SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02. Notasi Himpunan : B = {,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }. Dalam bentuk garis bilangan B. Operasi Bilangan Bulat Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan. Definisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari (-n) adalah (-n) sehingga (-n) + (-(-n)) + (-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n) adalah n. Operasi Penjumlahan a. Tertutup a + b bilangan bulat b. Komutatif a + b = b + a c. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Identitas a + 0 = a e. Invers a + (-a) = 0 1
Operasi Pengurangan Lawan (invers) a b = a + (-b) Catatan : Penjumlahan 2 bilangan bulat 1. (-a) + (-b) = - (a + b) penjumlahan 2 bilangan negatif 2. (-a) + b = b a jika a < b 3. a + (-b) = a b jika b < a Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b) Misalkan a dan b bilangan bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b). c + b = ((-a) + (-b)) + b c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat kesamaan sifat asosiatif penjumlahan c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan (c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan (c + b) + a = 0 invers penjumlahan c + (b + a) = 0 c + (a + b) = 0 sifat asosiatif penjumlahan sifat komutatif penjumlahan (c + (a + b)) + (-(a + b)) = (a + b) sifat kesamaan c +((a + b) + (-(a + b))) = (a + b) sifat asosiatif c + 0 = (a + b) invers penjumlahan Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = (a + b). 2
Bukti bahwa (-a) + b = b a. Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita jelaskan sebagai berikut : Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b a = c (-a) + b = (-a) + (a + c) = ((-a) + a) + c asosiatif penjumlahan = 0 + c invers penjumlahan = c = b - a Jadi terbukti bahwa (-a) + b = b a. Contoh operasi penjumlahan dan pengurangan: Buktikan jika r + t = s + t dengan r, s, t adalah bilangan bulat, maka r = s. Jawab : r + t = s + t pernyataan r + t + (-t) = s + t + (-t) sifat penjumlahan pada kesamaan ( di tambah t) r + (t + (-t)) = s + (t + (-t)) sifat asosiatif penjumlahan r + 0 = s + 0 invers penjumlahan r = s kesimpulan Latihan Soal 1. Buktikan bahwa (x + y + z) = - x (y + z) dengan x, y, z merupakan bilangan bulat positif. 2. Buktikan bahwa (a + h) (h + b) = a b dengan a, b, dan h adalah bilangan bulat positif dan b < a. 3
Operasi Perkalian a. Tertutup a x b bilangan bulat b. Komutatif a x b = b x a c. Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) d. Identitas a x 1 = a e. Distributif a (b + c) = ab + ac a (b - c) = ab ac f. Invers a x 0 = 0 Catatan :perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab (-a) x (-b) = ab Operasi Pembagian Kebalikan (invers) dari perkalian a : b = a x 1/b Perkalian bilangan bulat Kita telah mempelajari perkalian bilangan cacah, selanjutnya pengetahuan itu dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat, kita dapat melakukan perkalian bilangan bulat yang salah satu atau kedua-duanya bilangan bulat negatif. Tetapi sebelum kita membicarakan hal itu terlebih dahulu kita buktikan suatu sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan yaitu: Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b. Bukti : 4
a + c = b + c (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (sifat kesamaan) a + (c + (-c)) = b + (c + (-c) (assosiatif penjumlahan) a + 0 = b + 0 (invers penjumlahan) a = b Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b). bukti : a x (b + (-b)) = a x 0 (a x b) + (a x (-b)) = 0 (a x (-b)) + (a x b) = 0 ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b)) (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b) a x (-b) + 0 = -(a x b) a x (-b) = -(a x b) Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka : (-a) x b = b x (-a) = (b x a) = -(a x b) 5
Pembagian bilangan bulat Seperti halnya pembagian bilangan cacah, pembagian bilangan bulat juga didefinisikan dengan perkalian. Telah dibuktikan bahwa (-a) x b = a x (-b) = -(a x b) dan seterusnya kita tulis dengan (ab), maka : 1) (ab) : a = (-b) 3) -(ab) : (-a) = b 2) (ab) : b = (-a) 4) -(ab) : (-b) = a Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka: 5) ab : (-a) = (-b) 6) ab : (-b) = (-a) Contoh operasi perkalian dan pembagian : Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac ab. Jawab : (-a)(b + (-c)) = (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan = (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac = ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian =ac ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a b) Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac ab. 6