Junal Maeaika Vol. No. Apil 008: 43-5 ISSN: 40-858 MODEL PERTUMBUHAN LOGISTI DENGAN WATU TUNDA Henny M. Tiuneno R. Hei Soelisyo Uoo dan Widowai 3 3 Juusan Maeaika FMIPA UNDIP Jl. Pof. H. Soedao SH Tebalang Seaang 5075 Absac. The logisic gowh odel wih ie delay has developed fo he classical logisic odel whee as in he gowh logisic odel wih ie delay he gowh pocess delay fo a populaion is calculaed. This delay cause populaion decease hen incease so oscillaion appeas in populaion gowh. So he soluion is no a onoonous funcion. The esul of analysis indicae ha he logisic gowh odel wih ie delay have wo equilibiu poins. Each equilibiu poins is analyzed fo hei sabiliy based on ie delay vaiaion on he populaion gowh. The longe ie delay in he populaion gowh can cause he unsable gowh hence he populaion decease and becoe exinc. eywods: logisic odel ie-delay oscillaion equilibiu.. PENDAHULUAN Seiap akhluk hidup selalu eng-alai peubahan dai waku ke waku diulai dai adanya kelahian pekebangan hingga keaian. Unuk enggabakan peubuhan suau populasi pada ahun 838 Vehuls epekenalkan suau odel peubuhan yang seing disebu odel peubuhan logisik [4578]. Pada odel peubuhan logisik ini diasusikan bahwa idak ada penundaan waku pada poses peubuhan populasi [7]. Selain iu pada odel ini dihasilkan solusi yang bebenuk fungsi onoon (naik aau uun diana fungsi sepei ini ebeikan penafsian bahwa julah populasi akan eus beabah (idak penah bekuang aau akan eus bekuang (idak penah beabah. Dala kenyaaannya sepanjang waku peubuhan keadaan lingkungan aau daya dukung lingkungan dapa beubah. Bebeapa poses biologi yang elibakan sadiu peubuhan keadan lingkungan yang beubah engakibakan peubuhan akan egalai penundaan. Waku unda ini enyebabkan penuunan populasi eapi keudian ejadi peningkaan sehingga ejadi osilasi pada peubuhan populasi [7]. Sehingga solusi yang dipeoleh bukan eupakan suau fungsi yang onoon. Beolak dai peikian esebu aka pebahasan diiikbeakan pada pengkajian pengauh penundaan waku dala peubuhan populasi dan analisa kesabilan dai odel peubuhan logisik dengan waku unda.. HASIL DAN PEMBAHASAN. Model Peubuhan Logisik Sedehana Salah sau odel peubuhan populasi adalah odel peubuhan logisik (logisic gowh odels. Dengan enggunakan kaidah logisik (logisic law bahwa pesediaan logisik ada baasnya odel ini engasusikan bahwa pada asa eenu julah populasi akan endekai iik keseibangan (equilibiu. Pada iik ini julah kelahian dan keaian dianggap saa sehingga gafiknya akan endekai konsan (zeo gowh. Misalkan N ( enyaakan julah populasi pada saa dan R 0 enyaakan laju peubuhan populasi aka secaa uu laju peubuhan yang beganung pada suau populasi sebagai beiku [7]: dn = R0 N ( 43
Junal Maeaika Vol. No. Apil 008:43-5 Model peubuhan logisik dapa diuunkan dengan enggunakan asusi a. Laju peubuhan populasi dn( pada saa N ( = 0 N ( adalah (dengan konsan. b. Laju peubuhan ini enuun secaa linea dan benilai 0 saa N ( =. adalah laju peubuhan ininsik (ininsic gowh ae yaiu nilai yang enggabakan daya ubuh suau populasi = caying capaciy yaiu ukuan aksiu dai suau populasi. Dala hal ini diasusikan > 0 yaiu enginga seiap populasi eiliki poensi unuk bekebang biak sehingga dai asusi diaas dapa diuunkan suau odel peubuhan populasi yang dikenal dengan pesaaan logisik. dn( N( = N( ( Jika dibeikan syaa awal N(0 = N0 aka dipeoleh solusi khusus dai pesaaan logisik ini yaiu N ( = ( 3 e + N0 dengan N ( : Julah populasi pada waku ( : Laju peubuhan ininsik : apasias pebawaan (caying capaciy. Model Peubuhan Logisik dengan Waku Tunda Pesaaan logisik sedehana idak epa dieapkan unuk endeskipsikan peubuhan populasi pada kasus diana ada keelabaan (waku unda dala sadiu peubuhan. Oleh kaena iu dikebangkan suau odel peubuhan logisik dengan waku unda. Jika eliha pada odel peubuhan logisik sedehana sebelunya ( aka ekanise penundaan waku unuk peubuhan populasi dapa diodelkan dala pesaaan dn( N( τ = N( ( 4 dengan N ( : Julah populasi pada waku : Laju peubuhan ininsik (ininsic gowh ae N ( τ : Julah populasi pada saa penundaan τ : Caying capaciy : waku unda Secaa analiik odel peubuhan logisik dengan waku unda sanga suli unuk diselesaikan sehingga suli juga unuk epeoleh solusi eksak dai odel esebu. Oleh kaena iu unuk enyelesaikan odel peubuhan logisik dengan waku unda akan digunakan foulasi waku diski unuk epeoleh solusi nueik. Secaa uu odel dai peubuhan populasi diski anpa penunda-an waku diulis sebagai beiku N ( + N ( = R ( N ( ( 5 dengan adalah waku diskiisasi aau disebu juga selang waku. Selanjunya odel peubuhan diski dengan R konsan diulis sebagai beiku N ( + N ( = R N ( ( 6 0 diana laju peubuhan poposional dengan populasi. Jika pada kasus eenu sepei bahan akanan yang dibaasi aka laju peubuhan akan enuun. Siuasi ini diodelkan dengan pesaaan logisik diski sebagai beiku N ( + N ( = N ( N (. ( 7 Pesaaan ini secaa ooais digunakan dala pehiungan suau penundaan. Peubahan dala populasi beganung pada populasi waku yang lalu. Jika digunakan foulasi diski dai peubuhan populasi dan pada penabahan peubuhan ejadi penundaan waku sebesa 44
Henny M. Tiuneno R. Hei Soelisyo Uoo dan Widowai Model Peubuhan Logisik... τ aka odel peubuhan diski dengan R 0 konsan adalah N ( + N ( = R0 N ( τ ( 8 sedangkan odel peubuhan logisik diski dengan waku unda τ dibeikan sepei di bawah ini N ( + N ( = N ( N ( τ ( 9 dengan pengukuan dilakukan pada seiap selang waku. Unuk enganalisa lebih jauh pesaaan (9 diasusikan suau populasi N( beabah secaa eau seiap ahun ( =. Penabahan individu pada aea yang dibeikan beganung pada sube akanan diana peubahan beganung pada beapa banyak sube akanan yang dikonsusi oleh individu esebu selaa ahun sebelunya. Pada bagian ini diasusikan juga penundaan waku dala ekanise peubuhan juga sau ahun (τ = =. Penyedehanaan odel unuk poses ini adalah pesaaan logisik diski dengan waku unda sebagai beiku N ( + N ( = N ( N (. ( 0 Dai pesaaan (0 bila dibeikan syaa awal 0 = 0 N(0 = N 0 dan N = N( aka solusi dai pesaaan (0 dapa langsung diselesaikan dengan pehiungan nueik sebagai beiku: N ( + = N ( N ( N ( + = N ( + ( N ( N = N(0 N = N( 0 N = N( + = N + ( N( N3 = N( + = N + ( N( M N = N( = N + ( N(. Dengan syaa awal 0 = 0 pada uni dai aka dapa diulis sebagai beiku N ( = N ( N sea dengan enggunakan noasi dai pesaaan logisik diski dengan waku unda pesaaan (0 enjadi N+ = N + ( N N+ N = N N dengan N + : Julah populasi pada + uni dai N : Julah populasi pada uni dai N : Julah populasi pada uni dai Jika pesaaan di aas disedehanakan aka dihasilkan pesaaan ( α β N+ N = N N ( dengan α = dan β = eseibangan populasi N E dicapai pada NE = N unuk seua pada pesaaan ( N+ N = N( α βn NE NE = NE( α β NE NE( α β NE = 0. Sehingga dipeoleh keseibangan populasinya adalah 45
Junal Maeaika Vol. No. Apil 008:43-5 NE = 0 aau α β NE = 0 βne = α α NE = = =. β.3 Analisa eseibangan pada Model Peubuhan Logisik dengan Waku Tunda Model peubuhan logisik dengan waku unda pada pesaan (0 dapa diulis sebagai beiku N ( + N ( = N ([ α βn ( τ ] ( dengan α = dan β =. Model peubuhan logisik dengan waku unda di aas epunyai dua iik keseibangan yaiu pada iik N ( = 0 dan iik N ( = unuk seiap. Unuk enganalisa asingasing iik keseibangan dilakukan poses lineaisasi pada pesaaan nonlinea. Poses lineaisasai dilakukan di pesekiaan iik keseibangan dengan eng-gunakan posedu peubasi. Pada poses peubasi ini paaee peubasi ε yang digunakan sanga kecil ( 0 < ε sehingga ini akan engakibakan sanga deka dengan iik keseibangan (equilibiu..3. Peubasi di sekia iik kesei-bangan N ( = 0 Peubasi di sekia iik keseibangan N ( = 0diulis sebagai beiku N ( = 0 + ε N( (3 ε N ( adalah peubahan dai iik keseibangan N ( = 0. Selanjunya pesaaan (3 disubsiusikan kedala pesaaan (4 sehingga enghasilkan εdn( = εn([ εn( τ] equivalen dn( = N( N( εn( τ. (4 Dengan engabaikan benuk nonlinea N ( ε N ( τ aka dipeoleh dn( = N(. Solusi dai pesaaan esebu adalah N( = ce. Dai solusi yang dihasilkan hal ini enunjukan bahwa populasi beubuh secaa ekponensial dan idak engaah ke iik keseibangan N ( = 0. Sehingga solusi keseibangan di iik N ( = 0 eupakan keseibangan idak sabil. Selanjunya akan dilakukan poses pe-ubasi di iik keseibangan N ( =..3. Peubasi di sekia iik keseibangan N ( = Peubasi di sekia iik keseibangan N ( = unuk odel logisik diski diulis sebagai beiku N = + ε y ε y (5 ε y adalah peubahan dai iik keseibangan N ( =. Selanjunya pesaaan (5 disubsiusikan ke dala pesaaan ( sehingga enghasilkan + ε y+ ( + εy = ( + εy ( α β ( + εy + ε y+ εy = ( + εy ( α β εβy ε y+ εy = ( + εy ( εβy ε y+ εy = εβy ( + εy εy+ εy = ( εβy ( εβyεy. Dengan engabaikan benuk nonlinea β y ( ε y aka dipeoleh pesaaan beiku y+ y = α y. (6 dengan α = β. Pesaaan (6 diaas eupakan pesaaan diffeensi koefisien konsan linea. Unuk dapa enenukan peilaku di sekia iik keseibangan aka elebih dahulu dilakukan analisa pada pesaaan (6. 46
Henny M. Tiuneno R. Hei Soelisyo Uoo dan Widowai Model Peubuhan Logisik... Diasusikan solusi dai pesaaan esebu adalah y = p. Selanjunya nilai p dienukan dengan subsiusi y = p ke pesaaan (6 y y + α y = + 0 + p p + α p = 0 iap suku dibagi dengan p dipeoleh pesaaan kuada unuk p sebagai beiku p p+ α = 0 (7 aka-aka dai pesaaan kuada di aas adalah ± 4α p = sehingga solusi uu dai pesaaan (6 dapa diulis y = cp + cp. Dai aka-aka p dan p akan dipeoleh hasil sebagai beiku a. Unuk 0 < α < 4 p dan p eupakan aka-aka eal posiif bebeda dan kuang dai ( 0< p < dan 0< p <. Sehingga solusi dai pesaaan (6 endekai nol. Hal ini beai iik keseibangan N ( = sabil. b. Unuk α = 4 p = p = eupakan aka-aka eal posiif saa dan kuang dai. Hal ini enunjukkan solusi dai pesaaan (6 endekai nol. Hal ini beai N ( = sabil. c. Unuk α > 4 + i 4α p = dan i 4α p = salah sau aka eupakan konjugae kopleks dai yang lainnya p = p dan θ = θ sehingga dipeoleh solusi pesaaan diffeensi sebagai beiku iθ ( iθ y = p ce + ce y = p [( c cos θ + ci sin θ + ( c cos θ ci sin θ] y = p [( c + c cos θ + i( c c sin θ] y = p ( c3 cos θ + c4 sin θ dengan p 4α = + = θ = an 4α Unuk ineval 4 < α solusi y beosilasi. Secaa uu unuk ineval < 4 α < solusi beosilasi di sekia iik keseibangan dan enuju ke nol disebu dengan osilasi konvegen. Hal ini beai bahwa keseibangan engaah ke iik N ( = yang beai keseibangannya sabil. Pada kasus α = solusi beosilasi eap aau idak enjauh aupun endekai iik keseibangan N ( = hal ini beai bahwa unuk α = keseibangan di iik N ( = adalah sabil. Penundaan yang seakin besa enyebabkan nilai α yang seakin besa pula sehingga populasi elebihi ingka keseibangannya dan cendeung enjauhi iik keseibangan. Hal ini digabakan unuk α >. Pada bagian ini peubuhan populasi beosilasi dengan julah yang seakin besa dan idak enuju ke iik keseibangandisebu dengan osilasi divegen. Oleh kaena osilasi yang ejadi idak enuju ke iik keseibangan N ( = aka unuk α > keseibangan enjadi idak sabil. Selanjunya akan dianalisa peilaku keseibangan di sekia iik keseibangan N ( = unuk odel logisik koninu. Peubasi di sekia iik keseibangan N ( = diulis sebagai beiku α 47
Junal Maeaika Vol. No. Apil 008:43-5 N ( = + ε N( ε N( (9 ε N ( adalah peubahan dai iik keseibangan N ( =. Selanjunya pesaan (9 disubsiusikan kedala pesaaan (4 sehingga enghasilkan εdn( = ( + εn( ( + εn ( τ dn( = N( τ + N( N ( N ( N ( ε τ (0 Dengan engabaikan benuk nonlinea N( ε N( τ pada pesaaan (0 di aas aka dipeoleh pesaaan beiku ini dn( =N( τ ( Dengan engasusikan solusi dai pesaaan ( di aas adalah N( = ce λ aka pesaaan kaakeisiknya dapa dienukan dengan ensubsiusi ( N = ce λ ke pesaaan ( sehingga dipeoleh dn( =N( τ λ de λ( τ =e λ + e λτ = 0 ( dengan λ adalah solusi dai pesaaan kaakeisik (. Pada eoi lineaisasi jika edapa solusi dai pesaaan kaake-isik eiliki bagian eal yang benilai posiif aka iik keseibangannya dikaakan idak sabil dan jika seua solusi dai pesaaan kaakeisik eiliki bagian eal yang benilai negaif aka iik keseibangannya dikaakan sabil. Selanjunya λ diulis dala benuk bilangan kopleks λ = µ + iv dengan µ dan v asing-asing eupakan bagian eal dan iajine dai λ. Dengan ensubsiusi λ = µ + iv ke pesaaan kaakeisik ( dipeoleh ( e µτ µ + cos vτ + i( v e µτ sin vτ = 0 (3 dengan enyaakan koponen eal dan iajine pada uas kii dan kanan aka dipeoleh µτ µ + e cos vτ = 0 (3a µτ v e sin vτ = 0 (3b Unuk enganalisa kesabilan di iik N( = aka akan diliha bebeapa kasus dai τ sebagai beiku a. asus τ = 0 (Tidak ejadi penundaan pada poses peubuhan populasi Unuk τ = 0 pesaaan kaakeisik ( enjadi λ + = 0 (4 dai pesaaan (4 di aas nilai eigen λ = < 0 eupakan suau bilangan eal yang negaif. Solusi unuk pesaaan ( enjadi N( = ce. Hal ini beai bahwa unuk τ = 0 solusi N ( endekai 0 aau dapa dikaakan bahwa iik keseibangan N( = sabil. b. asus τ > 0 (Tejadi penundaan pada poses peubuhan populasi Akan dienukan syaa dan kondisi dai τ > 0 sehingga Reλ < 0 aga keseibangan di iik N( = sabil. τ enunjukkan waku unda sehingga τ eupakan vaiabel bebas yang koninu. Oleh kaena λ eupakan vaiabel ak bebas yang eua τ aka λ juga koninu. Tiik N( = sabil jika nilai Reλ = µ benilai negaif ( µ < 0 dala hal ini µ = 0 enjadi baas aas aga iik keseibangan N( = sabil. Oleh kaena iu akan diliha kondisi τ unuk µ = 0. aena τ dan λ koninu akan diliha nilai τ isal τ 0 yang eenuhi 48
Henny M. Tiuneno R. Hei Soelisyo Uoo dan Widowai Model Peubuhan Logisik... Re λ( τ 0 = µ ( τ0 = 0. Dai hal ini aka dipeoleh pesaaan kaakeisik ( yang eiliki sepasang aka-aka iajine uni ± iv 0 dengan v0 = v( τ 0. Dai pesaaan (3a unuk µ ( τ 0 = 0 dipeoleh cos v0τ = 0 (5 diana enunjukan bahwa v0τk = + k k = 0... dai µ ( τ 0 = 0 dan cos v0τ = 0 yang ada dipeoleh v = v( τ 0 0 pada pesaaan (3b sebagai beiku τ 0 v0 = e sin v0τ v0 = Unuk v0 = v0τ k dapa diulis sebagai beiku k τ k = + k = 0... Oleh kaena iu Re λ( τ 0 = µ ( τ0 = 0 τ = τ0 = unuk Dengan eliha kondisi dai τ unuk τ = 0 nilai µ yang dipeoleh τ = adalah dan unuk nilai µ yang dipeoleh adalah 0. Dai kedua hal esebu dapa dikeahui 0 τ < bahwa unuk nilai Reλ = µ benilai negaif. Hal ini beai bahwa keseibangan di iik N( = sabil. Selanjunya akan τ > dianalisa kesabilan unuk. c. asus τ > Misalkan τ = τ c + ε τ = + ε 0 < ε τ = Unuk dikeahui bahwa nilai µ = 0 dan v=. Unuk ε yang sanga kecil µ dan v beubah enjadi µ = δ dan v= + σ 0 < δ 0 < σ (6 dengan δ dan σ akan dienukan dengan ensubsiusi pesaaan (6 ke pesaaan (3a dan pesaaan (3b sehingga dipeoleh + σ = exp δ( + ε sin ( + σ( + ε (7a dan δ =exp δ( + ε cos ( + σ( + ε. (7b Dengan elakukan ekspansi unuk σ δ dan ε yang sanga kecil aka dipeoleh ε δ + 4 dan ε σ + 4 Dai nilai δ dan σ yang elah dipeoleh aka solusi dai pesaaan ( dapa diulis N( = ce λ ( N( = Re{ ce µ+iv } Dengan enggani nilai µ dan v yang bau aka N( = Re{ cexp [ δ+ i( + σ ] } ε ε N( = Re cexp expi + + 4 4 aau dapa diulis 49
Junal Maeaika Vol. No. Apil 008:43-5 ε N ( = Re cexp + 4 ε ε cos + i sin τ τ + + 4 4 ε N ( = cexp + 4 ε cos (8 + 4 Unuk nilai ε yang benilai negaif aau pada τ < solusi beosilasi dan enuju ke nol. Hal ini beai bahwa solusi engaah ke keseibangan populasi sehingga unuk τ < keseibangan sabil. Unuk nilai ε = 0 aau pada τ = solusinya eupakan suau fungsi cosines yang osilasinya sabil dan idak engaah ke iik keseibangan. Unuk ε > 0 seakin besa nilai ε yang dipakai beai τ (waku unda juga seakin besa. Unuk τ yang seakin besa ( τ > solusi beosilasi seakin besa dan enjauhi iik keseibangan. Hal ini beai keseibangan enjadi idak sabil. Jika peiode dai solusi yang beosilasi di aas adalah T dan peiode unuk fungsi igonoei adalah aka T dapa dienukan elalui cosω + T = cosω+ ( ( T ω + = ω + T = ω = + σ T = ε + 4 Dai pehiungan peiode di aas aka dapa dipeoleh peiode osilasi unuk nilai τ = adalah sebesa 4τ. d. asus τ = Nilai τ = adalah nilai bifukasi yakni nilai yang engubah suau keadaan seibang sabil beubah enjadi suau keadaan seibang yang idak sabil. Dala hal ini jika waku unda τ eningka elebihi nilai bifukasi τ = aka keadaan seibang enjadi idak sabil. Unuk τ = belu bisa dienukan kesabilannya dan pelu pengkajian lebih endala engenai bifukasi. 3. PENUTUP Bedasakan pebahasan engenai odel peubuhan logisik dengan waku unda dapa disipulkan bahwa penundaan dala peubuhan populasi yang engikui odel peubuhan logisik enyebabkan ejadinya osilasi sehingga epengauhi kesabilan di sekia iik keseibangan. Model peubuhan logisik dengan waku unda seibang pada julah populasi nol dan pada julah populasi yang saa dengan Caying capaciy. Pada julah populasi nol keadaan seibangnya idak sabil. Unuk julah populasi yang saa dengan Caying capaciy keadaan seibangnya sabil unuk waku unda yang kuang dai dan idak sabil unuk waku unda yang lebih besa dai 50
Henny M. Tiuneno R. Hei Soelisyo Uoo dan Widowai Model Peubuhan Logisik... sedangkan unuk waku unda yang saa dengan ejadi bifukasi. Secaa uu seakin besa waku unda dala pe-ubuhan populasi enyebabkan keidak-sabilan ehadap peubuhan dala hal ini ejadi ledakan populasi dan juga populasi dapa bekuang hingga akhinya engalai kepunahan. 4. DAFTAR PUSTAA [] Anon Howad (987 Aljaba Linea Eleene Elangga Jakaa [] Cheng A. (006 Diffeenial Equaions : Models and Mehods Mc Gaw Hill Singapoe [3] Foys U. Czocha M.A (003 Logisik Equaions in Tuou Gowh Modelling In. J. Appl. Mah. Copu. Sci. Vol. 3 No. 3 37-35 [4] Habean Richad (977 Maheaical Models : Mechanical Vibaions Populaion Dynaics and Taffic Flow Penice-Hall Inc. New Jesey [5] Muay J.D (993 Maheaical Biology SpingeVelag Heidelbeg Belin [6] Pucell & Vabeg (987 alkulus dan Geoei Analiis Elangga Jakaa [7] PunooD. osala (000 Model Peubuhan Populasi Dengan Meodifikasi Model Peubuhan Logisik Majalah Maeaika dan Saisika Vol. No. Okobe 000 : -9 [8] Ruan Shigui --------. Delay Diffeenial Equaions In Single Species Dynaics Depaen of Maheaics Univesiy of Miai USA [9] Tauingkeng C. Rudy (994 Dinaika Populasi ajian Ekologi uaniaif Pusaka Sina Haapan Jakaa [0] Vies G & Hillen T (004 A Sho Couse in Maheaical Biology Tuebingen [] Waluya S.B. 006. Pesaaan Diffeensial Gaha Ilu Yogyakaa 5