsingular, - adalah eigenvalue dari A - yang berhubungan dengan eigenvektor. Untuk bagian (a) dengan menggunakan hubungan A = λ yang berulang, sehingga kita mempunyai n n A A n n n A A A Untuk membuktikan poin (b), perkalian awal persamaan eigenvalue-eigenvektor A dengan A -, memberikan persamaan A (5.4) 9

Karena A nonsingular, berdasarkan teorema 6.(b) kita tahu bahwa λ 0, sehingga pembagian kedua sisi dengan λ menghasilkan A λ yang mana merupakan persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk A -, dengan eigenvalue λ - dan eigenvektor. Contoh 5.8 : Perhatikan kembali matriks A pada contoh 6.6. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari A 7 Jawab : Dari contoh soal 5.6, telah diperoleh bahwa eigenvalue dari matriks A adalah = dan =. Dengan menggunakan teorema 5.5 maka = 7 = 8 dan = 7 = merupakan eigenvalue dari A 7. Eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (0, 0, ) T. Dan eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 7 = 8 adalah = (, 0, 0) T Dalam mempelajari matriks dan statistik lebih lanjut, anda akan sering berhubungan dengan trace dan determinan suatu matriks. Jika eigenvalue dari suatu matriks sudah diperoleh, maka untuk mendapatkan trace ataupun determinan dari suatu matriks anda akan dapat menentukan dengan mudah. Perhatikan teorema berikut : Teorema 5.6. Diberikan A berupa matriks m m dengan eigenvalue λ,, λ m. Maka (a) tr(a) (b) A, m λ i i m λ i i Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan) Hal penting dalam statistika adalah mengetahui kebebasan linear dari beberapa vektor. Penerapan dari kebebasan linear telah anda kenal dalam penentuan rank, basis, dimensi ataupun dalam penyelesaian dari sistem persamaan linear yang 0

telah dibahas pada modul-modul sebelumnya. Dalam kaitannya dengan kebebasan linear, juga ada kaitannya dengan eigenvalue dari suatu matriks. Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk serangkaian eigenvektor yang independen secara linear. Teorema 5.7. Anggap,, r adalah eigenvektor matriks A berdimensi m m, dimana r m. Jika eigenvalue yang bersesuaian λ,,λ r adalah λ i λ j untuk semua i j, maka vektor,, r independen secara linear. Bukti : Pembuktian kita dilakukan dengan cara berkebalikan, karenanya kita mulai dari asumsi bahwa vektor,, r adalah independen secara linear. Kemudian h adalah bilangan integer terbesar untuk,, h yang independen secara linear. Kumpulan yang seperti itu dapat ditemukan karena, yang menjadi eigenvektor, tidak boleh sama dengan 0 (nol), dan karenanya independen secara linear. Vektor-vektor,, h+ haruslah bergantung secara linear (linearly dependent), jadi skalar yang ada,, h+ dengan sedikitnya dua skalar yang tidak boleh sama dengan nol karena menyebabkan eigenvektor menjadi vektor null, sehingga h h 0 Penyelesaian persamaan di atas untuk sisi sebelah kiri dengan mengalikannya dengan (A h+ I), kita dapatkan A λh h A λh h A λh h Ah λh h λ λ λ λ h h h h h juga harus sama dengan 0. Tetapi,, h linear independen sehingga berlaku λ λ λ λ 0 h h h h Kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dari skalar,, h tidak sama dengan nol dan sebagai contoh, jika i adalah satu dari skalar-skalar yang tidak nol, maka kita harus memiliki λ i = λ h+. Hal ini bertolak belakang dengan kondisi-kondisi

yang disebutkan dalam teorema, jadi vektor-vektor,, r haruslah independen linear. 5.4.3. Diagonalisasi Jika eigenvalue λ,, λ m dari matriks A berukuran m m semuanya adalah berbeda, maka sesuai dengan teorema 6.7 bahwa matriks X = (,, m ) adalah nonsingular, dimana i adalah eigenvektor yang berhubungan dengan λ i. Berlaku pula dengan persamaan eigenvalue-eigenvektor A i = λ i i, yaitu jika tentukan matriks diagonal = diag(λ,, λ m ), maka AX=X. Perkalian persamaan ini dengan X - menghasilkan X - AX =. Setiap matriks persegi yang dapat ditransformasikan ke matriks diagonal melalui perkalian diawal matriks (postmultiplication) dengan sebuah matriks nonsingular dan perkalian diakhir matriks (premultiplication) dengan inversnya disebut dapat didiagonalkan (diagonalizable). Jadi, suatu matriks persegi dengan eigenvalue berbeda adalah diagonalizable. Jelasnya, apabila sebuah matriks adalah diagonalizable, rank-nya sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol, karena rank(a) = rank(x - AX) = rank() Contoh 5.9. Pertimbangkan matriks berukuran berikut : 0 A ; B 0 0 0 tentukan rank dari matriks A dan B. Jawab : Dapat anda tentukan dengan mudah bahwa rank dari matriks A dan B adalah. Dan diperoleh persamaan karakteristik dari A adalah ( ) 0, sehingga eigenvalue dari A adalah 0 dan, jadi dalam kasus ini rank dari A adalah sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol. Perhatikan untuk matriks B, persamaan karakteristik dari B adalah =0, sehingga eigenvalue dari B adalah 0 yang diulang sebanyak dua kali. Disini rank dari B lebih besar dari jumlah eigenvalue yang tidak sama dengan nol.

Contoh 5.0 Diberikan matriks A sebagai berikut : 0 0 A 0 3 Tentukan suatu matriks X yang mendiagonalkan matriks A. Jawab : Dari matriks tersebut dapat kita tentukan persamaan karakteristiknya adalah (-)(- ) = 0 dan didapatkan basis-basis untuk ruang eigen : = diperoleh e = (- 0 ) T dan e =(0 0) = diperolah e 3 = (- ) T sehingga ada tiga vektor basis dan matriks A dapat didiagonalkan, 0 X 0 mendiagonalkan A. 0 dimana : X 0 0 0 0 0 0 AX 0 0 0 0 0 3 0 0 0 yang merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya adalah eigenvalue. Teorema 5.8. Diberikan matriks A berukuran m m dengan eigenvalue λ,, λ m, dan m A λ i (0) ; i m m yaitu, jika A, maka λ λ λ 0 adalah persamaan karakteristik m 0 Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan) m m A A A m 0 0 3

5.4.3. Matriks Simetris Banyak sekali aplikasi-aplikasi yang yang melibatkan eigenvalue dan eigenvektor, salah satunya adalah matriks simetri. Dimana matriks simetri mempunyai beberapa sifat khusus yang berkaitan dengan eigenvalue dan eigenvektor. Teorema 5.9. Jika A adalah matriks simetri berukuran m m, maka Bukti : a) eigenvalue dari A semuanya bilangan real, dan b) Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal a) Misal i merupakan eigenvalue dari A dan y iz merupakan eigenvektor yang bersesuaian, dimana i. Akan kita tunjukkan bahwa =0 Substitusikan ekspresi λ dan ke dalam persamaan eigenvalue eigenvector A = λ. A y iz i y iz (5.5) Perkalian (6.5) dengan (y iz) T menghasilkan T y iz A( y iz) i y iz ( y iz ) T yang disederhanakan menjadi y T Ay + z T Az = ( + i)(y T y + z T z), karena y T Az = z T Ay berlaku simetri A. Sekarang 0 berimplikasi bahwa (y T y + z T z) > 0, dan konsekuensinya kita harus mempunyai = 0 karena sisi kiri persamaan di atas adalah real. Substitusikan = 0 ke dalam persamaan (5.5) hasilnya adalah Ay + iaz = y + iz Jadi, = y + iz akan menjadi eigenvektor A yang berhubungan dengan λ = sepanjang y dan z memenuhi Ay = y, Az = z dan sedikitnya tidak ada salah 4

satu yang bernilai 0 sehingga 0. Sebuah eigenvector real kemudian dibentuk dengan memilih y 0 sedemikian hingga Ay = y dan z = 0. Jadi terbukti bahwa eigenvalue dari A semuanya bilangan real. b) Anggap dan adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan eigenvalue dan yang berbeda dari matriks A. Kita ingin menunjukkan bahwa. = 0. Menurut teori hasil kali titik pada modul Ruang Vektor, dan kesimetrisan A, diperoleh : A. =.A T =.A T (5.6) Tetapi adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan dan adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan, sehingg persamaan (5.6) menghasilkan hubungan :. =. yang dapat ditulis kembali menjadi : ( - )(. ) = 0 (5.7) Tetapi ( - ) 0, karena dan dianggap berbeda. Jadi dari persamaan 5.7 dapat kita simpulkan bahwa. = 0. Yang berarti dan ortogonal. Telah kita lihat bahwa himpunan eigenvektor dari sebuah matriks A ukuran m m adalah linear independen jika eigenvalue yang terasosiasi semuanya adalah berbeda satu sama lainnya. Sekarang akan kita tunjukkan, jika A simetris, kita bisa bahas lebih lanjut. Anggaplah dan y adalah eigenvector A yang berhubungan dengan eigenvalue λ dan, dimana λ. Maka, karena A simetris, berlaku bahwa λ T y (λ ) T y ( A) T y T A T y T ( Ay) T (γ y) γ T y Karena λ kita harus mempunyai T y = 0, yaitu eigenvector yang berhubungan dengan eigenvalue yang berbeda haruslah orthogonal. Sehingga, jika m eigenvalue A adalah berbeda, maka serangkaian eigenvector yang berhubungan akan membentuk kelompok vektor yang saling orthogonal. Akan kita tunjukkan bahwa hal itu masih memungkinkan apabila A mempunyai eigenvalue yang beragam. Sebelumnya kita perlu hasil berikut : 5

Teorema 5.0. Sebuah matriks A simetris m m dan adalah vektor tidak nol m. Maka untuk sembarang r, ruang vektor spanned by vektor, A,, A r-, memuat sebuah eigen vektor A. Bukti (Gunakan sebagai latihan) Referensi Anton, H., 987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York Basilevsky, A., 983, Applied Matri Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. Shchoot, J.R., Matri Analysis for Statistics, John Wiley, New York.. 6