Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2
Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berorde ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar dan dicetak tebal misalnya matriks A, B, C. Ukuran matriks A dengan m baris dan n kolom ditulis sebagai A mxn
Contoh Matriks Matriks A berukuran mxn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. Misalnya: a 21 adalah elemen matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke-1
Contoh Matriks
Sistem Persamaan Linier Dalam sistem persamaan linier, terdapat sejumlah m persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui. Bentuk umum dgn a 11,., a mn : koefisien variabel b 1,, b m : konstanta x 1,, x n : variabel yang tidak diketahui n : jumlah variabel m : jumlah persamaan Biasanya jumlah persamaan linier sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau m = n
Contoh untuk n = 4 dan m = 3, maka sistem persamaan linier menjadi: contoh real: indeks pada koefisien variabel dimanfaatkan untuk menandai letak di mana koefisien tersebut berada, indeks pertama terkait dengan variabel dan indeks kedua terkait dengan persamaan.
Matriks Augmentasi Matriks augmentasi diperoleh dari sistem persamaan linier, atau dengan kata lain matriks augmentasi adalah sistem persamaan linier yang dinyatakan dalam bentuk matriks. Misal sistem persamaan linier sebagai berikut: maka matriks augmentasi-nya adalah sebagai berikut:
Matriks Augmentasi Misal sistem persamaan linier sebagai berikut: maka matriks augmentasi-nya adalah sebagai berikut:
Operasi Elementer Baris (Eliminasi Gauss) Operasi elementer baris digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Pada dasarnya adalah operasi eleminasi dimana pada setiap tahap eliminasi sistem persamaan linier disajikan dalam bentuk matriks augmentasi. Baris-baris pada matriks augmentasi dioperasikan dengan baris yang lain. Misal baris kedua dikurangi 3 kali baris pertama (R 2 3R 1 ) Matriks augmentasi dibawa ke bentuk matriks segitiga atas (tanpa melihat kolom terakhir)
Matriks augmentasi dalam bentuk sebagai berikut: akan dikenakan operasi baris elementer sehingga diperoleh bentuk akhir sebagai berikut: 1 0 0 0 c 12 1 0 0......... 0 c c 1n 2n... 1 d d... d 1 2 m
Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier sbb: Penyelesaian: Maka matriks augmentasinya adalah:
Hint Tambah pers. ke-2 dgn 2 kali pers pertama (R 2 2R 1 ) Tambah pers. ke-3 dgn 3 kali pers pertama (R 3 3R 1 ) Kalikan pers. ke-2 dgn ½ atau 1/2R 2 Tambah pers. ke-3 dgn 3 kali pers kedua (R 3 3R 2 ) Kalikan pers. ke-3 dgn 2 atau -2R 3 Selesaikan untuk setiap variabel yang ada
Tambah pers ke-2 dgn -2 kali pers pertama (R 2 2R 1 ) Tambah pers ke-3 dgn -3 kali pers pertama (R 3 3R 1 ) Kalikan pers ke-2 dgn ½ atau 1/2R 2
Tambah pers ke-3 dgn -3 kali pers kedua (R 3 3R 2 ) Kalikan pers ke-3 dgn -2 atau -2R 3
Dari ke-tiga persamaan yang terakhir maka telah diketahui bahwa nilai z = 3. Utk mencari nilai y dapat digunakan persamaan ke-dua yaitu: y (7/2)z = 17/2 y = ( 17/2) + (7/2)(3) y = 2 Utk mencari nilai x dapat digunakan persamaan pertama yaitu: x + y + 2z = 9 x = 9 2 2(3) x = 1 Jadi penyelesaian sist pers linier {x, y, z 1, 2, 3}
Dari contoh di atas, matriks augmentasi dari setiap tahap eliminasi memperlihatkan apa yang disebut operasi baris elementer. Untuk tahap-tahap berikutnya, pekerjaan menyelesaikan sistem persamaan linier akan dilakukan menggunakan operasi baris elementer pada matriks secara langsung tanpa harus menulis kembali persamaan linier pada setiap tahap (kecuali pada akhir proses untuk menentukan nilai-nilai penyelesaian). Operasi baris elementer juga akan digunakan untuk mencari besaran-besaran pada matriks seperti determinan, invers matriks, dll.
Homwork #1 (Prodi SI) Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan cara operasi elementer baris (eliminasi Gauss). 3x 1 2x 1 x 1 2x 2 4x 2x 3x 2 x 2 3 3 3 4 5
Referensi Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984. Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005. AljabarLinier, Yuliant Sibaroni,2002