Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 1 / 31
Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 2 / 31
Bahasan 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 3 / 31
Bahasan Beberapa Definisi Dasar 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 4 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.......... MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.......... a i1 a i2 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.......... a i1 a i2 a ij a in.......... MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Definisi Matriks Beberapa Definisi Dasar Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata beberapa mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [. Bentuk umum matriks berukuran m n. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.......... a i1 a i2 a ij a in.......... a m1 a m2 a mj a mn MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 5 / 31
Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 6 / 31
Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 6 / 31
Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. a 11 a 12 a 1n a 12 a 21 a 2n...... a n1 a n2 a nn Untuk setiap matriks persegi A berorde n, MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 6 / 31
Beberapa Definisi Dasar Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a ij. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a ij atau (A) ij. Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri a ii matriks tersebut. a 11 a 12 a 1n a 12 a 21 a 2n...... a n1 a n2 a nn Untuk setiap matriks persegi A berorde n, trace dari A, dinotasikan dengan tr A, didefinisikan sebagai jumlah semua entri diagonal utama A. tr A = a 11 + a 22 + + a nn = n a ii. i=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 6 / 31
Matriks Identitas Beberapa Definisi Dasar Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang entri diagonal utamanya semuanya 1 dan entri lainnya bernilai 0. [ 1 0 [1,, 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0, 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0,... 0 0 1 0 0 0 1 Kita notasikan matriks identitas berukuran berorde n dengan I n jika n memang siginifikan dan perlu ditulis. Jika tidak, cukup dengan I saja. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 7 / 31
Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = 2 3 1 4, B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 A T = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 8 / 31
Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = 2 3 1 4, B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ 2 1 5 A T =, B 3 4 6 T = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 8 / 31
Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = 2 3 1 4, B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ 1 2 1 5 A T =, B 3 4 6 T = 3, dan C T = 5 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 8 / 31
Transpos dari Matriks Beberapa Definisi Dasar Definisi Misalkan A = [a ij adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A T, merupakan matriks berukuran n m dan didefinisikan sebagai A T = [a ji. Dengan perkataan lain baris-baris matriks A T adalah kolom-kolom matriks A, dan kolom-kolom matriks A T adalah baris-baris matriks A. Misalkan A = 2 3 1 4, B = [ 1 3 5, dan C = [8, maka 5 6 [ 1 2 1 5 A T =, B 3 4 6 T = 3, dan C T = [8. 5 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 8 / 31
Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ 0 0 2 0 A =, B =, C = 3 0 0 0 1 0, D = 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 7 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 9 / 31
Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ 0 0 2 0 A =, B =, C = 3 0 0 1 0 0 7 0 1 0, D = 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0. 0 0 2 0 0 0 4 Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 9 / 31
Matriks Diagonal Beberapa Definisi Dasar Definisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? [ [ 0 0 2 0 A =, B =, C = 3 0 0 1 0 0 7 0 1 0, D = 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0. 0 0 2 0 0 0 4 Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena (D) 14 = 7 0. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 9 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 10 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34. 0 0 0 a 44 Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 10 / 31
Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi U = [u ij disebut matriks segitiga atas bila semua entri di kiri (atau bawah ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [l ij disebut matriks segitiga bawah bila semua entri di kanan (atau atas ) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain l ij = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34. 0 0 0 a 44 Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0. a 41 a 42 a 34 a 44 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 10 / 31
Beberapa Definisi Dasar Matriks Simetris Definisi Suatu matriks persegi A = [a ij dikatakan simetris jika A = A T, atau setara dengan a ij = a ji untuk setiap i, j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 11 / 31
Matriks Simetris Beberapa Definisi Dasar Definisi Suatu matriks persegi A = [a ij dikatakan simetris jika A = A T, atau setara dengan a ij = a ji untuk setiap i, j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 a b c a d e b d f, c e f entri tidak kita pedulikan, a, b, c, d, e, f R. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 11 / 31
Beberapa Definisi Dasar Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan [ 1 0 3 0 0 0 2 0 A =, B = 0 2 8, C = 0 2 1, 0 0 3 8 3 0 0 0 Solusi: D = 1 0 9 3 0 1 2 1 9 2 0 0 3 1 2 1, E = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 12 / 31
Beberapa Definisi Dasar Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan [ 1 0 3 0 0 0 2 0 A =, B = 0 2 8, C = 0 2 1, 0 0 3 8 3 0 0 0 D = 1 0 9 3 0 1 2 1 9 2 0 0 3 1 2 1, E = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Solusi: yang termasuk matriks simetris adalah A (karena A T = A), B (karena B T = B), dan E (karena E T = E). MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 12 / 31
Bahasan Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 13 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. Apakah A = ( 1 2 3 4 5 6 ) dan B = ( 1 2 7 4 5 6 ) sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A) 13 (B) 13. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A) 13 (B) 13. Apakah A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 dan B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A) 13 (B) 13. Apakah A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j 3. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 sama? Ya, karena MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A) 13 (B) 13. Apakah A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j 3. Apakah A = ( 1 2 3 6 7 8 ) dan B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ( 1 2 3 0 6 7 8 0 sama? Ya, karena ) sama? MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A) 13 (B) 13. Apakah A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 dan B = (A) ij = (B) ij untuk setiap 1 i, j 3. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 sama? Ya, karena ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena A 6 7 8 6 7 8 0 berorde 2 3, sedangkan B berorde 2 4. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 14 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki 1 2 3 4 5 6 + = 4 5 6 7 8 9 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 15 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki 1 2 3 4 5 6 + = 4 5 6 7 8 9 dan [ [ 4 5 6 1 2 3 = 7 8 9 4 5 6 [ 5 7 9 11 13 15 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 15 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Jumlah dan Selisih Matriks Definisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B) ij = (A) ij + (B) ij dan (A B) ij = (A) ij (B) ij. Sebagai [ contoh, [ kita memiliki 1 2 3 4 5 6 + = 4 5 6 7 8 9 dan [ [ 4 5 6 1 2 3 = 7 8 9 4 5 6 [ 5 7 9 11 13 15 [ 3 3 3. 3 3 3 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 15 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 16 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ 1 2 3 3 = 4 5 6 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 16 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ 1 2 3 3 6 9 3 = 4 5 6 12 15 18, MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 16 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ 1 2 3 3 6 9 3 = 4 5 6 12 15 18, 1 3 3 6 9 12 15 18 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 16 / 31
Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real. Definisi Jika A adalah suatu matriks dan k R, maka ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [a ij, maka (ka) ij = k (A ij ) = ka ij. Sebagai contoh, kita memiliki [ [ 1 2 3 3 6 9 3 = 4 5 6 12 15 18, 1 3 3 6 9 12 15 18 = 1 2 3 4 5 6. Catatan: kita akan menulis ( 1) A = A. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 16 / 31
Bahasan Perkalian Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 17 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = r (A) ik (B) kj. k=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB) ij = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + + (A) ir (B) rj = r (A) ik (B) kj. k=1 Ilustrasi cara menghitung (AB) ij a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r........ a i1 a i2 a ir...... b 11 b 12 b 1j b 1n b 21 b 22 b 2j b 2n.......... b r1 b r2 b rj a rn a m1 a m2 a mr MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 18 / 31
Syarat Perkalian Matriks Perkalian Matriks Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terdefinisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 19 / 31
Syarat Perkalian Matriks Perkalian Matriks Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terdefinisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut 4 1 4 3 [ 0 1 3 1 1 2 4 2 6 0 2 7 5 2 tidak didefinisikan (mengapa?). MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 19 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 2 6 0 2 7 5 2 x = = [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + = [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ 1 2 4 2 6 0 x = 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ 1 2 4 2 6 0 x = (1 3) + 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ 1 2 4 2 6 0 x = (1 3) + (2 1) + 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 = [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x. [ 4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 = 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. [ 1 2 4 2 6 0 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 = x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13. [ x [ x MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 20 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. rc = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. rc = [ r 1 r 2 r k MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rb adalah matriks c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. c 1 rc = [ c 2 k r 1 r 2 r k. = r j c j. Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rb adalah matriks baris dengan n kolom (berorde 1 n). c k j=1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 21 / 31
Perkalian Matriks Perkalian Matriks Meninjau Kolom Diberikan matriks A yang berorde m r dan matriks B yang berorde r n, jika kita menulis B sebagai B = [ b 1 b 2 b n, dengan b i (1 i n) adalah matriks kolom dengan r baris, maka AB dapat dihitung sebagai AB = [ Ab 1 Ab 2 Ab n. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 22 / 31
Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x dan y. [ 1 2 4 4 1 4 3 0 1 3 1 2 6 0 2 7 5 2 = [ x y. Tinjau bahwa MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 23 / 31
Contoh Perkalian Matriks Tentukan nilai x dan y. [ 1 2 4 4 1 4 3 0 1 3 1 2 6 0 2 7 5 2 Tinjau bahwa [ x y = = [ 1 2 4 2 6 0 [ x y 1 1 7 =. [ 27 4. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 23 / 31
Perkalian Matriks Latihan Perkalian Matriks Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut dapat dikalikan, jika dapat dikalikan tentukan hasilnya. 1 2 [ [ [ A = 1 2 1 1 3 1 1 3 1, B =, C =, D = 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 AB 2 BA 3 BC 4 CD 5 DC MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 24 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 2 BA = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 [ 1 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 1 = = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 [ 1 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 1 = = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 7 5 3 1 3 BC = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 2 BA = 3 BC = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 [ 1 2 1 0 1 0 [ 1 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 1 [ 1 3 0 1 = =, 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 7 5 3 1 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 1 2 [ 2 1 2 1 BA = 3 1 7 5 = 0 1 0 3 1 0 1 [ [ 3 1 2 1 1 3 BC = 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. 4 CD =, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 1 2 [ 2 1 2 1 BA = 3 1 7 5 = 0 1 0 3 1 0 1 [ [ 3 1 2 1 1 3 BC = 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ 4 1 3 1 1 CD = = 0 1 2 1, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 1 2 [ 2 1 2 1 BA = 3 1 7 5 = 0 1 0 3 1 0 1 [ [ 3 1 2 1 1 3 BC = 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ 4 1 3 1 1 7 4 CD = = 0 1 2 1 2 1 5 DC =, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 1 2 [ 2 1 2 1 BA = 3 1 7 5 = 0 1 0 3 1 0 1 [ [ 3 1 2 1 1 3 BC = 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ 4 1 3 1 1 7 4 CD = = 0 1 2 1 2 1 [ [ 5 1 1 1 3 DC = = 2 1 0 1, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Perkalian Matriks Solusi: 1 AB = 1 2 3 1 0 1 [ 1 2 1 0 1 0 = 1 4 1 3 7 3 0 1 0 [ 1 2 [ 2 1 2 1 BA = 3 1 7 5 = 0 1 0 3 1 0 1 [ [ 3 1 2 1 1 3 BC = 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. [ [ [ 4 1 3 1 1 7 4 CD = = 0 1 2 1 2 1 [ [ [ 5 1 1 1 3 1 4 DC = = 2 1 0 1 2 7, tidak dapat dikalikan karena banyak kolom MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 25 / 31
Bahasan Struktur Aljabar Matriks 1 Beberapa Definisi Dasar 2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks 3 Perkalian Matriks 4 Struktur Aljabar Matriks 5 Latihan Aljabar Matriks MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 26 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac 7 a (bc) = (ab) C MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a, b R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1 0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan) 2 A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 3 (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan) 4 A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa A = ( 1) A 5 (a + b) C = ac + bc dan (a b) C = ac bc 6 a (B + C) = ab + ac dan a (B C) = ab ac 7 a (bc) = (ab) C 8 a (BC) = (ab) C = B (ac). Silakan hayati teorema di atas. Bukti cukup mudah namun terlalu panjang untuk dibahas di sini. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 27 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 28 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 28 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A 3 Jika c R dan ca = 0, maka MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 28 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut. Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m n dan A adalah sembarang matriks berukuran m n, maka 1 0A = 0 2 A + 0 = A dan A 0 = A 3 Jika c R dan ca = 0, maka c = 0 atau A = 0. Bukti teorema cukup mudah, silakan buktikan sendiri jika Anda masih penasaran. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 28 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada. Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terdefinisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1 A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 29 / 31
Struktur Aljabar Matriks Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada. Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terdefinisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1 A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC 2 A (B C) = AB AC dan (A B) C = AC BC Silakan hayati teorema di atas, bukti terlalu panjang untuk dibahas di sini. MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 29 / 31
Latihan Aljabar Matriks Latihan Aljabar Matriks Latihan Diketahui A = 3 0 1 2 1 1, B = [ 4 1 0 2 [ 1 4 2, C = 3 1 5 memang dapat dihitung) matriks hasil operasi berikut: 1 AB 2 3CA 3 ABC 4 4BC + 2C. Tentukan (jika MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 30 / 31
Solusi: Latihan Aljabar Matriks 1 AB = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Latihan Aljabar Matriks Solusi: 1 AB = 3 0 1 2 1 1 [ 4 1 0 2 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Latihan Aljabar Matriks Solusi: 1 AB = 3 0 1 2 1 1 [ 4 1 0 2 = 12 3 4 5 4 1 2 3CA = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = 3 0 1 2 1 1 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ) = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = 3 0 1 2 1 1 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ) = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 3 12 6 9 3 15 3 0 1 2 1 1 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 ) = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 3 12 6 9 3 15 3 0 1 2 1 1 = 3 ABC = (AB) C = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = ) 3 0 1 2 1 1 = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 [ 3 12 6 9 3 15 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = 12 3 4 5 4 1 [ 1 4 2 3 1 5 ) 3 0 1 2 1 1 = = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 [ 3 12 6 9 3 15 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = 12 3 4 5 4 1 4 4BC + 2C = [ 1 4 2 3 1 5 ) 3 0 1 2 1 1 = 3 0 1 2 1 1 = 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 3 45 9 11 11 17 7 17 13 [ 3 12 6 9 3 15 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = 12 3 4 5 4 1 4 4BC + 2C = ) [ 1 4 2 3 1 5 ( [ 4 1 4 0 2 3 0 1 2 1 1 = 3 0 1 2 1 1 = 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 3 45 9 11 11 17 7 17 13 [ 1 4 2 3 1 5 [ 3 12 6 9 3 15 ) + [ 1 4 2 3 1 5 ( 2 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = ) = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = 12 3 4 5 4 1 4 4BC + 2C = [ 4 60 12 24 8 40 ) [ 1 4 2 3 1 5 ( [ 4 1 4 0 2 + 3 0 1 2 1 1 = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 3 1 5 = [ 3 12 6 9 3 15 3 45 9 = 11 11 17 7 17 13 [ ) ( 1 4 2 + 2 [ 2 8 4 6 2 10 [ 1 4 2 3 1 5 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = ) = = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31
Solusi: 1 AB = 2 3CA = [ 3 30 39 21 3 0 1 2 1 1 Latihan Aljabar Matriks [ 4 1 0 2 ( [ 1 4 2 3 3 1 5 3 ABC = (AB) C = 12 3 4 5 4 1 4 4BC + 2C = [ 4 60 12 24 8 40 ) [ 1 4 2 3 1 5 ( [ 4 1 4 0 2 + 3 0 1 2 1 1 [ 2 8 4 6 2 10 = 3 0 1 2 1 1 12 3 4 5 4 1 = [ 4 1 0 2 [ 3 12 6 9 3 15 [ 1 4 2 3 1 5 3 0 1 2 1 1 = 3 45 9 = 11 11 17 7 17 13 [ ) ( [ ) 1 4 2 1 4 2 + 2 = 3 1 [ 5 3 1 5 6 68 16 = 30 10 50 = MZI (FIF Tel-U) Matriks - 1 Agustus 2015 31 / 31