Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. x Masukan Fungsi f f(x) Keluaran Setiap ilangan (x) yang dimasukan kemudian dihuungkan dengan satu ilangan tunggal seagai keluaran, tetapi dapat juga ahwa eerapa nilai masukan yang erlainan memerikan nilai keluaran yang sama. ). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Contoh Jika himpunan A = {Bandung, Suraaya, Medan} B = {Jaar, Jatim, Sumut}. Bandung adalah Iukota provinsi Jaar, Suraaya Iukota provinsi Jatim dan Medan Iukota provinsi Sumut. Jadi relasi antara himpunan A ke himpunan B adalah Iukota Provinsi. Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius. Pasangan Berurutan. Contoh Jika A = {,, 6} B = {, 4, 6, 8, 0, }. Relasi dari himpunan A ke B adalah Faktor dari, nyatakanlah relasi terseut dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius. Himpunan pasangan erurutan.. Himpunan pasangan erurutannya :{(, ), (,4), (, 6), (, 8), (, 0), (4, 4), (4, 8),(6, 6)} ). Domain, Kodomain dan Range
Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A diseut Domain (daerah asal) himpunan B diseut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A diseut Range (derah hasil). Contoh Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh di atas : Domain = {, 4, 6} Kodomain = {, 4, 6, 8, 0, } Range = {, 4, 6, 8, 0} Contoh 4 Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di awah ini: a. Domain = {, 5 } Kodomain = {,, 6, 8, 9} Range = {,, 8}. Domain = {, 5, 7, 8} Kodomain = {,,, 4, 7, 8} Range = { {,,, 4, 7, 8} ). Definisi fungsi Fungsi f adalah suatu relasi yang menghuungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang diseut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang diseut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi terseut diseut daerah hasil ( Range) Untuk memeri nama suatu fungsi dipakai seuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di aa f dari x menunjukkan nilai yang dierikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x +, maka f() = + Contoh 5 Manakah relasi di awah ini yang merupakan fungsi, jika relasi dari A ke B
A f B A f B A f B Relasi pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota domain A erelasi tunggal terhadap anggota kodomain B Relasi kedua ukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain B Relasi ketiga ukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang tidak erelasi dengan anggota kodomain B Contoh 6 Dari grafik di awah ini, mana yang merupakan fungsi, jika domain sumu x Grafik a. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain x erelasi tunggal terhadap kodomain y Grafik. ukan merupakan fungsi karena ada anggota domain x yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota x jika kita tarik sejajar sumu y akan mendapatkan dua titik potong. Grafik. ukan merupakan fungsi karena ada anggota domain x yang erelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota x jika kita tarik sejajar sumu y akan mendapatkan dua titik potong. Grafik d. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain x erelasi tunggal terhadap kodomain y Contoh 7 Mana dari himpunan A, B dan C erikut ini yang merupakan fungsi? A = {(, ), (, ), (, 5), (4, 7), (5, 8)} B ={(, 6), (, 7), (, 8), (, 9), (4, 0)} C ={(, 5), (, 6), (4, 7)}
Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B ukan fungsi sea pada himpunan B domain munul dua kali (erelasi dengan nilai 6 dan 7 pada kodomain). Contoh 8 Jika g : x x² + 5 dan domainnya {- x, x B}, tentukan daerah hasil dan uatlah himpunan pasangan erurutannya. Domain = {- x, x B} = { -, -, -, 0, } g(-) =.(-) + 5 =. 9 + 5 = g(-) =.(-) + 5 =. 4 + 5 = 7 g(-) =.(-) + 5 =. + 5 = 8 g( 0) =.0 + 5 =. 0 + 5 = 5 g( ) =. + 5 =. + 5 = 8 Jadi Range = {, 7, 8, 5} Himpunan pasangan erurutannya :{(-, ), (-, 7), (-, 8), (0, 5), (, 8)} Contoh 9 Diketahui f(x) = ax +. dengan f(-4 ) = - dan f() = 9 Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan fungsinya. f(x) = ax + f(-4 ) = a(-4) + = - -4a + = -. () f( ) = a. + = 9 a + = 9. () Eliminasikan dan diperoleh: -4a + = - a + = 9 - -6a = - a =, sustitusi nilai a = ke a + = 9. + = 9 = 5 Jadi fungsinya f(x) = x + 5 4). Peredaan relasi dan fungsi Dari ontoh dan di atas dapat disimpulkan ahwa seuah fungsi (pemetaan) merupakan relasi, sedangkan seuah relasi elum tentu seuah fungsi. Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota B ke anggota A jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a Contoh 0 4
Jika A={,,, 4, 5} dan B = { 5, 6} maka anyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari A ke B seanyak 5 = dan anyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari B ke A seanyak 5 = 5 Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A diseut Korespondensi Satu-satu Pada. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika anyaknya anggota A = anyaknya anggota B Banyaknya korespondensi satu-satu pada yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A atau B = n adalah n! dengan n! = n. ( n ).(n ).. Contoh a 5! = 5.4... = 0 Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B jika (n)a = (n)b = 6 adalah 6! 6! = 6.5.4... = 70 Aturan relasi merupakan pusat suatu fungsi, tetapi hasil seuah fungsi elum dapat ditentukan sampai daerah asalnya dierikan. Ingatlah ahwa domain adalah himpunan anggota yang kepadanya fungsi memerikan nilai. Jika suatu fungsi daerah asalnya tidak dirini, maka daerah asalnya kita anggap himpunan teresar ilangan real sedemikian sehingga fungsi memerikan nilai ilangan real. Daerah asal yang kita peroleh diseut daerah asal alami Contoh Tentukan domainnya sehingga fungsi di awah ini memerikan nilai ilangan real a. y = x + 4. x y = x 4. y = x 6 Jawa : a. Daerah asalnya x Real, karena setiap x elemen ilangan real, fungsi memerikan nilai ilangan real : D f = { x R} x. fungsi y = merupakan fungsi peahan, dimana fungsi tidak akan x 4 memerikan suatu nilai jika penyeutnya ernilai 0 (nol). Jadi Daerah asalnya x R dimana x + 4 0 atau D f = {x x -4, x R }. fungsi y = x 6 merupakan fungsi dalam akar, dimana fungsi tidak akan memerikan suatu nilai real jika di dalam akar ernilai negatif. Jadi Daerah asalnya x R dimana x 6 > 0 atau D f = {x x >, x R} 5). Jenis-jenis fungsi 5
Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah : a). Fungsi Konstan Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) =, dengan suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumu koordinat dimana domainnya sumu x merupakan garis yang sejajar dengan sumu x. ). Fungsi Identitas Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lamang I sehingga I(x) = x. Grafiknya seagai erikut : ). Fungsi Modulus atau fungsi harga mutlak Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat entuk nilai mutlak Contoh Lukislah grafik fungsi f(x) = x 4 Lukis dahulu grafik y = x 4, setelah itu grafik yang terletak di awah sumu x, kita positipkan dengan ara menerminkan grafik di awah sumu x dengan erminnya adalah sumu x x 0 4 Y = x 4-4 = 4 0 4 Ternyata grafik y = ax simetris pada x = /a, gampang ya melukisnya!! Contoh 4 Lukislah grafik fungsi f(x) = x 4 y 4 f(x) = x 4 6
Jawa : Kita lukis dahulu grafik fungsi y = x 4 dengan memuat tael seperti di awah ini, setelah itu kita erminkan grafik di awah sumu x dengan ermin sumu x. x - - - 0 y 5 0 - -4-0 5 d). Fungsi Polinomial Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam entuk : n n n f(x) = a x a x a x... a x a x a n n n Jika n = maka terentuk fungsi linier (grafiknya erentuk garis lurus). Jika n = maka terentuk fungsi kuadrat( grafiknya erentuk paraola). e). Fungsi Genap Fungsi genap adalah suatu fungsi f dimana erlaku f(x) = f(-x). Yang merupakan fungsi genap antara lain fungsi yang pangkat-pangkat dari variaelnya ilangan genap. Jika fungsi itu peahan, maka dapat dikatakan fungsi genap jika variael pada pemilang dan penyeut erpangkat semua genap atau semua ganjil. f). Fungsi Ganjil Fungsi ganjil adalah suatu fungsi f dimana erlaku f(-x) = - f(x). Yang merupakan fungsi ganjil antara lain fungsi yang semua variaelnya erpangkat ganjil. Jika fungsi itu peahan, maka dapat dikatakan fungsi ganjil jika variael pada pemilang erpangkat ganjil dan variael dari penyeut erpangkat genap atau sealiknya. Contoh 5 Selidikilah fungsi di awah ini fungsi genap, fungsi ganjil atau ukan kedua duanya: a. f(x) = x 4. f(x) = x + 5. f(x) = x + 5x d. 4 x f(x) = x 5 e. 4 x x 6 f(x) = x 5x a. Semua variael erpangkat genap, yaitu dan 0 jadi termasuk fungsi genap. Variael ada yang erpangkat ganjil yaitu dan erpangkat genap yaitu 0, jadi ukan fungsi genap maupun fungsi ganjil.. Semua variael erpangkat ganjil, jadi merupakan fungsi ganjil. 0 7
d. Semua variael dari pemilang dan penyeut erpangkat genap, jadi merupakan fungsi genap. e. Semua variael pemilang erpangkat genap dan semua variael penyeut erpangkat ganjil, jadi merupakan fungsi ganjil. 6). Sifat-sifat fungsi Berdasarkan sifatnya fungsi teragi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen daerah hasil (R f ) merupakan ayangan paling sedikit dari daerah kodomain (K f ) Kalimat terseut seara matematika diartikan : Misal f : A B adalah seuah fungsi. Jika R f = B atau daerah hasil dari fungsi f sama dengan kodomain f, maka f adalah fungsi suyektif atau pada.. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen domain (D f ) memiliki pasangan yang ereda pada kodomain (K f ), Kalimat terseut seara matematika diartikan : Misal f : A B adalah seuah fungsi dan R f adalah daerah hasil f. Bila x dan x adalah semarang dua elemen pada D f, jika x x mengakiatkan f(x ) f(x ) dan jika f(x ) = f(x ) mengakiatkan x = x, maka f: A B diseut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.. Fungsi ijektif adalah korespondensi satu-satu, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain Contoh 6 Dari diagram panah di awah ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif, fungsi injektif dan fungsi ijektif. Diagram panah a merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen Kodomain Diagram panah merupakan fungsi injektif karena anyaknya elemen domain sama dengan anyaknya elemen range Diagram panah ukan merupakan fungsi surjektif,injektif atau ijektif Diagram panah d merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain Diagram panah e merupakan fungsi ijektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain 8
. Rangkuman. Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan : a. Diagram Panah. Diagram Cartesius. Pasangan Berurutan.. Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A diseut Domain (daerah asal) himpunan B diseut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A diseut (daerah hasil).. Pemetaan atau fungsi adalah relasi khusus dari himpunan A ke B dimana setiap anggota A tepat memiliki pasangan dengan anggota B 4. Banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A = a dan anyaknya anggota B= adalah a 5. Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A diseut Korespondensi Satu-satu Pada. Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika anyaknya anggota A = anyaknya anggota B 6. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari anggota A ke anggota B jika anyaknya anggota A atau B = n adalah n! dengan n! = n. ( n ).( n ).. 7. Berdasarkan sifatnya fungsi teragi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang elemen daerah hasilnya (R f ) sama dengan elemen daerah kodomain (K f ). nama lain fungsi surjektif adalah fungsi onto atau fungsi kepada. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap domain memiliki pasangan yang ereda pada kodomain, atau anyaknya anggota domain (D f ) sama dengan anyaknya anggota range (R f ). Fungsi ijektif adalah korespondensi satu-satu pada, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain. Relasi-relasi dari himpunan A = {a,,} ke B = {,,} digamarkan dengan himpunan pasangan seagai erikut. Relasi manakah yang merupakan fungsi? a. {(a, ), (a, ), (, ), (, ), (, )}. {(a, ), (, ), (, )}. {(a, ), (, ), (, )} d. {(a, ), (, ), (, )} e. {(a, ), (, ), (, )} 9
. Relasi-relasi dari himpunan A= {a,,} ke B = {,,} digamarkan dengan diagram panah seagai erikut. Relasi manakah yang merupakan fungsi? a... d. a a a a e. f. g. h. a a a a. Jika A = {0,,, } dan B = {,, 4, 5, 6, 7, 8} Relasi yang menghuungkan himpunan A ke B adalah Tiga kurangnya dari Buatlah : a. Diagram panah.. Diagram artesius.. Himpunan pasangan erurutan. d. Ada erapa anyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B dan dari B ke A 4. Diketahui himpunan A= {,, 5, 6 }dan B = {,, 4, 5, 6 }. Relasi yang menghuungkan himpunan A ke himpunan B adalah satu kurangnya dari a. Buatlah diagram panah, diagram artesius dan himpunan pasangan erurutannya. Ada erapa pemetaan yang mungkin terjadi dari B ke A 5. Suatu relasi dinyatakan dalam himpunan pasangan erurutan {(-, 0), (-, ), (0, ), (, ), (, 4)} Tentukan Domain,Kodomain dan Rangenya 6. Diketahui fungsi f : x f(x) yang dirumuskan seagai f(x) = x, tentukanlah: a. Nilai f(-), f(-), f(0), f() dan f(). Jika f(a) = 7 tentukan nilai a. Jika f(x) = -5 tentukan nilai x 7. Diketahui fungsi f : x f(x) dirumuskan seagai f(x) = x 5, tentukan: a. Nilai f(-), f(-), f(-), f(0),f(), f() dan f(). Gamarlah dalam diagram artesius. Jika f(a) = tentukan nilai a d. Jika f(x) = 45 tentukan nilai x 8. Jika A = {,,4,5}, B={ a,,} C = { p,q,r,s,t} dan D = {,4,5,4,7} a. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari A ke B. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari C ke A. Ada erapa pemetaan yang mungkin dari D ke B 0
d. Ada erapa korespondensi satu-satu yang mungkin dari C ke D e. Mungkinkah terjadi korespondensi satu-satu dari A ke C, mengapa? 9. Jika f : x x. Tentukan daerah hasil yang domainnya adalah {0,,, }. Kemudian uatlah diagram panah, diagram artesius serta himpunan pasangan erurutan 0. Tentukan domainnya sehingga fungsi di awah ini memerikan nilai ilangan real a. y = x + 4 d. y = x. y = 5x e. y = x x 5 4x. y = x 5 f. y = 7x. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dengan himpunan pasangan erurutan erikut ini manakah yang merupakan fungsi onto, injektif atau ijektif Jika domain A={a,,, d} dan kodomain B = {,,, 4}? a. {(a, ), (, ), (, ), (d, 4)} d. {(a, ), (, ), (, ),(d,)}. {(a, ), (, ), (, ),(d,)} e. {(a, ), (, ), (, ),(d,)}. {(a, ), (, ), (, ),(d,4)}. Jika g : x x² + domainnya {- x, x B}, tentukanlah daerah hasil dan uatlah diagram artesiusnya.. Diketahui f(x) = ax +. dengan f () = 9 dan f (0) = - Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan persamaannya. x 4. Diketahui fungsi f(x) = x x. tentukanlah nilai dari: f(-), f(4), f(0) dan f( ) 5. Diketahui f(x) = ax +. dengan f () = 4 dan f (-) = - Tentukan nilai a dan kemudian tuliskan persamaannya 6. Selidiki fungsi di awah ini fungsi genap, fungsi ganjil atau ukan kedua duanya: 4 a. f(x) = x x x 4x + 5 d. f(x) = x 5x 5 x x x x 6x. f(x) = e. f(x) = 4 7 x 8x x. f(x) = x 5 + 5x x f. f(x) = x 4 + 5x 7. Lukislah grafiknya dari fungsi di awah ini : a. y = x + 5. y = 6 x. y = x 6x 6 d. y = 9 x e. y = x x
8. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dengan diagram panah erikut ini manakah yang merupakan fungsi onto, injektif atau ijektif, jika relasi dari A ke B? A a d IV B 4 A a d V B 4 A d VI B B. Konsep Fungsi Linier a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Memuat grafik fungsi linier. Menentukan persamaan grafik fungsi linier yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya. Menemukan syarat huungan dua grafik fungsi linier saling sejajar dan saling tegak lurus Menyelesaikan masalah program keahlian yang erkaitan dengan fungsi Linier. Uraian Materi ). Pengertian fungsi linier Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variaelnya erpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering diseut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan entuk umumnya s.: f : x mx + atau f(x) = mx + atau y = mx + m adalah gradien / kemiringan / keondongan dan adalah konstanta Contoh 7 Fungsi linier f : x x + 5 f(x) = 5x -0 y = x - 7 y +4x = y = 5 ukan fungsi linier y = x + = x y 5xy + y = 0