Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA PELUANG 2 2. Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.16 Memahami dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya. 3.17 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata. 3.18 Memahami konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan. 3.19 Memahami dan menerapkan aturan/rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan- alasannya. 3.20 Memahami konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah..13 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya..1 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut..15 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentukan peluang dan harapan suatu kejadian dari masalah kontektua A. KAIDAH PENCACAHAN (REVIEW) 3.. 5. Latihan 1 (Aturan pengisian Tempat atau aturan perkalian) 1. 6. 1
7. 8. 9. 2
1) FAKTORIAL Def: Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan: n! = 1 x 2 x 3 x x (n-2) x (n-1) x n Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial 2. Perlu di ingat: 1! = 1 0! = 1 3. np r = n! n r! nc r = n! r! n r!. 5. 6. Latihan 2 1. 3
7. 12. 13. 8. 1. 9. 15. 10. 16. 11.
17. 23. 18. 19. 2. 20. 25. 21. 22. 5
2. PERMUTASI Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r n). Beberapa notasi permutasi n P r ; P (n,r) ; P r n ; P n,r dan n P r, yang secara sederhana dibaca sebagai permutasi r dari n. a. Permutasi Dari Unsur Beda Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah: Untuk r = n, yaitu: np r = n! n r! np n = n! Ada 5 calon untuk dipilih sebagai ketua, wakil dan bendahara. Berapa banyak cara pemilihan yang bisa dilakukan? C. Permutasi Siklis (Permutasi Sirkuler) Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar. Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. 1) Banyak permutasi siklis dari n elemen itu adalah P (siklis) = (n-1)! 2) Jika berputar ke kiri dan ke kanan dianggap sama (n 3), maka banyak permutasi siklis dari n elemen itu adalah P (siklis) = ½. (n-1)! Ayah ibu dan tiga orang anak duduk melingkar disebuah meja bundar untuk makan. Berapa banyak cara: a. mereka duduk di meja bundar tersebut. b. Permutasi Dari Unsur Yang Sama Banyak permutasi n obyek dengan sejumlah n 1 serupa, n 2 serupa,, sejumlah n r serupa dengan (n 1 + n 2 + + n r ) n adalah: b. Jika anak bungsu duduk diapit ayah dan ibunya. np (n1,n2,,nr) = Berapa banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari hurufhuruf MATEMATIKA? n! n 1!n 2! n r! 6
d. Permutasi Berulang Misalnya tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi r elemen yang diambil dari n unsur yang tersedia, dengan setiap elemen yang tersedia: 1) boleh ditulis berulang adalah: P (berulang) = n r 2) tidak boleh ditulis berulang adalah: P (tidak berulang) = n(n-1)(n-2) (n-r+1) = n r! Tentukan banyaknya penyusunan suatu bilangan terdiri dari 3 angka boleh berulang dari angka 2,3,5,6,7,9 n! Latihan 3 1. 2. 3. KOMBINASI Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r n) n Beberapa notasi kombinasi n C r ; C n,r ; C r dan ( n ), yang secara r sederhana dibaca sebagai kombinasi r dari n. 3. Banyak kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah: n! nc r = r! n r! Perlu diingat: 1) Untuk r = n, maka n C n = 1 2) Untuk r = 0, maka n C 0 = 1 3) Untuk r = n = 0, maka 0 C 0 = 1 Seorang siswa disuruh mengerjakan soal dari 8 soal yang ada. Tentukan: a. banyaknya cara memilih b. banyak cara memilih jika nomor 1 dan2 wajib dikerjakan.. 7
5. 9. 10. 6. 11. 7. 12. 8. 8
13. 17. 1. 18. 15. 19. 16. 9
20. 2. 25. 21. 26. 22. 27. 23. 10
28. 32. 29. 30. 33. 31. 11
3. garis g sejajar l, garis k memotong garis g dan l di titik A dan P. pada garis g terdapat titik A,B,C, D dan E. pada garis l terdapat titik P,Q,R, dan S. Pada garis k terdapat titik A,P,X dan y. berapa banyak segitiga yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut. B. PELUANG KEJADIAN 1. Nilai Peluang Kejadian Misalkan S adalah ruang sampel (semua hasil yang mungkin) dari percobaan dengan setiap titik sampel memiliki kesempatan muncul yang sama. Jika A adalah kejadian dengan A S maka peluang kejadian A dapat dirumuskan : dimana : P(A) n(a) n(s) n(a) = banyak anggota dalam himpunan kejadian A n(s) = banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S Contoh : Dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 9 kali tentukanlah: a. peluang kejadian munculnya 7 angka b. peluang kejadian munculnya gambar minimal 8 35. 5 pria diantaranya A dan B. 7 wanita diantaranya x dan y. dipilih 7 orang (3 pria dan wanita). Banyak cara dapat dilakukan jika disyaratkan jika A terpilih maka B terpilih dan jika x terpilih maka y tidak terpilih. Pada sebuah kotak terdapat bola biru, 3 bola putih, dan 8 bola merah. Akan diambil 5 bola sekaligus, tentukanlah: a. peluang terambilnya 2 bola biru b. peluang tidak terambilnya bola putih b. peluang terambilnya minimal 3 bola merah 36. 20 siswa diantaranya A, B dan C akan di bentuk 3 kelompok (5,7 dan 8 orang). Banyak pengaturan dapat dilkukan jika A dan B satu kelompok, C lain kelompok. 12
Catatan : Letak interval nilai P(A) adalah 0 P(A) 1 dimana : P(A) = 0 disebut kemustahilan Contoh : matahari terbit dari barat. P(A) = 1 disebut kepastian Contoh : matahari terbit dari timur 2. Peluang Kejadian Komplemen 2. P(A) P(bukan A) 1 Contoh : Dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 7 kali. Peluang munculnya angka minimal 2. 3. 3. Frekwensi Harapan Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian A adalah P(A) maka frekwensi harapan kejadian A dirumuskan : F h (A) P(A) x N 3 coin dilempar 100 kali maka tentukan frekwensi harapan munculnya 2 sisi gambar. 5. Latihan 1. 13
6. 10. 7. 11. 8. 12. 9. 13. 1
1. (OSK MATEMATIKA SMA 2015) satu dadu dittos enam kali. Probalitas jumlah mata yang muncul 9 adalah ( 56 6 6) 2. Peluang Kejadian Saling Bebas Dua buah kejadian (kejadian A dengan kejadian B) dikatakan saling bebas jika dan hanya jika muncul tidaknya kejadian A tidak terpengaruh oleh muncul tidaknya kejadian B atau sebaliknya. Peluang dua kejadian A dengan B yang saling bebas dirumuskan : P(A B) P(A) x P(B) 15. (OSK MATEMATIKA SMA 2007) Catatan : Jika P(A B) P(A) x P(B) disebut kejadian tidak saling bebas. Dua keping uang logam dilempar sekali secara serentak, kejadian A munculnya sisi gambar G pada mata uang logam pertama sedang kejadian B adalah muncul sisi yang sama untuk kedua mata uang logam. Periksalah apakah kedua kejadian itu saling bebas. C. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK 1. Peluang 2 Kejadian Saling Lepas Dua kejadian dikatakan saling lepas jika A B =. Secara diagram Venn digambarkan sebagai berikut : S A B Jika kejadian A dengan kejadian B adalah dua kejadian saling lepas maka peluang gabungan kejadian A dengan B dirumuskan : P(A B) P(A) P(B) 3. Peluang Kejadian (Bersyarat) Dua kejadian (kejadian A dan B) dikatakan kejadian bersyarat jika munculnya kejadian A mempengaruhi kejadian B. Kedua kejadian dituliskan dengan lambang A/B (dibaca : kejadian A setelah kejadian B). Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul dirumuskan : P(A B) P(A/B) P(B) ; P(B) 0 Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapa peluang muncul bilangan 2 atau bilangan 5. Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul dirumuskan : P(A B) P(B/A) P(A) ; P(A) 0 15
Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya bilangan genap kalau diketahui telah muncul bilangan prima. (1/3) setelah bola pertama diambil, bola tersebut tidak dikembalikan tetapi langsung diambil bola kedua. Berapa peluang yang terambil : a. bola hitam pada pengambilan pertama dan kedua. b. bola hitam pada pengambilan I dan putih pada bola kedua. ( 20 15 dan ) 56 56. Pengambilan Contoh Dengan dan Tanpa Pengembalian Misalkan dari 1 set kartu bridge diambil satu kartu berturutturut sebanyak dua kali. Tata cara pengambilan ini dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu : a. Setelah mengambil kartu pertama, kartu ini dikembalikan ke dalam 1 set kartu bridge, baru dikocok kemudian diambil lagi. Cara pengambilan seperti ini disebut pengambilan contoh dengan pengembalian. b. Setelah mengambil kartu pertama, kartu ini tidak dikembalikan tetapi langsung mengambil kartu kedua. Cara pengambilan seperti ini disebut pengambilan contoh tanpa pengembalian. Latihan 5 1. 1) Pengambilan Contoh Dengan Pengembalian Misalkan : A 1 adalah kejadian pada pengambilan I dan dikembalikan. A 2 adalah kejadian pada pengambilan II setelah kejadian A 1. 2. Catatan : P(A1 A2) P(A1 ) x P(A2 ) Hal ini sama dengan kejadian saling bebas. 2) Pengambilan Contoh Tanpa Pengembalian Misalkan : A 1 adalah kejadian pada pengambilan I dan tidak dikembalikan. A 2 adalah kejadian pada pengambilan II setelah kejadian A 1. Catatan : P(A1 A2 ) P(A1 ) x P(A2 / A1 ) Hal ini sama dengan kejadian bersyarat. Contoh soal : Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola hitam dan 3 bola putih. Dari dalam kotak itu diambil sebuah bola berurutan sebanyak 2 kali 16
3. 7.. 8. 5. 9. 6. 10. 17
1. 11. 15. 12. 13. 16. seorang penembak mempunyai kemampuan membidik dengan tepat sebesar 75%. Jika hasil bidikan yang diulang adalah bebas, maka peluang kemampuan menembak 3 kali dengan: a. pertama meleset dan dua kali berikut tepat b. dua tepat dan satu kali meleset. 18
17. Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas dimana P(A) = 2 1 dan P(A B) = 3. Nilai P(B) adalah... A. 1 8 B. 2 8 C. 3 8 D. E. 6 5 8 20. Sebuah dadu bersisa enam dilempar satu kali, maka peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap dengan syarat kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi lebih dulu adalah... 1 1 A. D. 3 2 2 5 B. E. 3 6 1 C. 6 18. Tiga keping mata uang logam dilempar sekali. Misalkan : A : adalah kejadian munculnya sekurang-kurangnya dua sisi G. B : adalah kejadian munculnya mata uang pertama sisi G. Maka dari keterangan di atas nilai P(A B) adalah... A. 1 B. 2 C. 3 D. E. 6 5 6 21. Jika P(A ) = 1/6, P(B A) = 3/5, P(A B) = 3/, maka P(A B) = A. 1 D. /6 B. 0,5 E. ¾ C. 5/6 22. Jika P(A ) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A B) = 1/3, maka P(A B) = 19. Dari soal no. 18 di atas peluang dari P(B A) adalah... A. 1 3 D. 8 B. 2 E. 8 C. 3 Belajar itu memang melelahkan tapi jika tidak belajar lebih melelahkan nantinya.. Tetep semangat ya belajarnya 19