TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50
Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan 5 Rumus-rumus Turunan 6 Turunan Fungsi Trigonometri 7 Aturan Rantai 8 Turunan Implisit 9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi 10 Laju Terkait (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 2 / 50
Pendahuluan Mengapa Turunan Penting? Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan: Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri, dsb.) Biaya marjinal suatu produk. Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu. Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh. Laju penyebaran informasi, gosip. Laju peluruhan bahan radioaktif. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 3 / 50
Turunan Fungsi Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan Definisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik) Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f (a), adalah f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h (1) asalkan limit tersebut ada. Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a. Perhatikan Gambar (a) berikut. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 4 / 50
Turunan Fungsi Ilustrasi Geometris Definisi Turunan Pada Titik (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 5 / 50
Turunan Fungsi Alternatif Formula Turunan Bila pada definisi (1) diambil x = a + h, akan diperoleh alternatif formula: f (a) = lim x a f (x) f (a) x a (2) (lihat Gambar (b)) f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h = lim x a f (x) f (a) x a (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 50
Turunan Fungsi Contoh (Definisi Turunan pada Titik) Gunakan definisi turunan untuk menentukan: 1 f (0) bila f (x) = 2x + 1. SOLUSI 2 f (3) bila f (x) = 3/x. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 7 / 50
Turunan Fungsi Soal Gunakan definisi turunan untuk menentukan f (1) bagi fungsi-fungsi berikut. 1 f (x) = 1/x 2 f (x) = x x 1 x 2 + 1 ; x 1 3 f (x) = 2x ; x > 1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 8 / 50
Turunan Fungsi Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f (a), yakni turunan f di x = a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah y f (a) = f (a) (x a) (3) DEMO ANIMASI TURUNAN (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 9 / 50
Turunan Fungsi Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 10 / 50
Turunan Fungsi Contoh Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yang melalui titik (3, 1). SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 11 / 50
Turunan Fungsi Turunan Sebagai Fungsi Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan (1) dan (2), akan diperoleh fungsi f dengan f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h (4) = lim z x f (z) f (x) z x f pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f. Daerah asal f, D f = {x; f (x) ada}, D f D f. Nilai f (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasi f (x) untuk x = a. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 50
Turunan Fungsi Contoh Diketahui fungsi f dengan f (x) = x. Gunakan definisi turunan untuk menentukan f (x) dan f (4). Tentukan D f dan D f. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 13 / 50
Turunan Fungsi Soal Gunakan definisi turunan untuk menentukan f (x), D f, dan D f fungsi-fungsi berikut: 1 f (x) = x 2 2x 2 f (x) = x 2/3 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 14 / 50
Turunan Fungsi Notasi Lain Turunan Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f : y = f (x) = dy dx = df dx = d dx f (x) = Df (x) = D x f (x) Catatan: notasi dy/dx, df /dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 15 / 50
Tafsiran Lain Turunan Aplikasi Turunan Fisika: Kecepatan Sesaat Nilai f (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap x di x = a. Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t, kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah v = f s (a) = lim t 0 t = lim f (a + h) f (a) t 0 t laju objek pada saat t = a adalah f (a), yakni nilai mutlak kecepatan sesaat. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 16 / 50
Tafsiran Lain Turunan Aplikasi Turunan Ekonomi, Demografi Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton), f (x) = lim C x 0 x bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f (x) dikenal sebagai biaya marjinal. Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun), f (t) = lim P t 0 t bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 17 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan Kaitan Turunan dan Kekontinuan Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan) Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a. Makna Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukan syarat cukup. Untuk memeriksa keberadaan f (a), terlebih dahulu periksa kekontinuan f di a. Jika f kontinu di a, maka f (a) belum tentu ada. Jika f tak kontinu di a, maka f (a) tidak ada. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan) Tunjukkan bahwa f (x) = x kontinu di x = 0 tetapi f (0) tidak ada. SOLUSI Contoh (Kontinu, Terturunkan) Tentukan f (1), bila x 2 + 1 ; x < 1 f (x) = 2x ; x 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 19 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan) 1 Tentukan g ( 1) dan g (1) bila 1 2x ; x < 1 g(x) = x 2 ; 1 x 1 2x ; x > 1 x 2 ; x a 2 Fungsi f didefinisikan sebagai f (x) = mx + b ; x > a Nyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 20 / 50
Kaitan Turunan dan Kekontinuan Di mana Turunan Tidak Ada? (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 21 / 50
Rumus-rumus Turunan Rumus-rumus Turunan Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui definisi turunan (4). Teorema (Turunan Fungsi) Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta d 1. dx (c) = 0 4. d du (u ± v) = dx dx ± dv dx 2 ). 3. d dx (x n ) = nx n 1 5. d du (cu) = c dx dx 6. d du (uv) = dx d ( u ) = dx v dx v + u dv dx ( du dx v u dv dx ) /v 2 2) n : bil. bulat positif (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 22 / 50
Rumus-rumus Turunan Contoh Tunjukkan bahwa: 1 2 d (c) = 0. SOLUSI dx d dx (x m ) = mx m 1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 23 / 50
Rumus-rumus Turunan Turunan Fungsi Pangkat Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum) Jika n sebarang bilangan real, maka d dx (x n ) = nx n 1 (5) Dari pembahasan sebelumnya, berlaku d dx (x n ) = nx n 1, n : bilangan bulat (6) Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa (6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan). Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkan bahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 24 / 50
Rumus-rumus Turunan Soal 1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. y = 2x 3 x 2 + 5 b. g(x) = ( x 3 3x ) / (3x 1) c. u = (x 2 x)(x 5 2x 3 )/x 4 2 Tunjukkan bahwa d dx x x 2 1 = 3 Tentukan g (x) jika g (x) = x 2 f (x). 1 (x 2 1) 3. x 2012 1 4 Nyatakan lim sebagai bentuk turunan, dan tentukan x 1 x 1 nilainya. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 25 / 50
Rumus-rumus Turunan Turunan Fungsi Sesepenggal Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisi turunan. Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal) Andaikan f kontinu di a serta lim f (x) dan lim f (x) ada. Fungsi f x a x a + terturunkan di a jika dan hanya jika lim f (x) = lim f (x) dan x a x a + f (a) = lim x a f (x) = lim x a + f (x) (7) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 26 / 50
Rumus-rumus Turunan Contoh 1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika x 2, x < 1 f (x) = x, x 1 Tentukan f (x). SOLUSI 2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1. 3x 2, x 1 f (x) = ax + b, x > 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 27 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Limit Penting (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 28 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Sinus, Cosinus d sin x = lim (sin (x + h) sin x) /h dx h 0 = lim h 0 (sin x cos h + cos x sin h sin x) /h = lim cos x (sin h) /h sin x(1 cos h)/h h 0 [ ] [ ] = cos x lim (sin h) /h sin x lim (1 cos h)/h h 0 h 0 = cos x 1 sin x 0 = cos x dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa d dx cos x = sin x. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 29 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri d d sin x = cos x dx cos x = sin x dx d dx tan x = sec2 x d d sec x = sec x tan x dx d dx cot x = csc2 x csc x = csc x cot x dx (8) Satuan sudut: radian (2π rad = 360 o 1 rad = 57.3 o ). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 30 / 50
Turunan Fungsi Trigonometri Soal Dengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkan kebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 31 / 50
Aturan Rantai Aturan Rantai Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x 2 3x) 2. Teknik i) kuadratkan (karena bentuknya sederhana): y = x 4 6x 3 + 9x 2 dy/dx = 4x 3 18x 2 + 18x ii) pemisalan variabel baru: misalkan y = u 2, u = x 2 3x dy/du = 2u, du/dx = 2x 3 dy = dy du dx du dx = 2u (2x 3) = ( 2x 2 6x ) (2x 3) = 4x 3 18x 2 + 18x ( = cara i) Metode ii) dikenal dengan aturan rantai. Misalkan y = (x 2 3x) 2012, dy/dx =? Teknik i) amat rumit, teknik aturan rantai amat efisien. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 50
Aturan Rantai Teorema (Aturan Rantai) Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x, maka fungsi komposisi (f g) (x) terturunkan di x dan (f g) (x) = f (g (x)) g (x) (9) Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x), maka dy dx = dy du du dx (10) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 33 / 50
Aturan Rantai Ilustrasi Aturan Rantai Komposisi 2 Fungsi (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 34 / 50
Aturan Rantai Perluasan Aturan Rantai Komposisi > 2 Fungsi dst. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 35 / 50
Aturan Rantai Contoh Tentukan d dx 4x + 10 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 36 / 50
Aturan Rantai Soal 1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. y = ( x 2 + 1 ) 4 ( 2x 3 3x + 5 ) b. y = tan(1 sin 2 (2t 1)) 2 Tentukan d dx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin (π/2 x) dan sin x = cos (π/2 x). 3 Diketahui x f (x) g (x) f (x) g (x) 0 1 1 5 1/3 1 3 4 1/3 8/3 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di titik yang diberikan. a) f (x) g 3 (x), x = 0 c) f (x + g (x)), x = 0 b) f ( x ), x = 1 d) x 5 + f (x), x = 1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 37 / 50
Turunan Implisit Turunan Implisit Fungsi eksplisit: y = f (x) Contoh: y = 2x + 1, y = 1 x 2 Fungsi implisit: F (x, y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsi terhadap x. Contoh: y 2x 1 = 0, x 2 + y 2 = 1, sin (xy) + 2x 2 = 3 Menurunkan fungsi implisit turunkan kedua ruas terhadap x, gunakan aturan rantai, tentukan dy/dx. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 38 / 50
Turunan Implisit Contoh Tentukan dy/dx = y pada lingkaran x 2 + y 2 = 25, dan tentukan persamaan garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 39 / 50
Turunan Implisit Turunan Fungsi Pangkat Rasional Teorema Misalkan p, q bilangan bulat, d dx x p/q = p q x p/q 1, q = 0 (11) Soal Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 40 / 50
Turunan Implisit Soal Tentukan dy/dx bagi persamaan-persamaan berikut. 1 3x 3 + 4y 3 + 8 = 0 2 xy + 4 = y 3 cos (x + y) = x 2 + y 2 4 Tunjukkan bahwa kurva xy 3 + x 3 y = 4 tidak memiliki garis singgung horizontal. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 41 / 50
Turunan Tingkat Lebih Tinggi Turunan Tingkat Lebih Tinggi Turunan ke- Notasi f Notasi y Notasi Leibniz Notasi D 1 f (x) y dy dx 2 f (x) y d 2 y dx 2 3 f (x) y d 3 y dx 3 n, n 4 f (n) (x) y (n) d n y dx n D x y D 2 x y D 3 x y D n x y d n y dx n = d ( d n 1 ) y dx dx n 1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 42 / 50
Turunan Tingkat Lebih Tinggi Aplikasi Turunan Kedua Penentuan Percepatan Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka v (t) = ds dt = f (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t. a (t) = dv dt = d 2 s dt 2 = f (t) menyatakan percepatan objek pada waktu t. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 43 / 50
Turunan Tingkat Lebih Tinggi Contoh Tentukan turunan ke-n bagi y = 1 x. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 44 / 50
Turunan Tingkat Lebih Tinggi Soal 1 Tentukan turunan ke-n bagi: a. f (x) = x n b. f (x) = x/ (x + 1) 2 Didefinisikan x 2 ; x 0 f (x) = x 2 ; x < 0 Buat sketsa grafik f. Tunjukkan bahwa f (x) = 2 x dan simpulkan bahwa f (0) tidak ada. 3 Tunjukkan bahwa lingkaran x 2 + y 2 = r 2 memiliki turunan kedua y = r 2 /y 3. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 45 / 50
Laju Terkait Laju Terkait Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya. Makna tanda laju: dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) x membesar (mengecil) dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) x mengecil (membesar) dx/dt = 0 : x konstan (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 46 / 50
Laju Terkait Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait 1 Pahami permasalahan. 2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang merupakan fungsi terhadap waktu. 3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan. 4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui. 5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t. 6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan. Kesalahan umum: terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui! (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 47 / 50
Laju Terkait Contoh Seberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turun jika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 48 / 50
Laju Terkait Soal (Laju Terkait) 1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak. Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik, seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada 4 m dari lantai? 2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucut terbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalir dari bagian bawah dengan laju 1/4 m 3 /menit. Seberapa cepat air menurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jari permukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m? 3 Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengan dengan luas permukaannya. a Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan. b Jika bola salju tersebut mencair menjadi 8 27 dari volume semula dalam waktu satu jam, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar bola salju tersebut habis mencair? Jawab: 3 jam. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 49 / 50
Tentang Slide Laju Terkait Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 50 / 50