PPPG Maemaika Kode Dok : F-PRO-07 Revisi No. : 0 i- GEOMETRI RUANG DISAJIKAN PADA DIKLAT... DI... TANGGAL. Oleh: Ds. MARSUDI RAHARJO, M.Sc.Ed Widyaiswaa Madya P4TK Maemaika DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PMPTK) PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (P4TK) MATEMATIKA YOGYAKARTA 009
KATA PENGANTAR Puji syuku kia panjakan kepada Tuhan Yang Maha Esa, kaena aas ahma dan kaunia-nya modul Dikla Geomei Ruang elah dapa diselesaikan oleh fasiliaao kami dengan baik. Modul dikla ini dipeunukkan bagi paa pesea Dikla insuku/guu Pengembang Maemaika SMP jenjang dasa, dengan haapan aga dapa dijadikan sebagai salah sau ujukan dalam usaha peningkaan muu pengelolaan pembelajaan dalam kegiaan Dikla. Modul ini dihaapkan dapa dipelajai secaa mandii oleh pesea di dalam maupun di lua kegiaan Dikla kaena selain memua konsep, conoh soal, dan soal-soal laihan juga dilengkapi dengan kunci jawaban di seiap laihannya. Tujuannya aga paa pesea dikla dapa mengadakan efleksi sejauh mana meeka measa unas pada maa dikla yang sedang/elah diikuinya. Kepada bebagai fihak yang elah bepaisipasi dalam poses`penyusunan modul ini, kami sampaikan penghagaan dan eima kasih. Kepada paa pembaca, kami behaap modul ini dapa dimanfaakan dengan baik dan demi pebaikan kami menghaapkan adanya masukan-masukan unuk penyempunaan modul ini di masa mendaang. Jika ada kesulian dalam menelaah modul ini silahkan menghubungi PPPG Maemaika dengan alama: Jl. Kaliuang km 6, Sambisai, Condongcau, Depok, Sleman, Yogyakaa. Koak Pos Yk-BS Yogyakaa 558. Telepon (074) 8877, 88575, Fax:(074) 88575. e-mail : pgmayo@indosa.ne. Websie: www.pgmayo.go.id. Yogyakaa, Mae 006 Kepala PPPG Maemaika Kasman Sulyono NIP. 05806 i
DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... ii KOMPETENSI/SUB KOMPETENSI... iii PETA BAHAN AJAR... iv BAB I PENDAHULUAN A. Laa Belakang. B. Tujuan C. Ruang Lingkup. BAB II PENURUNAN RUMUS-RUMUS VOLUME SECARA INDUKTIF A. Pengeian Befiki Indukif... B. Volume Bangun Ruang... C. Penuunan Rumus-umus Volume Secaa Secaa Indukif 5. Volume Balok/Pisma Tegak SegiEmpa. 5. Volume Kubus. 0. Volume Pisma Tegak Segiiga Siku-siku. 4. Volume Pisma Tegak Segiiga Sembaang.. 5. Volume Pisma Tegak Segi n.. 6. Volume Tabung.. 7. Volume Keucu. 8. Volume dan Luas Pemukaan Bola 4 9. Volume Limas/Piamida... 6 BAB III PEMBUKTIAN VOLUME SECARA DEDUKTIF... 8 A. Pengeian Befiki Dedukif 8 B. Bebeapa Pembukian Secaa Dedukif 9 Teoema (Pebandingan Luas). 0 Teoema (Luas dan inggi sama, maka volume sama).. Teoema (Volume limas segiiga). Teoema 4 (Volume limas sembaang) Teoema 5 (Pebandingan sudu, panjang busu, dan luas lingkaan) 4 Teoema 6 (Volume keucu, luas selimu, dan sudu juing bukaan) 5 Teoema 7 (Volume keucu epancung/embe).. 7 Teoema 8 (Luas selimu keucu epancung) 9 Teoema 9 (Volume dan Luas Pemukaan Bola).. 0 Laihan BAB IV PENUTUP.. 6 A. Kesimpulan. 6 B. Saan-saan. 6 Dafa Pusaka.. 7 Kunci Jawaban Lemba Keja. 8 ii
GEOMETRI RUANG KOMPETENSI Memiliki kemampuan mengembangkan pengeahuan dan keampilan siswa SMP dalam memecahkan masalah geomei uang khususnya volum dan luas pemukaan bangun uang. SUB KOMPETENSI Menjelaskan dan membei conoh: Bangun uang dan unsu-unsunya (balok, kubus, pisma, limas, abung, keucu, bola) Penuunan Rumus Volum dan Luas Pemukaan Bangun Ruang (balok, kubus, pisma, limas, abung, keucu, bola) secaa indukif Penuunan Rumus Volum dan Luas Pemukaan Bangun Ruang (balok, kubus, pisma, limas, abung, keucu, bola) secaa dedukif Peneapan geomei uang dalam pemecahan masalah kehidupan sehai-hai Masudi R: Geo Ruang SMP 09 iii
GEOMETRI RUANG PETA BAHAN AJAR No. Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Bangun Ruang Unsu-unsu Bangun Ruang Balok Kubus Pisma Limas Tabung Keucu Bola Volum dan Luas Pemukaan Bangun Ruang Penuunan Rumus Volum Secaa Indukif Balok Kubus Pisma Limas Tabung Keucu Bola Penuunan Rumus Volum Secaa Dedukif Balok Kubus Pisma Limas Tabung Keucu Bola iv
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Geomei meupakan bagian maemaika yang membahas enang benuk dan ukuan dai suau obyek yang memiliki keeauan eenu (Clemens, 985). Geomei sudah dikenalkan sejak siswa kelas I sekolah dasa sebaas mengenal bola dan bukan bola, abung dan bukan abung, balok dan bukan balok, lingkaan dan bukan lingkaan, segiiga dan bukan segiiga, sea segiempa dan bukan segiempa. Di kelas-kelas beikunya dilanjukan dengan menggamba bangun daa, bangun uang, menghiung panjang, luas, hingga volume pada baas-baas yang sesuai unuk ingkaan SD. Di SMP pelajaan mengenai geomei (daa dan uang) bedasa kuikulum 004 diulang lagi dengan pendalaman dimulai dai melukis bangun daa, sudu, gais sejaja, dua gais egak luus, membagi uas gais aas bebeapa bagian yang sama panjang, membagi sudu aas bagian yang sama besa, pengenalan bepiki dedukif, dalil Pyhagoas hingga eapannya dalam kehidupan sehai-hai. Sedangkan unuk geomei uang dimulai lagi di kelas VIII akhi yaiu mengidenifikasi bangun-bangun uang sisi lengkung (BRSL), mengidenifikasi bangun uang sisi daa hingga menenukan besaan-basaan yang ada di dalamnya. Melalui kesempaan ini penulis beupaya membeikan ambahan pengeahuan kepada eman-eman guu enang pembelajaan volume bangun uang secaa indukif melalui akifias pakek keja hingga menemukan umusnya aas dasa paadigma pembeian kecakapan hidup (life skill) yang besifa akademik menggunakan pinsip leaning o know, leaning o do, leaning o be, leaning o live ogehe dan leaning o coopeae (Depdiknas, 00:). Pada bagian beikunya kami pekenalkan penuunan umus-umus volume bangun uang iu bedasakan injauan dedukif, yakni kebenaan suau penyaaan (sifa dan dalil/eoema) secaa maemaik diuunkan dai kebenaan pangkal (aksioma/posula) dan auan-auan main eenu yang elah dibakukan (definisi/baasan/kesepakaan) dan kebenaan-kebenaan edahulu yang elah dieima. Kami behaap eman-eman guu maemaika SMP dapa meneima maei Masudi R: Geo Ruang SMP 008
ini dengan baik dan meneapkannya dalam pembelajaan secaa poposional sesuai dengan sanda kompeensi yang dihaapakan dapa dicapai siswa pada umumnya, dan pembeian maei pengayaan kepada bebeapa siswa bebaka pada khususnya. B. TUJUAN Bahan dikla ini diulis sebagai bahan ujukan pelaihan dengan maksud unuk membeikan ambahan pengeahuan dan pendalaman maei geomei yang pelu bagi guu maemaika SMP aga lebih behasil dalam mengajakan maei iu kepada paa siswanya. Kepada eman-eman guu dihaapkan unuk dapa menggunakan pengeahuan dai bahan dikla ini secaa epa dalam mengelola pembelajaannya di lapangan sesuai dengan kondisi siswa dan paadigma pembelajaan bau yang dianjukan pemeinah saa ini. Seelah dipelajainya maei ini dihaapkan emaneman guu dapa:. mengimbaskan pengeahuannya kepada guu-guu di wilayah MGMP-nya dan ekan-ekan sepofesi lainnya. mengajakan kepada paa siswanya secaa lanca, lebih baik dan lebih jelas. mengembangkan dengan soal-soal yang vaiaif, dipelukan dalam pengembangan pengeahuan siswa dan menyenuh kehidupan nyaa. C. RUANG LINGKUP Maei geomei yang diulis pada bahan dikla ini meupakan ulasan enang penuunan umus-umus volume dan luas pemukaan bangun uang secaa indukif maupun dedukif yang pelu dikeahui oleh guu SMP. Maei yang dibahas melipui:. Pemahaman konsep penuunan umus volume bangun uang secaa indukif (dai konsep/definisi volume, dilanjukan dengan pakek keja menggunakan ala-ala peaga, pengamaan hasil pakek, diakhii penaikan kesimpulan secaa umum).. Pemahaman konsep penuunan umus volume bangun uang secaa dedukif (diawali dengan aksioma/posula enang volume yakni posula Cavaliei, dilanjukan dengan pengenalan dan pembukian dai dalil-dalil/eoema-eoema pendukung unuk menuunkan umus-umus volume dan luas pemukaan bangun uang hingga beujung pembukian umus yang dimaksud didasakan pada eoema-eoema yang elah dibukikan kebenaannya). Masudi R: Geo Ruang SMP 008
BAGIAN II PENURUNAN RUMUS-RUMUS VOLUM SECARA INDUKTIF A. PENGERTIAN BERPIKIR INDUKTIF Bepiki indukif dalam maemaika diaikan sebagai bepiki dai unsu-unsu aau polapola menuju ke suau genealisasi (kesimpulan yang besifa umum). Kebenaan suau penyaaan maemaika secaa indukif diuunkan bedasakan hasil ekspeimen dan pengamaan pola seelah diadakan absaksi dan idealisasi (Wiaso, 98). Absaksi adalah anggapan di alam pikian bahwa obyeknya ada, sedangkan idealisasi adalah anggapan bahwa obyeknya ideal (sempuna dalam segala hal). B. VOLUM BANGUN RUANG. Konsep/definisi Isi (volum) suau bejana (bangun uang beongga) ialah banyaknya akaan yang dapa digunakan unuk memenuhi bejana iu. Pelu dikeahui bahwa yang dimaksud dengan bejana ialah bangun uang beongga dengan uangan dalam ongganya dapa diisi dengan za cai, beas, pasi dan sebagainya. Kaena bejana meupakan bangun uang yang memiliki keeauan maka benuk bejana dapa beupa: - oples - emos - angki - bak mandi - andon ai - kolam enang, dan sebagainya Sedangkan sauan volum/sauan penakanya beupa bejana lain yang biasanya memiliki ukuan yang lebih kecil. Sauan penaka dapa beupa: - cangki - gelas - abung akaan bensin liean, liean, liean dan seeusnya - kubus-kubus sauan, dan lain-lain. Conoh Apabila sebuah oples a) dapa dipenuhi dengan ai sebanyak 5 cangki kuang sediki maka dikaakan (seelah dibulakan) bahwa: Volum oples 5 cangki b) dapa dipenuhi dengan ai sebanyak 8 gelas lebih sediki maka dikaakan (seelah dibulakan) bahwa: Volum oples 8 gelas Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Conoh ini membeikan penanaman konsep kepada anak akan ai volum sebagai banyaknya sauan penaka yang dapa digunakan unuk mengisi bejana iu hingga penuh. Conoh (A) (B) (C) Gb. Gamba (A) : Keadaan balok anspaan kosong Gamba (B) : Keadaan balok anspaan seelah diisi/diaka dengan kubuskubus sauan (sauan akaan beupa kubus) Gamba (C) : Sauan akaan (beupa kubus) yang digunakan. Dengan mengisikan kubus-kubus sauan ke dalam balok anspaan pada gamba (A) sau demi sau (dipeagakan di hadapan siswa) hingga penuh (gamba B) dan melakukan penghiungan sau, dua, iga, dan seeusnya, enyaa hiungan eakhinya 4. Ini beai isi balok (gamba B) adalah 4 sauan kubus. Guu dapa mempeegas dengan menulis di papan ulis bahwa: cm cm cm Gb. a panjang cm leba cm sauan kubus cm kubik cm inggi cm dm Gb. b dm dm p dm dm sauan kubus dm kubik dm dm Unuk selanjunya disepakai bahwa: Besaan: (sau) lie ialah sauan ukuan volum yang seaa dengan kubus sauan beukuan panjang, leba, dan inggi masing-masing (sau) desimee. Sejalan dengan kedua conoh sauan kubus di aas siswa kemudian diajak menyimpulkan bahwa sau mee kubik adalah sauan volum bebenuk kubus dengan ukuan: Masudi R: Geo Ruang SMP 009 4
m Gb. m m panjang mee leba mee inggi mee Sebagai pengeahuan enang sauan volum ak baku kepada siswa dapa dibeikan conoh anaa lain sebagai beiku: a) Sauan volum ak baku: Misal cangki, gelas, mangkuk, embe dan lain-lain, yaiu sauan ala aka yang belum dikeahui ukuannya bedasakan sauan ukuan baku. b) Sauan volum baku: Adalah ala penaka yang sudah dikeahui ukuan volumnya misalkan: - akaan bensin (benuk abung) sau liean, dua liean, empa liean dan ada lagi 5 liean, 4 liean, liean dan lain-lain. - Gelas-gelas uku yang di dalamnya edapa skala-skala keinggian yang menyaakan volum. - Meean (angka begeak) pada pompa bensin dan sejenisnya, Meean uku volum sepei ini hanya belaku unuk za cai (ai, minyak, alkohol, ine dsb.) kaena geakan angkanya bedasakan aas kecepaan (debi) dai za cai yang dialikan. Keeangan: Debi za cai ialah volum za cai yang dapa dialikan melalui selang (pipa) pe sauan waku (deik, pe meni, pe jam dan sebagainya). C. PENURUNAN RUMUS-RUMUS VOLUME BANGUN RUANG SECARA INDUKTIF. Volume Balok/ Pisma Tegak Segi Empa Unuk membeikan penalaan dalam mempeoleh umus-umus volum secaa indukif digunakan ala peaga kubus-kubus sauan. Haapannya dengan melakukan pakek langsung aas aahan guu siswa akhinya dapa menyimpulkan sendii bahwa volum balok yang ukuan panjang usuk alasnya p, leba usuk alasnya, dan inggi usuk egaknya adalah V p. Jika siswa dapa menyimpulkan sendii sepei iu maka kompeensi yang dihaapkan dapa ecapai. Langkah-langkah yang dapa dilakukan guu dengan menggunakan peaga (kubus-kubus sauan) iu kepada siswa SMP anaa lain adalah sepei beiku. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 5
Langkah Dengan sejumlah kubus sauan yang esedia (misal sebanyak 50 kubus sauan), siswa/ kelompok siswa (sebanyak oang) dimina membenuk sebuah balok menggunakan 8 kubus sauan. Seelah ebenuk misalnya sepei gamba 4a. Gb. 4a Tanyakan kepada siswa/kelompok siswa esebu, apakah balok yang mungkin hanya iu saja? Jawaban yang dihaapkan adalah idak. Kalau idak kemungkinan lainnya benuknya sepei apa? Kemungkinan yang lain benuknya sepei pada gamba 4b beiku ini. Langkah Gb. 4b Siswa dimina membenuk balok sepei gamba 4a sebanyak buah Gb. 5a Guu mengaakan bahwa keiga balok iu (gamba 5a) masing-masing disebu balok sau lapis. Langkah Siswa dimina membenuk balok bau yang edii dai lapis. Jawaban yang dihaapkan adalah sepei gamba 5b beiku. Gb. 5b Kepada siswa/kelompok siswa esebu kemudian dianyakan beapa volume balok yang sekaang ini? (Gb. 5a). Jawaban yang dihaapkan adalah 6 ( penalaannya dai lapis peama 8 diambah lapis kedua 8) Masudi R: Geo Ruang SMP 009 6
Langkah 4 Siswa dimina menambah lapisannya menjadi lapis. Jawaban yang dihaapkan adalah sepei gamba 5c beiku. Gb. 5c Kepada siswa/kelompok siswa esebu kemudian dianyakan sekaang beapa volume balok yang ebau ini? Jawaban yang dihaapkan adalah 4 ( penalaannya dai lapis peama 8 diambah lapis kedua 8 dan lapis keiga 8 aau yang lapis sebelumnya 6 diambah lapis yang keiga 8 ) Langkah 5 Tanyakan kepada meeka (siswa/kelompok siswa) jika banyaknya lapis ada 0 beapa volumenya, bagaimana jika banyaknya lapis ada 00? jika kia menganggap pembenukan lapisannya ak penah unuh. Jawaban yang dihaapkan adalah lapis volumenya 8 sauan 0 lapis volumenya 80 sauan, dan 00 lapis volumenya 800 sauan. Langkah 6 Tanyakan kepada siswa beapa volume balok unuk masing-masing gamba beiku 5 5 0 p (a) (b) (c) Gb. 6 Jawaban yang dihaapkan (a) Volumenya V 5 0 (b) Volumenya V 0 5 5 750 (c) Volumenya V p. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 7
Teakhi guu membeikan penguaan bahwa volume balok yang ukuan usuk-usuk alasnya p dan sedangkan ingginya adalah V p. () Selanjunya kaena p adalah luas alas balok/pisma egak, maka umus () di aas sama dengan bila diulis dalam benuk V A dengan A p. () A luas alas balok dan inggi balok Caa lain yang dapa dilakukan guu dalam mengkonsuksi penemuan umus volume balok di aas juga dapa dilakukan dengan membeikan lemba keja sepei beiku. LKS(Lemba Keja Siswa) Isikan jawabanmu pada iik-iik yang disediakan beiku ini. No Gamba Balok Banyak lapis Volume (Isi balok) Ukuan panjang (p), leba(), dan inggi () p p 8 4 8 4 4 0 00 Masudi R: Geo Ruang SMP 009 8
Pehaikan isian pada kolom volume V dan kolom hasil kali p. Apakah selalu sama nilainya? Jawaban yang dihaapkan adalah ya. Kalau ya apa kesimpulan yang dapa kalian (siswa) kemukakan? Jawaban yang dihaapkan adalah V p. Sehingga secaa umum dapa disimpulkan bahwa volume balok adalah V p. () p panjang usuk alas balok leba usuk alas balok, dan inggi balok Selanjunya kaena p adalah luas alas balok/pisma egak, maka umus () di aas sama dengan bila diulis dalam benuk V A dengan A p. () A luas alas balok dan inggi balok Seelah penuunan umus volume balok ini penuunan umus-umus volume bangun uang lainnya dapa diuunkan secaa mudah dan konologis baik secaa indukif maupun dedukif. Penuunan umus volume yang dimaksud adalah volume unuk Kubus Pisma egak segiiga siku-siku Pisma egak segiiga sembaang Pisma egak segibanyak (segi-n) Tabung Keucu Bola, dan Limas seegi banyak (segi-n) Skema penuunan umus bangun-bangun uang beikunya dapa kia liha pada bagan beiku. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 9
Penuunan Rumus-umus Volum Balok Kubus Pisma egak segiiga siku-siku Pisma egak segiiga sembaang Pisma egak segi - n Tabung Keucu Bola Limas segi - n. Volum Kubus a a Gb. 7 a Kubus meupakan keadaan khusus dai balok, yakni balok yang ukuan usuk-usuknya sama panjang. Jika ukuan panjang dai usuk-usuknya adalah a, maka panjang usuk alas, leba usuk alas, dan inggi usuk egak dai balok esebu menjadi p a, a, dan a, sehingga volumenya menjadi V p a a a a. Jadi khusus unuk kubus volumenya adalah V a a panjang usuk kubus Masudi R: Geo Ruang SMP 009 0
. Volum Pisma Tegak Segiiga Siku-siku Gb. 8a A Gb. 8b Pisma egak segiiga siku-siku dipeoleh dai membelah balok menjadi bagian yang sama melalui salah sau bidang diagonal uangnya (liha gamba 8 di aas). Oleh sebab iu maka V pisma egak segiiga siku-siku Jadi dai volume balok p ( p ) A V pisma egak segiiga siku-siku A A luas alas, alasnya bebenuk segiiga siku-siku inggi pisma. 4. Volum Pisma Tegak Segiiga Sembaang A A Gb. 9a Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Pisma egak segiiga sembaang dipeoleh dai meangkai pisma egak segiiga siku-siku AP C. DQ F dan pisma egak segiiga siku-siku P BC.Q EF. Hasilnya akan beupa pisma egak segiiga sembaang ABC.DEF. Jika A dan A beuu-uu adalah luas alas pisma egak segiiga siku-siku peama dan kedua, sedang inggi kedua pisma sama, maka volume dai pisma egak segiiga sembaang yang dibenuknya yaiu pisma ABC.DEF adalah Gb. 9b Gb. 9c A V V + V A + A (A + A ) A. Jadi V pisma egak segiiga sembaang A A luas alas, alasnya bebenuk segiiga siku-siku inggi pisma. 5. Volum Pisma Tegak Segi n A 5 A 6 A Gb. 0 A A 4 A Pisma egak segienam dapa disusun (diangkai) dai 6 pisma egak segiiga sembaang (liha gamba 0). Jika A, A, A,, A n beuu-uu menyaakanluas alas dai masing-masing pisma egak segiiga yang dimaksud, sedangkan inggi masing-masing pisma iu sama yakni, maka volume pisma egak segienam esebu adalah: V A + A +... + A 6 (A + A +... + A 6 ) A. Dengan penalaan yang sama akan dipeoleh : V A + A +... + A n (A + A +... + A n ) A. Jadi V pisma egak segi n A ; A luas alas pisma inggi pisma Masudi R: Geo Ruang SMP 009
6. Volum Tabung Tabung dapa dipandang sebagai pisma egak segi - n beauan dengan n ak ehingga. Oleh sebab iu maka Gb. 0 V abung V pisma egak segi - n A. Jadi V abung ;,4 7 jai-jai abung inggi abung 7. Volum Keucu Unuk mencai umus volume keucu secaa indukif dilakukan melalui peagaan dengan menaka menggunakan ala aka beupa keucu dan abung pasangannya. Yang dimaksud dengan abung pasangannya adalah abung yang luas alasnya sama dengan luas alas keucu dan ingginya juga sama dengan inggi keucu. Bahan yang dapa digunakan dalam melakukan penakaan dapa beupa beas, jagung, aau oek (sejenis gandum yang digunakan sebagai bahan makanan buung pekuu). Gb. Daihasil pakek menaka enyaa isi abung sama dengan (iga) aka menggunakan akaan keucu. Iu beai volume abung sama dengan (iga) kali volume keucu. Sehingga V abung V keucu, aau V keucu Vabung. Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Jadi V keucu, aau ; panjang jai-jai inggi keucu 8. Volum dan Luas Pemukaan Bola Penuunan umus volume dan luas pemukaan bola secaa indukif dilakukan melalui peagaan dengan caa menaka menggunakan ala aka seengah bola unuk diakakan ke abung pasangannya. Yang dimaksud dengan abung pasangannya adalah abung yang epa melingkupi bola secaa uuh, yakni abung yang epa menyinggung bola di bagian aas, bagian bawah, dan bagian samping (liha gamba ). Gb. V abung V seengah bola, aau V seengah bola Vabung (). Kaena V bola, maka bila kedua uas kia kalikan dua akan dipeoleh V bola 4 ;,4 7 panjang jai-jai bola Masudi R: Geo Ruang SMP 009 4
Teakhi penuunan luas pemukaan bola secaa indukif dapa dilakukan dengan (dua) caa yaiu () pakek keja menggunakan sebuah jeuk, dan () pakek melilii bola menggunakan sumbu kompo hingga epa melingkupi seluuh pemukaan bola dilanjukan dengan melilikan sumbu kompo yang epa melingkupi pemukaan bola adi unuk dililikan ke abung pasangannya. Caa Pakek keja menggunakan sebuah jeuk. Siswa dimina pakek menggunakan benda dalam kehidupan sehai-hai yang miip benuknya dengan bola. Benda yang dimaksud adalah jeuk. Siswa dimina keja kelompok dengan jeuk yang disediakan unuk masing-masing kelompok. Caa keja o Dalam kelompok siswa dimina menggamba di keas polos gamba poyeksi pemukaan jeuk ke selemba keas yang dileakkan di aas meja (liha gamba ) o Siswa dimina menggamba lagi lingkaan sebesa poyeksi pemukaan jeuk adi sebanyak empa buah o Siswa dimina mengupas kuli jeuk iu mengunakan kuku Gb. o o Siswa dimina mengisi lingkaan-lingkaan di aas dengan poongan-poongan kecil hasil kupasan kuli jeuk hingga epa seluuh pemukaan kuli jeuk iu ekupas. Tanyakan apa yang ejadi dengan hasil pakek esebu. Ajaib, enyaa hasil pakek menunjukkan kalau kuli jeuk iu epa memenuhi keempa lingkaan yang seukuan dengan lingkaan poyeksi jeuk iu ke alas. Sehingga disimpulkan bahwa Luas pemukaan bola 4 luas lingkaan, aau L pemukaan bola 4, jai-jai bola Masudi R: Geo Ruang SMP 009 5
Caa Pakek mengunakan sumbu kompo Gb. 4 Pinsip dalam pakek ini adalah sumbu kompo dililikan ke sepanjang pemukaan bola. Ujung awal kia andai demikian pula ujung akhi saa sumbu kompo epa melili sepanjang pemukaan bola. Sumbu kompo yang dililikan ke sepanjang pemukaan bola adi kemudian kia lepas unuk selanjunya kia lilikan sepanjang pemukaan selimu abung (liha gamba 4). Hasil pakek menunjukkan bahwa panjang ali yang dililikan sama. Hal iu beai bahwa luas pemukaan bola sama dengan luas selimu abung, aau 9. Volume limas (Piamida) L pemukaan bola L selimu abung panjang lingkaan alas abung dikalikan inggi abung 4. Unuk menenukan umus volume limas secaa indukif dilakukan melalui peagaan menaka menggunakan sebuah limas (sembaang limas) dan sebuah pisma pasangannya. A A Gb. 5 Yang dimaksud dengan pisma pasangannya adalah pisma yang alasnya konguen dengan alas limas dan ingginya sama dengan inggi limas. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 6
Dai hasil pakek enyaa isi pisma sama dengan (iga) aka limas, sehingga: V pisma V limas aau V limas Vpisma A. Jadi V limas A ; A luas alas limas inggi limas Masudi R: Geo Ruang SMP 009 7
BAGIAN III PEMBUKTIAN VOLUME BANGUN RUANG SECARA DEDUKTIF (BAHAN PENGAYAAN) A. PENGERTIAN BERPIKIR DEDUKTIF Bepiki Dedukif dalam maemaika diaikan sebagai bepiki bedasakan auanauan yang belaku dalam maemaika. Auan-auan yang dimaksud adalah bahwa suau sifa haus dibukikan kebenaannya secaa langsung dai definisi aau aksioma, dalil (eoema) haus dibukikan kebenaannya bedasakan definisi yang belaku aau bedasakan aksioma (posula) yang belaku, aau bedasakan sifa-sifa aau eoemaeoema edahulu yang elah dibukikan kebenaannya. Yang dimaksud dengan definisi adalah suau baasan/kesepakaan yang haus dieima dan diaai (aa azas) sedangkan aksioma aau posula adalah suau kebenaan maemaika yang dieima anpa buki. Conoh Definisi: Limas segiiga ialah bangun yang dibaasi oleh empa bidang sisi yang bebenuk daeah segiiga. T A B C T. ABC adalah limas segiiga sebab sesuai dengan definisinya bangun uang iu dibaasi oleh 4 sisi beupa daeah-daeah segiiga. Conoh Posula (Aksioma) Posula Cavaliei (Penghomaan unuk maemaikawan Ialia Bonavenua Cavaliei yang hidup ahun 598 samapai dengan 647) bunyinya adalah sebagai beiku. Misalkan B dan B masing-masing adalah bangun uang, sedangkan H adalah suau bidang. B Jika seiap bidang yang sejaja H B memoong bangun uang B dan B aas H daeah yang sama luasnya, maka: Gb. Volume B B. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 8
Unuk mempemudah pemahaman dai posula esebu, ilusasinya dibeikan sepei beiku Balok pada gamba (a) diiis-iis menjadi sayaan-sayaan ipis. Bangun pada gamba (b) dan (c) masing-masing meupakan benukan dai balok pada gamba (a). Kaena idak ada unsu yang hilang maka meskipun benuknya beubah-ubah eapi volumenya enu idak beubah (eap). Sejalan dengan iu misalkan kedua bangun uang yang digambakan pada gamba (d) dan (e) dapa diiis-iis ke dalam sayaan-sayaan ipis sedemikian sehingga bagian aas dai masing-masing sayaan yang besesuaian adalah sama luasnya. Secaa inuisi (kaa hai) kia dapa menyaakan bahwa volume kedua bangun uang (d) dan (e) adalah sama. B. BEBERAPA PEMBUKTIAN SECARA DEDUKTIF Bebeapa buki umus enang volume dan luas selimu bangun uang secaa dedukif yang akan dikemukakan dalam pembahasan ini adalah umus enang volume dan luas selimu unuk keucu, keucu epancung, dan bola. Unuk maksud ini kami akan sajikan bebeapa dalil (eoema) pendukung unuk mencapai ujuan esebu. Uaian selengkapnya adalah sebagai beiku. Masudi R: Geo Ruang SMP 009 9
Teoema T Jika bidang iisan PQR sejaja dengan bidang alas ABC, sedangkan jaak iik P M Q R C puncak ke bidang iisan dan ke bidang alas masing-masing adalah dan, maka luas bidang iisan dibandingkan dengan luas bidang alas adalah A N B Gb. L PQR L ABC Buki Kaena bidang iisan sejaja bidang alas, akibanya PQ // AB, PR// AC, dan QR // BC.. () Akiba dai () esebu adalah TP PQ TQ TPQ TAB TA AB TB TP PR TR TPR TAC TA AC TC PQ PR TR.. () AB AC TC Jika TM dan TN masing-masing menyaakan inggi limas bagian aas dan inggi limas seluuhnya (akiba dai bidang PQR // bidang ABC) maka MR // NC, dan akiba beikunya TMR TNC. TR TM Kaena TMR TNC. () TC TN Jika nilai pebandinganiu adalah, maka subsiusi () dan () menghasilkan PQ PR AB AC TC TR. (4) Selanjunya kaena PQR sebangun dengan ABC maka QPR BAC dengan eenu. Selanjunya Masudi R: Geo Ruang SMP 009 0
L PQR L ABC. PQ. PR sin. AB. AC sin PQ. PR AB. AC. Teoema Jika buah limas segiiga mempunyai luas alas dan inggi yang sama, maka volume kedua limas iu sama. Buki: Jika kedua limas eleak di bidang H (liha gamba) sedangkan H adalah bidang yang sejaja dengan bidang H dan memoong kedua limas (limas T.ABC dan limas P.DEF), maka gais-gais poong bidang iisannya yang besesuaian enu akan sejaja. Jika kedua limas yang dimaksud adalah T.ABC dan P.DEF dengan L ABC L DEF L dan inggi kedua limas sama (liha gamba), maka: T P H A L L C D F H B E Menuu eoema, L L ABC L L DEF aau L L aau L L. L L Kaena L L dan H // H, menuu posula Cavaliei maka: Volume limas T. ABC Volume limas P. DEF Teoema Volume limas segiiga adalah sepeiga kali luas alas kali inggi (limas), yaiu V A. Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Buki Ambilah sebuah pisma egak ABC.DEF. Iislah pisma iu ke dalam bagian bangun yang masing-masing bagiannya beupa limas (liha gamba). D E F V A, A luas alas limas inggi limas A C B F D F D F E A C A B B B Pehaikan bahwa () Limas F.ABC dan limas B.DEF mempunyai luas alas dan inggi yang sama, maka menuu eoema volume kedua limas esebu sama. Luas alas yang sama esebu adalah L ABC L DEF. Tinggi yang sama adalah CF BE. () Limas F.BDE dan limas F.ABD luas alasnya sama yaiu L BDE L ABD L pesegi panjang ABED. Tinggi masing-masing limas adalah jaak iik F ke bidang ABED. Kaena BDE dan ABD masing-masing adalah bagian dai ABED maka jaak iik puncak F ke bidang BDE jaak iik F ke bidang BDE jaak iik F ke bidang ABD jaak iik F ke bidang ABED. Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Kaena limas F.BDE dan limas F.ABD mempunyai luas alas dan inggi yang sama maka menuu eoema, kedua limas mempunyai volume yang sama. () Dai penyaaan () dan () dapa disimpulkan bahwa keiga limas mempunyai volume yang sama. Sehingga V limas segiiga Vpisma egak segiiga A ; A luas alas pisma luas alas limas inggi pisma inggi limas. Teoema 4 Volume sembaang limas adalah sepeiga kali luas alas kali inggi T V A ; A luas alas limas inggi limas A E A 5 A B A 4 A A C D Gb. Buki Ambil limas segilima di aas sebagai conoh. Pehaikan bahwa limas segilima dapa dibagi menjadi 5 buah limas segiiga yang masing-masing ingginya. Menuu eoema 4 volume dai masing-masing limas segiiga yang dibenuk adalah A, A, A, A 4, dan A 5. Akibanya V limas segilima A + A + A + A 4 + A 5 (A + A + A + A 4 + A 5 ) ( A + A +... + A 5 ) A. Sejalan dengan iu maka unuk limas segi-n yang dibagi dalam n buah pisma egak segiiga belaku Masudi R: Geo Ruang SMP 009
V limas segi - n ( A + A +... + A n ) A Teoema 5 Pada lingkaan belaku A O B Luas juing OAB Luas lingkaan sudu juing OAB sudu sau lingkaan panjang busu AB panjang keliling lingkaan Buki: Bemula dai juing OAB, misal dipeahankan bahwa iik A eap sedangkan iik B begeak sepanjang lingkaan hingga suau saa iik B epa beimpi dengan iik A. Maka gamba yang dihasilkan adalah: 60 0 A O B B A O Sudu juing AOB yang disebu sudu, menjadi sudu 60 0 jika iik A eap dan iik B begeak sepanjang keliling lingkaan hingga epa mencapai iik A. Hal yang sama akan beakiba busu AB yakni AB akan menjadi busu keliling lingkaan dan juing AOB akan menjadi daeah sau lingkaan penuh. Sehingga luas juing AOB menjadi luas daeah lingkaan. Dalam benuk abel peubahan iu adalah sebagai beiku. Tabel No. Asal OBYEK Hasil sudu busu AB luas juing AOB sudu 60 0 busu keliling lingkaan luas lingkaan Masudi R: Geo Ruang SMP 009 4
Dengan mengambil sampel misal 90 0, akan dihasilkan: () () () sudu 0 sudu 60 0 90 0 60 4 busu AB busu keliling lingkaan luas juing AOB luas lingkaan L 4 L K 4 K 4. 4 Coba selidiki unuk nilai-nilai lainnya. Hasil yang dipeoleh enyaa nilai pebandingannya selalu sama anaa pebandingan sudu dengan sudu 60 0, pebandingan busu AB dengan busu lingkaan, sea pebandingan luas juing AOB dengan luas lingkaan. Kaena masing-masing dai nilai pebandingannya menunjuk pada bilangan yang sama (salah sau di anaanya adalah 4 ), maka secaa umum disimpulkan bahwa Luas juing OAB Luas lingkaan sudu juing OAB sudu sau lingkaan panjang busu AB panjang keliling lingkaan Teoema 6 Pada keucu (yang dimaksud adalah keucu lingkaan egak) dengan ukuan panjang jai-jai lingkaan alas dan ingginya : volume, luas selimu (idak emasuk alasnya), dan sudu juing bukaannya masing-masing adalah (a) Volumenya V s (b) Luas selimunya L s (c) Sudu juing bukaannya 600 s Masudi R: Geo Ruang SMP 009 5
Buki: (a) Volume keucu Kaena keucu dapa dipandang sebagai limas segi - n beauan (dalam hal ini n benilai ak ehingga), maka: V keucu V limas beauan segi n luas alas inggi (b) Luas selimu Luas selimu keucu yang dimaksud adalah luas juing bukaannya saja (alas keucu idak emasuk). Keucu diguning sepanjang apoemanya (gais pelukis s) kemudian dibuka. Hasilnya dapa dilukiskan pada gamba beiku. s P s Q Bedasakan eoema 4 maka Luas bagian yang diasi Luas lingkaan besa Luas juing bukaan Luas lingkaan besa panjang busu PQ ( keliling lingkaan alas keucu) keliling lingkaan besa yang bejai - jai s s, aau s, maka s Luas juing bukaan luas lingkaan besa s s s s Masudi R: Geo Ruang SMP 009 6
(c) Sudu juing bukaannya Bedasakan eoema 4 pula, maka Sudu juing bukaan Sudu sau puaan penuh ( lingkaan besa) panjang busu PQ panjang keliling lingkaan besa s s, sehingga Sudu juing bukaan (besanya) s sudu sau puaan penuh 60 0 s Teoema 7 Volume keucu epancung (embe) yang ukuan jai-jai lingkaan alasnya, jai-jai lingkaan aasnya R dan ingginya adalah R V (R + R + ) Buki: Keucu epancung (embe) secaa maemais dipeoleh dai keucu lingkan egak yang dipancung (dipoong) bagian aasnya oleh sebuah bidang yang sejaja dengan bidang alas keucu. Keangka pemikiannya dapa diliha pada gamba-gamba peagaan beiku. T R D M C + A N B R R Masudi R: Geo Ruang SMP 009 7
Pehaikan bahwa TMC sebangun dengan TNB. Akibanya TM MC TN NB R R + (R ).. () (R ) V keucu bagian aas V keucu seluuhnya Akiba dai () maka V ke ucu V ke ucu V ke ucu V ke ucu R ( ) R ( ) (R ) (R ) R (R ) R R bagian aas bagian bawah bagian bawah bagian aas V keucu bagian bawah V keucu epancung R R (R ). (R ) R (R ) R () (R ) ( R ) ( R ). V keucu bagian aas ( R ). ( R )( R R ). R ( R R ) Masudi R: Geo Ruang SMP 009 8
Teoema 8 Luas selimu keucu epancung dengan ukuan panjang dai jai-jai lingkaan aas, jai-jai lingkaan bawah, apoemanya (gais pelukisnya) beuu-uu R,, dan S adalah R S L (R + )S Buki: Keucu epancung adalah bagian dai keucu lingkaan egak yang epancung bagian aasnya. Sehingga unuk membukikannya dapa dibeikan ilusasi sepei beiku. A A A A S S S R (a) (b) (c) () Mengadopsi dai eoema 7 dipeoleh (R ) () Luas yang diasi L juing besa L juing kecil RA A [RA A ] [ R R ( ) ] R R (R ) (R ) R (R R (R ) ) (R ) (R ) Masudi R: Geo Ruang SMP 009 9
R R (R ) ( R ) (R ) (R ) (R ) R R (R ) R (R ) (R ) (R ) R (R ) (R ) (R ) (R ) R (R ) (R ) R S R (R )(R ) S (R ) (R + )S Teoema 9 Apabila sebuah bola ukuan panjang jai-jainya R, maka R a. Volum bola iu adalah V 4 R b. Luas pemukaan (kuli) bola iu L 4R Buki a Unuk membukikan kia pehaikan bola beiku abung pasangannya (abung yang melingkupi bola), dan sepasang keucu lingkaan egak yang iik puncaknya di iik pusa bola dan lingkaan alasnya pada uup alas dan uup aas abung (liha gamba) P R Q A B R C D O R O R (Seengah Tabung) (Seengah Bola) Masudi R: Geo Ruang SMP 009 0
Sekaang kia ambil sebagian dai bangun iu, yakni seengah abung dan seengah bola. Suau bidang yang bejaak dai alas seengah bola (sekaligus sebagai alas seengah abung) enu akan memoong bangun uang di dalam seengah abung dan di lua keucu dalam benuk miip cincin dan akan memoong bangun seengah bola dalam benuk lingkaan (liha bagian-bagian yang diasi). I. Unuk bangun seengah abung II. Unuk bangun seengah bola OAB OPQ, maka OCD adalah siku-siku, maka alas OAB inggi OAB, yakni CD R alas OPQ inggi OPQ Luas lingkaan CD R R Luas cincin L besa L kecil ( R R (R ) R R ) Kaena luas pemukaan bidang poongnya sama, yaiu luas cincin luas lingkaan (dalam hal ini R ), maka menuu Posula Cavaliei, V V V Vke ucu bola abung L alas inggi L alas inggi R R R R R R, maka R bola V bola 4 R Buki b Unuk membukikan luas pemukaan bola 4R, pandanglah volum bola iu sebagai jumlah volum keucu-keucu kecil yang alasnya di pemukaan bola dan iik-iik puncak keucunya eleak di iik pusa bola. Cobalah unuk membukikannya. Masudi R: Geo Ruang SMP 009
Laihan. Tenukan a. volume bola yang jai-jainya 7 cm b. luas pemukaan bola yang jai-jainya 7 cm c. volume bola yang jai-jainya 5 cm d. luas pemukaan bola yang diameenya 0 cm e. jai-jai bola (dalam cm) yang luas pemukaannya sekia m f. jai-jai bola (dalam cm) yang volumenya sekia m.. Tenukan 0 cm 8 cm a. volume bangun uang sepei pada gamba b. luas pemukaan bangun uang sepei pada gamba c. volume bola yang luas pemukaannya 44 sauan d. luas pemukaan bola yang volumenya 6 sauan e. jai-jai bola yang banyak sauan luasnya dalam cm sama dengan banyak sauan volumenya dalam cm.. Sebuah bola baja bejai-jai,5 cm memiliki keebalan 0,5 cm.,5 cm Tenukan beapa cc baja yang dipelukan. 0,5 cm 4. Sebuah keucu mempunyai ukuan jai-jai lingkaan alas yang sama dengan ukuan jaijai dai sebuah bola. Tinggi keucu adalah kali jai-jai bola. Tenukan pebandingan volume anaa keucu dan bola iu. 5. Sebuah manik-manik bebenuk bola dengan jai-jai 5 mm. Manik-manik iu dilubangi unuk memasukkan benang. Jika diamee lubangnya 6mm. a. Tunjukkan bahawa umus volume embeeng R bola (gamba sebelah kii) dinyaakan dalam R,, dan adalah V embeeng bola (R + ) Peunjuk Pehaikan gamba pada buki dedukif dai volume bola di aas. Kaena luas bidang iisan dengan seengah abung yang bebenuk sepei cincin sama dengan luas bidang iisan dengan Masudi R: Geo Ruang SMP 009
seengah bola yang bebenuk lingkaan, maka menuu posula Cavaliei volume embeeng bola di aas bidang iisan sama dengan volume seengah abung di aas bidang iisan dikuangi dengan volume keucu epancung (embe) yang ada di aas bidang iisan b. Beapa volume bahan pembua manik-manik iu dalam mm. Nyaakan volume bahan iu dalam sauan cc. 6. Tenukan a. beapa m bahan seng yang dipelukan unuk membua akaan beupa keucu anpa uup dengan ukuan jaijai dan ingginya masing-masing adalah 5 cm dan cm. Beapa volume ai maksimal yang dapa diampung oleh akaan iu. b. peanyaan sama dengan nomo a jika keucunya beukuan jai-jai dan inggi masing-masing adalah 8 cm dan 5 cm. c. beapa aka ai yang dipelukan unuk mengisi oples bekapasias 5 lie menggunakan masing-masing akaan? 7. Misalkan kia membeli sebuah embe. Embe iu kemudian kia uku diamee lingkaan alas dan lingkaan aasnya, sesudah iu kia uku panjang gais pelukisnya. Jika hasil pengukuan kia unuk R diamee lingkaan alas, lingkaan aas, dan gais pelukisnya masing-masing adalah 0 cm, 44 cm, dan 5 cm. Tenukan S a. volume ai maksimum yang dapa diampung oleh embe iu. b. Jika bak mandi di umah mempunyai ukuan panjang, leba, dan inggi masing-masing, m, 80 cm, dan m, beapa embe kia-kia isi bak mandi iu? 8. Sebuah anak imbangan ak beongga memiliki benuk gabungan dai sebuah abung dan sebuah keucu. Tinggi bagian keucunya dai inggi bagian abungnya, inggi bagian abungnya kali ukuan jai-jai abung. Jika diamee abung 8 mm, enukan a. volume bahan pembua anak imbangan iu b. bea anak imbangan iu jika bahan pembuanya dai logam yang memiliki bea jenis 5 gam pe senimee kubiknya c. diamee abung (dalam sauan milimee) unuk anak imbangan sebea kg menggunakan bahan logam yang sama. Masudi R: Geo Ruang SMP 009
9. Pemukaan dai kemasan eskim meupakan benuk gabungan dai seengah bola, abung, dan keucu. Misalkan,, dan masingmasing menyaakan ukuan dai jai-jai bagian seengah bola, keebalan bagian abung, dan inggi bagian keucu. a. Nyaakan volume skim iu dalam,, dan b. Jika,, dan masing-masing mempunyai ukuan,5 cm, cm, dan 6 cm, enukan volume eskim iu dalam sauan mililie. c. Jika pebandingan anaa,, dan adalah 7::6 dan ebal bagian yang bebenuk abung adalah cm, enukan volume eskim iu dalam mililie. 0. Sebuah limas segiempa beauan epancung ukuan panjang usuk alas, usuk aas, dan ingginya masing-masing adalah a, b, dan. a. Tunjukkan bahwa volume limas epancung iu dalam a, b, dan adalah V (a + ab + b ) a b b a b. Jika suau bak mandi bebenuk limas segiempa beauan epancung dengan ukuan usuk alas, aas, dan ingginya masing-masing adalah 50cm, m, dan 70 cm, beapa lie ai maksimal yang dapa diampung dalam bak iu?. Tunjukkan secaa dedukif bedasakan penalaan buki b halaman bahwa luas pemukaan bola yang bejai-jai R adalah L 4 R.. Suau juing bola PACB pada bola yang bejai-jai R (liha gamba) mempunyai bagian embeeng bola yang ingginya. Tunjukkan bahwa a. Volume juing bola PACB iu adalah C V R A R P R B Peunjuk. Gunakan caa pembukian sepei pada pembukian luas pemukaan bola yakni dengan memandang volume embeeng bola sebagai jumlah volume keucu-keucu kecil yang alasnya pada pemukaan bola dan puncaknya di iik pusa bola Masudi R: Geo Ruang SMP 009 4
. Gunakan umus volume embeeng bola yang elah dibukikan pada soal nomo 5. A C B b. Luas pemukaan embeeng bola yang ingginya pada bola yang bejai-jai R iu adalah R R L R. P Masudi R: Geo Ruang SMP 009 5
BAB IV PENUTUP A. KESIMPULAN Geomei, khususnya geomei uang di SMP maei yang dianggap ugen bagi guu adalah volum dan luas pemukaan bangun uang. Penuunan umus-umusnya dilakukan secaa indukif aga siswa eaik dan measa mudah meneimanya. Namun buki secaa indukif iu sebenanya belum syah secaa maemaika. Buki dinyaakan syah jika sudah ebuki secaa dedukif. Menuu psikologi pekembangan kogniif (inelekual) anak oleh Piage (896 980), buki secaa dedukif semacam iu secaa psikologis sudah dapa dieima oleh siswa di aas ahun. Kaena siswa SMP pada umumnya sudah beumu ahun jadi sudah enu meeka sudah dapa meneima buki secaa dedukif. Bagi guu semuanya enyaa dapa dilalui secaa menaik dan menyenangkan. Resep apa sebenanya sehingga yang membua maemaika yang dibahas pada kegiaan dikla dapa menaik dan menyenangkan? Jawabnya idak lain adalah kaena sajian maeinya diawali secaa koneksual (beangka dai koneks kehidupan siswa sehai-hai) dan mengikui eoi Bune, yakni pembelajaan beangka dai kongki, diindaklanjui dengan gambagamba (semi kongki), dan baulah diakhii dengan lambang yang sifanya absak. Menuu Bune (95 ), jika pembelajaan bejalan sepei iu, maka siswa akan dapa mengembangkan pengeahuannya jauh lebih luas dai apa yang penah meeka eima dai guunya. Apabila iu semua dialami oleh pesea dikla (guu), mengapa siswa idak mengalaminya?. Semuanya enu eganung kepada komimen (nia baik) dan ealisasi (pelaksanaan iil/ sesungguhnya) saa kembali ke empa ugas masingmasing. B. SARAN Bagi paa alumni dikla yang bekomimen unuk meealisasikan kepada anak didik, aga meeka menyenangi pelajaan maemaika dibeikan saan-saan sebagai beiku.. Lapokan kepada aasan langsung enang pengalaman apa saja yang menaik selama meneima sajian akademik dalam kegiaan pelaihan. Pikikan peangka keja apa saja yang mendesak unuk dibua dan segea dieapkan/diimplemenasikan di lapangan, jika sebagai guu peama adalah yang unuk dieapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guu di sekolahnya, kemudian lagi pada kegiaan MGMP dan eakhi baulah cia-cia ke lingkup yang lebih luas. Cipakan segea peangka esebu dengan nia baik, ulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan 4. Diskusikan encana indak lanju Anda pasca pelaihan kepada kepala sekolah dan kepada kolega-kolega anda yang bekompeen di daeah 5. Besemboyanlah Apa yang ebaik yang saya miliki dan dapa saya pebua unuk kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam angka mencedaskan bangsa. Tuhan maha mengeahui dan pasi akan membeikan ganjaan yang pau disyukui beupa sesuau yang ak eduga di masa depan. Amin. Masudi R:: Geo Ruang SMP 009 6
DAFTAR PUSTAKA Biggs, Edih. (985). Macmillian Junio Mahemaics. London: Macmillian Educaion Ld. Bie, GG. Cs. (98). Mc Gaw-Hill Mahemaics. New Yok: Mc Gaw-Hill Book Company. Clemens, Sanley R. Cs. (984). Geomey. USA: Addison-Wesley Publishing Company, inc. Depdiknas. (00). Kuikulum 004 (Sanda Kompeensi Maa Pelajaan Maemaika SMP dan MTs). Jakaa: Depaemen Pendidikan Nasional. Rahajo, Masudi. (000). Pengukuan ( Konsep-konsep Dan Bebeapa Penuunan Rumus). Pake Pembinaan Penaaan. Yogyakaa: PPPG Maemaika. Masudi R: GEO RUANG SMP 009 7