i
Hak Cipta pada Departeme Pedidika Nasioal Dilidugi Udag-udag Hak Cipta Buku ii dibeli oleh Departeme Pedidika Nasioal dari Peerbit PT. Visido Media Persada Aktif Megguaka Matematika Utuk SMK/MAK Kelas XII Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi Peulis : Kaa Hidayati Sari Dewi Adityo Suksmoo Editor : Tim Visido Media Persada Ilustrasi, Tata Letak : Tim Visido Media Persada Peracag Kulit : Tim Visido Media Persada Ukura Buku : 7,6 5 cm 50.07 HID a HIDAYATI, Kaa Aktif megguaka matematika 3: utuk Kelas XII/ Sekolah Meegah Kejurua/ Madrasah Aliyah Kejurua Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi/ Kaa Hidayati, Sari Dewi, Adityo Suksmoo ; editor Tim Visido Media Persada -- Jakarta: Pusat Perbukua, Departeme Pedidika Nasioal, 008. vi, 78 hlm. : ilus. ; 5 cm Bibliografi : hlm.78 Ideks ISBN 979-46-94-. Matematika-Studi da Pegajara I. Judul II. Dewi, Sari III. Suksmoo, Adityo Diterbitka oleh Pusat Perbukua Departeme Pedidika Nasioal Tahu 008 Diperbayak oleh...
Kata Sambuta Puji syukur kami pajatka ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat da karuia-nya, Pemeritah, dalam hal ii, Departeme Pedidika Nasioal, pada tahu 008, telah membeli hak cipta buku teks pelajara ii dari peulis/ peerbit utuk disebarluaska kepada masyarakat melalui situs iteret (website) Jariga Pedidika Nasioal. Buku teks pelajara ii telah diilai oleh Bada Stadar Nasioal Pedidika da telah ditetapka sebagai buku teks pelajara yag memeuhi syarat kelayaka utuk diguaka dalam proses pembelajara melalui Peratura Meteri Pedidika Nasioal Nomor 34 Tahu 008. Kami meyampaika peghargaa yag setiggi-tiggiya kepada para peulis/peerbit yag telah berkea megalihka hak cipta karyaya kepada Departeme Pedidika Nasioal utuk diguaka secara luas oleh para siswa da guru di seluruh Idoesia. Buku-buku teks pelajara yag telah dialihka hak ciptaya kepada Departeme Pedidika Nasioal ii, dapat diuduh (dow load), digadaka, dicetak, dialihmediaka, atau difotokopi oleh masyarakat. Namu, utuk peggadaa yag bersifat komersial harga pejualaya harus memeuhi ketetua yag ditetapka oleh Pemeritah. Diharapka bahwa buku teks pelajara ii aka lebih mudah diakses sehigga siswa da guru di seluruh Idoesia maupu sekolah Idoesia yag berada di luar egeri dapat memafaatka sumber belajar ii. Kami berharap, semua pihak dapat medukug kebijaka ii. Kepada para siswa kami ucapka selamat belajar da mafaatkalah buku ii sebaikbaikya. Kami meyadari bahwa buku ii masih perlu ditigkatka mutuya. Oleh karea itu, sara da kritik sagat kami harapka. Jakarta, Juli 008 Kepala Pusat Perbukua iii
Kata Pegatar Matematika merupaka ilmu yag sagat berkaita dega kehidupa. Sebagai ibu dari ilmu pegetahua, matematika merupaka ilmu dasar yag dapat diguaka utuk memecahka masalah dalam bidag ilmu yag lai. Misalya, Fisika, Kimia, Biologi, Akutasi, Ekoomi, Sosial, da Astroomi. Melihat betapa petigya matematika maka perlu adaya peigkata kualitas pedidika matematika di sekolah agar membetuk mausia yag memiliki daya alar da data pikir yag kreatif da cerdas dalam memecahka masalah, serta mampu megomuikasika gagasa-gagasaya. Pedidika matematika harus dapat membatu Ada meyogsog masa depa dega lebih baik. Atas dasar iilah, kami meerbitka buku Aktif Megguaka Matematika ii ke hadapa Ada, khususya para siswa sekolah meegah kejurua. Buku ii meghadirka aspek kostektual bagi Ada dega megguaka pemecaha masalah sebagai bagia dari pembelajara utuk memberika kesempata kepada Ada membagu pegetahua da megembagka potesi diri. Materi pelajara matematika dalam buku ii bertujua membekali Ada dega pegetahua da sejumlah kemampua utuk memasuki jejag yag lebih tiggi, serta megembagka ilmu matematika dalam kehidupa seharihari. Oleh karea itu, meempatka Aktif Megguaka Matematika sebagai teori dalam kelas aka membatu pecapaia tujua pembelajara. Materi-materi bab di dalam buku ii disesuaika dega perkembaga ilmu da tekologi terkii. Buku ii juga diajika dega bahasa yag mudah dipahami da komuikatif sehigga mempermudah siswa dalam mempelajari buku ii. Kami meyadari bahwa peerbita buku ii tidak aka terlaksaa dega baik tapa dukuga da batua dari berbagai pihak. Utuk itu, dega hati yag tulus, kami ucapka terima kasih atas dukuga da batua yag diberika. Semoga buku ii dapat memberi kotribusi bagi perkembaga da kemajua pedidika di Idoesia. Tim Peyusu iv
Daftar Isi Kata Sambuta iii Kata Pegatar iv Bab Peluag... A. Ruag Sampel Percobaa... 3 B. Kaidah Pecacaha... 5 C. Peluag... 9 Evaluasi Materi Bab... 40 Bab Statistika... 43 A. Statistika... 45 B. Peyajia Data... 48 C. Ukura Pemusata Data... 65 D. Ukura Letak Data... 79 E. Ukura Peyebara Data... 90 Evaluasi Materi Bab... 0 Evaluasi Semester... 04 Tugas Observasi Semester... 08 v
Bab 3 Matematika Keuaga... 09 A. Buga Bak... B. Rete... 3 C. Auitas... 36 D. Peyusuta... 44 Evaluasi Materi Bab 3... 53 Evaluasi Semester... 56 Tugas Observasi Semester... 59 Evaluasi Akhir Tahu... 60 Kuci Jawaba... 66 Daftar Istilah... 67 Ideks... 69 Lampira... 7 Daftar Simbol... 77 Daftar Pustaka... 78 vi
Bab Peluag Sumber: www.klate.go.id Pada bab ii, Ada aka diajak utuk memecahka masalah dega kosep teori peluag di ataraya, medeskripsika kaidah pecacaha, permutasi, da kombiasi, serta meghitug peluag suatu kejadia. Kosep peluag telah Ada pelajari di SMP. Bayak masalah dalam kehidupa sehari-hari yag dapat diselesaika megguaka kosep peluag. Salah satu cotoh dalam bidag sosial yag meerapka kosep peluag disajika sebagai berikut. Di suatu kompleks pemukima aka diadaka pemiliha kepegurusa Ruku Tetagga (RT) yag terdiri atas ketua RT, sekretaris RT, da bedahara RT. Setelah didata, diperoleh empat calo ketua RT da sekretaris RT, yaitu A, B, C, da D. Adapu calo bedahara RT ada dua orag, yaitu E da F. Berapakah bayakya susua kepegurusa RT yag dapat terbetuk? Meurut Ada, berapakah peluag terpilihya C sebagai ketua RT da D sebagai sekretaris RT? Agar Ada dapat meyelesaika masalah tersebut, pelajarilah bab ii dega baik. A. Ruag Sampel Percobaa B. Kaidah Pecacaha C. Peluag
Peta Kosep Materi tetag Peluag dapat digambarka sebagai berikut. Peluag mempelajari Ruag Sampel Percobaa Kaidah Pecacaha meliputi Peluag terdiri atas Atura Perkalia terdiri atas Permutasi Kombiasi mempelajari Meghitug Peluag dega cara Peluag Kejadia Majemuk Frekuesi Harapa Diagram Poho Tabel Silag Pasaga Terurut Permutasi Usur Sama Permutasi Siklis Ruag Sampel Frekuesi Harapa Soal Pramateri Kerjakalah soal-soal berikut, sebelum Ada mempelajari bab ii.. Susulah aggota himpua-himpua berikut. a. Himpua bilaga cacah. b. Himpua bilaga cacah geap. c. Himpua bilaga asli. d. Himpua bilaga prima. e. Himpua bilaga cacah gajil.. Hituglah ilai faktorial herikut. a. 6! b. 7! c. 8! d. 9! e. 0! 3. Hituglah ilai-ilai berikut. a. 6! 3! b. 5!! 8! c. 7! 9! d. 5! e. 0! 8! Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
A Ruag Sampel Percobaa Pada Subbab ii, Ada aka mempelajari ruag sampel percobaa. Lakukalah oleh Ada kegiata berikut. Lambugkalah sebuah dadu. Amati mata dadu, berapa yag mucul? Mata dadu yag mugki mucul adalah mata dadu, mata dadu, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, da mata dadu 6. Dalam statistika, kegiata melempar dadu diamaka percobaa. Himpua dari semua hasil yag mugki terjadi pada percobaa diamaka ruag sampel atau ruag cotoh. Ruag sampel diotasika dega S. Jadi, ruag sampel dari kegiata melempar dadu adalah S = {mata dadu, mata dadu, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, mata dadu 6}. Mata dadu, mata dadu, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, da mata dadu 6 yag merupaka aggota himpua dari ruag sampel diamaka titik cotoh atau titik sampel. Berikut ii disajika beberapa cotoh percobaa beserta ruag sampelya yag serig Ada temuka dalam kehidupa sehari-hari. Tabel. Tabel Percobaa da Ruag Sampel No. Percobaa Ruag Sampel. Melaksaaka UAN {lulus UAN, tidak lulus UAN}. Pertadiga sepakbola {meag, kalah, seri} 3. Beriaga {utug, balik modal, rugi} Agar Ada memahami megeai ruag sampel percobaa, pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal. Kata Kuci ruag sampel himpua titik cotoh percobaa. Tetuka ruag sampel dari himpua bilaga cacah geap yag kurag dari 0. Jawab: Himpua bilaga cacah = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,...} Himpua bilaga cacah geap = {0,, 4, 6, 8, 0,,...} Himpua bilaga cacah geap kurag dari 0 = {0,, 4, 6, 8} Jadi, ruag sampel dari himpua hasil percobaa tersebut adalah S = {0,, 4, 6, 8}. Peluag 3
. WHO meetapka bahwa pelaksaaa koferesi Kesehata Duia dua tahu yag aka datag dilaksaaka di salah satu ibu kota egara Asia Teggara. Sampai saat ii WHO masih merahasiaka lokasi pastiya. Dapatkah Ada membuat ruag sampel lokasi pelaksaaa koferesi Kesehata Duia dua tahu yag aka datag? Jawab: Himpua Ibu kota egara-egara di Asia Teggara = {Jakarta, Kuala Lumpur, Dili, Bagkok, Sigapura, Badar Sri Begawa, Maila, Yagoo, Phom Peh, Vietiae, Haoi}. Jadi, ruag sampel lokasi pelaksaaa koferesi kesehata duia adalah S = {Jakarta, Kuala Lumpur, Dili, Bagkok, Sigapura, Badar Sri Begawa, Maila, Yagoo, Phom Peh, Vietiae, Haoi}. Notes Kejadia adalah sebarag himpua bagia dari ruag sampel. Sekarag, perhatika oleh Ada pada percobaa pelempara dua dadu. Dapatkah Ada meetuka ruag sampelya? Pada pelempara dua dadu secara bersamaa, mata dadu yag mugki mucul pada dadu I da II masig-masig adalah mata dadu, mata dadu, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, da mata dadu 6. Kejadia yag mugki terjadi pada pelempara dua dadu disajika pada tabel berikut. Tabel. Tabel Ruag Sampel Pelempara Dua Dadu Dadu II Dadu I 3 4 5 6 (, ) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) (, ) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 3 (3, ) (3, ) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, ) (4, ) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, ) (5, ) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, ) (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Dari Tabel. ruag sampel pada pelempara dua dadu adalah S = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Agar Ada lebih memahami materi megeai ruag sampel dari suatu kejadia, pelajarilah cotoh berikut. 4 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Cotoh Soal. Tetuka ruag sampel pada percobaa melempar dua koi mata uag logam. Jawab: Sebuah koi mata uag logam terdiri atas sisi agka (A) da gambar (G). Kejadia yag mugki terjadi pada pelempara dua koi mata uag logam disajika pada tabel berikut. Uag Logam II A G Uag Logam I A (A, A) (A, G) G (G, A) (G, G) Dari tabel tersebut diperoleh ruag sampel pada pelempara dua dadu adalah S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}. Evaluasi Materi. Kerjaka soal-soal berikut di buku latiha Ada.. Tetuka ruag sampel dari kejadiakejadia berikut. a. Pelempara sebuah dadu da sebuah uag logam. b. Pelempara tiga mata uag logam. c. Negara yag mejadi juara umum Sea Games medatag.. Dari bola yag tersedia aka dilakuka pegambila secara acak terhadap 7 bola yag masig-masig diberi sebuah omor 7 bilaga prima pertama. Tetuka ruag sampel dari kejadia tersebut. 3. Tetuka ruag sampel dari pelempara dua uag logam. 4. Tetuka ruag sampel dari pelempara dua uag logam da sebuah dadu. 5. Tetuka ruag sampel dari egara tempat diseleggarakaya KTT G-7. B Kaidah Pecacaha Pada Subbab A, Ada telah mempelajari pegertia ruag sampel da cara meetuka ruag sampel dari suatu percobaa sederhaa yag serig Ada temuka dalam kehidupa seharihari. Cotohya, pada pelempara dadu, pelempara mata uag logam, da sebagaiya. Kata Kuci atura perkalia permutasi kombiasi Peluag 5
Pada subbab ii, Ada aka mempelajari lebih dalam lagi megeai metode utuk meetuka ruag sampel, meghitug bayakya kejadia yag mugki terjadi dari suatu percobaa, serta meghitug bayakya aggota himpua ruag sampel. Metode yag aka dipelajari pada bagia ii adalah atura perkalia, permutasi, da kombiasi. Jika S meyataka ruag sampel dari suatu percobaa maka bayakya kejadia yag mugki terjadi atau bayakya titik sampel diotasika dega (S). Coba Ada lihat kembali ruag sampel pelempara sebuah dadu pada pembahasa awal Subbab A. Ruag sampelya dapat ditulis dega himpua S = {mata dadu, mata dadu, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, mata dadu 6}. Bayakya kejadia yag mugki terjadi pada pelempara sebuah dadu adalah (S) = 6. Adapu bayakya kejadia yag mugki terjadi pada pelempara dua dadu seperti ditujukka pada Tabel. adalah (S) = 36.. Atura Perkalia Utuk meetuka ruag sampel, Ada juga dapat megguaka atura perkalia. Utuk memudahka, Ada harus meyusu ruag sampel ke dalam tabel seperti Tabel.. Peetua ruag sampel pada atura perkalia terdiri atas 3 cara, yaitu diagram poho, tabel silag, da pasaga terurut. Utuk membedaka peetua ruag sampel pada pelempara dua dadu dega ketiga atura tersebut, perhatika uraia berikut. a. Diagram Poho Sebuah dadu memiliki 6 mata dadu. Dega demikia, setiap mata dadu pada dadu pertama dipasagka dega semua mata dadu pada dadu kedua. Dadu I Dadu II Mata Dadu yag Mucul Dadu I Dadu II Mata Dadu yag Mucul 3 4 5 6 (, ) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 3 4 5 6 (, ) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 6 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Dadu I 3 Dadu II 3 4 5 6 Mata dadu yag mucul (3, ) (3, ) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) Dadu I 5 Dadu II 3 4 5 6 Mata dadu yag mucul (5, ) (5, ) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 4 3 4 5 6 (4, ) (4, ) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 6 3 4 5 6 (6, ) (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Berdasarka diagram poho tersebut, kejadia mata dadu yag mucul pada pelempara dua dadu ada 36. Ruag sampelya dapat dibuat sebagai berikut. S = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} da (S) = 36. Gambar. Diagram poho dari pelempara dua dadu. b. Tabel Silag Peetua ruag sampel megguaka tabel silag telah Ada pelajari seperti pada Tabel., yaitu meetuka ruag sampel dari dua dadu. c. Pasaga Terurut Misalka, A adalah himpua kejadia yag mucul dari dadu I da B adalah himpua kejadia yag mucul dari dadu II. A = {,, 3, 4, 5, 6} B = {,, 3, 4, 5, 6} Himpua pasaga terurut dari himpua A da B ditulis sebagai berikut. A B = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Himpua pasaga terurut tersebut merupaka ruag sampel pada pelempara dua dadu. Peluag 7
Cotoh Soal.3 Sumber: www.trproperties.co.uk Gambar. Koleksi baju yag dimiliki Pak Adi. Pak Adi memiliki 4 kemeja da 3 celaa. Kemeja-kemeja yag dimiliki Pak Adi bermotif persegi, titik, garis, da polos, sedagka celaa yag dimilikiya berwara merah, biru, da cokelat. Berapa bayakkah pasaga baju da celaa yag dapat diguaka Pak Adi utuk pergi ke kator? Jawab: Dega megguaka diagram poho diperoleh Baju Celaa Pasaga Baju-Celaa Persegi Titik Garis merah biru cokelat merah biru cokelat merah biru cokelat = persegi-merah = persegi-biru = persegi-cokelat = titik-merah = titik-biru = titik-cokelat = garis-merah = garis-biru = garis-cokelat merah = polos-merah Polos biru = polos-biru cokelat = polos-cokelat Berdasarka diagram poho tersebut, terdapat pasag baju da celaa yag dapat dikeaka Pak Adi. Perhatika kembali cotoh berikut. Cotoh Soal.4 Sebuah perusahaa megadaka rapat utuk memilih calo-calo yag aka meduduki posisi sebagai bedahara da sekretaris. Utuk meduduki posisi tersebut diajuka empat orag calo, yaitu Pak Dodo, Pak Adi, Bu Susi, da Bu Tia. Ada berapakah susua posisi jabata dalam pemiliha tersebut? Jawab: Ada dapat megurutka susua posisi yag aka meduduki jabata sebagai bedahara da sekretaris dega megguaka diagram poho berikut. Bedahara Sekretaris Pasaga Bedahara-sekretaris Dodo Adi = Dodo-Adi Susi = Dodo-Susi Tia = Dodo-Tia 8 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Bedahara Sekretaris Pasaga Bedahara-Sekretaris Dodo = Adi-Dodo Adi Susi = Adi-Susi Tia = Adi-Tia Dodo = Susi-Dodo Susi Adi = Susi-Adi Tia = Susi-Tia Dodo = Tia-Dodo Tia Adi = Tia-Adi Susi = Tia-Susi Berdasarka diagram poho tersebut, diperoleh pasag calo bedahara da sekretaris sebagai berikut. Bedahara Sekretaris Dodi Adi Dodi Susi Dodi Tia Adi Dodo Adi Susi Adi Tia Susi Dodo Susi Adi Susi Tia Tia Dodo Tia Adi Tia Susi Agar lebih memahami megeai atura perkalia, pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal.5 Dalam suatu rapat perusahaa aka dibetuk tim yag terdiri atas dua orag. Kedua orag tersebut aka ditugaska meijau persiapa pembukaa kator cabag di kota X. Sebagai caloya telah dipilih empat orag, yaitu Pak Hasa, Pak Wiro, Bu Ia, da Bu Rasti. Ada berapakah susua tim yag dapat terbetuk? Jawab: Susua tim yag terbetuk dapat ditetuka megguaka tabel silag berikut. Hasa Wiro Ia Rasti Hasa X (Hasa, Wiro) (Hasa, Ia) (Hasa, Rasti) Wiro (Wiro, Hasa) X (Wiro, Ia) (Wiro, Rasti) Ia (Ia, Hasa) (Ia, Wiro) X (Ia, Rasti) Rasti (Rasti, Hasa) (Rasti, Wiro) (Rasti, Ia) X Solusi Cerdas Dari agka-agka, 3, 5, 6, 7, da 9 dibuat bilaga yag terdiri atas tiga agka berlaia. Bayakya bilaga yag dapat dibuat lebih kecil dari 400 adalah... a. 0 d. 80 b. 0 e. 0 c. 40 Jawab: Ratusa: Tempat ratusa haya dapat diisi oleh agka da 3 karea bilaga yag terbetuk harus lebih kecil dari 400 sehigga =. Puluha: Tempat puluha haya dapat diisi oleh 5 agka (piliha) karea satu agka telah diguaka utuk megisi tempat ratusa sehigga = 5. Satua: Tempat satua haya dapat diisi oleh 4 agka (piliha) karea satu agka telah diguaka utuk megisi tempat puluha sehigga 3 = 4. Dega megguaka kaidah perkalia, bayakya bilaga yag terdiri atas tiga agka yag lebih kecil dari 400 adalah 3 = 5 4 = 40. Jawaba: c Soal SPMB, 00 Peluag 9
Dalam peyusua tim tersebut tidak ada jabata, haya meetuka kombiasi orag-orag yag terlibat dalam tim sehigga susua-susua berikut memiliki arti yag sama. (Hasa, Wiro) = (Wiro, Hasa) (Hasa, Ia) = (Ia, Hasa) (Hasa, Rasti) = (Rasti, Hasa) (Ia, Wiro) = (Wiro, Ia) (Ia, Rasti) = (Rasti, Ia) (Rasti, Wiro) = (Wiro, Rasti) Susua tim tersebut dapat dilihat pada tabel berikut. Aggota Tim Hasa Wiro Hasa Ia Hasa Rasti Wiro Ia Wiro Rasti Ia Rasti Berdasarka tabel tersebut, jumlah tim yag kemugkia terbetuk sebayak 6 pasag. Tugas Siswa. Coba jelaska perbedaa medasar atara perhituga Cotoh Soal.4 da Cotoh Soal.5. Diskusika dega tema sebagku Ada.. Permutasi Gambar.3 Diagram poho dari susua empat agka. Setelah Ada mempelajari atura perkalia, selajutya Ada aka megeal kaidah pecacaha laiya, yaitu permutasi. Misalka terdapat empat agka, yaitu,, 3, da 4. Susua bilaga yag terdiri atas agka tidak sama yag diambil dari 4 agka tersebut dapat ditetuka dega diagram poho berikut. = 3 = 3 4 = 4 = 3 = 3 4 = 4 = 3 3 = 3 4 = 3 4 = 4 4 = 4 3 = 4 3 0 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Berdasarka diagram poho tersebut, diperoleh susua bilaga, yaitu 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 4 3 Dari susua bilaga-bilaga tersebut terdapat bilaga da. Kedua bilaga tersebut memiliki usur yag sama, yaitu da tetapi urutaya berbeda. Perbedaa uruta meyebabka bilaga tersebut berbeda ilai. Jika Ada meemuka kodisi seperti ii, yaitu uruta usur mempegaruhi hasil susua maka Ada dapat meghitug bayakya susua yag terjadi dega atura permutasi. Jadi, permutasi adalah susua dari semua atau sebagia aggota suatu himpua yag memperhatika uruta. Bayakya susua bilaga yag terdiri atas agka berbeda yag diambil dari 4 agka, dapat dihitug megguaka permutasi usur dari 4 usur yag tersedia. Notasi yag diguaka adalah P 4. Nilai P 4 dihitug dega cara berikut. P 4 4! 4! = = ( 4 )!! Jadi, bayakya permutasi usur dari 4 usur yag tersedia adalah P 4 4! 4! 4 3 = = = = 4 3 =. ( 4 )!! Perhatika hasil faktorial beberapa bilaga berikut. 0! =! = 3! = 3 = 6 5! = 5 4 3 = 0 6! = 6 5 4 3 = 70 Berdasarka uraia tersebut diperoleh! = ( ) ( ) Utuk meghitug bayakya susua yag terdiri atas m usur (setiap susua terdiri atas usur berbeda) dari usur yag tersedia dega memperhatika uruta usur dapat diguaka atura permutasi m usur dari usur yag tersedia (m < ). Nilai permutasi m usur dari usur yag tersedia diyataka sebagai berikut.! m P m = ( )! Notes P 4 dibaca permutasi dua usur dari empat usur. 4! dibaca empat faktorial, yaitu 4! = 4 3 = 4! dibaca dua faktorial! = = Notes P m dibaca Permutasi m usur dari usur. Peluag
Jelajah Matematika Ada dapat megguaka kalkulator scietific tipe fx-99 MS utuk meghitug ilai suatu permutasi. Misalka, Ada aka meghitug ilai P 5 3. Tombol yag Ada teka adalah 5 SHIFT 3 = Hasil yag mucul di layar adalah 60. Jadi, ilai P 5 3 adalah 60. Agar Ada lebih memahami kosep permutasi, Coba Ada perhatika kembali Cotoh Soal.4. Pada diagram poho, terdapat susua Dodo-Adi da Adi-Dodo. Kedua susua tersebut terdiri atas usur yag sama, yaitu Dodo da Adi, tetapi urutaya berbeda sehigga memiliki arti yag berbeda juga. Dodo-Adi artiya Dodo mejabat sebagai bedahara da Adi mejabat sebagai sekretaris, sedagka Adi-Dodo artiya Adi mejabat sebagai bedahara da Dodo mejabat sebagai sekretaris. Berdasarka diagram poho pada Cotoh Soal.4 tersebut meggambarka bahwa dua pasag usur dega usur sama tetapi uruta berbeda meyebabka perbedaa arti. Dega demikia, utuk meetuka bayak pasaga yag terjadi pada Cotoh Soal.4 dapat dihitug megguaka permutasi usur dari 4 usur. Perhatika cotoh berikut. Cotoh Soal.6 Hituglah permutasi berikut. a. Permutasi 3 usur dari 5 usur. b. Permutasi 4 usur dari 7 usur. Jawab: a. P 5 5! 5! 5 4 3 3 = = = = 5 4 3 60 ( 5 3 )!! b. P 7 7! 7! 7 6 5 4 3 4 = = = ( 7 4 )! 3! 3 P 7 = 7 6 5 4 = 840 4 Sekarag, Ada dapat meghitug ilai suatu permutasi. Selajutya, Ada aka mempelajari permutasi usur sama da permutasi siklis pada uraia berikut. a. Permutasi Usur Sama Pada pembahasa sebelumya, Ada telah meghitug permutasi dari usur yag berbeda-beda. Dapatkah Ada meghitug permutasi dari beberapa usur sama? Agar dapat mejawabya, perhatika uraia berikut. Buatlah kata yag terdiri atas 4 huruf yag disusu dari huruf A, A, B, U. Utuk membuat kata dari huruf-huruf tersebut, Ada harus mecermati bahwa terdapat usur yag sama, yaitu huruf A. Oleh karea itu, bayakya kata yag terbetuk dapat dihitug dega atura permutasi usur sama sebagai berikut. Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
P = ( )! bayak usur yag sama! ( ) Bayak usur tersedia = 4 (A, A, B, U) Bayak usur sama = (A da A) Bayakya kata yag dapat terbetuk adalah 4! 4 3 P = = = 4 3 =! Kata-kata yag terbetuk adalah sebagai berikut. AABU ABAU ABUA BUAA BAAU BAUA AAUB AUAB AUBA UBAA UAAB UABA Utuk lebih memahami permutasi usur sama, coba Ada buat kembali kata-kata yag terdiri atas 5 huruf dari huruf A, A, N, N, B. Utuk membuat kata dari huruf-huruf tersebut, Ada harus mecermati bahwa terdapat jeis usur yag sama, yaitu huruf A ada da huruf N ada. Bayakya kata yag terbetuk dapat dihitug sebagai berikut. 5! 5 4 3 P = = = 5 3 = 30 kata!! ( )( ) Kata-kata yag terbetuk dari susua 5 huruf tersebut adalah sebagai berikut. AANNB NNAAB ANANB NBANA AANBN NNABA ANABN BNAAN AABNN NAABN ANBAN BANNA ANNBA NABAN ABNAN NABNA ANBNA NBAAN ANNAB ABANN ABNNA BAANN NANAB BNNAA NNBAA BANAN NANBA NAANB NBNAA BNANA Soal Piliha Tetukalah kata yag masig-masig terdiri atas 6 huruf. Dari 6 huruf tersebut, terdapat 3 huruf yag sama. Tetuka da tuliska semua kata yag dapat dibetuk dari hurufhuruf tersebut. Berdasarka uraia tersebut memperjelas kosep berikut.. Jika dari usur yag tersedia terdapat k usur yag sama (k ) maka bayak permutasi dari usur itu ditetuka dega atura P =! k!. Jika dari usur yag tersedia terdapat k usur jeis pertama sama, usur jeis kedua sama, da m usur jeis ketiga sama (k + + m ) maka bayak permutasi dari usur itu ditetuka dega atura! P = k m! Peluag 3
Soal Piliha Suatu sekolah membetuk tim delegasi yag terdiri dari 4 aak kelas I, 5 aak kelas II, da 6 aak kelas III. Kemudia, aka ditetuka pimpia yag terdiri atas ketua, wakil ketua, da sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tiggi dari kelas asal wakil ketua da sekretaris, bayakya kemugkia susua pimpia adalah... a. 56 d. 600 b. 49 e. 70 c. 546 Soal SPMB, 004 Pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal.7 Berapakah bayakya susua kata yag terdiri atas 6 huruf da 7 huruf yag dapat dibuat dari kata-kata berikut. a. SELERA b. SASARAN Jawab: a. Bayak usur tersedia = = 6 Bayak usur sama ada satu jeis usur, yaitu usur E Bayak usur E = k = Oleh karea k maka bayakya susua kata yag terdiri atas 6 huruf, yaitu P =! k! P = 6! 6 4! = 5 3 = 360 Jadi, bayakya susua kata yag terbetuk dari 6 huruf SELERA adalah 360. b. Bayak usur tersedia = = 7 Bayak usur sama ada dua jeis usur, yaitu usur A da S. Bayak usur A= k = 3 Bayak usur S = = Oleh karea (k + = 3 + = 7) maka bayakya susua kata yag terdiri atas 7 huruf, yaitu! P = k!! 7! 7 4 P = 3!! = 6 5 3 ( 3 ) ( ) = 40 Jadi, bayakya susua kata yag terbetuk dari 7 huruf SASARAN adalah 40. Notes Permutasi siklis disebut juga permutasi sirkuler. b. Permutasi Siklis Perahka Ada medegar permutasi siklis? Apakah ada perbedaa dega permutasi usur sama? Agar Ada dapat mejawabya, pelajarilah uraia berikut. Misalka dalam suatu rapat direksi, terdapat empat orag peserta yag duduk megeliligi meja budar, yaitu Dodo, Adi, Susi, da Tia. Ada berapakah susua cara mereka duduk megeliligi meja? Coba perhatika susua keempat orag itu duduk megeliligi meja pada gambar berikut. 4 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Dodo Dodo Dodo Tia Adi Susi Adi Susi Tia Susi Tia Adi Dodo Dodo Dodo Adi Susi Tia Adi Tia Susi Tia Adi Susi Gambar.4 Susua duduk dalam rapat direksi. Berdasarka Gambar.4 terdapat 6 cara duduk megeliligi meja budar. Peempata usur-usur tersebut diamaka permutasi. Dari 4 orag peserta rapat direksi, dihasilka 6 cara susua duduk megeliligi meja. Perhituga ii diperoleh dari P siklis = (4 )! = 3! P siklis = 3 = 6 Berdasarka uraia tersebut dapat disimpulka sebagai berikut. Misalka, terdapat usur yag berbeda. Bayak permutasi siklis dari usur ditetuka dega atura sebagai berikut. P siklis = ( )! Coba Ada pelajari cotoh berikut. Cotoh Soal.8 Pak Sausi adalah seorag pegraji cederamata. Ia membuat cederamata dari ba sepeda. Pada permukaa sisi ba diwarai 6 jeis wara, yaitu merah, hijau, kuig, biru, oraye, da putih. Ada berapakah susua wara yag dapat dibuat Pak Sausi? Jawab: Jumlah susua wara pada ba sepeda yag dapat dibuat pak Sausi dapat dihitug dega atura permutasi siklis. Bayak usur tersedia = = 6 (merah, hijau, kuig, biru, oraye, da putih) Bayak susua wara yag dapat terbetuk P siklis = ( )! = (6 )! = 5! = 5 4 3 = 0 Jadi, susua wara yag dapat dibuat oleh Pak Sausi sebayak 0. Soal Piliha Suatu kelompok pegajia ibu-ibu mempuyai aggota 0 orag. Apabila setiap pegajia dudukya meligkar, bayakya cara posisi ibu-ibu dalam duduk meligkar adalah... a. 70 cara b..008 cara c. 3.58 cara d. 36.880 cara e. 3.68.800 cara Soal UN (SMK Tekik Idustri), 005 Peluag 5
Notes Kosep permutasi berbeda dega kosep kombiasi dalam hal uruta. Kosep permutasi memperhatika uruta, sedagka kosep kombiasi tidak memperhatika uruta. Jelajah Matematika Ada dapat meghitug ilai C 4 dega megguaka kalkulator scietific tipe fx-99 MS. Tombol yag Ada teka adalah 4 SHIFT = Hasil yag mucul di layar adalah 6. Jadi, ilai C 4 adalah 6. Sekarag, Coba Ada cari ilai dari C 3 dega kalkulator. Apakah ilaiya sama dega hasil perhituga Ada sediri? 3. Kombiasi Di SMP, Ada telah mempelajari permutasi da kombiasi. Tahukah Ada, perbedaa permutasi da kombiasi? Utuk megigatka Ada, pelajarilah uraia berikut. Perhatika Cotoh Soal.5. Cotoh tersebut aka mecari susua orag dari 4 orag calo utuk dipilih sebagai aggota tim yag aka megujugi kator cabag. Bayakya orag yag dipilih dapat dihitug dega tabel silag seperti tabel pada Cotoh Soal.5. Dari tabel tersebut diperoleh susua yag terdiri atas orag da tidak ada jabata yag diberika kepada dua orag tersebut. Dega demikia, uruta (Hasa, Wiro) sama dega (Wiro, Hasa). Selai pasaga (Hasa, Wiro) diperoleh 5 pasaga lai yag terdiri atas usur sama, yaitu: (Hasa, Ia) = (Ia, Hasa) (Ia, Wiro) = (Wiro, Ia) (Ia, Rasti) = (Rasti, Ia) (Rasti, Wiro) = (Wiro, Rasti) (Hasa, Rasti) = (Rasti, Hasa) Perhatika kembali Cotoh Soal.5. Pada Cotoh Soal tersebut, terdapat susua yag terdiri atas usur-usur sama tetapi urutaya berbeda da memiliki arti yag sama. Permasalaha pada Cotoh Soal.5 dapat dihitug megguaka atura kombiasi sebagai berikut. Bayak pasaga utuk mejadi aggota tim yag dipilih dari 4 orag calo dapat dihitug dega atura kombiasi usur dari 4 usur. Kombiasi usur dari 4 usur diotasika dega C 4. 4 4! 4! 4 3 C = = 4!!!! = = ( ) ( )( ) = = 6 Jadi, utuk memilih orag dari 4 orag calo terdapat 6 susua pasaga. Berdasarka uraia di atas dapat memperjelas kosep berikut. Utuk meghitug bayakya susua yag terdiri atas m usur (setiap susua terdiri atas usur berbeda) dari usur yag tersedia, tapa memperhatika uruta usur diguaka atura kombiasi m usur dari usur yag tersedia (m < ). Kombiasi m usur dari usur yag tersedia diotasika dega C m. Nilai kombiasi tersebut diyataka sebagai berikut. C! m m = ( )! 6 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal.9 Utuk meghadapi kejuaraa bulutagkis atar-smk tigkat provisi, SMK X telah memiliki 6 calo pemai gada putra, yaitu Ricky, Rexy, Ala, Haryato, Ardi, da Tau k. Dari keeam orag calo tersebut, ada berapakah susua pasaga gada yag dapat terbetuk? Siapa sajakah pasaga tersebut? Jawab: Utuk meghitug bayak pasaga gada yag terbetuk diguaka atura kombiasi.coba Ada pikirka, megapa diguaka atura kombiasi? Bayak usur yag tersedia = = 6 (Ricky, Rexy, Ala, Haryato, Ardi, da Tau k) Pasaga gada terdiri atas usur = m = Bayak pasaga gada yag dapat dibetuk adalah 6 6! Cm C = 6! = 6 5 4! 30 = = 5! ( - )!! 4!! 4! Jadi, pasaga gada yag dapat dibetuk dari 6 pemai sebayak 5 pasag. Utuk meetuka ama-ama pasaga yag terbetuk dapat diguaka diagram poho berikut. Rexy = Ricky-Rexy Ala = Ricky-Ala Ricky Haryato = Ricky-Haryato Ardi = Ricky-Ardi Tau k = Ricky-Tau k Ricky = Rexy-Ricky (X) Ala = Rexy-Ala Rexy Haryato = Rexy-Haryato Ardi = Rexy-Ardi Tau k = Rexy-Tau k Rexy = Ala-Rexy (X) Ricky = Ala-Ricky (X) Ala Haryato = Ala-Haryato Ardi = Ala-Ardi Tau k = Ala-Tau k Rexy = Ardi-Rexy (X) Ricky = Ardi-Ricky (X) Ardi Haryato = Ardi-Haryato (X) Ala = Ardi-Ala (X) Tau k = Ardi-Tau k Rexy = Haryato-Rexy (X) Ricky = Haryato-Ricky (X) Haryato Ala = Haryato-Ala (X) Ardi = Haryato-Ardi Tau k = Haryato-Tau k Sumber: www.badmitocetral.com Gambar.5 Kejuaraa bulutagkis. Solusi Cerdas Bayakya cara meyusu suatu regu cerdas cermat yag terdiri atas 4 aak dari aak yag tersedia adalah... a..880 d. 495 b. 9.880 e. 95 c..880 Jawab:!! C 4 = = - 4! 4! 84! ( ) C 4 = 9 0 3 4 C 4 = 9 55 C 4 = 495 Jadi, ilai C 4 adalah 495. Jawaba: d Soal UAN (SMK Pertaia), 003 Peluag 7
Soal Piliha Sebuah orgaisasi aka memilih ketua, wakil ketua, sekretaris, da bedahara. Jika ketua da wakil ketua dipilih dari 5 orag, sedagka sekretaris da bedahara dipilih dari 4 orag yag lai, bayakya susua pegurus yag terpilih adalah... a. 0 d. 40 b. 3 e. 3.04 c. 56 Soal UN (SMK Tekik Idustri), 005 Evaluasi Materi. Rexy = Tau k-rexy (X) Ricky = Tau k-ricky (X) Tau k Haryato = Tau k-haryato (X) Ala = Tau k-ala (X) Ardi = Tau k-ardi (X) Jadi, pasaga gada yag dapat terbetuk adalah Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Haryato, Ricky-Ardi, Ricky-Tau k, Rexy-Ala, Rexy-Haryato, Rexy-Ardi, Rexy-Tau k, Ala-Haryato, Ala-Ardi, Ala-Tau k, Haryato-Ardi, Haryato-Tau k, Ardi-Tau k. Dari Cotoh Soal.9, bayakya susua pemai gada pada kejuaraa bulutagkis dapat dihitug megguaka atura kombiasi. Selai itu, susua pemai bulutagkis dapat dicari megguaka kaidah pecacaha, yaitu diagram poho. Sekarag, agar Ada lebih memahami megeai kaidah pecacaha, kerjakalah soal-soal latiha berikut. Kerjaka soal-soal berikut di buku latiha Ada.. Pada tahu ajara baru di Kelas XII A SMK Abdi Bagsa, diadaka pemiliha utuk membetuk kepegurusa kelas yag terdiri atas ketua kelas, wakil ketua kelas, bedahara, sekretaris, da seksi kebersiha. Calo yag bersedia sebayak 7 orag, yaitu Ayu, Dhai, Nia, Roy, Sarah, Budi, da Faris. Berapakah bayakya susua kepegurusa kelas yag dapat terbetuk?. Pak Boda membuka usaha di bidag kulier. Dia meyiapka 6 jeis makaa, yaitu jeis A, jeis B, jeis C, jeis D, jeis E, da jeis F. Dari 6 jeis makaa tersebut Pak Boda meyiapka paket yag terdiri atas 3 jeis makaa. Berapa bayak paket makaa yag dapat disusu oleh Pak Boda? Paket apa sajakah yag dapat disusu? 3. Pak Adi memiliki 6 merek pasag sepatu, yaitu merek A, B, C, D, E, da F. Pak Adi juga memiliki 5 pasag wara kaus kaki, yaitu cokelat, biru, hitam, hijau, da biru muda. Berapakah bayakya pasaga sepatu-kaus kaki yag dapat diguaka Pak Adi utuk pergi ke kator? Pasaga apa sajakah yag dapat dibetuk? 4. Pada suatu kompleks pemukima diadaka pemiliha utuk membetuk kepegurusa RT yag terdiri atas ketua RT, wakil ketua RT da sekretaris. Atura yag berlaku di pemukima tersebut adalah calo ketua RT da wakilya harus pria da sekretaris harus waita. Setelah didata, terdapat 4 orag calo ketua RT da wakilya, yaitu Pak Budi, Pak Rudi, Pak Adi, da Pak Sausi. Adapu calo sekretaris sebayak orag, yaitu Bu Dia da Bu Susi. Berapakah bayakya susua kepegurusa RT yag dapat terbetuk? Siapa sajakah pasaga kepegurusa RT yag terbetuk? 5. Pak Dhau memiliki usaha home idustri di bidag keramik. Dia selalu megguaka tiga jeis wara berbeda utuk mecat keramikya. Jika wara-wara yag tersedia adalah wara merah, hijau, kuig, biru, ugu, da abu-abu, ada berapakah jeis susua wara yag dapat diguaka pak Dhau utuk mecat keramikya? 6. Hituglah hasil permutasi berikut. a. P 4 3 d. P 5 b. P 6 3 e. P 0 8 c. P 8 6 f. P 9 5 8 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
7. Hituglah hasil kombiasi berikut. a. 6 C 3 d. 5 C b. 8 C e. 0 C 5 c. 7 C 5 f. 9 C 6 8. Tetuka ilai peubah x berikut. a. P x = 30 e. C x 3 = 35 b. P 4 6 x = f. C x = 6 c. P x 5 =. 50 g. C x 5 = 6 d. P 6 0 x = 0 h. C x = 45 C Peluag Kata Kuci Pada Subbab A, Ada telah mempelajari ruag sampel da kaidah pecacaha. Materi tersebut aka diguaka utuk meghitug peluag suatu kejadia. Agar Ada memahami pegguaa materi tersebut, pelajarilah uraia berikut.. Meghitug Peluag dega Ruag Sampel Cobalah Ada amati harga kebutuha pokok sehari-hari yag dijual di pasar. Dapatkah Ada memperkiraka, kapa hargaya aka aik, turu, atau tetap? Berapakah peluag harga kebutuha pokok besok aka turu? Utuk meghitug peluag terjadiya peurua harga kebutuha pokok, coba Ada tetuka ruag sampel harga kebutuha pokok. Harga kebutuha pokok dapat aik, turu, atau tetap. Jadi, ruag sampel percobaa ii adalah S = {aik, turu, tetap}. Dega demikia, bayak aggota ruag sampel adalah (S) = 3. Kejadia yag diharapka adalah turuya harga kebutuha pokok sehigga himpua kejadia adalah E = {turu} da bayak aggota himpua kejadia adalah (E) =. Jika peluag dari kejadia yag diharapka (dalam hal ii adalah peluag turuya harga kebutuha pokok) diotasika dega P(E) maka peluag turuya harga kebutuha pokok dihitug dega rumus berikut. P ( E ) = ( E ) ( S ) Peluag kejadia turuya harga kebutuha pokok adalah P ( E ) = 3. Jadi, peluag terjadiya peurua harga kebutuha pokok adalah 3. himpua peluag frekuesi isbi frekuesi harapa kejadia salig lepas kejadia salig bebas Gambar.6 Sumber: www.sokit.com Kebutuha pokok sehari-hari. Peluag 9
Jelajah Matematika Tugas Siswa. Coba Ada diskusika bersama tema Ada megeai peluag peurua harga kebutuha pokok tersebut. Apakah besar peluag turuya harga kebutuha pokok adalah? Jika bear, jelaska 3 alasa Ada. Bagaimaakah meurut teori ekoomi? Istrume atau parameter apakah yag diguaka utuk memperkiraka uktuasi harga kebutuha pokok? Carilah iformasi dari berbagai sumber termasuk iteret, surat kabar, berita televisi atau radio, atau sumber yag releva. Sumber: www.utilitariaism.com Blaise Pascal (63-66) Seorag ahli matematika Pracis, Blaise Pascal bersama dega Pierre de Fermat megembagka teori yag legkap megeai probabilitas. Probabilitas yag mereka kembagka diguaka utuk mempelajari keajaiba-keajaiba yag jarag mucul dari berbagai macam kejadia, seperti kecelakaa, kerusaka mesi, da kerusaka akibat cuaca yag buruk. Sumber: Esiklopedi Matematika & Peradaba Mausia, 00 Notes E Ã S dibaca himpua E merupaka himpua bagia dari ruag sampel. Metode perhituga peluag peurua kebutuha pokok yag telah Ada lakuka merupaka cotoh meghitug peluag kejadia dega ruag sampel. Dalam metode ii, semua kejadia yag terdapat dalam ruag sampel diaggap memiliki kesempata yag sama utuk terjadi. Cotoh lai dalam kehidupa sehari-hari yag dapat dihitug ilai peluagya adalah meghitug peluag muculya sisi agka pada peristiwa pelempara uag logam. Utuk memecahka permasalaha ii, tetuka dahulu bayak aggota ruag sampelya da bayak aggota kejadia yag diharapka. Pada pelempara uag logam, ruag sampel percobaaya adalah S = {sisi agka, sisi gambar}. Dega demikia, bayak aggota ruag sampel adalah (S) =. Himpua kejadia yag diharapka adalah E = {sisi agka} sehigga bayak aggota himpua kejadia adalah (E) =. Peluag muculya sisi agka yag diotasika dega P(E) adalah P ( E ) = ( E ) S P ( ) E = ( ) Jadi, peluag mucul sisi agka pada pelempara mata uag logam adalah. Berdasarka uraia tersebut dapat memperjelas kosep berikut. Misalka, S adalah ruag sampel dari suatu percobaa da (S) adalah bayakya aggota ruag sampel di maa setiap aggota ruag sampel memiliki kesempata yag sama utuk mucul. Misalka, E adalah suatu kejadia (kejadia yag dihitug peluagya) dega E Ã S da (E) adalah bayak aggota dalam himpua E. 0 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Peluag kejadia E dapat dihitug megguaka rumus berikut. Cotoh Soal.0 P ( E ) = ( E ) ( S ) Utuk meghitug peluag suatu kejadia dega metode ruag sampel, Ada harus memahami cara meetuka aggota ruag sampel da cara meghitug bayakya aggota ruag sampel dalam suatu kejadia. Agar Ada lebih memahamiya, pelajarilah cotoh berikut. Pada suatu kompleks pemukima diadaka pemiliha kepegurusa RT yag terdiri atas ketua RT, wakil ketua RT, sekretaris, da bedahara. Atura yag berlaku di permukima tersebut adalah ketua RT da wakilya harus laki-laki da sekretaris serta bedahara harus perempua. Dari data yag diperoleh, terdapat 4 orag calo ketua RT da wakilya, yaitu Pak Budi, Pak Rudi, Pak Tisa, da Pak Adi, sedagka utuk sekretaris terdapat 3 orag calo, yaitu Bu Dia, Bu Susi, da Bu Dii. a. Ada berapakah susua kepegurusa RT yag dapat terbetuk? b. Tetuka peluag terpilihya Pak Budi sebagai ketua RT da Pak Adi sebagai wakil ketua RT? Jawab: a. Bayakya susua kepegurusa RT yag terbetuk dapat dihitug melalui ilustrasi berikut. Ketua RT-Wakil Ketua RT Budi-Rudi Budi-Tisa Budi-Adi Rudi-Budi Rudi-Tisa Rudi-Adi Tisa-Budi Tisa-Rudi Tisa-Adi Adi-Rudi Adi-Tisa Adi-Budi Sekretaris-Bedahara Dia-Susi Dia-Dii Susi-Dia Susi-Dii Dii-Dia Dii-Susi Sumber: images.google.co.id Gambar.7 Budi-Rudi-Dia-Susi Budi-Rudi-Dia-Dii Budi-Rudi-Susi-Dia Budi-Rudi-Susi-Dii Budi-Rudi-Dii-Dia Budi-Rudi-Dii-Susi Bayakya susua Sekretaris-Bedahara dihitug dega permutasi usur dari 3 usur, yaitu P 3. Pemiliha kepegurusa RT. Ada 6 susua kepegurusa dari pasaga Budi- Rudi yag mejabat ketua da wakil ketua RT Bayakya susua Ketua RT-Wakil Ketua RT dihitug dega permutasi usur dari 4 usur, yaitu P 4. Jika Ada lajutka utuk mecari susua kepegurusa RT laiya, aka diperoleh sebayak 7 susua. Sekarag, coba Ada Badigka dega perhituga permutasi berikut. Peluag
Bayakya susua kepegurusa RT = (S) = 4! 3! (S) =! 3! ( 4 ) ( ) P 4 P 3 (S) = 4 3! 3 = 7! Jadi, bayakya susua kepegurusa RT yag dapat terbetuk sebayak 7. b. Peluag terpilihya Pak Budi sebagai ketua RT da Pak Adi sebagai wakil ketua RT dapat ditetuka dega meetuka bayak aggota himpua kejadia da bayak aggota ruag sampel. Himpua kejadia terpilihya Pak Budi sebagai ketua RT da Pak Adi sebagai wakil ketua RT = E = {Budi-Adi-Dii-Susi, Budi-Adi-Dia-Dii, Budi-Adi-Susi-Dia, Budi-Adi-Susi-Dii, Budi-Adi-Dii-Dia, Budi-Adi-Dia-Susi}. Bayakya kejadia = (E) = 6. Jadi, peluag terpilihya Pak Budi sebagai ketua RT da Pak Adi sebagai wakil ketua RT adalah P(E) = ( E ) S = 6 7 =. ( ) Cotoh Soal. Sumber: i3.photobucket.com Gambar.8 Pertadiga bulutagkis atarsekolah. Utuk meghadapi kejuaraa bulutagkis atar-smk tigkat Provisi, SMK X telah memiliki 4 calo pemai gada putra, yaitu Ricky, Rexy, Ala, da Ardi. a. Ada berapakah cara susua pemai gada putra yag dapat terbetuk? b. Siapa sajakah susua pemai gada putra tersebut? c. Jika dari susua pemai gada putra yag terbetuk haya dipilih satu pasag saja, hituglah peluag terpilihya pasaga gada Ricky-Rexy. d. Jika dari susua pemai gada putra yag terbetuk haya dipilih satu pasag saja, hituglah peluag terpilihya Ala sebagai salah satu aggota pasaga gada? e. Tetuka peluag terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duaya sebagai aggota pasaga gada. f. Tetuka peluag terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy da buka kedua-duaya sebagai aggota pasaga gada. Jawab: a. Bayak pasaga pemai gada yag mugki terbetuk dapat dihitug dega atura kombiasi usur dari 4 usur, yaitu C 4. 4 4! C =! ( 4 - )! 4 4 3! 4 3 C = = = = 6!! Jadi, bayakya pasaga pemai gada yag terbetuk adalah 6 pasag. Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
b. Susua pemai gada dapat dilihat megguaka diagram poho berikut. Jadi, pasaga yag dapat terbetuk adalah Ricky-Rexy, Ricky- Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy-Ardi, da Ala-Ardi. Rexy = Ricky-Rexy Ricky = Rexy-Ricky (X) Ricky Ala = Ricky-Ala Rexy Ala = Rexy-Ala Ardi = Ricky-Ardi Ardi = Rexy-Ardi Ricky = Ala-Ricky (X) Ala Rexy = Ala-Rexy Ardi = Ala-Ardi (X) c. Peluag terpilihya pasaga gada Ricky-Rexy sebagai pasaga yag mewakili SMK X dapat ditetuka dega meetuka bayak aggota himpua kejadia da bayak aggota ruag sampel. Ruag sampel = susua pemai gada yag dapat terbetuk S = {Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy- Ardi, Ala-Ardi}, (S) = 6. Himpua kejadia terpilihya pasaga gada Ricky-Rexy = E = {Ricky-Rexy}, (E) =. Jadi, peluag terpilihya pasaga gada Ricky-Rexy adalah P(E) = ( E ) S ( ) P(E) = 6. d. Guaka cara yag sama seperti c sehigga diperoleh S = {Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy- Ardi, Ala-Ardi}, (S) = 6. Himpua kejadia terpilihya Ala sebagai salah satu aggota pasaga gada = E = {Ricky-Ala, Rexy-Ala, Ardi-Ala}, (E) = 3. Jadi, peluag terpilihya Ala sebagai salah satu pasaga gada adalah P(E) = 3 =. 6 e. S = {Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy- Ardi, Ala-Ardi}, (S) = 6. Himpua kejadia terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duaya sebagai pasaga gada = E = {Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy-Ardi}, (E) = 5. Jadi, peluag terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duaya sebagai aggota pasaga gada adalah P(E) = 5 6. f. S = {Ricky-Rexy, Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy- Ardi, Ala-Ardi}, (S) = 6. Himpua kejadia terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy da buka kedua-duaya sebagai pasaga gada adalah = E = Ricky = Ardi-Ricky (X) Ardi Rexy = Ardi-Rexy (X) Ala = Ardi-Ala (X) Search Ketik: http://parjoo. wordpress. com/007/09/06/ rumus-matematikakosep-peluag/ Website ii memuat iformasi megeai rumusrumus matematika yag berhubuga dega kosep-kosep peluag. Peluag 3
{Ricky-Ala, Ricky-Ardi, Rexy-Ala, Rexy-Ardi}, (E) = 4. Jadi, peluag terpilihya salah satu dari Ricky atau Rexy da buka kedua-duaya sebagai aggota pasaga gada adalah P(E) = 4 6.. Meghitug Peluag dega Frekuesi Nisbi Sumber: www.hedramagic.et Gambar.9 Kegiata melempar uag logam. Selai megguaka ruag sampel, Ada dapat meghitug peluag suatu kejadia dega megguaka frekuesi isbi. Utuk memahamiya, pelajarilah uraia berikut. Misalka, Ada melempar sebuah uag logam sebayak 0 kali da mucul sisi agka sebayak kali. Kemudia, melempar uag logam lagi sebayak 40 kali da mucul sisi agka sebayak 8 kali. Frekuesi isbi muculya agka pada pelempara uag logam tersebut dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel.3 Frekuesi Nisbi Pelempara Uag Logam Bayakya lempara 0 40 Frekuesi muculya sisi agka 8 Frekuesi isbi muculya sisi agka 0 8 9 = 40 0 Pada percobaa tersebut, dilakuka pelempara uag logam sebayak 60 kali (0 + 40) da frekuesi muculya sisi agka sebayak 9 kali (8 + ). Frekuesi isbi muculya sisi agka adalah 9 60 = 0,48 ª. Frekuesi isbi tersebut medekati. Jika Ada lakuka percobaa lebih bayak lagi, frekuesi isbi aka mecapai ilai. Coba badigka oleh Ada dega meghitug peluag megguaka metode ruag sampel. Apa yag dapat Ada simpulka? 3. Frekuesi Harapa Pada bagia sebelumya, Ada telah megetahui bahwa peluag muculya sisi agka pada pelempara mata uag logam adalah. Jika dilakuka pelempara uag logam sebayak 50 kali, berapakah frekuesi harapa muculya sisi agka? 4 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Utuk meghitug frekuesi harapa muculya sisi agka pada pelempara sebayak 50 kali dapat dilakuka dega cara berikut. Frekuesi harapa muculya sisi agka = bayak percobaa peluag mucul sisi agka = 50 = 5 Jadi, frekuesi harapa muculya sisi agka pada pelempara uag logam sebayak 50 kali adalah 5. Frekuesi harapa suatu peristiwa dapat dihitug dega megguaka rumus berikut. Notes Frekuesi harapa adalah frekuesi yag diharapka mucul pada suatu kejadia. F h (E) = P(E) dega F h (E) adalah frekuesi harapa kejadia E, adalah bayak percobaa, da P(E) adalah peluag terjadiya peristiwa E. 4. Peluag Kejadia Majemuk Pada bagia sebelumya, Ada haya membahas peluag dari satu kejadia. Sekarag, Ada aka membahas peluag kejadia majemuk, yaitu dua atau lebih kejadia yag dioperasika da membetuk kejadia baru. Peluag kejadia majemuk yag aka Ada pelajari adalah peluag kompleme dari suatu kejadia, peluag kejadia salig lepas, da peluag kejadia salig bebas. a. Peluag Kompleme dari Suatu Kejadia Sebelum Ada memahami megeai peluag kompleme dari suatu kejadia, pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal. Utuk meghadapi kejuaraa bulutagkis atar-smk tigkat provisi, SMK X telah memiliki 4 calo pemai gada putra, yaitu Ahmad, Soi, Rizki, da Ilham. Berapakah peluag tidak terpilihya Soi sebagai pasaga gada? Jawab: Himpua kejadia terpilihya pasaga gada dega salah satu pasagaya Soi = E = {Ahmad-Soi, Soi-Rizki, Soi-Ilham}, (E) = 3. Peluag terpilihya aggota pasaga gada dega salah satu pasagaya Soi adalah P(E) = 3 =. 6 Sumber: images.mutohar408. multiply.com Gambar.0 Kejuaraa bulutagkis atarsekolah. Peluag 5
Peluag tidak terpilihya Soi sebagai aggota pasaga gada merupaka kompleme dari peluag terpilihya Soi sebagai aggota pasaga gada. Jadi, peluag tidak terpilihya Soi sebagai aggota pasaga gada = P(E c ). P(E c ) + P(E) = P(E c ) = P(E) = = Jadi, peluag tidak terpilihya Soi sebagai aggota pasaga gada adalah. Perhatika kembali Cotoh Soal.. Cotoh kasus tersebut merupaka dua kejadia yag salig kompleme, yaitu dua kejadia yag salig berlawaa. Himpua kejadia E adalah kompleme dari himpua kejadia E c. Jumlah dua peluag yag salig berkompleme adalah. P(E)+ P(E c ) = Sumber: Dokumetasi Peerbit Gambar. Pegetosa dua koi. b. Peluag Kejadia Salig Lepas da Kejadia Tidak Salig Lepas Agar Ada memahami kejadia salig lepas, coba Ada lakuka pegetosa dua koi. Apakah muculya tepat satu gambar dapat terjadi bersamaa dega muculya tepat dua gambar? Tetu saja Ada mejawab tidak. Misalka, A = kejadia mucul gambar, yaitu A = {A, G} da (G, A)} da B = kejadia mucul tepat gambar, yaitu B = {(G, G)}. Dari kejadia A da kejadia B tidak ada satu pu aggota A yag sama dega aggota B. Kejadia ii disebut kejadia salig lepas. Coba Ada perhatika cotoh berikut. Cotoh Soal.3 Pada peristiwa pelempara sebuah dadu, hituglah: a. bayak ruag sampel kejadia, b. peluag muculya mata dadu kurag dari 4, c. peluag muculya mata dadu kurag dari 3 atau lebih dari 4. Jawab: a. Ruag sampel pelempara sebuah dadu = S = {,, 3, 4, 5, 6}. Bayak aggota ruag sampel pelempara sebuah dadu = (S) = 6. b. Himpua kejadia muculya mata dadu kurag dari 4 = E = {,, 3}. 6 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Bayak aggota himpua kejadia muculya mata dadu kurag dari 4 = (E) = 3. Peluag muculya mata dadu kurag dari 4 adalah P(E) = E ) ( ( S ) = 3 6 =. c. Himpua muculya mata dadu kurag dari 3 = E = {, }. Himpua muculya mata dadu lebih dari 4 = E = {5, 6}. Himpua muculya mata dadu kurag dari 3 atau lebih dari 4 ditulis E» E = {,, 5, 6}. Bayak aggota himpua muculya mata dadu kurag dari 3 atau lebih dari 4 = (E» E ) = 4. Peluag muculya mata dadu kurag dari 3 atau lebih dari 4 adalah P(E» E ) = ( E» E) 4 = = S 6 3. ( ) Soal Piliha Sebuah koi di tos 4 kali. Berapakah peluag medapatka 3 gambar da agka? Jelaskalah alasa Ada. Perhatika kembali Cotoh Soal.3. Jika terdapat dua himpua kejadia, yaitu E da E maka aggota himpua kejadia E atau E ditulis E» E. Bayakya aggota himpua kejadia E atau E dapat dihitug dega cara berikut. (E» E ) = (E ) + (E ) (E «E ) dega (E «E ) meyataka bayak aggota irisa himpua E da E atau bayak aggota himpua persekutua E da E atau bayak aggota himpua yag merupaka aggota E da E. Jika kedua himpua kejadia tersebut tidak memiliki aggota persekutua, artiya (E «E ) = 0. Kejadia seperti ii disebut kejadia salig lepas. Dari Cotoh Soal.3c diperoleh (E» E ) = + 0 = 4. Peluag kejadia salig lepas dapat dihitug dega rumus berikut. P (» E = E )» E S ( E ) ( ) Notes Dua kejadia disebut kejadia salig lepas jika P(E» E ) = P(E ) + P(E ). Dua kejadia disebut kejadia tidak salig lepas jika P(E» E ) P(E ) + P(E ). Sekarag, coba Ada perhatika cotoh berikut. Cotoh Soal.4 Pada peristiwa pelempara sebuah dadu, hituglah peluag muculya mata dadu kurag dari 3 atau mata dadu geap. Peluag 7
Jawab: Himpua kejadia muculya mata dadu kurag dari 3 = E = {, }. Himpua kejadia muculya mata dadu geap = E = {, 4, 6}. Himpua kejadia muculya mata dadu kurag dari 3 atau geap = E» E = {,, 4, 6}. Bayak aggota himpua muculya mata dadu kurag dari 3 atau geap = (E» E ) = 4. Peluag muculya mata dadu kurag dari 3 atau mata dadu geap adalah P(E» E ) = ( E» E) 4 = =. S 6 3 ( ) Perhatika kembali Cotoh Soal.4. Bayak aggota himpua kejadia E atau E adalah (E» E ) = (E ) + (E ) (E «E ) Pada kejadia Cotoh Soal.4 terdapat himpua persekutua E da E, yaitu E «E = {}. Artiya, (E «E ) adalah sehigga (E» E ) = + 3 = 4. Oleh karea terdapat himpua persekutua E da E maka kejadia pada himpua tersebut disebut kejadia tidak salig lepas. Peluag kejadia tidak salig lepas dihitug dega rumus berikut. P (» E = E )» E S ( E ) ( ) Notes Kejadia salig lepas biasaya dihubugka dega atau (»), sedagka kejadia salig bebas biasaya dihubugka dega da («). c. Peluag Kejadia Salig Bebas da Kejadia Tidak Salig Bebas Sekarag, Ada dapat membedaka kejadia salig lepas da kejadia tidak salig lepas. Bagaimaakah dega kejadia salig bebas da kejadia tidak salig bebas? Agar Ada dapat membedakaya, pelajarilah cotoh berikut. Cotoh Soal.5 Pada pelempara sebuah dadu, tetuka: a. peluag muculya mata dadu gajil da prima, b. peluag muculya mata dadu gajil da mata dadu lebih dari 4. 8 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XII SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi