BAB V BEBERAPA MODEL DISTRIBUSI PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU

H. Maman Suhrman,Drs.,M.Si BAB V BEBERAPA MODEL DISTRIBUSI PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU Pada bab sblumnya, khususnya pada BAB II kita tlah mngnal distribusi pluang scara umum baik untuk pubah acak diskrit maupun pubah acak kontinu. Pada bab IV kita tlah mmplajari bbrapa modl distribusi pluang khususnya untuk pubah acak diskrit bsrta karaktristiknya. Pada bab ini kita akan mmplajari bbrapa modl distribusi pluang untuk pubah acak kontinu, antaranya adalah modl distribusi pluang sragam, gamma, bta, normal dan lainlain. Modl-modl distribusi khusus ini sring digunakan dalam statistika trapan, cabang statistika lainnya dan sbagai prasayarat untuk mmplajari statistika matmatika lanjutan (infrnsial). Bbrapa fnomna alam yang distribusinya bias didkati olh modl-modl distribusi pluang khusus pubah acak kontinu, contohnya antara lain waktu tunggu dngan prsyaratan trtntu adalah brdistribusi gamma, dan waktu trjadinya gmpa di alam ini dapat didkati olh distribusi pluang ksponnsial (gamma khusus). Pmbicaraan distribusi pluang khusus kontinu dalam bab ini lbih ditkankan pada pngnalan tori dan karaktristik dari masing-masing modl, jadi bukan pada trapan atau asal-usulnya. 5. Distribusi Sragam Nilai-nilai dari pubah acak X yang brdistribusi ini adalah brupa sbuah intrvai buka (, ), brarti rangnya adalah S = (, ) = {/ < < }, fkp-nya brnilai sama (sragam) pada intrval ini. Dfinisi: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 6

Pubah acak X brdistribusi sragam atau brdistribusi uniform pada intrval buka (, ) dan dinamakan pubah acak uniform, jika fkp-nya brbntuk: F() =,, lainnya Catatan: Pubah acak X brdistribusi sragam pada (, ) ditulis dngan X : (, ). Torama: Jika X : (, ) maka rrata, varians dan fpm-nya dari X adalah: () ( ) () t( ) t t ( ) () M ( t), t Bukti: () E [ X ] d ( ) () = E E X X, dngan E X = ( ), dan F X = d ( ) ( ), maka ( ) ( ) ( ) Y Y X () M (t) = E d E( ) t t t( ) Contoh 5. Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 7

Diktahui X : (5.). a) Tntukan Fkp, fd dan fpm dari X. b) Hitung rrata, varians dan simpangan baku dari X. Pnylsaian: a) Dalam hal ini = -5, =, maka Fkp dari X adalah f() =, 5 7 Dalam hal ini = -5, =, maka Fkp dari X adalah f() = o, lainnya Misalkan F fungsi distribusi dari X, maka F() = P[X] = f ( t) di Untuk < -5 F() = 5 dt 5 Untuk 5 < < F() = dt dt ( 5) 7 7 7 5 5 Untuk F() = 5 dt dt dt 7 5 ; -5 Jadi F() = ( 5); 5,, 7 ; Grafik f dan F disajikan dalam gambar 5. f() F() f F -5-5 Gambar 5. Misalkan M dari X, maka: X X M (t) = E 7 5 d 7 X 5 t 7t t b) ( ) ( 5 ) Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 8

9 ( ) _ 5 ) dan 7 5. Distribusi Gamma Dfinisi: Pubah acak X brdistribusi gamma dan dinamakan tubah acak gamma jika Fkpnya brbntuk: f() = a, (, ) a Catatan:, Fungsi : R + R, dngan d dinamakan fungsi gamma, jika bilangan bulat positif, maka ( )!. Rumus rkursi fungsi gamma adalah ( ). Pubah acak brdistribusi gamma dngan paramtr dan ditulis X : G (, ). Torama: Jika X : G(, ), maka rrata, varians dan fpm dari X adalah: Bukti: () () () M (t) = (- t ) () EX f ( ) d d = d, Misalkan y, <y< maka = y dan d = dy dan karna <<, maka Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 9

Maka ( y) d = o y y dy = ( ) = = () Coba sndiri sbagai latihan. X X () M (t) = E d = t d Misalkan t y, maka = y t dan d = t dy Shingga: M (t) = y y dy t t = ( ) y t ( t) = y dy = ( - t ), dngan - t atau t < Catatan: Mlalui fpm kita bias mnntukan dari. Silahkan anda coba sbagai latihan. Contoh 5. Diktahui X : G(.). a) Tntukan fkp dan fpm dari X. Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

b) Hitung rrata dan varians dari X. c) Hitung ([X>]. Pnylsaian: a) Brdasarkan dfinisi dan dngan,, maka fkp dari X adalah: f) =,, f) =, 9, Brdasarkan torma tntang fpm untuk pubah acak gamma dngan dan, maka fpm dari X adalah: b) 6 dan 8 c) PX PX, dngan P X P X ( ) d 9 9 = d = - = - 6 = - Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

= - Maka PX, 758 5. Distribusi Eksponnsial Dfinisi: Pubah acak X brdistribusi Eksponnsial dngan paramtr dan dinamakan pubah acak ksponnsial jika fkp-nya brbntuk: F() =, ( ), Catatan: Pada knyataannya distribusi ksponnsial diprolh dari pubah acak G(, ) dngan paramtr = dan. Jika X : Ekp ( ) adalah pnulisan untuk pubah acak X brdistribusi ksponnsial dngan paramtr, maka brarti : G(, ). Torama: Jika X : Ekp ( ) G(, ), maka rrata, Varians dan fpm dari X adalah: Bukti: () () () M (t) = (-t), Karna X : Ekp( ) G(, ), maka kita bias mnggunakan karaktristik distribusi gamma (dngan dan ) Shingga: (). () () M(t) = (- t) ( t). Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5. Diktahui X : Ep. a) Tntukan fkp, fpm dan f.d dari X. b) Sktsa grafik fkp dan grafik f.d scara trpisah. c) Hitung rrata, varians dan P X. Pnylsaian: a) X : Ep brarti paramtr, maka fk: f) =,, dan fpm M (t) = t Misal F fungsi distribusi dari X, maka F() = P Untuk F() = dt Untuk > F() = Jadi, F() =, -,> dt y t dt t X f ( t) dt. b) Sktsa grafik fkp f dan fungsi distribusi F ditunjukan pada gambar 5.. F() F() f Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

c) Karna X : Ep, maka f ( ) d d dan d P X = =,6 atau dngan mnggunakan fungsi distribusi F diprolh: P X ( ),6 ]. F F 5. Distribusi Chi-Kuadrat Distribusi Chi-Kuadrat adalah juga hal khusus dari distribusi gamma G(, ), dngan v, v bilangan bulat posistif dan. Dfinisi: Pubah acak X brdistribusi chi kuadrat dan dinamakan pubah acak chi-kuadrat jika fkp-nya brbntuk: ( v) f() =, ( v,,,...) v v, Catatan: v adalah paramtr dari pubah acak chi kuadrat dan dinamakan drajat bbas atau drajat kbbasan. Pubah acak X brdistribusi chi-kuadrat dngan drajat kbbasan ditulis X : Av Torama: Jika X :, maka rrata, varians dan fpm dari X adalah: Bukti: (v) v () v () v () M(t) = (-t), t < Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

Karna X : ( v ) X : G v,, maka () v. v () v. v () M (t) = t Contoh 5. Diktahui X :. v ( t), t () a) Tntukan fkp dan fpm dari X. b) Hitung rrata dan varians X. c) Sktsa grafik fkp X. d) Hitung P[<X,9,5] scara matmatis (kalkulus) dan dngan mnggunakan tabl distribusi chi-kuadrat. ) P[X<] =,5. Tntukan nilai scara matmatis dan scara tabl! Pnylsaian: a) X : () atau X : G(,), maka fkp dari X adalah; () f() =,., f() =,, Sdangkan fpm-nya adalah: M (t) = ( t) ( t ) b) v dan v 8 c) Pmbuat maksimum dari f diprolh dngan cara: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

f() =, 8 8 adalah:, sktsa grafik disajikan pada gambar 5.. dan puncak dari kurva f F() () r 9,5 Gambar 5. d) Scara matmatis: 9,5 9,5 P X 9,5 d = - a 9,5 d 75, = - 9,5, 95 Dngan tabl distribusi chi-kuadrat vrsi prtama, yaitu P[X ] F[ X ], dan dalam soal ini = 9,5. Langkahnya adalah sbagai brikut lihat kolom prtama untuk drajat kbbasan yaitu v = dari k kanan tntukan angka 9bilangan) 9,5 karna tidak ada, maka diambil pndkatannya yaitu 9,9. Dari sini lihat k atas yaitu k judul baris pluang. Trnyata mnunjukkan bilangan,95. Ini mnunjukkan bahwa P[,<9,5] =,95. ) Scara matmatis: 9,5 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 6

PX P X t dt t = -, 5,95,95,8 Dngan tabl distribusi chi-kuadrat vrsi prtama, untuk v = dan pualng,5 diprolh =,8. 5.5 Distribusi Bta Dfinisi: Pubah acak X brdistribusi bta dan dinamakan pubah acak jika fkp-nya brbntuk: ( ) f() =. a ( ), (, ). ; lainnya Catatan: dan adalah paramtr-paramtr untuk distribusi bta, jika. Maka distribusi bta brupa pubah uniform X : (, ) Torama: Jika pubah acak X brdistribusi bta dngan paramtr dan, maka rrata dan variansnya adalah: () () ( ) ( ) Silahkan anda buktikan torama ini, dngan ptunjuk gunakan fungsi bta, yaitu: a ( a) Contoh 5.5. d ( ) Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 7

Jika X pubah acak brdistribusi bta dngan paramtr dan, hitung: a) Rrata X b) Pnylsaian:. 5 f() = ( ) ; ; lainnya = (-) ; << ; lainnya a) EX f ) d ( ( ) d X.!! = ( ) d.., ( ) 5! maka Bila dngan torama maka diprolh hasil yang sama, yaitu,. 5 b). P X ( ) ( ) ( ), 6 f d d d C 5.6 Distribusi Normal Distribusi normal adalah salah satu modl distribusi untuk pubah acak kontinu, yang paling sring digunakan dalam mnylsaikan prmasalahan baik dalam statistika trapan, dalam pnlitian, dalam bidang ilmu lain, maupun cabangcabang statistika lainnya. Karna alas an praktis itulah barangkali dinamakan dngan istilah normal. Pada prkmbangannya distribusi ini prtama kali diplajari olh tiga orang ahli, yaitu Abraham d Moivr, F. Laplac dan Karl Gauss. Shingga distribusi normal dinamakan pula distribusi Gauss. Bntuk umum modl distribusi normal dibrikan dalam dfiasi brikut: Dfinisi: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 8

Pubah acak X yang mmiliki man dan varians dikatakan brdistribusi normal dan dinamakan pubah acak normal dngan rrata (man) dan varians atau disingkat X : N(, ), jikafkp nyabrbntuk : f() =, (-, dan < ) Catatan: Dapat ditunjukkan bahwa fungsi f dngan prsamaan di atas bnar-bnar sbuah fkp z dari X, yaitu jlas f(), dan f ( ) d d =. Torama: Jika X : N(, ), maka rrata, varians, dan fpm dari X adalah: (). E[X] = (). Var (X) = (). M (t) =, t t dz Bukti: z (). E[X] =. d ( z ) z = z dz =.. z Dngan alas an g(z) = z fungsi ganjil, shingga z z dz. z (). Var (X) = E[(X- ) ] E[ X ] E [ X ], dngan E[X ] dz zdz Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 9

Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- = ) (. d (Silahkan anda tunjukkan, sbagai latihan!), shingga Var (X) = (). M (t) = E[ ]= d tz d ) ( = d t t t. = d t t. = d t N t ), (. = t t, (trbukti) Catatan: Untuk mnghitung rrata dan varians dari X dapat mnggunakan tpm dari X, yaitu: E[X] = M () = dan Var (X) = M ()-[M ()] = Sifat-sifat Kurva Normal Grafik fkp X : N(, ) mmpunyai sifat-sifat:. Simtris trhadap garis =.. Maksimum f = di =.. Sumbu X adalah asimtot datar.. = dan = adalah absis-absis titik blok. Coba anda buktikan dngan bantuan kalkulus! Sktsa grafik fkp X:N( ), diprlihatkan pada gambar 5.!

f() X:N( n ) Gambar 5. Dngan mnggunakan sifat-sifat kurva normal, jlaslah bahwa: (). PX P X (). P X P X (). P X P X 5.7. Distribusi Normal Baku Untuk mmprmudah pnylsaian maslah pluang shubungan dngan distribusi normal, biasanya digunakan mlalui distribusi normal baku (sudah ditablkan). Dfinisi: Pubah acak XLN(, ) dngan dan dinamakan brdistribusi normal buku dngan fkp: f() =, - atau X:N(,) adalah pubah acak normal baku. Dngan torama atau karaktristik pubah acak normal umum, maka dapat dibuktikan bahwa jika X:N(,), maka rrata, varians dan fpm-nya brturut-turut adalah: E(X) =, var (X) =, dan M (t) = t Pngantar Statistika Matmatis -------------------------------------------------------------------------------

Grafik fkp pubah acak Z:N(,) diprlihatkan pada gambar 5.5! f() Z:N(,) - - - Gambar 5. Tlah dibuat tabl distribusi normal baku dalam bbrapa vrsi untuk mnghitung pluang pubah acak Z:N(,) brnilai trtntu, antara lain: (). Vrsiprtama adalah tabl yang mnyatakan P Z z. (). Vrsi kdua tabl yang mnyatakan P Z z. dngan z dan ada juga tabl dngan. Misalnya untuk z =,65 maka brdasarkan tabl prtama P Z,65. =,5 dan P Z,65. =.95 mnurut tabl kdua. Hubungan tabl vrsi prtama dngan vrsi kdua untuk z > adalah P Z z,5 P Z z Torama: X Jika X:N(, ), maka Z = : N(,). Bukti: Akan dicari fpm dari pubah acak Z, sbagai brikut: Misalkan M z (t) fpm dari Z, maka: E E. E t M z (t) = E tz =. t t. t t t Jika kita prhatikan fpm untuk pubah acak normal, maka Z:N(,). Catatan: Prmasalahan normal umum dapat dislsaikan. mlalui transformasi: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- t M t dngan normal baku (standar)

Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- X:N ) (, :, N X Z Misalnya, mnghitung: P z Z P z X P a X Contoh 5.6 Diktahui pubah acak X:N( )., Dngan tabl distribusi normal baku, hitung: a). P X b). P X c). P X Pnylsaian (Mnggunakan Tabl Vrsi I): a). P, Z P X P X b). P X P X Z P Z P Z P =,77, =,6 c). P,5 Z P P Z X P X =,5,99 =, Contoh 5.7 Misalkan brat badan bayi lahir brdistribusi normal dngan rrata,5 kg dan varians kg. a). Jika X mnyatakan brat badan bayi baru lahir, tntukan prsamaan fkp dan fpm dari X. b). Hitung pluang brat badan bayi baru lahir antara kg dan kg. c) Dari. bayi baru lahir, brapakah harapan banyaknya bayi yang bratnya lbih dari,5 kg.

Pnylsaian: a). Diktahui pubah acak X:N(,5,), maka fkp dari X adalah: f() =,5 5 6,5 fpm-nya adalah: M (t) =,5tt b). Misalkan A = Brat badan bayi baru lahir antara kg dan kg. = {/ < X < } Maka: P A P X P,5 X,5 = P,5 Z,5 c). P = [Brat badan bayi baru lahir lbih dari,5 kg] P,5,5,5 =. P Z,5.,7, 7 X,5 P Z PZ,,5 P Z, =,5, =,8. Maka banyaknya bayi baru lahir yang bratnya lbih dari,5 kg adalah.,8 = 8 orang. Torma: Jika X : N(, ), maka pubah acak dngan drajat kbbasan, atau Bukti: X : N X, Z : N, Akan dibuktikan V = Z :X ( ) V : X () V X V brdistribusi Chi-Kuadrat Misalkan F adalah fungsi distribusi dari V, maka: Misalkan z y atau Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- z y, < z < v y v dan dz dy y

F v PV v PZ v P v Z v vv vv z dz v z dz v y dy y y y v v y v dy dy v y y dy v f ( y) dy Intgran pada ruas kanan yaitu f ( y) y adalah fkp dari pubah acak X () Jadi, V : X () (Trbukti). y 5.8 Distribusi Studnt T Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

Distribusi yang akan dibicarakan dalam pasal ini dinamakan distribusi T karna pubah acaknya mnggunakan huru T atau disbut juga distribusi studnt, karna distribusi ini ditmukan olh sorang mahasiswa 9studnt). Dfinisi: Pubah acak T dinamakan brdistribusi studnt T dngan drajat kbbasan r disingkat dngan T:T (r) jika fkp-nya brbntuk: f r ( t). r r r t r t r,,,... Bbrapa torma shubungan dngan pubah acak studnt brikut, pmbuktiannya ditangguhkan! Torma: Jika pubah acak T:T(r), maka rrata dan varians dari T adalah: ) ET, r,,,... r r r untuk r =, (tidak ada) r ) vart, r Torma: Jika pubah acak W dan pubah acak V bbas stochastic dngan W:N(,) dan V : X () maka pubah acak kbbasan r T Bbrapa sifat kurva (grafik) fkp pubah acak studnt T:T(r) ) Kurva simtris trhadap garis atau sumbu t =. W V r brdistribusi studnt T dngan drajat Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 6

) Maksimum r f di t =. r r ) Mmiliki asimtor datar yaitu sumbu T (absis). ) P [T ] P [ T ]. Contoh 5.8 Diktahui pubah acak T brdistribusi studnt T:T(). a) Tntukan fkp dari T yaitu f(t). b) Sktsa grafik f. c) Hitung P T Pnylsaian: Dalam hal ini pubah acak studnt T mmiliki drajat kbbasan r =, maka fkp dari T adalah:! () f t). r t (, t, dngan, dan a) Maksimum f (), dan kurva brpuncak pada titik (,.). Sdangkan untuk t =, fungsi f brnilai,6. Sktsa grafik f diprlihatkan pada gambar 5.6! f() T() - - - Gambar 5.6 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 7

P t b) T Catatan; t tan dt t.,5 Untuk mnylsaikan prmasalahan pluang shubungan dngan pubah acak brdistribusi studnt T, maka bbrapa ahli tlah mmbuat tablnya, antara lain vrsi prtama mnytakan: P T t t v v v v v d Dngan v judul kolom mnyatakan drajat kbbasan, judul baris mnyatakan pluangnya yaitu T t brsangkutan. Contoh 5.9 Diktahui pubah acak T:T(). a) Hitung P T,8. b) Hitung t, agar P T t,995. P dan pada kolom daftar atau sl-slnya mnyatakan nilai t c) Hitung t, agar P t T t,9. d) Hitung t, agar P T t,5. Pnylsaian: a) P T,8 PT,8, ataut,8.. P T,8 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 8

P T,8,975,5,5 5% b) Dngan tabl vrsi prtama, untuk drajat kbbasan v = dan pluang,995, maka t tabl =,69. c) Dngan sifat ksimtrian kurva studnt T thadap, maka P T t,9, sama artinya dngan P T t,9,9,95. Brdasarkan tabl distribusi studnt T dngan v = dan pluang,95 maka diprolh t =,8. d) P T t, 5 sama artinya dngan T t, 975 diprolh t =,8. Catatan: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 9 P brdasarkan tabl, maka Ada kalanya nilai t tabl atau nilai pluang shubungan dngan distribusi studnt T tidak trdapat pada tabl. Untuk mngatasi ini maka harus dilakukan nilai pndkatan dngan intpolasi! 8 f f,f > b) Untuk f =, maka g () =, dan untuk f, maka: 8 f lim g( f ) lim ini mnunjukan bahwa asimtot datar karah f f f adalah sumbu F positif.,f c) Pmbuat maksimum dari g dicari dngan g (f) =, dan f 8 f f 6 f f f f f f 8 8 8 g f f f jadi maksimum g =,59 untuk f =, 5 d) Dngan mnggunakan hasil dari (b) dan (c) dan titik (,,) pada grafik, maka sktsa grafik g sprti diprlihatkan pada gambar 5.7!

g(f),5,,5 F(,) Gambar 5.7 F ) PF 9, 9, 8 f df f Contoh 5. Diktahui F:F (5, ).,95brdasarkan tabl F a) Cari nilai a yang mmnuhi P F a,95. b) Cari nilai b agar P F b,5. c) Hitung P F. Pnylsaian: a) Brdasarkan tabl F yaitu untuk r 5,, diprolh a =,. b) Karna pada tabl F tidak ada F f,5, r dan PF f,95, maka P maka harus digunakan kbalikannya, yaitu karna F:F (5,), maka F : F,5 F b b Jadi, P F b P P F P F, 5,7 b atau b =,. c) Karna pada badan daftar F:F (5,) tidak ada nilai f =, maka harus digunakan pndkatan dngan intrpolasi yaitu: F b Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

P,,, F,95,975,95, 968 5. Soal-Soal Latihan. Diktahui pubah acak X brdistribusi sragam pada intrval buka (-,5), atau X : (,5). a) Tntukan fkp, fungsi distribusi dan fpm dari X. b) Sktsa grafik fkp dan fungsi distribusi c) Hitung X P dngan mnggunakan fkp, dan dngan mnggunakan f.d. Kmudian bandingkan kdua hasil ini. d) Hitung rrata, varians dan simpangan baku dari X.. Diktahui pubah acak X brdistribusi gamma paramtr dan, atau X:G(,). a) Tntukan fkp dan fpm dari X. b) Hitung rrata dan variansnya. c) Sktsa grafik fkp-nya. d) Hitung P[X<].. Diktahui pubah acak X brdistribusi ksponnsial dngan paramtr ataux : Ep(). a) Tntukan fkp, fd dan fpm dari X. b) Sktsa grafik fkp dan fd dari X pada systm koordinat yang sama. c) Hitung rrata, varians dan P[-5<X<].. Diktahui pubah acak X brdistribusi Chi-Kuadrat dngan drajat kbbasan v = 6 atau ( 6) a) Tntukan fkp dan fpm dari X. b) Hitung rrata dan varians dari X dngan mnggunakan fpm dari X. c) Sktsa grafik fkp X. d) Hitung P[<X<,] scara kalkulus dan dngan mnggunakan tabl Chi- Kuadrat. ) Jika P[X ] =,95. Tntukan nilai scara kalkulus dan scara tabl. Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

5. Diktahui pubah acak X brdistribusi bta dngan paramtr = dan = atau X : Bta(,,). a) Tntukan fkp, fd dan fpm dari X. b) Sktsa grafik fkp dan fd pada systm koordinat yang brbda. c) Hitung rrata dan varians X. d) Hitung P[- X ]. 6. Diktahui pubah acak X brdistribusi normal dngan paramtr = dan = 5, atau X : N(,5). a) Tntukan fkp dan fpm dari X. b) Sktsa grafik fkp X. (Ptunjuk: Gunakan sifat-sifat kurva normal). c) Hitung P[- < X < 9] dngan kalkulus. 7. Misalkan NEM siswa SD tahun brdistribusi normal dngan rrata 5, dan varians 5. a) Jika X mnyatakan NEM siswa SD tahun, tnyukan prsamaan fkp dan fpm dari X. b) Dngan transformasi Z = X dan tabl distribusi normal baku, hitung pluang NEM siswa tahun antara 5, dan,. c) Jika % dari lulusan SD tahun diambil untuk diskolahkan k luar ngri yaitu diambil siswa yang NEM-nya tinggi. Hitunglah batas trndah dari NEM untuk masuk dalam klompok %. d) Jika smuanya ada 5. NEM, brapakah harapan banyaknya siswa yang NEM-nya kurang dari 5,. 8. Jika X:N(, ), maka P[, < X <,+ ] =, dan P[, < X.<,+ ] =,78, buktikan scara kalkulus. 9. Jika X :B(n,) dngan n cukup bsar (n ), maka X dapat dihampiri dngan N(, ) dimana = n dan mnylsaikan soal brikut pndkatan kurva normal: = n(- ). Gunakan knyataan ini untuk Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

Suatu ujian pilihan ganda trdiri atas soal masing-masing dngan pilihan dan hanya satu jawaban yang bnar. Tanpa mmahami sdikitpun maslahnya dan hanya dngan mnrka saja, brapakah pluang sorang murid mnjaab 5 sampai dngan 6 soal dngan bnar,. Jika dua pubah acak Z dan Z saling bbas dngan Z :N(,) dan Z :N(,), maka pubah acak V = Z + Z brdistribusi Chi-Kuadrat dngan drajat kbbasan atau V : ( ). Buktikan! (Ptunjuk: Gunakan fpm dari V dan torma yang ada).. Jika X, X,, X saling bbas dngan X :N(, ), maka : n Y = X :N n n,. Buktikan! i i i. Diktahui pubah acak brdistribusi studnt T : T(). a) Tntukan fkp dari T, yaitu f(t). b) Sktsa grafik f. c) Hitung P[ < T < ].. Diktahui pubah acak T : T(). a) Hitung rrata dan varians T. b) Hitung P[-,75 < T <,75] dan P[T,8]. c) Hitung t agar P[T t] =,95. d) Coba, dngan mnggunakan pndkatan kurva normal untuk mnghitung soal bagian (b) dan (c), kmudian bandingkan hasilnya. (Ptunjuk: = dianggap bsar, shingga T dapat didkati dngan T : N(, T ).. Diktahui pubah acak F brdistribusi Fishr dngan paramtr r = dan r = atau F:F(,). a) Tntukan prsamaan fkp dari F yaitu g(f). b) Tntukan maksimum g dan pmbuat maksimumnya. c) Sktsa garfik g. d) Hitung P[F 8,]. Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

5. Diktahui pubah acak F : F (,8). a) Hitung rrata dan varians dari F. b) Cari b agar P[ F b] =,95. c) Cari c agar P[ c] =,5. d) Hitung P[F,8]. 6. Disuatu kota pmakaian air shari (dalam juta litr) brdistribusi hampiran gamma dngan paramtr = dan =. Bila kmampuan mnydiakan air hanya 9 juta litr prhari, brapakah pluang pada suatu hari trtntu prsdiaan air tidak mncukupi. 7. Misalkan lamanya waktu untuk mlayani sorang pngunjung di caftaria brdistribusi ksponnsial dngan rrata mnit. Brapakah sorang pngunjung akan dilayani paling lama dalam mnit. 8. Jika X,X,X dan X mpat pubah acak saling bbas dngan X :Ep, I =,,, maka Y = X t brdistribusi gamma Wibull dngan paramtr = dan =. Buktikan! (Ptunjuk: Gunakan dngan fpm Y). 9. Pubah acak X dikatakan mmpunyai distribusi Wibull dngan paramtr dan, jika fpk-nya brbntuk: f ( ) a) Buktikan bahwa, f ( ) d. b) Buktikan bahwa rrata dan variansnya adalah: Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 5

. Jika t8r adalah fpm dari pubah acak X. a) Tntukan fpm dari pubah acak Y = X b) Hitung P[- < X < 9] c) Hitung P[ < Y < ] DAFTAR PUSTAKA BHAT B.R, Modrn Probability An Introductory T Book, Wilwy Castrn Limitd, 98. HOGG R.V, and CRAIG A.T, Introduction To Muthmatical Statistic, Forth Edition, Mamillam Publishing Co.yuc. Nw York, 98 ROSS S.M, Introduction To Probability Modls, Sith Edition, Akadmik Prss, USA, ROSS S.M, Stochastic Prcsss, Jhon Wily & Son. Inc. Nw York, 98 Walpol R.E, and Majrs R.H, Probability and Statistics for Enginrs and Scinctic s Tn Edition, Mamillam Publishing Co. yuc, 978 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 55

DAFTAR TABEL I DISTRIBUSI NORMAL (VERSI I) P r Z z dt LUAS DIBAWAH LENGKUNGAN NORMAL STANDAR DARI KE Z (Bilangan dalam Badar daftar mnyatakan dsimal) z 5 6 7 8 9. 8 6 99 9 79 9 59. 58 8 78 57 557 596 66 67 7 75. 79 8 87 9 98 987 6 6. 79 7 55 9 8 6 8 57. 55 59 68 66 7 76 77 88 8 879.5 95 96 985 9 5 88 57 9.6 58 9 57 89 5 9 58 59.7 586 6 6 678 7 7 76 79 8 75.8 88 9 99 967 996 5 78 5.9 5 86 8 6 89 5 65 85. 6 8 6 8 58 5 55 577 599 6. 66 665 686 78 79 79 77 79 8 8. 89 866 868 97 95 9 96 98 997 5. 9 66 8 99 5 7 6 77. 7 6 6 65 79 9 5 9.5 5 57 7 8 9 6 8 9.6 6 6 7 8 95 55 55 55 55 55.7 56 566 57 58 59 599 68 66 65 66.8 67 69 656 66 67 678 686 69 699 76.9 7 79 76 7 78 7 75 756 76 767 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 56 z

. 77 778 78 788 79 798 8 88 8 87. 8 86 8 8 88 8 86 85 85 857. 86 86 868 87 875 878 88 88 887 89. 89 896 898 9 9 96 99 9 9 96. 98 9 9 95 97 99 9 9 9 96.5 98 9 9 9 95 96 98 99 95 95.6 95 955 956 957 959 96 96 96 96 96.7 965 966 967 968 969 97 97 97 97 97.8 97 975 976 977 977 978 979 979 98 98.9 98 98 98 98 98 98 985 985 986 986. 987 987 987 988 988 998 998 998 99 99. 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99. 99 99 99 99 99 99 99 99 995 995. 995 995 995 996 996 996 996 996 996 996. 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997.5 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998.6 999 998 998 998 998 998 998 998 998 998.7 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999.8 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999.9 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Sumbr: Thory and Froblma of Statistic, Spirgl, M.M Ph.D., Schrum Publishing Co., Nw York, 96. TABEL II DISTRIBUSI NORMAL (VERSI II) z dt P Z z i y Z N(Z) Z N(Z) Z N(Z)..5..86.5.98.5.5.5.875..98..5..885.5.98.5.56.5.89..986..579.8.9.5.986.5.599..9..989..68.5.9.6.99.5.67..99.5.99..655 5.96..99.5.67.5.9.5.99.5.69.55.99.5.99.55.79.6.95.55.995.6.76.65.95.576.995 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 57

.65.7.65.95.6.995.7.758.7.955.65.996.75.778.75.96.7.997.8.788.8.96.75.997.85.8.85.968.8.997.9.86.9.97.85.998.95.89.95.97.9.998..8.96.975.95.998.5.88..977.9.999 TABEL III DISTRIBUSI CHI-KUADRAT p [ X ] X t dt Pr( X t) V..5.5.95.975.99....8 5. 6.6..5. 5.99 7.8 9..5.6.5 7.8 9.5..97.8.7 9.9.. 5.55.8.5..8 5. 6.87..6.6. 6.8 7..69.7. 6. 8.5 8.65.8.7 5.5 7.5. 9.9.7. 6.9 9..7.56.5.9 8..5..5.8.57 9.7.9.7.57. 5... 6.. 5. 5.89..7 7.7.66 5.6 6.57.7 6. 9. Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 58

P [ T ] 5 5. 6.6 7.6 5. 7.5.6 6 5.8 6.9 7.96 6. 8.8. 7 6. 7.56 8.67 7.6. 8 7. 8. 9.9 8.9.5.8 9 7.6 8.9...9 6. 8.6 9.59.9.. 7.6 8.9..6.7 5.5 8.9 9.5...9 5.8...7. 5. 5..6.9..8 6. 9.. 5.5..6 7.7.6 6..8 5. 8.9.9 5.6 7.9.6 6... 7. 8.6 5. 6.9..5 8. 9. 6. 7.7.6 5.7 9.6 5. 6.8 8.5.8 7. 5.9 This tabl is abridgd and adaptd from Tabls of Prcntag Points of th Incomplt Bta Function and of th Chi-Squar Distribution, Biomtrika, (9) It is publishd hr with th kind prmission of Profssor E. S. Parson on blialt of th author, Cathrin M. Thompson, and of th Biomtrika Trustr. TABEL IV V. DISTRIBUSI STUDENT T ( ) d Pr( T t) Pr( T t) Pr( T t) V.9.95.975.99.995.78 6..76.8 6.657.886.9. 6.965 9.95.68.5.8.5 5.8.5..776.77.6 5.76.5.57.65. 6..9.7..77 7.5.895.65.998.99 8.97.86.6.896.55 9.8.8.6.8.5.7.8.8.76.69.6.796..78.6.56.78.79.68.55.5.77.6.65..5.76.5.6.977 Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 59

5..75..6.97 6.7.76..58.6 7..7..567.898 8..7..55.878 9.8.79.9.59.86.5.75.86.58.85..7.8.58.8..77.7.58.89.9.7.69.5.87.8.7.6.9.797 5.6.78.6.85.787 6.5.76.56.79.779 7..7.5.7.77 8..7 8.67.76 9..699.5.6.756..697.57.75 This tabl is abridgd from Tabl III of Fishr and Yats : Statistical Tabl far Biological Agricultural, and Mdical Rsarch. Publishd by Olivr and Boyd, I td Edinburgh, by prmission of th authors and publishrs. Pngantar Statistika Matmatis ------------------------------------------------------------------------------- 6