UJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL

Transkripsi

1 UJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL Sartika 1) Wayan Somayasa 2) Rahmaliah Sahupala 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) Dosen Program Studi Matematika Jurusan Matematika F-MIPA UHO Kendari ABSTRAK Uji Likelihood Rasio merupakan salah satu metode yang digunakan dalam menguji suatu hipotesis dengan membandingkan fungsi likelihood antara hipotesis majemuk alternatifnya Tujuan dari uji likelihood rasio adalah untuk meperoleh kesimpulan terhadap hipotesis pada tingkat signifikansi pada suatu nilai parameter distribusi Weibull dengan mengestimasi parameternya yaitu Estimasi parameter dilakukan untuk memperoleh nilai penduga maksimum menggunakan metode Maksimum Likelihood (MLE) dengan bantuan iterasi Newton-Raphson Metode MLE ( Estimasi maksimum likelihood) merupakan metode untuk pemperoleh penduga maksimum jika dapat membentuk suatu persamaan yang kongkrit tetapi persamaan yang dibentuk tidak kongkrit atau berbentuk persamaan nonlinear nilai penduga maksimum dapat di cari dengan bantuan pendekatan Newton-Raphson Selanjutnya dengan teorema likelihood rasio diperoleh untuk hipotesis terhadap untuk hipotesis terhadap dapat ditunjukkan bahwa hipotesis di tolak atau tidak ditolak Kata Kunci: Uji Likelihood RasioMLE Newton-Raphson Distribusi Weibull I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Secara umum statistika inferensi dibagi menjadi dua yaitu estimasi parameter uji hipotesis Estimasi parameter adalah penaksiran (pendugaan) terhadap nilai-nilai parameter populasi (misalnya mean standar deviasi proporsi dll) berdasarkan data atau sampel yang diambil dari popolasi tersebut Estimasi parameter terbagi atas dua yaitu estimasi titik estimasi interval Segkan Hipotesis adalah pernyataan tentang model distribusi suatu populasi Pengujian hipotesis statistik adalah suatu proses pengambilan keputusan apakah menerima atau menolak hipotesis tersebut [16] 1 Menurut Sudjana (1996) populasi mempunyai karakteristik tertentu yang disebut parameter Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari populasi tersebut Masalah penting dalam inferensi statistik adalah merumuskan bagaimana parameter suatu populasi Hal ini disebut juga kegiatan estimasi terhadap nilai parameter suatu populasi Karena pada umumnya nilai parameter suatu populasi tidak diketahui sehingga penarikan kesimpulan terhadap parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk atau

2 memberikan metode pengujian dari suatu hipotesis sederhana terhadap hipotesis alternatif majemuk Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang meminimumkan kesalahan uji [12] Menurut Somayasa (2008) Likelihood Rasio Test (LRT) merupakan salah satu uji yang berhubungan langsung dengan Maksimum Likelihood Estimator (MLE) yang merupakan metode pendugaan parameter dari gugus data yang mengikuti sebaran distribusi tertentu Dalam hal ini MLE merupakan metode yang diterapkan untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan (Likelihood Function) suatu distribusi sehingga dapat menghasilkan penduga parameter dengan kemungkinan maksimum Distribusi Weibull sering diaplikasikan dalam menganalisis data uji hidup serta memiliki dua parameter yaitu sebagai parameter bentuk ( ) yang menggambarkan bentuk distribusi pada distribusi Weibull sebagai parameter skala (scale) yang menggambarkan sebaran data pada distribusi [2] Distribusi Weibull merupakan distribusi yang mempunyai aplikasi paling luas dalam menganalisa data uji hidup Data uji hidup atau uji reliabilitas merupakan peluang bahwa komponen tersebut akan berfungsi sebagaimana mestinya sampai jangka waktu tertentu dalam percobaan yang telah ditentukan (Hazhiah 2012) Estimasi parameter model distribusi Weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit melainkan dengan pendekatan menggunakan iterasi Newton-Raphson begitu juga dalam pengujian hipotesis terhadap parameter distribusi weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit dengan rumus matematika yang diturunkan langsung dari pdf Weibull melainkan dengan metode pendekatan [17] II KAJIAN PUSTAKA Model distribusi Weibull adalah salah satu distribusi kontinu yang pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Swedia bernama Waloddi Weibull pada tahun 1939 Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat disebut juga distribusi waktu tunggu hingga gagal (Desfina 2012) Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungngan hidup yang memiliki ruang sampel bilangan real positif dengan variabel acak kontinu Distribusi Weibull paling banyak digunakan untuk waktu hidup dalam tekhnik ketahanan Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis distribusi lain berdasarkan pada nilai dari bentuk parameter (Lawless 1982) Definisi 21 Distribusi Weibull termaksuk distribusi acak kontinu dengan parameter mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut : (21) dimana sebagai parameter skala yang menskala variabel x parameter sebagai parameter bentuk yang menentukan fungsi dasar x Segakan fungsi distribusi komulatifnya adalah : (22) Devinisi 22 Fungsi Gamma di definisikan sebagai (23) hasil integral fungsi Gamma akan menghasilkan (Walpole & Myers 1995) Teorema 23 Misalkan X adalah suatu variabel acak berdistribusi Weibull dengan parameter maka rata-rata variansinya adalah : 21 Model Distbusi Weibull (24) 2

3 22 Estimasi Parameter Model distribusi peluang suatu populasi bergantung pada nilai satu atau lebih parameter Tujuan dari statistika adalah memberikan nilai pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut berdasarkan sampel yang diambil dari populasi tersebut Salah satu metode yang sering dipakai adalah metode Maklimum Likelihood [2] 221 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE) Definisi 24 (Fungsi Likelihood) Fungsi kepadatan peluang bersama dari sampel acak berukuran n yang dihitung pada titik pengamatan (sampel) adalah di anggap tetap segkan dianggap berubah-ubah jika maka disebut fungsi likelihood untuk dituliskan dengan Definisi 25 (Penaksir Maksimum Likelihood) Misalkan adalah fungsi kepadatan peluang bersama dari Untuk suatu titik pengamatan suatu nilai di dimana maksimum disebut sebagai penaksir maksimum likelihood dari Dengan demikian adalah suatu nilai dari yang memenuhi nilai estimasi didapatkan apabila persamaan turunan pertama membentuk persamaan yang kongkrit Apabila persamaan yang terbentuk tidak kongkrit maka diperlukan analisis numerik lanjutan untuk penyelesaiannya 221 Metode Newton Rapson 3 Metode Newton-Rapson adalah metode yang digunakan untuk mencari akarakar persamaan dari suatu fungsi non-linear Metode Newton-Rapson merupakan proses iterasi yang dilakukan dalam metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi atau pemecahan suatu persamaan Proses iterasi adalah suatu teknik penghampiran yang dilakukan secara berulang-ulang dimana setiap pengulangan disebut iterasi Pada umumnya para ahli statistik sering menggunakan metode Newton-Rapson untuk menghampiri nilai parameter dari suatu persamaan [2] Metode Newton-Rapson untuk mencari pemecahan dari sehingga : Kemudian misalkan adalah turunan parsial dari terhadap atau dapat ditulis sebagai selanjutnya dibentuk kedalam sebuah matriks yang disebut dengan matriks jacobian yaitu: (26) kemudian dicari invers dari persamaan (27) yaitu : Jika adalah suatu selang terbuka jika dapat diturunkan terhadap dapat diasumsikan mencapai maksimum pada maka penduga maksimum likelihood (28) (MLE) untuk adalah suatu penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut: Selanjutnya misalkan (25) adalah nilai hampiran pada iterasi ke- misalkan adalah nilai-nilai yang berhubungan dengan fungsi yaitu :

4 Dan misalkan adalah elemen dari yang dihasilkan pada maka hampiran iterasi selanjutnya dapat dibentuk secara umum yaitu : pada fungsi kemungkinan intuisi bahwa fungsi kemungkinan cenderung tertinggi dekat nilai sebenarnya dari θ Memang ini juga dasar untuk estimasi kemungkinan maksimum Definisi 26 (Somayasa 2008) Misalkan merupakan fungsi likelihood dengan variabel random Misalkan (215) (210) Tes berukuran untuk hipotesis adalah proses iterasi dapat di mulai dengan penentuan nilai-nilai awal terlebih dahulu Penggunaan metode Newton-Raphson dilakukan dengan menggunakan iterasi-iterasi hingga didapatkan hasil yang konvergen Persamaa umum Newton-Raphson dari penurunan deret Taylor sebagai berikut: atau (29) dengan adalah vektor gradien berukuran dimana adalah jumlah parameter dari turunan pertama terhadap parameternya adalah matriks jacobian berukuran yang berisi turunan kedua fungsi terhadap parameternya Iterasi dapat berhenti apabila 23 Uji Hipotesis Dengan Membandingkan Fungsi Likelihood (Likelihood Rasio Test) Suatu bentuk yang sangat populer dari pengujian hipotesis adalah uji dengan membandingkan fungsi likelihood (Likelihood Rasio Test = LRT) yang merupakan generalisasi dari tes optimal untuk hipotesis sederhana yang dikembangkan oleh Neyman Pearson Uji LR didasarkan dimana adalah konstanta yang tidak diketahui yang ditentukan dari persamaan Misalkan adalah untuk pada daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi pada ( )) adalah MLE untuk pada daerah (MLE yang tidak dibatasi) Maka 4 daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titiktitik sampel mempunyai rasio yang kecil III PEMBAHASAN Estimasi titik untuk parameter model distribusi Weibull tidak ditemukan motode estimasi yang dapat dihitung dengan rumus yang kongkrit Estimasi dengan metode Maksimum Likelihood dengan pendekatan iterasi Newton-Raphson 31 Metode Maksimum Likelihood (MLE) Metode maksimum likelihood adalah salah satu metode yang digunakan dalam mengestimasi parameter dari sebuah distribusi Dalam penelitian ini akan menggunakan metode tersebut untuk menentukan parameter dari distribusi Weibull

5 Misalkan diberikan sampel acak berdistribusi Weibull dengan parameter tidak diketahui Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull dapat ditunjukkan sebagai berikut : untuk (31) sedemikian hingga untuk mencari penduga maksimum dari distribusi weibull yaitu dengan membentuk fungsi likelihood dari distribusi Weibull sedemikian hingga fungsi likelihoodnya yaitu : 312 Penduga untuk (34) Menentukan penduga maksimum likelihood untuk dari distribusi Weibull dapat dilakukan dengan mendiferensialkan terhadap yaitu : Persamaan (31) merupakan fungsi likelihood dari distribusi Weibull Jika di pang parameter sebagai variabel Setelah diperoleh fungsi likelihood selanjutnya akan ditentukan penduga maksimum likelihood dengan mencari yang memaksimumkan nilai fungsi logaritma likelihood yaitu : Sedemikian hingga diperoleh penduga untuk adalah (32) (42) (35) Dengan mensubtitusikan pada Persamaan (35) ke Persamaan (34) diperoleh bentuk sebagai berikut : dimisalkan hingga sedemikian (33) Untuk Selanjutnya penduga untuk dari distribusi Weibull diperoleh dengan cara mencari turunan pertama dari terhadap menyamakannya dengan nol 311 Penduga untuk Penduga parameter dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan memaksimumkan dengan metode diferensial yaitu : Sehingga diperoleh : (36) Persamaan terakhir tidak dapat diselesaikan secara kongkrit untuk karena berbentuk persamaan non-linear dimana variabel berderajat tidak sama dengan satu mengandung nilai fungsi nonlinear Oleh karena itu penyelesaian persamaan tersebut akan ditentukan dengan menggunakan pendekatan iterasi Newton-Raphson Iterasi Newton Raphson Dalam iterasi Newton-Raphson terlebih dahulu ditentukan nilai dengan cara menggunakan

6 turunan parsial pada fungsi loglikelihood pada Persamaan (43) terhadap dua parameter untuk suatu nilai yang ditentukan yang dimilikinya dengan cara kemudian mensubtitusikan nilai parameter awal yang Pada penelitian ini diperagakan aplikasi telah diperoleh sebelumnya yaitu : metode Newton-Raphson pada data Leukimia yang diberikan oleh Cox Oaskes (1984) Data yang dipresentasikan pada Tabel 41 menggambarkan sisa waktu hidup (47) penderita penyakit Leukimia : Tabel 41 Sisa waktu Penderita Penyakit (48) Leukimia Selanjutnya mencari matriks Jacobian menggunakan persamaan (sumber: Storvik (2011)) (37) Akan dicari nilai penduga maksimum likelihood dengan metode Newton-Raphson dengan mengambil sembarang nilai awal dimana : misalkan diambil Nilai turunan pertama untuk parameter Invers/balikan dari matriks Jacobian adalah (38) misalkan juga maka nilai parameter dihitung dari persamaan (39) Untuk Dengan demikian nilai untuk masing-masing pada iterasi ke adalah urunan Kedua untuk parameter diberikan yaitu maka matriks jacobian dapat terbentuk dari persamaan : invers dari matriks jacobiannya adalah Maka nilai parameter untuk persamaan dengan demikian sedemikian hingga dengan menggunakan persamaan Iterasi akan berhenti apabila maka 6

7 Nilai untuk masing-masing pada iterasi pertama adalah Dengan menggunaan program yang dijalankan dengan computer dapat diperoleh nilai pada iterasi-iterasi selanjutnya Nilai untuk selanjutnya diperoleh pada Tabel 42 Tabel 42 Itersi Newton-Raphson S Tebel 43 Itersi Newton-Raphson S dimana #NUM! Dari hasil komputasi dengan program R yang ditampilkan pada Tabel 42 Tabel 43 dapat disimpulkan beberapa hal penting yaitu : 1 Nilai penduga maksimum likelkihood untuk tidak berhantung pada pemilihan nilai awal 7 2 Pemilihan nilai awal mempengaruhi jumlah iterasi yang dibutuhkan sampai menghasilkan pendekatan yang kontinu 3 Nilai penduga maksimum likelihood untuk data Leukimia adalah 32 Menurunkan prosedur uji LR berukuran α Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk atau memberikan metode pengujian dari suatu hipotesis sederhana terhadap hipotesis alternatif majemuk Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang meminimumkan kesalahan uji [12] Misalkan menyatakan n peubah acak yang masing-masing mempunyai pdf dengan Himpunan yang terdiri pada semua titik parameter dinotasikan dengan yang biasa disebut ruang parameter Misalkan adalah subset dari ruang parameter Misalkan ingin melakukan pengujian hipotesis (sederhana atau majemuk) dengan terhadap semua hipotesis alternatif Definisi fungsi likelihood adalah: dimana merupakan fungsi likelihood dibawah merupakan fungsi

8 likelihood pada Misalkan adalah nilai dari yang dihitung pada titik yang memaksimumkan dari Tes berukuran untuk hipotesis adalah (310) acak yang berdistribusi Weibull ( sedemikian hingga berlaku uji LR sebagai berikut : Pada kasus ini ruang parameter untuk adalah : Persamaan Likelihood Rasio (311) dimana adalah konstanta yang tidak diketahui yang ditentukan dari persamaan diketahui bahwa (312) (418) Misalkan adalah untuk pada daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi pada ( )) adalah MLE untuk pada daerah (MLE yang tidak dibatasi) Maka daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titiktitik sampel mempunyai rasio yang kecil Teorema 41 [12] Misalkan adalah peubah acak yang memiliki distribusi identik yang saling bebas dengan pdf dimana adalah subset dari dengan dimensi misalkan adalah subset dari yang berdimensi Misalkan himpunan dimana pdf bernilai positif tidak bergantung pada maka dibawah beberapa kondisi tambahan yang regular distribusi asymptotic dari adalah untuk saat 321 Uji LR untuk Distribusi Weibull a) Uji tentang (313) subtitutusi kedalam Persamaan (312) maka diperoleh : Misalkan maka Diberikan sebuah Hipotesis : = vs : dimana diketahui atau ditentukan oleh eksperimen merupakan parameter yang diketahui dari sebuah sampel (313) 8

9 Sedemikian hingga (314) Jadi ditolak jika (317) Maka uji hipotesis untuk menolak sebesar jika (315) b) Uji tentang Diberikan sebuah Hipotesis : vs : dimana diketahui atau ditentukan oleh eksperimen merupakan parameter yang tidak diketahui diestimasi dari sebuah sampel acak yang berdistribusi Weibull ( sedemikian hingga berlaku uji LR sebagai berikut : Persamaan (414) Likelihood Rasio dimana Jadi ditolak jika Maka pada tingkat signifikansi ditolak jika Maka uji hipotesis untuk menolak yaitu 322 Aplikasi Uji Likelihood Rasio a Uji tentang Distribusi yang diaplikasikan untuk menganalisis data kelangsungan hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 41 adalah distribusi Weibull diberikan hipotesis pada tingkat signifikansi diberikan pdf Weibull pada Persamaan (31) Akan diturunkan Test LR untuk hipotesis jika kedua parameternya tidak diketahui: Sedemikian hingga Dimana diketahui: (316) disubtitusi pada persamaan diatas sedemikian hingga Dengan menggunakan bantuan program R diperoleh nilai sedemikian hingga jika 9

10 maka ditolak tetapi jika tidak ditolak Karena LR dimana terhadap lebih besar maka hipotesis yang menyatakan bahwa ditolak hal ini berarti pada tingkat signifikansi tidak terdapat cukup bukti bahwa sampel berada di daerah penerimaan b Uji tentang Diberikan sebuah Hipotesis : = 090 vs : 090 pada data kelangsungan hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 41 dimana data diambil dari populasi berdistribusi Weibull dengan tingkat signifikansi sedemikian hingga berlaku uji LR untuk hipotesis sebagai berikut : Persamaan Likelihood Rasio 1 Penduga maksimum likelihood tidak dapat ditentukan dengan rumus kongkrit melainkan dengan itersi Newton-Raphson dimana iterasi Newton-Raphson tidak bergantung pada 2 Uji Likelihood Rasio (LRT) dapat dilakukan terhadap sampel dari distribusi Weibull dengan bantuan iterasi Newton- Raphson Untuk hipotesis berbentuk Menghasilkan prosedur uji yang menolak pada tingkat signifikansi jika Segkan untuk hipotesis yang berbentuk : vs : Menghasilkan prosedur uji yang menolak pada tingkat signifikansi jika dimana Dengan mensubtitusikan pada Persamaan (431) diperoleh hasil sedemikian hingga atau hal ini berarti untuk hipotesis yang menyatakan = 090 pada tingkat signifikansi tidak terdapat cukup bukti bahwa sampel berada di daerah penerimaan 3 Aplikasi Metode Uji Likelihood Rasio terhadap data Leukimia yang bersumber pada Storvik (2011) menghasilkan kesimpulan bahwa hipotesis ditolak pada begitupun untuk hipotesis : dengan tingkat signifikansi ditolak 51 Saran Adapaun yang dapat saya sarankan untuk penelitian selanjutnya yaitu Uji Likelihood Rasio pada parameter distribusi Weibull pada Pendekatan Asimtotiknya IV Kesimpulan Saran Dari hasil penelitian yang dilakukan dapat ditarik beberapa kesimpulan : DAFTAR PUSTAKA [1] Bain LJ and Engelhardt M 1991 Introduction to Probability and 10

11 Mathematical Statistics Second Edition Duxbury Press: California [2] Desfina AP; Erdini M 2012 Distribusi Weibull Dan Pareto Untuk Data Tinggi Gelombang Tsunami Aceh Jurnal Sains Tekonologi Dan Industri vol 9(2) [3] Cox DR & Oakes D (1982) Statistical Models and Method for Lifetime Data: New York : John Wiley & Sons [4] Geir S 2011 Numerical Optimation Of Likelihoods: Additional Literature For STK2120 University Of Oslo [5] Lawless J F (1982) Statistical Models and Method for Lifetime Data New York: John Wiley & Sons [6] Lehman EL;Romano JP 2005 Testing Statistical Hypotesis (3 rd Edition) Spingers: New York [7] Mustafid 2003 Statistika Elementer Semarang: Universitas Diponegoro [8] Somayasa W 2001 Diktat Kuli ah Bagian I Statistika Elementer Kendari: Universitas Halu Oleo [9] 2001 Diktat Kuliah Bagian II Statistika Elementer Kendari: Universitas Halu Oleo [10] 2008 Diktat Kuliah Statistika Matematika I Kendari: Universitas Halu Oleo [11] Rinne H (2009) The Weibull Distribution A Handbook Chapman & Hall/CRC [12] Roussas GG 1997 A Course in Mathematical Statistics (2 nd Edition) USA: Academic Press [13] Shafira 2011 Penaksir Parameter Distribusi Binomial Negatif Pada Kasus Overdispersi Depok : Universitas Indonesia [14] Sudjana 1996 Metode Statistik Edisi ke- 6 Bandung : Tarsiro [15] Subanar 2013 Statistika Matematika Yogyakarta: Graha Ilmu [16] Walpole R E Myers R H 1995 Ilmu Peluang Statistika untuk Insinyur Ilmuwan Edisi ke - 4 Alih bahasa oleh Sembiring RK Penerbit ITB: Bandung [17] Yustika DWS Stikno 2013 Estimasi Parameter Generalized ParetoDistribution Pada Kasus Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2 No2 (2013) ( X Print) 11