METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar dalam selang [a,b] dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan. Contoh: Bisection, Regula Falsi.
SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode terbuka (Open Method) Iterasi coba-coba yang sistematis Bisa konvergen kadangkala divergen Contoh: Newton Raphson, Secant.
METODE TERTUTUP Syarat cukup keberadaan akar: Jika f(a) f(b) < 0 dan f(x) menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a,b]. Selang [a, b] harus berbeda tanda pada nilainilai fungsinya supaya terdapat minimal 1 buah akar.
METODE TERTUTUP
METODE TERTUTUP Kondisi yang mungkin terjadi 1. f(a)f(b) < 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil 2. f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap (termasuk tidak ada akar)
METODE TERTUTUP Cara menentukan selang yang cukup kecil dan mengandung akar: 1. Membuat grafik fungsi di bidang X-Y, lalu melihat di mana perpotongannya dengan sumbu-x. 2. Membuat tabel yang memuat nilai-nilai fungsi pada pada titik-titik absis yang berjarak tetap (h). pada pada titik-titik absis yang berjarak tetap (h). Nilai h dibuat cukup kecil.
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Algoritma
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Penentuan x 1 dan x 2 Evaluasi : f (x mid ) = 0 f (x mid )
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) f(x 1 ) dan f(x mid ) sama tanda x 1 = x mid f(x 2 ) dan f(x mid ) sama tanda x 2 = x mid
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Contoh 1: Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x 3-7 x + 1 dengan = 0,01 No x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x mid f(x mid ) 1 2,5 2,6-0,875 0,376 2,55-0,269 2 2,55 2,6-0,269 0,376 2,575 0,049 3 2,55 2,575-0,269 0,049 2,562-0,117 4 2,562 2,575-0,117 0,049 2,568-0,041 5 2,568 2,575-0,041 0,049 2,572 0,010 6 2,568 2,572-0,041 0,010 2,570-0,015 7 2,570 2,572-0,041 0,010 2,571-0,003 Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Contoh 2: Temukan akar dari suatu fungsi y = e x 5x 2 dengan = 0,00001 Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 0.605263
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua: 1. Jumlah akar lebih dari 1 1. Bila dalam selang [a, b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan. 2. Cara mengatasinya: gunakan selang [a,b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah akar 2. Akar ganda Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru
METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD) Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua: 3. Singularitas Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu
METODE REGULA FALSI Kelemahan metode bagidua adalah kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Bila f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b), tentu akar lebih dekat ke x = a daripada ke x = b. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) ini adalah metode regula-falsi (bahasa Latin) atau metode posisi palsu. (false position method)
METODE REGULA FALSI Evaluasi suatu akar : f(x * ) x mid = x n 1 n 2 x Bisection x * = x n f(x n ) xn 1 xn f ( xn 1) f ( x n ) Regula-Falsi lelaran n = 0,1,2,
METODE REGULA FALSI
METODE REGULA FALSI Secara umum, metode regula-falsi lebih cepat daripada metode bagidua. Tetapi, ada kemungkinan metdoe regulasi lebih lambat Kasus seperti ini akan terjadi bila kurva fungsinya cekung (konkaf) di dalam selang [a,b] Akibatnya, garis potongnya selalu terletak di atas kurva atau selalu terletak di bawah kurva.
METODE REGULA FALSI
METODE REGULA FALSI Contoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = e x 5x 2 dengan = 0,00001 dalam selang [0,1] Hampiran akar x adalah 0.605267
METODE REGULA FALSI Pada kondisi yang paling ekstrim, b-a r tidak pernah < ε karena nilai b selalu tetap pada lelaran r = 0,1,2, Titik ujung yang tidak pernah berubah ini disebut stagnant point Pada stagnant point berlaku, b-a r = b-a r untuk r = 0,1,2,
PERBAIKAN METODE REGULA FALSI Tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan > 1) stagnant point Nilai f pada stagnant point diganti menjadi setengah kalinya
PERBAIKAN METODE REGULA FALSI Contoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = e x 5x 2 dengan = 0,00001 dalam selang [0,1] Hampiran akar x adalah 0.605267
METODE REGULA FALSI Kerjakan!!! Temukan salah satu akar dari suatu fungsi y = x 3-7 x + 1 menggunakan metode regula-falsi dengan = 0,001?