PENALARAN MATEMATIKA BIOMETRIKA I

PENALARAN MATEMATIKA BIOMETRIKA I

HISTORI Gagasan pemakaian lambang-lambang dalam proses deduksi dirintis oleh Gottfried Liebniz, matematikawan Jerman pada abad XVII Dilanjutkan olej George Boole dan Agustus de Morgan, matematikawan Inggris pada abad XIX Logika deduksi sering disebut logika simbolik dan menjadi landasan teori dalam ilmu komputer

2.1. Pernyataan dan Lambang Pernyataan Pernyataan ialah sebuah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduaduanya (benar dan salah), Jadi pernyataan ialah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, biasanya dilambangkan dengan angka 0 (salah) dan angka 1 (benar) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap pernyataan adalah sebuah kalimat akan tetapi sebuah kalimat belum tentu merupakan sebuah pernyataan

Contoh : Setiap kalimat di bawah ini merupakan sebuah pernyataan : Wina adalah ibukota Austria Mandra orang Betawi asli 7 + 3 = 11 Pernyataan 1 dan 2 memiliki nilai 1, sedangkan pernyataan 3 memiliki nilai 0 Setiap kalimat di bawah ini bukan merupakan sebuah pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya Berapakah umur anda Pergilah dari hadapanku 2x+2 = y

Teladan Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf kecil, seperti p, q, r, dan sebagainya. Contoh : p : Ikan Paus merupakan hewan mamalia, maka nilai kebenarannya dapat kita tulis n(p) = 1, sebaliknya q = Mandra aktor Holywood, maka nilai kebenarannya adalah n(q) = 0

2.2. Pengolahan terhadap Pernyataan Pernyataan-pernyataan dalam sub bab 2.1 merupakan pernyataan sederhana yang dapat dirangkai menjadi sebuah pernyataan majemuk, dan pernyataan majemuk dapat dirangkai menjadi gugus majemuk. Sifat-sifat dari gugus majemuk serupa dengan aljabar gugus

Logika Simbolik Ada lima macam perangkai dasar yang digunakan dalam logika simbolik, yaitu : Ingkaran (bukan) merupakan pengolah tunggal Konjungsi (dan) Disjungsi (atau) Pernyataan bersyarat (jika..maka ), dan pernyataan dwisayarat (.jika dan hanya jika.) yang merupakan pengolah biner Karena nilai kebenaran hanya ada dua macam yaitu 0 dan 1, maka ada sebanyak 8 buah kemungkinan nilai 0 atau 1 sebagai nilai kebenaran bagi pernyataan majemuk yang disusun oleh tiga pernyataan, misal p, q, dan r

Teladan :. Pilihan bagi p 0 1 Pilihan bagi q Pilihan bagi r 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Kemungkinan 000 001 010 011 100 101 110 111

teladan Bentuk Daftar kebenaran untuk ingkaran pernyataan p : p p 1 0 0 1 (1) (2)

Contoh Pernyataan p : hari ini hujan, maka ingkaran ~p : hari ini tidak hujan Pernyataan r : semua mahasiswa lulus ujian matematika lulus ujian matematika, maka ingkarannya ~r : ada mahasiswa yang tidak lulus ujian matematika, atau ~r : tida semua mahasiswa lulus ujian matematika, atau ~r : tidak benar bahwa semua mahasiswa lulus ujian matematika Pernyataan r di atas biasanya dicatat sebagai x, r(x) : lambang x dibaca sebagai untuk semua (atau untuk setiap) x dan disebut KUANTOR UNIVERSAL. Sedangkan ingkarannya biasa ditulis x, ~r atau A E ~( x, r(x)); lambang x dibaca sebagai ada suatu x dan disebut kuantor eksistensi. A E A

Konjungsi Daftar kebenaran konjungsi dua pernyataan : dan P q P ^q 1 1 1 1 0 0 0 1 00 0 0 (1) (2) (3)

Konjungsi dua pernyataan Misalkan p dan q adalah dua pernyataan sembarang. Penyataan p dan q disebut konjungsi p dan q dan dilambangkan p^q. Nilai kebenaran p^q adalah selalu salah, kecuali dalam hal p dan q serempak benar

Disjungsi Daftar kebenaran konjungsi dua pernyataan : atau P q P Vq 1 1 1 1 0 1 0 1 10 0 0 (1) (2) (3)

Disjungsi dua pernyataan Misalkan p dan q adalah dua pernyataan sembarang. Pernyataan majemuk p atau q disebut disjungsi (inklusif) p dan q, dan dilambangkan sebagai p v q. Nilai kebenaran p v q selalu benar kecuali dalam hal p dan q serempak salah.

Dua Pernyataan Setara Dua pernyataan p dan q dikatakan setara (logik), dilambangkan sebagai p q, jika kedua pernyataan itu mempunyai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya.