Bab 6 PENAKSIRAN PARAMETER

Stadar Kompetesi : Setelah megikuti kuliah ii, mahasiswa dapat memahami hubuga ilai sampel da populasi da meetuka distribusi samplig yag tepat utuk diguaka Kompetesi Dasar : Setelah megikuti kuliah ii, mahasiswa dapat mejelaska peaksira titik da iterval parameter populasi, megetahui jeis peaksira parameter populasi, megguaka peaksira ilai ratarata, selisih ratarata, proporsi da selisih proporsi yag sesuai dega kasus serta meghitug jumlah sampel yag dibutuhka

Pedahulua Dua Aspek Petig dalam mempelajari statistik Populasi kumpula seluruh eleme/obyek yag diteliti Sampel bagia dari populasi Tujua dari statistika memperoleh iformasi tetag suatu populasi berdasarka iformasi yag diperoleh dari sampel Jika data dikumpulka dari seluruh eleme populasi diperoleh iformasi sesugguhya (disebut parameter) Jika data dikumpulka dari sebagia eleme populasi (pearika sampel) diperoleh data peaksira / perkiraa / pedugaa (disebut statistik) Statistik : peaksir / peduga dari paramter

Pedahulua Kegiata Peaksira (pedugaa) mejadi kebutuha utama dalam segala bidag. Kosep probabilitas sagat diperluka, karea sagat bergua dalam membuat keputusa dalam kodisi ketidakpastia (ucertaity) Pedugaa secara statistik diperluka agar medapatka suatu dugaa yag baik.

Pedahulua Cotoh : Sebuah pabrik ba mobil (car tires) membuat ba jeis baru yag diyakii memiliki daya taha lebih lama dibadig yag ada. Utuk megevaluasi ba baru, maajer memerluka perkiraa ratarata jumlah kilometer yag mampu ditempuh oleh ba baru tersebut. Pabrik memilih sampel 0 ba baru utuk pegujia. Dari pegujia diperoleh hasil ratarata 3.650.000 km. Jadi 3.650.000 km diguaka utuk memperkiraka ratarata daya taha bagi populasi ba baru.

Kriteria taksira (pedugaa) yag baik, yaitu:. Tidak bias (Ubiasedess), Artiya statistik sampel yag diguaka sebagai peduga harus sama atau medekati parameter populasi peduga. Efisiesi (Efficiecy), Artiya statistik sampel memiliki deviasi stadar yag kecil 3. Kosistesi (Cosistecy), Artiya jika ukura sampel meigkat maka statistik sampel aka semaki medekati parameter populasiya. 4. Kecukupa (Sufficiecy), Artiya suatu taksira dikataka memiliki kecukupa jika taksira tersebut dapat memberika iformasi yag cukup megeai sifat populasiya.

Dua jeis taksira yag dilakuka terhadap populasi. Peaksira Titik (Poit Estimatio) Peaksira titik megadug pegertia bahwa suatu parameter (misal μ) aka ditaksir haya dega megguaka satu bilaga saja.

Dua jeis taksira yag dilakuka terhadap populasi. Peaksira Iterval (Iterval Estimatio) Peaksira iterval merupaka iterval ilai (rage) yag ilai parameter populasi berada di dalamya. Tujua membuat peaksira iterval adalah meguragi kesalaha peaksira.

Peaksira Iterval (Iterval Estimatio). Memiliki batas bawah taksira da batas atas taksira sehigga peaksira aka berada di ataraya.. Harus ditujag dega derajat keyakia/kepastia yag biasaya diyataka dega prosetase : Derajat keyakia (Cofidece Coefficiet), besarya α (α = tigkat kesalaha duga), misalya: derajat keyakia 90% maka α= 0%; derajat keyakia 95% maka α= 5%. Batasbatasya diamaka Cofidece Iterval

Jumlah sample yag diguaka : Sampel kecil (< 30) da sampel besar (>=30), pembedaa sampel tersebut diguaka utuk pemiliha tabel distribusi yag aka diguaka dalam perhituga. Apabila sampel kecil maka diguaka Tabel Distribusi Studet t dega degree of freedom (df) atau derajat kebebasa =. Apabila sampel besar maka diguaka Tabel Distribusi Normal Stadart.

MENAKSIR RATARATA μ Misalka kita mempuyai sebuah populasi berukura N dega ratarata da simpaga baku. Dari populasi ii parameter ratarata aka ditaksir. Utuk keperlua ii,ambil sebuah sampel acak berukura, lalu hitug statistik yag perlu ialah x da s. Titik taksira utuk ratarata ialah x. Dega kata lai ilai besarya ditaksir oleh harga x yag didapat dari sampel. Utuk memperoleh taksira yag lebih tiggi derajat kepercayaaya, diguaka iterval taksira atau selag taksira disertai ilai koefisie kepercayaa yag dikehedaki.

a. Simpaga baku diketahui da populasiya berdistribusi ormal x z. x z. b. Simpaga baku diketahui da populasiya berdistribusi ormal, jika (/N) > 5% x z. N N Dega = koefisie kepercayaa da dari tabel ormal baku utuk peluag ½ x z. N N z = bilaga z didapat

c. Simpaga baku tidak diketahui da populasiya berdistribusi ormal x s t. x ; d. Simpaga baku tidak diketahui da populasiya berdistribusi ormal, jika (/N) > 5% t ;. s x s N t. x ; N t ;. s N N Dega = koefisie kepercayaa kesalaha da t = ilai t didapat dari daftar distribusi studet /distribusi t dega derajat kebebasa dk =

Cotoh Dari sampel 00 orag pedagag premium ecera di Semarag diperkiraka ilai ratarata isi premium botol liter yag dijual yaitu sebeser 0.86 liter, dega stadar deviasi 0,3. Dega tigkat kepercayaa 95%, lakuka peaksira iterval kepercayaa (cofidece level) ilai rata rata isi premiu botol liter tersebut!

Jawab :

Cotoh Dari suatu peteraka ayam, setiap kadag yag berisi 0 ekor ayam diketahui bahwa ratarata ayam bertelur adalah 0 telur setiap bula setiap ekorya, dega simpaga baku ekor. Hitug tigkat kepercayaa 95%, utuk ratarata bertelur populasi ayam yag sesugguhya!

Meaksir Selisih Ratarata Misalka kita mempuyai dua buah populasi, keduaduaya berdistribusi ormal. Ratarata da simpaga bakuya masigmasig da utuk populasi kesatu, da utuk populasi kedua. Dari masigmasig populasi secara idepede diambil sebuah sampel acak dega ukura da. Ratarata da simpaga baku dari sampelsampel itu berturutturut x, s, da x, s. Aka ditaksir selisih ratarata ( ).

a. Jika da besarya diketahui da populasiya berdistribusi ormal. z ) x x (. z ) x x ( Dega = koefisie kepercayaa da z = bilaga z didapat dari tabel ormal baku utuk peluag ½ b. Jika tetapi tidak diketahui besarya. Maka besarya s diyataka dega rumus : ) s ( ) s ( s Da.s t ) x x (.s t ) x x ( Dega = koefisie kepercayaa da t = ilai t didapat dari daftar distribusi studet /distribusi t dega derajat kebebasa dk = kesalaha

LATIHAN SOAL. Suatu studi tetag pertumbuha dari taama cactus jeis tertetu meujukka bahwa dari 50 taama yag diaggap sebagai sampel ratarata tumbuh 44,8 mm dega deviasi stadar 4,7 mm selama jagka waktu bula. Dega iterval kofidesi 95 %, tetuka ratarata pertumbuha tahua yag sesugguhya dari jeis cactus tersebut.. Sampel radom sebayak 40 drum baha kimia ditarik dari 00 drum baha kimia, mempuyai berat ratarata 40,8 poud dega deviasi stadar, poud. Jika diduga bahwa berat ratarata dari 00 drum baha kimia tersebut adalah 40,8, tetuka dega iterval kepercayaa 95 % utuk berat ratarata drum baha kimia tersebut! 3. Utuk megetahui waktu ratarata yag diperluka utuk merakit suatu alat mekais tertetu, telah dilakuka perhituga berdasarka sampel 6 perakita dega waktu masigmasig 3, 4,, 6,, da meit. Buatlah iterval kofidesi 95 % utuk waktu ratarata yag sesugguhya utuk merakit alat mekais tersebut. 4. Sebuah sampel berupa 0 pegukura diameter balok kayu, meujukka ratarata diameter 43,8 cm dega deviasi stadar 0,6 cm. Hituglah iterval kofidesi 99 % utuk ratarata diameter yag sesugguhya.

7. Sampel radom sebayak 50 buah bola lampu merk A meujukka daya hidup ratarata 400 jam dega deviasi stadar 0 jam. Sampel radom lai sebayak 00 buah bola lampu merk B mempuyai daya hidup ratarata 00 jam dega dega deviasi stadar 80 jam. Hituglah iterval kofidesi 95 % utuk perbedaa ratarata daya hidup dari populasi bola lampu kedua merk itu. 8. Dua sampel masigmasig berupa 00 taama bibit yag tumbuh di dua tempat yag berbeda. Dari sampel pertama tiggi ratarataya adalah 9,8 ici dega deviasi stadar ici. Dari sampel kedua mempuyai tiggi ratarata 0,5 ici dega deviasi stadar 3 ici. Buatlah iterval kofidesi 90 % utuk perbedaa tiggi dari kedua populasi. 9. Diambil sampel murid yag megikuti pelajara matematika dega metode moder, kemudia diambil sampel lai 0 murid yag megikuti pelajara matematika dega metode kovesioal. Pada akhir semester ujia dega soal yag sama diberika pada masigmasig kelompok. Sampel kelompok pertama mecapai ilai ratarata 85 dega deviasi stadar 4, sedag sampel kelompok kedua mecapai ilai ratarata 8 dega dega deviasi stadar 5. Hituglah iterval kofidesi 90 % utuk perbedaa atara mea populasi.

Meaksir Proporsi Misalka kita mempuyai sebuah populasi berukura N dimaa terdapat proporsi utuk peristiwa A yag ada di dalam populasi itu. Sebuah sampel acak berukura diambil dari populasi ii. Misalka terdapat x peristiwa A, sehigga proporsi sampel utuk peristiwa A = (x/). Jadi titik taksira utuk adalah x/. Utuk memperoleh taksira yag lebih tiggi derajat kepercayaaya, diguaka iterval taksira atau selag taksira disertai ilai koefisie kepercayaa yag dikehedaki.

a. Jika (/N) 5% p pq z. p z. pq b. Jika (/N) > 5% p pq N z. p N z. pq N N Dega = koefisie kepercayaa da z = bilaga z didapat dari tabel ormal baku utuk peluag ½

Cotoh Kita igi meaksir ada berapa perse aggota masyarakat yag berumur di atas 5 tahu yag termasuk gologa kaya raya. Utuk ii sebuah sampel acak berukura = 00 diambil yag meghasilka 504 gologa kaya raya. Tetuka peaksira iterval proporsi utuk derajat keyakia 95%!

Cotoh Utuk meigkatka pelayaa kepada kosume, PT PSK Jaya di Tagerag melakuka survei kepuasa pelagga. Dari 3000 pelagga pada bula Agustus teryata 00 orag meyataka puas da sisaya kurag puas. Buatlah iterval keyakia tetag kepuasa kosume dega megguaka tigkat keyakia 95%.

Soal Seorag pejabat bak aka memperkiraka berapa perse para asabah yag tidak puas dega pelayaa yag diberika oleh para pegawaiya. Utuk maksud tersebut, dilakuka peelitia terhadap 50 orag asabah yag dipilih secara acak. Teryata ada 60 orag yag tidak puas. Dega tigkat keyakia 95%, buatlah pedugaa iterval persetase para asabah yag tidak puas.

Meaksir Selisih Proporsi Misalka kita mempuyai dua buah populasi, dega parameter utuk peristiwa yag sama masigmasig da. Dari populasi ii secara idepede masigmasig diambil sebuah sampel acak berukura dari populasi kesatu da dari populasi kedua. Proporsi utuk peristiwa yag diperhatika dari sampelsampel itu adalah p = x / da p = x / dega x da x berturutturut meyataka bayakya peristiwa yag diperhatika yag didapat didalam sampel kesatu da kedua.

Aka ditetuka iterval taksira utuk sebagai berikut : q p q p z ) p p ( q p q p z ) p p ( Dega = koefisie kepercayaa da z = bilaga z didapat dari tabel ormal baku utuk peluag ½

Cotoh Sampel acak yag satu terdiri dari 500 pemudi da satu lagi 700 pemuda yag megujugi sebuah pamera telah diambil. Teryata bahwa 35 pemudi da 400 pemuda meyeagi pamera itu. Tetukalah iterval kepercayaa 95 % utuk perbedaa persetase pemuda da pemudi yag megujugi pamera da meyeagiya.

Soal PT. Reksadaa Duit meawarka portopolio baru utuk ivestasi. Utuk produk baru ii, perusahaa perlu megetahui kemampua ivestor dalam meghadapi resiko. Utuk keperlua tersebut diambil sampel masigmasig 0 ivestor tua da muda. Hasil survei meujukka bahwa sebayak 80 orag kaum tua da 60 orag kaum muda setuju utuk meerima resiko lebih besar. Buatlah iterval keyakia utuk melihat selisih proporsi da kemampua meghadapi resiko tersebut dega tigkat keyakia 90%.

LATIHAN SOAL. Sebuah sampel radom terdiri dari 50 lulusa SMU di kota A, 65 orag diataraya megataka bahwa mereka megharapka dapat melajutka studiya ke Pergurua Tiggi Negeri. Hituglah iterval kofidesi 99% utuk proporsi yag sesugguhya.. Dari sampel radom sebayak 600 waita yag berumur tahu keatas di kota B telah diwawacarai, 378 orag diataraya megataka bahwa mereka lebih memilih bekerja full time daripada parttime. Hituglah iterval kofidesi 95% utuk proporsi yag sesugguhya. 3. Sampel radom sebayak 00 butir telur telah diambil dari 000 butir telur yag dikirim dari daerah A ke daerah B. Dari sampel tersebut diketahui 8 diataraya pecah atau rusak. Hituglah iterval kofidesi 95% utuk proporsi telur yag pecah atau rusak dari 000 telur tersebut.

4. Dari sampel radom sebayak 400 ibu rumah tagga di kota A, 40 diataraya lebih meyukai sabu cuci merk Riso daripada merk laiya. Sampel radom lai di kota B sebayak 00 ibu rumah tagga diketahui 80 diataraya lebih meyukai sabu cuci merk Riso daripada merk laiya. Estimasika perbedaa proporsi ibu rumah tagga yag lebih meyukai sabu cuci merk Riso dari kedua kota itu. Guaka iterval kofidesi 95 %. 5. Dari sampel radom sebayak 400 pemirsa dewasa da 600 pemirsa remaja yag megikuti program siara TV tertetu, diketahui 00 pemirsa dewasa da 300 pemirsa remaja meujukka bahwa mereka meyeagi jeis siara TV tersebut. Estimasika perbedaa proporsi pemirsa yag meyeagi program siara TV tersebut atara semua pemirsa dewasa da pemirsa remaja. Guaka iterval kofidesi 95 %.