BAB II KAJIAN PUSTAKA

4 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi peluang, rataan dan variansi, teori sampling, distribusi normal, nilai harapan dan nilai harapan bersyarat, fungsi likelihood, parameter dan statistik, pengujian hipotesis statistik dan analisis sekuensial. A. Percobaan dan ruang sampel Menurut Walpole (1995:70), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan hasil dari suatu percobaan yang disebut sebagai titik sampel. Titik-titik sampel ini dapat membentuk beberapa himpunan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel dan disebut sebagai kejadian. Berikut ini adalah beberapa definisi yang membahas masalah ruang sampel beserta sifat-sifatnya: Definisi 2.1 (Walpole, 1995:70): Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dibedakan atas dua macam, yakni ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Ruang sampel diskret adalah ruang sampel yang

5 mengandung titik-titik sampel yang banyaknya terhingga atau titik-titik sampelnya berupa barisan yang tidak berakhir namun nilainya sama banyak dengan nilai bilangan cacah. Adapun ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang mengandung titik sampel yang banyaknya tak terhingga dan sama banyak dengan banyaknya titik-titik pada sebuah ruas garis (Walpole & Myers, 1995:52 ). Definisi 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992:9) Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dan A 1, A 2,. adalah kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam S, dan misalkan P adalah suatu fungsi yang menghasilkan nilai real P(A) untuk setiap kejadian A, maka P(A) disebut peluang dari A jika memenuhi: a) P(A) 0, untuk setiap kejadian A b) P(S) = 1 c) Jika A 1, A 2,. adalah barisan kejadian saling asing (A i A j = dengan ij dan Ai S ) maka: Definisi 2.3 (Walpole, 1995:90) Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam A. Jadi 0 1, 0, 1 Bila ruang sampel suatu percobaan mempunyai unsur, dan masingmasing unsur tersebut mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka

6 pada setiap titik sampel diberikan peluang sebesar. Dengan demikian, peluang kejadian, yang berisikan titik sampel adalah rasio banyaknya titik sampel atau unsur dalam dengan banyaknya titik sampel atau unsur dalam. B. Peubah acak dan fungsi peluang 1) Peubah acak Definisi 2.4 (Walpole dan Myers, 1995:51) Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan real. Peubah acak biasanya dinyatakan dengan huruf besar misalnya, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, yaitu. Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acak berhingga atau tak berhingga tetapi masih dapat dihitung maka disebut sebagai peubah acak diskret. Sedangkan jika semua hasil yang mungkin dari peubah acak mencapai nilai dalam suatu interval maka disebut sebagai peubah acak kontinu. 2) Peluang bersyarat Definisi 2.5 (Bain & Engelhardt, 1992:18) Peluang bersyarat suatu kejadian A bila diketahui B terjadi didefinisikan sebagai Jika 0

7 Bila rumus diatas dikalikan dengan P(B) maka diperoleh aturan perkalian yang memungkinkan kita untuk menghitung peluang dua kejadian yang terjadi bersama, aturan tersebut yaitu : 3) Fungsi peluang dan fungsi padat peluang Definisi 2.6 (Walpole dan Myers, 1995:54) Apabila merupakan peubah acak diskret, maka disebut fungsi peluang dari peubah acak, jika memenuhi : i. 0 ii. 1 iii. Definisi 2.7 (Walpole dan Myers, 1995:60) Apabila merupakan peubah acak kontinu, maka disebut fungsi padat peluang dari peubah acak, jika memenuhi : i. 0 untuk semua ii. 1 iii. C. Rataan dan variansi 1) Rataan Definisi 2.8 (Bain & Engelhardt, 1992:72) Untuk sebuah peubah acak dengan fungsi peluang / fungsi padat peluang, rataan ditulis didefinisikan sebagai :

8 ; ; Teorema 2.1 (Dudewicz dan Mishra, 1995:249) maka Bila konstan dan,, fungsi yang harapannya ada i. ii. iii.. Bukti : Untuk yang kontinu i.. ii.... iii.

9 2) Variansi Definisi 2.9 (Walpole & Myers, 1995:96) Jika adalah peubah acak dengan fungsi peluang, rataan, maka variansi ditulis atau, didefinisikan sebagai :,, Teorema 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992:74) Jika peubah acak dengan rataannya maka Bukti : D. Teori sampling 2 2 2 Definisi 2.10 (Supranto, 2008:23) Sampling adalah cara pengumpulan data dengan menyelidiki seluruh elemen populasi satu persatu.

10 Definisi 2.11 (Supranto, 2008) Teori sampling adalah teori cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi. Untuk melakukan analisis statistik diperlukan data, dan untuk itu maka diperlukan cara untuk mengumpulkan data. Data dapat dikumpulkan dengan berbagai cara. Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan haruslah ditempuh cara-cara yang benar dalam setiap langkah termasuk cara-cara pengambilan sampel atau sampling. Sampling dilakukan karena cara pengambilan data tidak dapat dilakukan dengan sensus yaitu cara yang lebih sederhana dibandingkan sampling. Ada berbagai alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan yaitu karena ukuran sampel yang jumlahnya tidak terhingga, masalah biaya dan biaya yang terbatas, masalah percobaan yang sifatnya merusak, masalah ketelitian dari penelitian yang dilakukan. Karena masalah tersebut diatas maka labih efisien jika dilakukan sampling. 1. Populasi dan sampel Definisi 2.12 (Supranto, 2008:22): Populasi adalah kumpulan dari seluruh elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain karena karakteristiknya. Perbedaan-perbedaan itu disebabkan karena adanya nilai kerakteristik yang berlainan.

11 Definisi 2.13 (Supranto, 2008:23): Sampel adalah sebagian dari populasi. Jika n adalah banyaknya elemen sampel dan N adalah banyaknya elemen populasi, maka n < N ( n lebih kecil dari N). Istilah lain dari sampel adalah contoh. Populasi dan sampel sering ditulis sebagai berikut : Populasi :,,,,, Sampel :,,,,, 2. Sampling sekuensial Definisi 2.14 (Sudjana, 2002:175), Sampling sekuensial adalah pengambilan sampel yang setiap anggota sampel diambil satu demi satu dan pada setiap kali selesai pangambilan anggota, analisis dilakukan lalu berdasarkan ini kesimpulan diadakan, yaitu apakah sampling berhenti ataukah akan dilanjutkan. Setiap anggota yang diambil disatukan dengan anggota-anggota yang telah diambil terlebih dahulu sebelum dijadikan sebuah kesimpulan. E. Distribusi normal Menurut (Sudjana, 2002:136), Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dan sering digunakan. Distribusi ini juga sering disebut distribusi Gauss. Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu.

12 Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada dengan persamaan : dengan :, π = nilai konstan yang bila ditulis hingga empat decimal π = 3,1416 e = bilangan konstan, bila ditulis hingga empat decimal e = 2,7183 µ = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi. σ = parameter, yang merupakan simpangan baku untuk distribusi. Maka dikatakan bahwa variabel acak berdistribusi normal. F. Nilai harapan dan nilai harapan bersyarat Definisi 2.15 (Walpole dan Myers, 1995:94) Jika suatu variabel acak dengan distribusi peluang. Nilai harapan adalah : jika variabel diskrit. jika variabel kontinu Teorema 2.3 (Walpole dan myers, 1995:103) Misalkan dan peubah acak yang saling bebas dan misalkan dan ada, maka berlaku a. Jika dan konstanta maka b. c.

13 Bukti : a. Jika adalah peubah acak kontinu, maka Jika adalah peubah acak diskret, maka b. Misalkan dan adalah peubah acak kontinu, maka,,,,, c. Misalkan dan merupakan peubah acak kontinu, sedangkan merupakan suatu fungsi, maka,

14 Definisi 2.16 (Bain dan Engelhardt 1992:180) Jika X dan Y peubah acak diskret, maka nilai harapan bersyarat dari Y yang diberi didefinisikan Definisi 2.17 (Bain dan Engelhardt 1992:180) Jika X dan Y peubah acak kontinu, maka nilai harapan bersyarat dari Y yang diberi didefinisikan, G. Fungsi likelihood Definisi 2.18 (Bain dan Engelhardt, 1992:293) Misalkan,,,, sampel acak dengan fungsi peluang,, untuk 1,2,3,,. Apabila yaitu fungsi peluang bersama dari,,,, yang dipandang sebagai fungsi dari θ dan,,,, menyatakan nilai tertentu, maka :,,.,, Fungsi inilah yang disebut sebagai fungsi likelihood

15 H. Parameter dan statistik Definisi 2.19 (Walpole, 1995: 22) Sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi disebut parameter. Sudah menjadi kebiasaan bahwa parameter dilambangkan dengan huruf yunani dan parameter merupakan suatu konstanta yang menjelaskan populasi. Definisi 2.20 (Walpole, 1995: 22) Sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Statistik biasanya dinyatakan dalam huruf kecil. I. Pengujian hipotesis statistik Definisi 2.21 (Walpole, 1995:327): Hipotesis statistik adalah suatu anggapan atau pernyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu populasi atau lebih. Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau menolak hipotesis. Jadi dengan demikian terdapat dua pilihan. Agar dalam penentuan salah satu di antara dua pilihan itu lebih teperinci dan lebih mudah dilakukan, maka akan digunakan perumusanperumusan seperlunya. Hipotesis biasanya dinyatakan dengan H, agar dirumuskan dengan singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Hipotesis H ini perlu didampingi oleh pernyataan lain yang menyatakan berlawanan, maka hipotesis H dinyatakan dengan H 0 dan H 1, yang artinya H 0 melawan H 1 dan ini juga menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari

16 daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula di kenal dengan nama daerah kritis. Dalam pengujian hipotesis akan terjadi dua macam kesalahan yaitu : i. Kesalahan tipe 1 yaitu menolak hipotesis yang seharusnya diterima ii. Kesalahan tipe 2 yaitu menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Dengan menggunakan pernyataan peluang bersyarat kedua tipe kesalahan pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai berikut J. Analisis sekuensial Definisi 2.22 (Sudjana, 2002 : 396 ) Analisis sekuensial adalah analisis yang membawa kepada kesimpulan statistik dimana banyak obyek yang diamati tidak ditentukan terlebih dahulu melainkan diamati secara sekuens (berurutan) atau satu demi satu. Definisi 2.23 (George, 1973 : 341) Prosedur sampling yang berakhir dengan waktu untuk berhenti disebut prosedur sekuensial.