Mulyono (NIM : ) BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran

Transkripsi

1 Mulyono (NIM : ) BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran berupa tingkat ketelitian metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear satu variabel. A. Diagram Alir Diagram alir dibuat untuk mempermudah urutan langkah-langkah penyelesaian masalah. Adapun diagram alir yang dihasilkan secara garis besar terdiri dari : 1. Program Utama Dalam diagram alir untuk program utama berisi perintah untuk menentukan pilihan pada menu utama (masuk, bantuan dan keluar) serta pilihan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama. 2. Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi. 3. Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Regula Falsi. 24

2 Mulyono (NIM : ) Prosedur Perbandingan Utama Dalam diagram alir untuk prosedur perbandingan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Diagram alir secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 1. B. Kode Program Kode program yang dihasilkan diberi nama NUMERIK yaitu program yang digunakan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menentukan akar penyelesaian persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Secara garis besar kode program ini terdiri dari : 1. Program Utama Dalam kode program untuk program utama berisi pernyataan untuk menampilkan menu utama, pernyataan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

3 Mulyono (NIM : ) Prosedur-prosedur a). Prosedur Tunggu Prosedur tunggu menampilkan kondisi pada saat program Numerik sedang menyimpan file hasil perhitungan. b). Prosedur Judul Prosedur judul menampilkan judul program pada setiap langkah-langkah program Numerik. c). Prosedur Bantuan Prosedur bantuan menampilkan bantuan dari program. d). Prosedur Bye_bye Prosedur bye_bye menampilkan kondisi pada saat keluar program. e). Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi. f). Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi. g). Prosedur Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi Prosedur ini berisi perintah untuk memasukkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi dari persamaan non-linear.

4 Mulyono (NIM : ) 27 h). Prosedur Tampil Derajat Prosedur tampil derajat menampilkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi pada setiap langkah-langkah program Numerik. i). Prosedur Pilihan Input Prosedur ini berisi pilihan cara memasukkan data. j). Prosedur Perbandingan Utama Dalam prosedur perhitungan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Kode program secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 2. C. Hasil Keluaran Pada saat pemanggilan pertama program, tampak MENU UTAMA : < < < M E N U U T A M A > > > 1. Masuk 2. Bantuan 3. Keluar/Exit Pilihan anda (1/2/3) = 1 Gambar 7. Tampilan Menu Utama

5 Mulyono (NIM : ) 28 Jika pilihannya adalah 1 maka selanjutnya akan muncul pilihan untuk jenis penyelesaian persamaan non-linear. Silahkan pilih!!! 1. Penyelesaian Persamaan Non-Linear Menggunakan Metode Biseksi 2. Penyelesaian Persamaan Non-Linier Menggunakan Metode Regula Falsi 3. Penyelesaian Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi untuk mengetahui ketelitiannya Pilihan (1/2/3) ==>> 1 Gambar 8. Tampilan Pilihan Jenis Penyelesaian Setelah dipilih penyelesaian yang pertama yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi, selanjutnya muncul perintah untuk memasukan derajat tertinggi persamaan non-linear, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2. Penyelesaian Persamaan Non-Linear Menggunakan Metode Biseksi Masukkan pangkat tertinggi = 3 Menentukan Koefisien x^1, x^2, x^3,..., x^n Nilai a ==>> 1 Nilai b ==>> 0 Nilai c ==>> -7 Nilai d ==>> 1 Menentukan 2 Nilai Awal x1 dan x2 Masukkan nilai x1 awal ==>> 2.5 Masukkan nilai x2 awal ==>> 2.6 Gambar 9. Tampilan Memasukkan Koefisien x dan Nilai Awal x1, x2

6 Mulyono (NIM : ) 29 Apabila derajat tertinggi, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2 telah ditentukan, sebagai ilustrasi untuk derajat tertingginya adalah 3 nilai a = 1 (koefisien x 3 ), b = 0 (koefisien x 2 ), c = -7 (koefisien x 1 ), d = 1 (koefisien x 0 ) dengan nilai x1 awal = 2,5 dan nilai x2 awal = 2,6. Selanjutnya akan ditampilkan hasil perhitungan menggunakan metode Biseksi. Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi Salah satu akar pendekatannya = diperoleh pada iterasi ke 20 dengan error = (ε = 1E-7) nilai fungsinya = Gambar 10. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi Untuk pilihan penyelesaian yang kedua yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi, tampilannya hampir sama dengan pilihan penyelesaian yang pertama, perbedaannya hanya pada nilai hasil perhitungan karena menggunakan rumus iterasi yang berbeda. Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi Salah satu akar pendekatannya = diperoleh pada iterasi ke 29 dengan error = (ε = 1E-7) nilai fungsinya = Gambar 11. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi

7 Mulyono (NIM : ) 30 Jika yang dipilih adalah penyelesaian yang ke tiga yaitu penyelesaian metode Biseksi dan metode Regula Falsi untuk mengetahui perbedaan kecepatan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi, maka akan muncul perintah untuk memasukkan jumlah persamaan non-linear, pangkat tertinggi dan batas jumlah iterasi. Gambar 12. Tampilan Perintah Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi serta Batas Jumlah Iterasi Setelah jumlah dan pangkat tertinggi ditentukan sebagai ilustrasi jumlah persamaannya adalah 10 dengan derajat tertinggi 2, selanjutnya muncul pilihan cara memasukkan data yaitu data dimasukkan satu persatu dari keyboard atau data didapat dari angka random untuk menentukan koefisien dari x 2 (Nilai a), x 1 (Nilai b) dan x 0 (Nilai c) serta dua nilai awal x1 dan x2. Masukkan jumlah persamaan ==>> 10 Masukkan derajat tertinggi ==>> 2 Masukkan batas jumlah iterasi ==>> 10 P i l i h a n M a s u k k a n 1. Masukkan dari Keyboard 2. Masukkan berupa angka Random Pilihan ==>> 2 Gambar 13. Tampilan Pilihan Memasukkan Data

8 Mulyono (NIM : ) 31 Jika yang dipilih memasukkan data satu persatu, maka muncul perintah untuk memasukkan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya. Tetapi jika yang dipilih adalah cara memasukkan berupa angka random maka program secara otomatis menentukan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya. Persamaan ke 10 dari 10 persamaan Menentukan Koefisien x^1, x^2, x^3,..., x^n Nilai c ==>> 0.32 Menentukan 2 Nilai Awal x1 dan x2 Menentukan nilai x1 awal ==>> Menentukan nilai x2 awal ==>> 2.08 Gambar 14. Tampilan Program Menentukan Koefisien serta Nilai x1 dan x2 Awal dengan Angka Random Pada saat program menentukan nilai x1 awal dan x2 awal, syarat yang harus dipenuhi adalah f(x1).f(x2)<0, jika tidak ditemukan nilai yang memenuhi persyaratan maka program akan menentukan nilai a, b, c,, n yang baru. Setelah semua persamaan non-linear mempunyai nilai koefisien dan nilai awal x1 dan x2 maka selanjutnya program melakukan perhitungan menggunakan rumus iterasi pada masing-masing metode. Pada metode Biseksi, langkah-langkahnya adalah :

9 Mulyono (NIM : ) Menentukan nilai x3 dengan rumus x1 + x2 x3 = dan nilai f(x3) 2 2. Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3. 3. Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3. 4. Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai. Sedangkan pada metode Regula Falsi, langkah-langkahnya adalah : f (x2) 1. Menentukan nilai x3 dengan rumus x3 = x2 (x2 x1) dan f (x2) f (x1) nilai f(x3) 2. Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3. 3. Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3. 4. Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai. Proses perhitungan pada kedua metode berjalan ketika pada layar monitor tampak :

10 Mulyono (NIM : ) 33 Silahkan tunggu...!!! Persamaan Ke 10 Iterasi metode Biseksi ke = Iterasi metode Regula Falsi ke = Gambar 15. Tampilan Proses Iterasi Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi Jika proses iterasi untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi sudah selesai, maka selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan ditampilkan langsung pada layar monitor. Jika menginginkan langsung ditampilkan maka ketikkan y atau Y dan jika tidak ingin menampilkan hasilnya maka ketikkan t atau T. Tampilkan Hasil perhitungan (Y/T)? Y Gambar 16. Tampilan Pertanyaan Tampilkan Hasil Perhitungan Setelah dipilih untuk menampilkan hasil perhitungan oleh metode Biseksi dan metode Regula Falsi dengan mengetikkan y atau Y maka selanjutnya akan ditampilkan nilai a, b, c,, n serta nilai x1 awal dan nilai x2 awal untuk setiap persamaan. Selanjutnya akan ditampilkan pula salah satu

11 Mulyono (NIM : ) 34 akar pendekatan dan akar pada saat iterasi ke 10 serta kesimpulan yang didapat. Persamaan Ke=10 (x1awal = dan x2awal = 2.08) Nilai a = Nilai b = 0.61 Nilai c = 0.32 Tekan tombol ENTER...!!! Gambar 17. Tampilan Koefisien serta Nilai x1 Awal dan x2 Awal Persamaan ke 10 * **** Program penyelesaian Persamaan Non-Linear *** *** Menggunakan Metode Biseksidan Regula Falsi *** * Salah satu akar penyelesaiannya ================================================== Pers. Metode Biseksi Metode Regula Falsi ================================================== ================================================== Rata ================================================== Gambar 18. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu akar Penyelesaian

12 Mulyono (NIM : ) 35 * **** Program penyelesaian Persamaan Non-Linear *** *** Menggunakan Metode Biseksidan Regula Falsi *** * Akar penyelesaian pada saat iterasi ke 10 ================================================== Pers. Metode Biseksi Metode Regula Falsi ================================================== ================================================== Rata ================================================== Gambar 19. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu akar pada Iterasi ke 10 * **** Program penyelesaian Persamaan Non-Linear *** *** Menggunakan Metode Biseksidan Regula Falsi *** * K E S I M P U L A N Selisih metode Biseksi = Selisih metode Regula Falsi = Karena selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke 10 metode Biseksi lebih KECIL dari selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke 10 metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa : Metode Biseksi lebih teliti dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya. Ini ditunjukan dengan selisih untuk metode Biseksi yang lebih KECIL dari selisih metode Regula Falsi. Gambar 20. Tampilan Kesimpulan

13 Mulyono (NIM : ) 36 Setelah ditampilkan hasil perhitungan metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta kesimpulannya, selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan disimpan di file. Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan maka ketikkan y atau Y selanjutnya ketikkan nama file untuk menyimpannya (misal nama filenya hasil). Simpan hasil perhitungan (Y/T)? Y Gambar 21. Tampilan Pertanyaan Simpan Hasil Perhitungan Hasil perhitungan akan disimpan dalam file text Ketikkan nama filenya ===>>> hasil Gambar 22. Tampilan Perintah Ketikkan Nama File Hasil perhitungan sudah disimpan pada file ===>>> c:\numerik\hasil.txt Gambar 23. Tampilan Keterangan Hasil Perhitungan Telah Disimpan

14 Mulyono (NIM : ) 37 Gambar 24. Hasil Perhitungan Program NUMERIK pada File Hasil.txt

15 Mulyono (NIM : ) 38 Pertanyaan terakhir yang muncul adalah apakah akan mengulang menjalankan program. Jika menginginkan mengulangi dan melakukan perhitungan lagi maka ketikkan y atau Y dan program akan kembali ke MENU UTAMA. Apakah akan mengulang (Y/T)? Y Gambar 25. Tampilan Pertanyaan Apakah Akan Mengulang Selanjutnya jika yang dipilih nomor 2 pada MENU UTAMA, maka akan muncul penjelasan tentang program NUMERIK. Tekan ENTER untuk kembali ke MENU UTAMA. < < B A N T U A N > > Program ini berfungsi untuk menentukan salah satu akar penyelesaian persamaan Non-Linier dengan menggunakan metode Numerik yaitu metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta mengetahui ketelitian ke dua metode dengan membandingkan selisih antara rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada saat iterasi ke 10. Untuk dapat mengoperasikannya silahkan pada MENU UTAMA - ketik 1 untuk Masuk Program - ketik 2 untuk Bantuan Program - ketik 3 untuk Keluar Program Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan di file maka pilih "Y" pada pertanyaan Simpan hasil perhitungan (Y/T)? dan ketikan NAMA FILE nya. Jika ingin melakukan perhitungan lagi ketikkan "Y" pada pernyataan Apakah akan mengulang (Y/T)? Gambar 26. Tampilan Penjelasan Program Numerik << E N T E R >>

16 Mulyono (NIM : ) 39 Jika pada MENU UTAMA dipilih 3 maka program akan berhenti. ############################## T E R I M A K A S I H Bye!!! ############################# Gambar 27. Tampilan Terakhir Program Numerik D. Perbandingan Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi Setelah dilakukan perbandingan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi dengan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel maka didapat data seperti pada tabel berikut (ε = 1 x 10-7 dan n = 10). Tabel Hasil Perhitungan Selisih untuk Berbagai Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi Jumlah Persamaan Derajat Tertinggi Selisih rata-rata metode Biseksi Selisih rata-rata metode Biseksi Dari contoh-contoh keluaran di atas dengan jumlah persamaan dan derajat tertinggi yang berbeda-beda diperoleh selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n (iterasi ke 10) untuk metode Biseksi yang selalu lebih kecil dari selisih metode Regula Falsi. Karena selisih

17 Mulyono (NIM : ) 40 metode Biseksi selalu lebih kecil dari selisih metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa metode Biseksi lebih dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya.