BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha pada dua yata ke dalam peryataa matemats (Wdowat & Sutm, 7 : ). Proses pemodela Matematka dyataka dalam dagram alur sebaga berkut : Gambar.. Proses Pemodela Matematka Berdasarka Gambar. dapat dperoleh lagkah-lagkah pemodela Matematka adalah sebaga berkut :. Meyataka permasalaha yata ke dalam pegerta Matematka. Pada lagkah permasalaha yag terjad d dua yata dmodelka dalam bahasa matemats. Lagkah melput detfkas varabel-varabel dalam
masalah da membetuk beberapa hubuga atar varabel yag dhaslka dar permasalaha tersebut.. Membuat Asums Asums dalam pemodela Matematka mecermka bagamaa proses berpkr sehgga model dapat berjala. 3. Formulas persamaa/ pertdaksamaa Dega pemahama hubuga atar varabel da asums, lagkah selajutya yatu memformulaska persamaa atau sstem persamaa. Formulas model merupaka lagkah yag palg petg, sehgga terkadag dperluka adaya peguja kembal asums-asums agar dalam proses pembetuka formulas dapat sesua da realstk. Jka pada proses peguja kembal dtemuka ketdaksesuaa model, maka perlu dlakuka pegkaja ulag asums da membetuk asums yag baru. 4. Meyeldk sfat dar solus. Setelah membetuk formulas model, lagkah selajutya adalah meyeldk sfat dar solus yatu meyeldk apakah solus sstem stabl atau tdak stabl. 5. Iterpretas Hasl Iterpretas hasl merupaka suatu lagkah yag meghubugka formula Matematka dega kembal ke permasalaha dua yata. Iterpretas dapat dwujudka dalam betuk grafk yag dgambarka berdasarka solus yag dperoleh da selajutya dterpretaska sebaga solus dalam dua yata.
.. Persamaa Dferesal Defs. (Ross, 984 : 3) Persamaa dferesal adalah persamaa yag meyertaka turua satu atau lebh varabel tak bebas terhadap satu atau lebh varabel bebas. Berdasarka bayakya varabel bebas yag dlbatka dalam persamaa, persamaa dferesal dklasfkaska mejad persamaa dferesal basa da persamaa dferesal parsal. Defs. (Ross, 984 : 4) Persamaa dferesal basa adalah suatu persamaa dferesal yag melbatka turua dar satu atau lebh varabel tak bebas terhadap satu varabel bebas. Sedagka persamaa dferesal parsal adalah suatu persamaa dferesal yag melbatka turua dar satu atau lebh varabel tak bebas terhadap dua atau lebh varabel bebas. Cotoh. : Cotoh persamaa dferesal basa, d y dy xy (persamaa dferesal orde ) 4 d y d y 5 3x s t (persamaa dferesal orde 4). 4 Cotoh persamaa dferesal parsal, m m m s t v v v x y z.
Defs.3 (Ross, 984 : 8) Dberka suatu persamaa dferesal orde- berkut : F x, y, y', y",..., y (.) dega F adalah fugs real.. Msalka f adalah fugs blaga real yag terdefs utuk semua x dalam suatu terval I da mempuya turua ke- utuk semua x yag ada d I. Fugs f dsebut solus eksplst dar (.) dalam terval I jka fugs f memeuh syarat berkut : a. F x, f ( x), f '( x), f ''( x),..., f ( x), terdefs xi b. F x, f ( x), f '( x), f ''( x),..., f ( x), x I Hal berart bahwa substtus f( x ) da varas turua utuk y da turuaya yag berkorespodes ke (.) aka membuat (.) mejad suatu dettas d terval I.. Suatu relas g(x,y) =, dsebut solus mplst dar persamaa (.) jka relas medefska sedktya satu fugs blaga real f dega varabel x d terval I.. Solus eksplst da solus mplst basa dsebut sebaga solus sederhaa.... Persamaa Dferesal Lear Orde Satu Defs.4 (Ross, 984 : 5) Persamaa dferesal orde dega varabel tak bebas y da varabel bebas x, dapat dtulska dalam betuk sebaga berkut : 3
d y d y dy a ( x) a ( x)... a ( x) a( x) y b( x) dega a. Defs.5 (Ross, 984 : 49) Persamaa dferesal basa orde satu dkataka lear jka dapat dyataka dalam betuk dy P( x) y Q( x). (.) Persamaa (.) dapat dyataka dalam betuk P( x) y Q( x) dy atau M x y dega M x, y P( x) y Q( x) da, N x, y dy (.3) N x, y. Defs.6 (Ross, 984 : 7) Suatu persamaa dferesal berbetuk (.3) damaka persamaa dferesal eksak dalam daerah D jka terdapat suatu fugs F sehgga F( x, y) M ( x, y) x da F( x, y) N( x, y) y utuk semua ( x, y) D. eorema. (Ross, 984 : 8) Jka F( x, y) M ( x, y) x da F( x, y) N( x, y) y adalah kotu. Persamaa dferesal (.3) adalah eksak jka da haya jka M ( x, y) N( x, y). y x 4
Persamaa (.3) bukalah persamaa dferesal eksak karea tdak memeuh eorema.. Pada persamaa tersebut M ( x, y) Px ( ) y da N( x, y) x maka M ( x, y) N( x, y) y x dega Px ( ) sehgga persamaa (.3) merupaka persamaa dferesal o eksak. Solus dar persamaa dferesal lear orde satu dperoleh melalu lagkah sebaga berkut. Perkala persamaa (.3) dega faktor tegras x dperoleh, Faktor xm x y, x N x, y dy x P( x) y Q( x) x dy x P( x) y x Q( x) x dy. (.4) x merupaka faktor tegras dar persamaa (.4) jka da haya jka persamaa (.4) merupaka persamaa dferesal eksak, yatu jka da haya jka x P( x) y xq( x) x y x (.5) Persamaa (.5) dapat dreduks mejad x P( x) x d. (.6) Fugs P pada persamaa (.6) merupaka fugs atas varabel bebas x, sedagka merupaka fugs atas x yag tdak dketahu, sehgga persamaa (.6) dapat dtulska sebaga persamaa dferesal berkut : d Px ( ) 5
d P() x. (.7) Utuk memperoleh solus khusus dar persamaa (.7), dlakuka pegtegrala pada kedua ruas persamaa (.7) sehgga l P( x) P( x) e. (.8) Selajutya, perkala persamaa (.) dega faktor tegras (.8) dperoleh P( x) dy P( x) P( x) e e P( x) y e Q( x) d P( x) P( x) e y e Q x P( x) P( x) d e y e Q( x). (.9) Dega megtegralka kedua ruas persamaa (.9) dperoleh solus dar persamaa (.) yag berbetuk P( x) P( x) ye e Q( x) c (.) dega c adalah kosta. Cotoh. Dberka persamaa dferesal sebaga berkut ( ) 4 ( ) dy x xy x. (.) Berdasarka persamaa (.), persamaa (.) dapat dubah dalam betuk umum persamaa dferesal lear sebaga berkut : 6
dy 4x x y x x. (.) 4x Dar persamaa (.) dapat dketahu bahwa Px ( ) x x da Qx ( ) x sehgga ddapat faktor tegras 4x P( x) x.l( x ) l( x ) ( ). (.3) e e e e x x Substtuska Qx ( ) x da (.3) ke persamaa (.) sehgga dperoleh, x x y( x ) ( x ) c y( x ) ( x ) x c x 4x 8 4 y( x ) Jad, solus dar persamaa (.) adalah c 4 x 4x y( x ) c 8 dega c adalah kosta..3. Sstem Persamaa Dferesal Gabuga dar beberapa persamaa dferesal dsebut sstem persamaa dferesal. Sstem persamaa dferesal orde satu dapat dtulska dalam betuk dy f ( t, y, y,..., y ) dy f( t, y, y,..., y) 7
dy 3 f ( t, y, y,..., y ) 3 dy f ( t, y, y,..., y ) (.4) utuk t [ a, b]. Pada sstem (.4), f, f,..., f adalah fugs-fugs yag dketahu dalam varabel-varabel t, y, y,..., y. Masg-masg y (,,..., ) adalah fugs dalam t, yag merupaka varabel bebas (Sahd, : 4). Sstem (.4) dapat pula dtulska dalam betuk vektor. Jka dtulska y = [y y y 3 y ], f = [f f f 3 f ], dega y da f merupaka vektor-vektor fugs, maka sstem (.4) dapat dtuls sebaga atau dy dy = f(t, y) f ( y, y,..., y ) dy f( y, y,..., y) dy f ( y, y,..., y). Selajutya dberka vektor x, dega 3 x ( x, x, x,..., x ) da x, x, x3,..., x. Jka d x dapat dotaska dega x sehgga d x x utuk meyataka turua x terhadap t, maka,,..., x. 8
.3.. Sstem Persamaa Dferesal Lear Sstem persamaa dferesal lear orde satu dega varabel tak bebas y, y,..., y da varabel bebas t dapat dyataka secara umum dalam betuk sebaga berkut : dy a y a y... a y F ( t) dy a y a y... a y F ( t) dy a y a y... a y F ( t). (.5) Jka Ft () dega,,..., berla ol maka sstem (.5) dsebut sstem persamaa dferesal lear homoge, sedagka bla Ft ( ) maka sstem (.5) dsebut persamaa dferesal lear ohomoge. (Ross, 984 : 55-56). Sstem (.5) dapat dyataka dalam betuk dy Ay F() t (.6) dega A adalah matrks x yag merupaka koefse dar varabel tak bebas y, dega a,,,...,, j,,..., da j Ft () adalah matrks ukura x yag merupaka fugs dar t, dy a a a y F () t a a a y F () t. (.7) a a a y F () t 9
Cotoh.3 Dberka sstem persamaa dferesal lear, 7x x 6x 3 3 x 4x x 3 x x x. (.8) 3 Sstem persamaa dferesal (.8) merupaka sstem persamaa dferesal lear homoge. Berdasarka (.7), sstem (.8) dapat dtulska sebaga berkut 7 6 x 4 x x 3 7 6 x 4 x. x 3.3.. Sstem Persamaa Dferesal Nolear Defs.7 (Ross, 984 : 5) Persamaa dferesal olear merupaka persamaa dferesal basa yag tdak lear. Persamaa dferesal dsebut sebaga persamaa dferesal olear apabla memeuh palg sedkt satu dar krtera berkut (Ross, 984 : 6), a. Memuat varabel tak bebas da turua-turuaya berpagkat sela satu. b. erdapat perkala dar varabel tak bebas da/ atau turua-turuaya.
Cotoh.4 Dberka sstem persamaa dferesal olear sebaga berkut, x x x (.9a) x x. (.9b) Sstem (.9) merupaka sstem persamaa dferesal olear dega varabel bebas t da varabel tak bebas x da x. Pada sstem (.9), persamaa (.9a) memuat perkala varabel tak bebas x da x, pada persamaa (.9b) terdapat kuadrat dar varabel bebas x. Berdasarka kods tersebut, sstem (.9) dapat dsebut sebaga persamaa dferesal olear..3.3. Sstem Persamaa Dferesal udaa Sstem persamaa dferesal tudaa dtujukka dega persamaa berkut : x( t) f ( x( t), x ( t )). (.) Persamaa karakterstk dar sstem (.) dyataka dalam betuk ( g, ) yatu g ( g, ) P( g) Q( g) e (.) dega adalah lama waktu tudaa yag dtambahka pada model persamaa dferesal yag dguaka, Pg ( ) da Qg ( ) merupaka polomal dalam g da g merupaka akar karakterstk sstem (.) yag selajutya dsebut sebaga la ege (Ruboo, 9). Cotoh.5 Dberka sstem persamaa dferesal sebaga berkut,
x ( t) 5 x ( t) 4 x ( t) x ( t) x ( t) 4 x ( t) 6 x ( t) Bla lama waktu tudaa berpegaruh terhadap 4x, maka sstem tersebut dapat dtulska dalam betuk persamaa dferesal tudaa sebaga berkut, x ( t) 5 x ( t) 4 x ( t ) x ( t) x ( t) 4 x ( t ) 6 x ( t) dega t, x ( t), x ( t). da.4. tk Ekulbrum tk ekulbrum merupaka solus dar sstem x f ( x) yag tdak megalam perubaha terhadap waktu. Defs.7 (Perko, : ) tk xˆ dsebut ttk ekulbrum dar x f ( x) jka f( xˆ ). Cotoh.6 Aka dcar ttk ekulbrum dar sstem (.9). Msalka x f ( x), maka sstem (.9) dapat dtulska sebaga x x f() x x. tk ekulbrum sstem x x (.9) dapat dperoleh jka f( xˆ ). Msal xˆ ( xˆ ˆ, x) merupaka ttk ekulbrum sstem (.9), maka xˆ xˆ xˆ (.)
xˆ xˆ. (.3) Dar persamaa (.3) dperoleh xˆ xˆ. (.4) Selajutya, substtuska persamaa (.4) ke persamaa (.), sehgga dperoleh xˆ xˆ 3 xˆ ( xˆ ) xˆ atau xˆ. Selajutya, substtuska xˆ ke persamaa (.4) dperoleh xˆ, substtuska xˆ da xˆ ke persamaa (.4) dperoleh xˆ. Jad, ttk ekulbrum dar sstem (.9) adalah (,), (,), da (, )..5. Learsas Learsas merupaka proses megubah suatu sstem olear mejad sstem lear. Dberka sstem persamaa dferesal olear x f ( x) (.5) dega x L, f : L, f fugs olear da kotu. Sebelum dtujukka proses learsas dar persamaa dferesal o lear, aka dbahas terlebh dahulu matrks Jacoba berdasarka teorema berkut. eorema. (Perko, : 67 ) f Jka f : terdferesal d x maka dferesal parsal,, j,,...,, x d x ada utuk semua Bukt : f Df ( x ) x ( x ) x x da j x j j j 3
f f f ( x ) x ( x ) x ( x ) x x x x f f f ( x ) x ( x ) x ( x ) x f ( x ) xj x x... x j x j f f f ( x ) x ( x ) x ( x ) x x x x f f f ( x ) ( x ) ( x ) x x x x f f f ( x ) ( x ) ( x ) x x x x x f f f ( x ) ( x ) ( x ) x x x Df ( x ) x. dega Df ( x ) dsebut sebaga matrks Jacoba dar fugs f : yag terdfresal pada x da Df ( x ) dapat dotaska sebaga Jf ( x ). Selajutya, aka dtujukka proses learsas dar sstem persamaa dferesal. Msalka xˆ ( xˆ ˆ ˆ, x,..., x ) merupaka ttk ekulbrum sstem (.5). Deret aylor dar fugs f dsektar ttk ekulbrum ˆx adalah sebaga berkut : f f f ( x, x,..., x ) f ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) R f x x f f f ( x, x,..., x ) f ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) R f x x 4
f f f ( x, x,..., x ) f ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) R f x x dega Rf, Rf,..., Rf dsebut sebaga baga olear yag selajutya dapat dabaka karea laya medekat ol. Karea ( xˆ ˆ ˆ, x,..., x ) ttk ekulbrum sstem (.5) maka f( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x ) f( x, x,..., x)... f( x, x,..., x) sehgga dperoleh, f f f x ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) x x x f f f x ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) x x x f f f x ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ )... ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( x xˆ ) x x x Sstem (.6) dapat dtulska dalam betuk sebaga berkut : (.6). f f f ( ˆ, ˆ,..., ˆ ) ( ˆ, ˆ,..., ˆ ) ( ˆ, ˆ,..., ˆ x x x x x x x x x ) x xˆ x xˆ (.7) x ˆ x f f f ( xˆ ˆ ˆ, x,..., x ) ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x x x x x f f f x ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x ) ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x) x x x x Msalka y x xˆ ˆ ˆ, y x x, y3 x x maka dar sstem (.7) dperoleh : 5
f f f ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) y y (.8) y f f f ( xˆ ˆ ˆ, x,..., x ) ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x x x x x f f f x ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x ) ( x, x,..., x ) ( x, x,..., x ) x x x x Sstem (.8) merupaka learsas sstem (.5), sehgga dperoleh matrks Jacoba dar sstem (.5) yatu, f f f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) x x x f f f ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x) ( x, x,..., x) ( x, x,..., x) Jf ( xˆ ) x x x. f f f ( xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, x,..., x) ( x, x,..., xˆ ) ( ˆ ˆ ˆ x, x,..., x) x x x Cotoh.7 Aka dcar matrks Jacoba dar x x x f() x x x pada ttk x (, ). Matrks Jacoba dar fugs f( x ) adalah Df f f x x x x, x x f f x maka Df (, ) x x x. Jad, matrks Jacoba dar sstem tersebut adalah Jf (, ). 6
.6. Kestabla tk Ekulbrum Defs.8 (Perko, : ) tk ekulbrum ˆx dsebut ttk ekulbrum hperbolk dar sstem (.5) jka tdak ada la ege dar matrks Df ( x ˆ) yag mempuya baga real ol. Kestabla sstem olear x f ( x) d sektar ttk ekulbrum ˆx dapat dlhat dar kestabla learsas sstem (.5) d sektar ttk ekulbrum ˆx, asalka ttk ekulbrum ˆx hperbolk (Perko, : 3). Defs.9 (Olsder, 4 : 57 ) Dberka persamaa dferesal orde satu (.5) dega x, peyelesaa dega keadaa awal x() x dotaska oleh x( t, x ).. Vektor ˆx yag memeuh f( xˆ ) dkataka sebaga ttk ekulbrum.. tk ekulbrum ˆx dkataka stabl jka dberka utuk setap ada sedemka hgga jka x ˆ x maka x( t, x ˆ ) x utuk setap t.. tk ekulbrum ˆx dkataka stabl asmtotk jka ttk ekulbrumya stabl da terdapat sedemka sehgga lm x( t, x ˆ ) x, bla x ˆ x t v. tk ekulbrum ˆx dkataka tdak stabl jka tdak memeuh (). Berkut merupaka lustras utuk Defs.9 yag dtujukka pada Gambar.. 7
Stabl Stabl asmtotk dak stabl Gambar.. Ilustras Kestabla Dalam megaalss kestabla sstem d sektar ttk ekulbrum megguaka Defs.9 mash dtemu kesulta. Oleh karea tu, dberka defs da teorema utuk megdetfkas sfat kestabla sstem olear yag dtjau dar la ege matrks Jacoba Jf ( xˆ ). Defs. (Ato H., 99 : 77 ) Dberka matrks A berukura x. Vektor x, xdsebut vektor ege dar A, jka Ax adalah kelpata skalar dar x yatu Ax gx utuk suatu skalar g. Skalar g dsebut la ege dar A. eorema.3 (Olsder, 4). Dberka semua baga real la ege matrks Jacoba Jf ( x ˆ) berla egatf, maka ttk ekulbrum ˆx dar sstem (.5) stabl assmtotk lokal.. Jka terdapat palg sedkt satu la ege matrks Jacoba Jf ( x ˆ) yag baga realya berla postf, maka ttk ekulbrum ˆx dar sstem (.5) tdak stabl. 8
eorema.4 (Olsder, 4 : 58) Dberka sstem persamaa dferesal lear x Ax, dega A adalah matrks berukura x, mempuya k la ege yag berbeda g, g, g3,..., g da k.. tk ekulbrum xˆ stabl asmtotk jka da haya jka e( g ),,,3,..., k.. tk ekulbrum x ˆ stabl jka da haya jka e( g ),,,3,..., k da jka setap la ege g mager dega eg ( ), maka multplstas aljabar da geometr utuk la ege harus sama.. tk ekulbrum x ˆ tdak stabl jka da haya jka terdapat palg sedkt satu eg ( ) utuk =,,...k. Bukt : () Aka dbuktka bahwa jka ttk ekulbrum xˆ stabl asmtotk, maka e( g ),,,3,..., k. Berdasarka Defs.9, ttk ekulbrum xˆ dkataka stabl asmtotk jka lm t x(t, x ) x. Hal berart bahwa utuk t, x(t, x ) aka meuju x ˆ. Karea x(t, x ) merupaka solus dar sstem persamaa dferesal, maka x(t, x ) memuat e( g ) t e. Akbatya utuk e( g ) t e yag meuju x ˆ, maka g haruslah berla egatf. 9
Selajutya, aka dbuktka bahwa jka e( g ),,,3,..., k, maka ttk ekulbrum xˆ stabl asmtotk. Solus dar sstem persamaa dferesal adalah x(t, x ), maka x(t, x ) selalu memuat ( ) e e g t. Jka eg ( ), maka utuk t, x(t, x ) aka meuju xˆ. Sehgga, berdasarka Defs.9, ttk ekulbrum xˆ stabl asmtotk. () Aka dbuktka bahwa jka ttk ekulbrum xˆ stabl, maka e( g ),,,3,..., k Adaka eg ( ), maka solus persamaa dferesal x(t, x ) yag selalu memuat e( g ) t e aka meuju (mejauh dar ttk ekulbrum x = ) utuk t, sehgga sstem tdak stabl. Hal bertetaga dega yag dketahu. Jad terbukt bahwa jka ttk ekulbrum xˆ stabl, maka e( g ),,,3,..., k. Kemuda aka dbuktka bahwa e( g ),,,3,..., k maka ttk ekulbrum xˆ stabl da jka ada eg ( ), maka multplstas aljabar da geometr utuk la ege harus sama. Solus x(t, x ) merupaka solus dar sstem persamaa dferesal, maka x(t, x ) selalu memuat e ( g ) t e. Jka ( ) eg, maka e( g ) t e aka meuju x ˆ yag artya ttk ekulbrum x ˆ stabl asmtotk. Jka eg ( ), maka la ege berupa blaga kompleks mur. Meurut Lueberger, 3
multplstas aljabar berhubuga dega la ege sedagka geometr berhubuga dega vektor ege (Wdayat, 3 : 3). Oleh karea tu, aka dbuktka bahwa bayakya la ege da vektor ege adalah sama. apa megurag keumuma, ambl sembarag sstem pada R yag mempuya la ege blaga kompleks mur. g pg g q g, dega p >, q >. (.9) Aka dtetuka la ege dar sstem (.9) A gi p g q g g q p g. Dperoleh persamaa karakterstk g pq. (.3) Akar dar Persamaa (.3) adalah g, = ± 4pq = ± pq = ± pq g = pq atau g = pq. Vektor Ege utuk g = pq, dperoleh pq p [ q pq ] g g (.3) Matrks augmeted dar (.3) yatu 3
pq p [ q pq ] R ~ R q pq [ pq p ] q R q [ pq ] R + pq R pq p dperoleh [ q pq ] g pq q g = pq q g g. msal g t, maka g = pq q t g g pq [ q t t ], dambl t = dperoleh g g pq [ q ] Sehgga vektor ege g adalah g = [ pq q ]. Vektor Ege utuk g = pq, dperoleh pq p [ q pq ] g g Matrks augmeted dar (.3) yatu pq p [ q pq ] R ~R. (.3) 3
q [ pq [ pq pq p ] q R pq q ] R pq R p dperoleh [ pq q ] g + pq q g = pq q g g msal g = s, maka g = pq q s g g [ pq q t s ], dambl s = dperoleh g g [ pq q ] Sehgga vektor ege g adalah g = [ pq q sebayak. erbukt bayak la ege sama dega bayak vektor ege yatu ]. () Aka dbuktka bahwa jka ttk ekulbrum xˆ tdak stabl, maka eg ( ) utuk setap =,,..., k. tk ekulbrum tdak stabl, jka utuk t solus persamaa dfferesal x(t, x ) aka meuju. Hal dapat terpeuh jka eg ( ). 33
Selajutya, aka dbuktka bahwa jka eg ( ) utuk setap =,,..., k, maka ttk ekulbrum xˆ tdak stabl. Dketahu bahwa jka eg ( ) maka solus persamaa dfferesal x(t, x ) yag memuat ( ) e e g t aka meuju. Dega demka, ttk ekulbrum xˆ tdak stabl. Kemuda, utuk aalss kestabla sstem persamaa dferesal tudaa oler dlakuka dega cara lersas sstem d sektar ttk ekulbrum. Adaka dketahu ttk ekulbrum E ( s*, *, a*), dmsalka u s s*, v *, w a a* maka dperoleh sstem yag ler yatu : s u u( t ) J v J v( t ) a w w( t ) dega J adalah matrk Jacoba utuk parameter tapa tudaa (o delay) da J adalah matrks Jacoba utuk parameter tudaa (delay). Kestabla ttk ekulbrum dtujukka dega mecar persamaa karakterstk dar sstem. g Persamaa karakterstk dperoleh dar J J e gi dega I adalah matrks dettas da g adalah la ege. (Nur A & Suboo, )..7. Blaga Reproduks Dasar (R) Blaga reproduks dasar merupaka blaga yag meujukka jumlah dvdu reta yag dapat mederta peyakt yag dsebabka oleh satu dvdu terfeks. Meurut Dressche da Watmough, blaga reproduks dasar adalah 34
blaga yag meyataka bayakya rata-rata dvdu yag terfeks akbat tertular dvdu terfeks yag berlagsug dalam populas susceptble. Blaga reproduks dasar dotaska dega R. Jka R peyakt tdak meyerag populas, sedagka jka R maka peyakt aka meyebar. Msalka ada kelas terfeks da m kelas yag tdak terfeks, da msalka x da y m adalah subpopulas dar masg-masg kelas. Model komparteme (kelas) dapat dtulska dalam betuk berkut : x f ( x, y) v ( x, y),,,...,, y ( x, y), j,,..., m, (.33) j dega f merupaka matrks dar laju dvdu baru terfeks peyakt yag meambah kelas terfeks, v merupaka matrks laju perkembaga peyakt, kemata, da atau kesembuha yag megurag kelas. Perhtuga blaga reproduks dasar berdasarka learsas sstem (.33) pada ttk ekulbrum bebas peyakt. Hasl learsas dar kelas terfeks pada ttk ekulbrum bebas peyakt adalah sebaga berkut : dega F da V matrks berukura x, F f x ( F V ) x v V (, y ) (, y) da xj xj dega (, y ) merupaka ttk ekulbrum bebas peyakt. Selajutya, ddefska K FV (.34) 35
dega K dsebut sebaga ext geerato matrx. Blaga reproduks dasar ( R ) dar model komparteme adalah R pk p FV yatu la ege terbesar dar ( ) matrks K (Dressche da Watmough, ). Cotoh.8 Dberka sstem persamaa dferesal berkut : ds di N S SI SI I ( ) I da I A (.35) dega S meyataka populas dvdu sehat da reta pada saat t, I meyataka populas terfeks pada saat t, da A meyataka populas dvdu postf AIDS pada saat t. Sstem (.35) mempuya ttk ekulbrum bebas peyakt E (,,). Pada sstem (.35) kelas terfeks adalah I da kelas A. Next geerato matrx dapat dperoleh dar kelas I da kelas A dega f IS I da I I v I A. Hasl learsas dar f da v masg-masg adalah S F da v. Sehgga dperoleh Next geerato matrx berkut K FV 36
S ( ) K ( ) S K ( ) (.36) Selajutya, substtuska ttk ekulbrum bebas peyakt E (,,) ke (.36) sehgga dperoleh K ( ). Blaga reproduks dasar dperoleh dar la ege terbesar dar matrks K. Jad, la R dar sstem (.35) adalah R. ( ).8. Krtera Routh-Hurwtz Berdasarka eorema.4, kestabla ttk ekulbrum sstem (.5) dapat dlhat berdasarka la ege dar matrks Jacobaya. Namu, sergkal djumpa akar-akar dar persamaa karakterstk berupa parameter yag laya tdak mudah dtetuka. Oleh karea tu, dperluka atura/ krtera yag mejam bahwa akar-akar persamaa karakterstk berla egatf atau ada persamaa karakterstk yag berla postf. Krtera tersebut dkeal dega sebuta krtera Routh Hurwtz. Dberka suatu polomal P( z) a z a z a z... a z a, dega a. (.37) 37
Akar-akar dar polomal (.37) dapat dketahu dega meyusu tabel Routh sebaga berkut z z z z 3 a a a 4 a a a 3 5 b b b 3 c c c 3 z P dmaa b, b,...; c, c,... da P dperoleh dar a a a a a a a a b, b, 3 4 5 a a b a b a b a b a c, c, 3 5 3 b b Krtera Routh Hurwtz : Semua akar-akar dar polomal (.37) mempuya baga real egatf jka da haya jka semua eleme pada kolom pertama tabel Routh memlk tada yag sama (semua berla postf atau semua bertada egatf). Krtera tersebut berart bayakya perubaha tada dalam kolom pertama tabel tersebut sama dega bayakya akar-akar polomal (.37) yag baga realya postf. Jad, bla pada kolom pertama dalam tabel tdak ada perubaha tada (semua bertada postf atau semua bertada egatf), maka semua akar polomal (.37) baga realya adalah egatf (Suboo, 3). 38