Sumber: www.aerofligh.com Pison Mungkin anpa sadar kia selalu deka dengan ilmu geomeri. Tahukah kalian, dimana leak kedekaan iu? Salah sau kedekaan ini adalah penggunaan geomeri unuk merancang mesin kendaraan. Pada mesin mobil maupun moor, besarnya enaga yang dapa dihasilkan dinyaakan dalam sauan cc (cenimeer cubic). Pada dasarnya prinsip kerja mesin maupun mobil berganung pada kemampuan pison dalam mengonversikan pembakaran campuran anara bahan bakar dan udara yang erjadi di dalam ruang pembakaran. Secara signifikan, semakin besar dimensi ruang pembakaran maka abung empa erjadinya pembakaran akan semakin besar. kibanya semakin banyak campuran udara dan bahan bakar yang dapa masuk unuk diproses. khirnya enaga yang dapa dihasilkan cukup besar. ambar di aas menunjukkan pison pembakaran empa bahan bakar dan udara diproses menjadi enaga. i dalam maemaika, bangun abung yang pada uraian di aas merupakan empa pembakaran ermasuk salah sau bahasan di dalam geomeri dimensi iga. Pembahasan lebih lanju mengenai geomeri dimensi iga akan kia pelajari pada uraian beriku. Maemaika XI SMK/MK 127
angun Ruang dan Unsur-unsurnya Sumber: nsiklopedi Maemaika dan Peradaban Manusia Plao dan macam-macam bangun ruang sempurna Ilmuwan maemaika menyebu bangun ruang dengan isilah polihedron yang erdiri aas kaa poly = banyak dan hedron = benuk. al ini dikarenakan bangun-bangun ruang mempunyai sisi yang seluruhnya berupa bangun berauran. agi para ilmuwan, bangun ruang yang paling sempurna adalah kubus, karena srukur sisi, rusuk, dan sudu yang eraur. angun-bangun ruang sempurna lainnya adalah erahedron (bidang empa), okahedron (bidang delapan), dodekahedron (bidang dua belas), dan ikosahedron (bidang dua puluh). Kelima bangun ersebu dinamakan bangun-bangun ruang plaonik, diambil dari nama Plao, seorang filosof Yunani yang mencoba menerangkan fisika alam semesa dengan mengkaji bangun-bangun ersebu. Uraian Maeri. Macam-Macam angun Ruang 1. Kubus Kubus adalah bangun ruang yang dibaasi enam sisi yang berbenuk persegi yang sebangun. Nama lain dari kubus adalah heksader (bidang enam berauran). Perhaikan gambar di bawah! Kubus memiliki ciriciri sebagai beriku. a. Memiliki enam sisi yang berbenuk persegi, yaiu:,,,,, b. Memiliki dua belas rusuk yang sama panjang, yaiu:,,,,,,,,,,, c. Memiliki delapan iik sudu, yaiu:,,,,,,, dan d. Memiliki dua belas diagonal sisi, yaiu:,,,,,,,,,,, e. Memiliki empa diagonal ruang, yaiu:,,, f. Memiliki enam bidang diagonal ruang, yaiu:,,,,, g. esar semua sudu-sudu pada kubus adalah 90. 128 eomeri imensi Tiga
2. alok alok adalah bangun ruang yang dibaasi oleh enam bidang daar yang berbenuk persegi panjang dengan iga pasang sisi yang saling sejajar. Nama lain dari balok adalah prisma siku-siku. Perhaikan gambar di samping. alok memiliki ciri-ciri sebagai beriku. a. Memiliki enam buah sisi dengan iga pasang di anaranya saling sejajar, yaiu: //, //, // b. Memiliki dua belas rusuk yang erdiri aas iga kelompok rusuk yang sejajar dan sama panjang. // // // // // // // // //,, c. Memiliki delapan buah iik sudu. d. Memiliki dua belas diagonal sisi yang erdiri aas enam kelompok diagonal yang sejajar dan sama panjang. //, //, //, //, //, // e. Memiliki empa diagonal ruang, yaiu:,,, f. Memiliki enam buah bidang diagonal ruang, yaiu:,,,,, g. esar sudu pada balok 90. 3. Prisma Prisma adalah bangun ruang yang dibaasi oleh dua bidang segi-n berauran sebagai sisi alas dan sisi uup sera n bidang persegi panjang sebagai sisi egak. Nama prisma dienukan sesuai banyaknya n sisi alas, yaiu prisma segi n berauran. Prisma memiliki ciri-ciri umum sebagai beriku. a. Memiliki sisi alas dan uup yang sebangun dan sejajar. b. Memiliki sisi egak yang egak lurus dengan sisi sejajar. eberapa conoh macam-macam prisma: 1) Prisma siku-siku 2) Prisma segiiga 3) Prisma segi lima J I 4. Tabung (Silinder) Tabung adalah prisma egak berauran yang bidang alas dan uupnya berbenuk lingkaran dan sisi egaknya berupa bidang lengkung. Tabung disebu juga silinder. Perhaikan gambar di samping. Tabung memiliki ciri-ciri sebagai beriku. a. Memiliki iga buah sisi. b. idang alas dan uup berupa lingkaran. c. Memiliki dua buah rusuk yang berupa keliling dua buah lingkaran. d. Tidak memiliki iik sudu. r Maemaika XI SMK/MK 129
5. Limas Limas adalah bangun ruang yang dibaasi oleh alas berbenuk segiiga samakaki yang banyaknya n dan puncaknya berimpi. Limas memiliki ciri-ciri sebagai beriku. a. Memiliki n + 1 sisi yang berauran. b. Memiliki rusuk sebanyak 2n. c. Memiliki n + 1 iik sudu. eberapa conoh macam-macam limas: 1) Limas segiiga 2) Limas segi empa T 3) Limas segi lima 4) Limas segi enam T T 6. Kerucu Kerucu adalah limas berauran yang memiliki sisi alas berupa lingkaran. Perhaikan gambar di samping. Kerucu memiliki ciri-ciri sebagai beriku. a. Memiliki dua buah sisi yang berupa sisi alas berbenuk lingkaran dan sau buah sisi lengkung. b. Memiliki sau buah rusuk yang berupa keliling lingkaran. c. Memiliki sau buah iik puncak yaiu T. T 7. ola M r ola adalah bangun ruang iga dimensi yang hanya memiliki sau sisi dan idak memiliki rusuk maupun iik sudu. Sisi pada bola disebu juga permukaan bola aau kuli bola aau bidang bola.. Jaring-Jaring angun Ruang Jika suau benda berauran dalam ruang dibuka dan direbahkan pada suau bidang daar, hasil yang erleak pada bidang daar iu disebu jaring-jaring bangun ruang. 1. Jaring-Jaring Kubus angun kubus merupakan bangun iga dimensi dengan sisi yang diarsir merupakan sisi alas dan keenam sisinya berukuran sama. 130 eomeri imensi Tiga
onoh macam-macam jaring kubus: 1. 3. 5. 2. 4. 6. 2. Jaring-Jaring alok alok memiliki iga pasang sisi yang ukurannya berbeda. Macam-macam jaring balok anara lain: 1. 3. 2. 4. 3. Jaring-Jaring Tabung a. Prisma Segiiga Jaring-jaring prisma segiiga: b. Prisma Segi mpa Prisma segi empa aau yang biasa disebu balok memiliki jaringjaring yang sama seperi pada poin 2. Maemaika XI SMK/MK 131
c. Prisma Segi Lima Jaring-jaring prisma segi lima: 4. Tabung Jaring-jaring abung: 5. Limas a. Limas Segiiga Jaring-jaring limas segiiga: b. Limas Segi mpa Jaring-jaring limas segi empa: 6. Kerucu Jaring-jaring kerucu: 132 eomeri imensi Tiga
Laihan 1 Kerjakan soal-soal beriku! 1. ambarlah balok., kemudian gambarlah limas segi empa. dengan adalah iik poong diagonal dan yang diperoleh dari balok.. Kemudian jawablah peranyaan beriku! a. pakah semua sisi egaknya sebangun? b. Sebukan benuk segiiga-segiiga dan! c. pakah bidang diagonal dan sebangun? 2. Perhaikan gambar di samping! a. da berapa sisi-sisi pada kubus? Sebukan! b. agaimana benuk sisi-sisinya? c. erapakah banyak bidang diagonal pada kubus? Sebukan! d. Sebukan semua pasangan rusuk yang sejajar (berhadapan)! 3. iberikan prisma segi enam berauran.pqrstu. T a. Sebukan dua bidang yang sejajar! S b. Sebukan bidang alas dan bidang aas! c. Sebukan bidang-bidang sisi egak! U d. Sebukan rusuk-rusuk bidang alas dan aas! P R e. Sebukan rusuk-rusuk egak! Q f. Sebukan rusuk-rusuk yang sejajar! 4. ambarlah jaring-jaring dari bangun prisma segi enam! a. Sebukan dua bidang yang sejajar! b. Sebukan bidang alas dan bidang aas! 5. Pada saa mesin bubu bekerja erdapa ala pengekang eap yang berguna unuk membubu benda kerja yang ipis dan panjang. al ini berujuan agar diameernya dapa dienukan menuru auran yang dieapkan. Perhaikan ala pengekang eap pada mesin bubu di samping. Sebukan paling sediki iga bangun ruang yang erdapa pada ala ersebu! a. Sebukan dua bidang yang sejajar! b. Sebukan bidang alas dan bidang aas! Maemaika XI SMK/MK 133
Luas Permukaan angun Ruang Sumber: okumenasi SMK la bedah Pada peralaan bedah, unuk menghindari perkaraan karena reaksi logam dengan udara maka diperlukan suau proses pelapisan. Pelapisan ini pada umumnya dilakukan dengan nikel dan berujuan unuk melapisi permukaan peralaan bedah. Sebagai conoh sebuah peralaan bedah akan kia lapisi menggunakan nikel dengan keebalan 0,1 mm. Misalnya baangan nikel yang akan dilarukan dalam cairan memiliki volume V. ari proses ersebu kia dapa menghiung luas permukaan peralaan bedah yaiu volume nikel yang digunakan unuk melapisi dibagi dengan inggi permukaan hasil sepuhan yaiu 0,1 mm. ara ersebu digunakan unuk mencari luas permukaan suau benda yang permukaannya idak berauran. Semenara iu, luas permukaan benda yang berauran dapa kia cari dengan menggunakan rumus. Rumus-rumus ersebu akan kia pelajari pada uraian beriku. Uraian Maeri. Kubus Perhaikan gambar kubus di samping. pabila panjang rusuk kubus dinyaakan sebagai a maka unsur-unsur pada kubus dapa kia enukan sebagai beriku. iagonal Sisi a a a engan menggunakan rumus Pyhagoras, maka dapa dihiung panjang diagonal sisi dengan rumus: = + = = a iagonal Ruang Panjang merupakan diagonal ruang yang dapa dihiung dengan menggunakan rumus: = + = + = = a Permukaan Luas Kubus erdiri aas enam buah sisi yang berbenuk persegi, masing-masing sisinya memiliki luas L = s s. Jadi, luas enam sisi pada kubus sebagai beriku. Luas permukaan = 6 s s 134 eomeri imensi Tiga
onoh: Perbandingan panjang rusuk kubus. dengan panjang rusuk kubus KLMN.PQRS adalah 1 : 2. Jumlah luas permukaan kedua kubus ersebu adalah 270 cm 2. Tenukan panjang rusuk iap-iap kubus! Penyelesaian: imisalkan panjang rusuk. adalah a cm, dan panjang rusuk kubus KLMN.PQRS adalah 2a cm. Luas permukaan kubus. = 6a 2 Luas permukaan kubus KLMN.PQRS = 6(2a) 2 = 24a 2 Jumlah luas permukaan kedua kubus = 6a 2 + 24a 2 = 30a 2 Jumlah luas permukaan kubus kedua kubus sama dengan 270 cm 2 sehingga: 30a 2 = 270 a 2 = 9 a = 3 Jadi, panjang rusuk kubus. adalah 3 cm dan panjang rusuk kubus KLMN.PQRS adalah 6 cm.. alok Perhaikan gambar di samping. alok memiliki ukuran panjang (p), lebar (l), dan inggi (). pabila bangun balok dibenangkan menjadi sau bidang daar diperoleh jaring-jaring balok sebagai beriku. Menghiung luas permukaan balok ekuivalen dengan menggunakan hiungan luas jaring-jaring balok yaiu: Luas jaring-jaring = (2 p ) + (2 l ) + 2 (p l) = 2[(p ) + (l ) + (p l) Jadi, diperoleh rumus luas permukaan balok sebagai p beriku. Luas permukaan = 2[(p ) + ( l) + (l p)] l onoh: Sebuah kardus pembungkus oba berukuran panjang 30 cm, lebar 20 cm, dan ingginya 5 cm. agian luarnya dilapisi keras aluminium sampai rapa. iunglah luas keras aluminium minimum yang dibuuhkan! Penyelesaian: ikeahui p = 30 cm, l = 20 cm, dan = 5 cm. Lp = 2(pl + p + l) = 2((30 20) + (30 5) + (20 5)) = 2(600 + 150 + 100) = 1.700 Jadi, keras aluminium yang dibuuhkan seluas 1.700 cm 2. p l. Prisma (Tegak) Mencari luas permukaan bangun ruang prisma adalah menghiung iap-iap luas alas, luas uup, dan luas sisisisi egak pada prisma segi-n. 1. Prisma Segiiga Prisma segiiga di bawah memiliki ukuran-ukuran sebagai beriku. a = alas segiiga pada sisi alas dan uup s = inggi segiiga = inggi prisma c = sisi miring pada alas segiiga s c a Maemaika XI SMK/MK 135
Luas permukaan prisma segiiga adalah jumlahan luas iap-iap sisi alas, sisi uup, dan sisi egak, yang dirumuskan dengan: Luas permukaan = L alas + L uup + Luas sisi egak = + + + + = (a s ) + (a ) + ( s ) + (c ) Jadi, luas permukaan prisma segiiga diberikan sebagai beriku. Luas permukaan = (a s ) + (a ) + ( s ) + (c ) 2. Prisma Segi mpa Prima segi empa disebu juga balok. Jadi, mencari luas permukaan prisma segi empa sama dengan mencari luas permukaan pada balok. 3. Prisma Segi Lima Prisma segi lima erdiri aas dua buah sisi segi lima dan lima buah sisi egak. Semenara iu luas sisi-sisi egak pada prisma adalah: Luas sisi egak = 5 a a Luas segi lima = 5 luas segiiga P = 5 a s P = a s s a Jadi, luas permukaan prisma segiiga diberikan sebagai beriku. Luas permukaan = Luas sisi alas + Luas sisi uup + Luas sisi egak = + = (5 a s ) + (5 a ) = 5a ( s + ) Jadi, luas permukaan prisma segi lima diberikan sebagai beriku. Luas permukaan = 5a ( s + ) onoh: ikeahui prisma egak. dengan merupakan segiiga sikusiku, siku-siku di, dengan = 3 cm, = 4 cm, dan = 5 cm. Jika inggi prisma 4 cm, hiunglah luas permukaan prisma. Penyelesaian: Luas permukaan = 2 La + K + ( + + ) = 2( ) = 2( ) + (3 + 4 + 5) 4 = 2(6) + (12) 4 = 12 + 48 = 60 Jadi, luas permukaan prisma adalah 60 cm 2. 136 eomeri imensi Tiga
. Tabung Tabung adalah bangun ruang yang erdiri aas dua buah lingkaran sebagai sisi alas dan sisi uup sera sau persegi panjang sebagai sisi lengkung. Mencari luas permukaan abung ekuivalen dengan mencari luas keiga sisi ersebu yang dirumuskan dengan: Luas permukaan = (2 luas lingkaran) + luas persegi panjang = (2 π r r) + (p l) = 2π (r 2 + (r )) Jadi, luas permukaan abung dirumuskan sebagai beriku. d r Luas permukaan = 2π (r 2 + (r )) onoh: ikeahui jari-jari abung adalah 14 cm dan ingginya 1 m. iunglah luas permukaan abung. Penyelesaian: ikeahui: r = 14 cm; = 1 m = 100 cm Luas permukaan abung = 2πr (r + ) = 2 14 (14 + 100) = 88 114 = 10.032 Jadi, luas permukaan abung 10.032 cm 2. T. Limas Perhaikan gambar di samping! Luas permukaan bangun ruang limas sama dengan mencari luas alas segi-n dijumlah luas sisi egak berbenuk segiiga sama kaki yang banyaknya n. 1. Limas Segiiga angun ruang limas segiiga erdiri aas empa buah sisi yang berbenuk segiiga. aerah yang diarsir merupakan sisi alas dari limas segiiga. Luas permukaan limas dirumuskan dengan: Luas empa segiiga = 4 luas segiiga = 4 a = 2 a Jadi, luas permukaan limas segiiga dirumuskan sebagai beriku. Luas permukaan = 2 a a 2. Limas Segi mpa angun ruang limas segi empa erdiri aas sisi alas berbenuk segi empa (baik persegi aau persegi panjang) dan empa buah segiiga adalah a dan inggi segiiga adalah s (s = + ). T s Maemaika XI SMK/MK 137
Luas permukaan segi empa dirumuskan sebagai beriku. Luas alas = a a a Luas sisi egak: Ls = a s Luas permukaan = luas alas + luas sisi egak s = (a a) + (4 Ls) = a 2 + (4 a s) = a 2 + 2a s Jadi, luas permukaan limas segi empa diberikan sebagai beriku. Luas permukaan = a 2 2as onoh: ikeahui limas segi empa berauran T. dengan panjang rusuk = 12 cm, dan panjang rusuk sisi T = 9 cm, berapa luas permukaannya? Penyelesaian: T Misalnya s = inggi segiiga egak s = = = = 3 Luas permukaan = ( + 2) = 12(12 + 2 3 ) 12 = (144 + 72 ) Jadi, luas permukaan limas T. adalah (144 + 72 ) cm 2.. Kerucu Perhaikan gambar di samping! Kerucu di samping memiliki unsur-unsur sebagai beriku. Y = iik puncak kerucu = inggi kerucu r = jari-jari alas kerucu s = apoema (sisi miring segiiga PO) kerucu 9 s r s pabila dibenangkan, kerucu memiliki jaring-jaring seperi gambar di samping. Luas permukaan kerucu dihiung dengan menjumlahkan luas selimu dan luas alas kerucu. Luas permukaan = luas selimu + luas alas = (π r s) + (π r r) = π r (s + r) Jadi, luas permukaan kerucu dirumuskan sebagai beriku. Luas permukaan = πr (s + r) r s onoh: Sebuah kerucu mempunyai diameer 12 cm dan ingginya 8 cm, enukanlah luas permukaan kerucu ersebu! Penyelesaian: ubungan apoema, jari-jari alas, dan inggi kerucu adalah: s 2 = 2 + r 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100 138 eomeri imensi Tiga
nilai s = 10 cm iperoleh luas permukaan = π r (s + r) = (3,14) (6) (10 + 6) = 301,44 Jadi, luas permukaan kerucu 301,44 cm 2.. ola Sebuah bola mempunyai jari-jari r maka luas permukaan bola adalah: Luas permukaan = 4πr 2 (dalam dimensi r) Luas permukaan = πd 2 (dalam dimensi d) onoh: ikeahui sebuah kubus. dengan panjang rusuk 7 cm. i dalam kubus iu dibua bola, dengan iik pusa sama dengan iik pusa kubus dan bagian luar bola menyinggung bidang-bidang sisi kubus. Tenukan luas permukaan bola dalam kubus! Penyelesaian: Jari-jari bola dalam = panjang rusuk = Luas permukaan bola = 4πr 2 = 4 ( ) = 154 Jadi, luas permukaan bola dalam kubus adalah 154 cm 2. Laihan 2 Kerjakan soal-soal beriku! 1. Perbandingan panjang, lebar, dan inggi balok. sama dengan 3 : 2 : 1. Luas permukaan balok iu sama dengan 88 cm 2. iunglah panjang, lebar, dan inggi balok! 2. Sebuah prisma egak alasnya berbenuk persegi dengan panjang sisi 21 cm. ila inggi prisma ersebu 10 cm, enukan luas permukaan prisma! 3. Suau limas alasnya berbenuk persegi panjang sisi alas 16 cm. ila inggi limas ersebu 6 cm, hiunglah luas permukaan limas! 4. Sebuah abung anpa uup erbua dari seng dengan jari-jari alasnya 14 cm dan ingginya 15 cm. Jika π = hiunglah luas seng yang diperlukan unuk membua abung ersebu! 5. Sebuah kerucu berdiameer 10 cm dan ingginya 8 cm. Jika π = 3,14, hiunglah luas selimu kerucu! 6. iunglah luas permukaan bola jika dikeahui jari-jari bola adalah 10 cm! 7. las sebuah limas berbenuk persegi, dengan panjang rusuk alas 12 cm. Jika inggi limas 8 cm, hiunglah jumlah luas sisi egaknya! 8. ari suau abung dikeahui inggi dan jari-jari alasnya adalah masingmasing 7 cm dan 10 cm. iunglah luas selimu dan luas abung! 9. ikeahui limas segi empa T. dengan T, T, dan T. Panjang = = 10 cm dan T = 24 cm. iunglah luas permukaan limas! 10. Suau limas T. yang alasnya berbenuk persegi panjang dengan = 8 cm dan = 6 cm, rusuk egak limas sama panjang yaiu T = T = T = T = 13 cm, hiunglah inggi dan luas permukaan limas! Tugas Kelompok ualah kelompok dengan anggoa 4 orang. ersama dengan kelompok kalian, kunjungilah oko, mini marke, aau supermarke. aalah produk-produk dengan kemasan berbenuk bola, kubus, balok, kerucu, prisma, limas, aau abung. ua pula kesimpulan melipui: bangun ruang yang paling banyak digunakan sebagai kemasan produk, bangun ruang yang paling sediki digunakan sebagai kemasan produk. Maemaika XI SMK/MK 139
Volume angun Ruang Pada beranda kegiaan belajar 2 kia elah mengenal bangun-bangun ruang plaonik. Para ilmuwan sains sudah menemukan bahwa bangunbangun ruang plaonik sangalah pening. rinya dalam susunan aom-aom. Semua za erdiri aas aom-aom yang membenuk molekul. Sebagai conoh srukur krisal garam seperi gambar di samping. Suau krisal garam erdiri aas aom-aom sodium dan klorin yang saling erika dalam srukur suau kubus. Jika bangun daar pada dimensi dua selalu dapa kia hiung luasnya, demikian pula bangun-bangun pada dimensi iga dapa kia hiung volumenya. Rumus mencari volume bangun berauran akan kia pelajari pada uraian beriku. Sumber: www.wikipedia.com Srukur aom garam Uraian Maeri. Kubus Volume kubus dirumuskan sebagai beriku. V = a a a = a 3 a a V = volume kubus a = panjang rusuk kubus. Prisma (Tegak) Volume prisma dirumuskan sebagai beriku. V = L a V` = volume prisma L a = Luas alas = inggi prisma alas 140 eomeri imensi Tiga
. Kerucu Volume kerucu dirumuskan sebagai beriku. V = L a r. ola O alas V = volume kerucu L a = luas alas = inggi kerucu Volume bola dirumuskan sebagai beriku. r V = πr3 aau πd3 Volume embereng bola V = π2 (3r ). alok r = jari-jari bola d = 2r = diameer bola = inggi embereng Volume balok dirumuskan sebagai beriku. l p. Limas erauran T V = p l V p l = volume balok = panjang balok = lebar balok = inggi balok Volume limas berauran dirumuskan sebagai beriku. V = L a alas a a V = volume limas L a = luas alas, a a = inggi limas. Tabung d Volume abung dirumuskan sebagai beriku. V = L a r alas V = volume abung L a = luas alas, π r r = inggi abung Maemaika XI SMK/MK 141
onoh: 1. ikeahui prisma segiiga berauran. mempunyai dimensi panjang = 10 cm dan inggi prisma 12 dm. iunglah volume prisma ersebu! 10 cm 12 dm Penyelesaian: apa diambil kesimpulan bahwa alas berupa segiiga sama sisi. Maka luas alas: Panjang = = = 5 Luas alas = = 10 5 = 25 Volume prisma = L a = 25 120 = 3.000 Jadi, volume prisma. 3.000 cm 3. 2. ikeahui kubus. dengan panjang rusuk 6 cm. iunglah: a. volume limas., b. volume limas.. Penyelesaian: a. Luas bidang alas = L 1 = ' 10 cm = 6 6 = 18 cm2 Tinggi limas = 6 cm (panjang rusuk kubus) V limas = L 1 = 18 6 = 36 Jadi, volume limas. adalah 36 cm 3. b. Luas bidang alas = L 2 = = 6 6 = 36 cm 2 Tinggi limas. = = 6 cm V limas. = L 2 = 36 6 = 72 Jadi, volume limas. adalah 72 cm 3. 3. Sebuah kerucu mempunyai diameer 12 cm dan ingginya 8 cm, enukanlah volume kerucu ersebu! Penyelesaian: ikeahui: r = d = 12 = 6 cm = 8 cm 142 eomeri imensi Tiga
V = π r2 = 3,14 62 8 = 301,44 Jadi, volume kerucu adalah 301,44 cm 3. 4. ikeahui sebuah kubus. dengan panjang rusuk 7 cm. i dalam kubus iu dibua bola, dengan iik pusa sama dengan iik pusa kubus dan bagian luar bola menyinggung bidang-bidang sisi kubus. Tenukan volume bola dalam kubus iu! Penyelesaian: Panjang rusuk = 7 cm maka diameer = 7 cm, dan jari-jarinya = cm. Volume bola = πr3 = = 179,67 Jadi, volume bola dalam kubus adalah 179,67 cm 3. Laihan 3 Info Sumber: www.edu-mah.co.id irard esargues Maemaikawan Prancis yang bernama irard esargues (1591 1661) adalah salah sau orang perama yang memperlihakan secara geomeris bagaimana benda-benda seharusnya digambarkan agar ampak berdimensi iga. spek ini dipakai dalam seni yang disebu perspekif. Kerjakan soal-soal beriku! 1. Prisma egak alasnya berbenuk segiiga siku-siku dengan panjang rusukrusuk alasnya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika inggi prisma iu 10 cm, berapakah volume prisma ersebu? 2. Jumlah luas semua sisi sebuah kubus 600 cm 2. erapakah volume kubus ersebu? 3. Sebuah angki berbenuk abung berisi 720 lier air. Jika inggi air dalam angki 70 dm, berapakah jari-jari angki ersebu? 4. ikeahui limas segi empa berauran T. dengan panjang T = = 100 cm. erapa lierkah volume limas ersebu? 5. Volume limas segi empa berauran adalah 300 lier dan inggi limas adalah 3 dm. Tenukanlah panjang rusuk-rusuk limas ersebu! 6. Keliling alas kerucu adalah 16π dm dan apoemanya 10 dm. erapa lierkah volume kerucu iu? 7. ikeahui prisma egak segiiga dengan sisi siku-siku di. Panjang = 12 cm dan = 9 cm. ila panjang rusuk egak = 2 maka hiunglah volume prisma ersebu! 8. Suau balok mempunyai panjang 14 dm dan lebar 50 cm. Jika luas permukaan balok adalah 302 dm 2, enukan unsur-unsur balok beriku! a. inggi balok b. volume balok 9. Volume sebuah kerucu 100π cm 3 dan ingginya 12 cm. erapakah panjang jari-jari lingkaran alas kerucu ersebu? (jika π = 3,14) 10. ikeahui sebuah kubus dengan luas permukaan sama dengan 96 cm 2. iunglah volume kubus iu! Maemaika XI SMK/MK 143
ubungan anara Unsur-Unsur dalam angun Ruang Sumber: www.egypian.org Piramida besar Khufu Tiga jenis bangun ruang yang paling mendasar adalah kubus, piramida, dan bola. Teori dan pemahaman mengenai keiga bangun ini sanga pening dalam bidang sains dan eknik. Sebagai conoh pembangunan piramida oleh bangsa Mesir Kuno. Peninggalan erbesar pada masa iu adalah Piramida esar Khufu di izeh yang memiliki rusuk alas berukuran 230 m (760 kaki) dan inggi 146 m (480 kaki). Keempa sisi pada piramida memiliki posisi miring dengan sau iik puncak sebagai iik poongnya. Kaa sisi, bangun, bidang, rusuk, alas, dan iik sau dengan yang lainnya saling berhubungan. Unuk mengeahui hubunganhubungan ersebu erlebih dahulu kia pelajari uraian beriku. Uraian Maeri. Pengerian Tiik, aris, dan idang Info 1. Tiik Sebuah iik hanya dapa dienukan oleh leaknya, eapi idak mempunyai ukuran (idak berdimensi). Sebuah iik digambarkan dengan sebuah nokah, kemudian dibubuhi nama dengan huruf kapial (,,, dan seerusnya). Sumber: www.egypian.org uclid Tiik-iik, garis-garis, sudusudu, dan bidang dijadikan sebagai dasar dari benukbenuk geomeris. Pembahasan mengenai geomeri perama kali dikenalkan oleh uclid. 2. aris aris hanya mempunyai panjang saja, idak mempunyai ukuran lebar. Nama garis dienukan dengan menyebukan nama dengan huruf kecil aau dengan menyebukan segmen garis dari iik pangkal dan iik ujung. Sebagai conoh k, l, m. 3. idang Sebuah bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama bidang diambil berdasarkan huruf kapial di iik-iik sudunya aau huruf Yunani misalnya α, β, δ. α k β l α m 144 eomeri imensi Tiga
. ksioma aris dan idang i dalam eori dimensi iga, erdapa aksioma (keeapan umum) yang berlaku sebagai beriku. ksioma 1 Melalui dua buah iik sembarang hanya dapa dibua sebuah garis lurus. ksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua iik persekuuan maka garis iu seluruhnya erleak pada bidang.. Kedudukan Tiik Terhadap aris dan Tiik Terhadap idang 1. Kedudukan Tiik Terhadap aris a. Tiik erleak pada garis. Jika sebuah iik dilalui garis maka iik iu erleak pada garis. b. Tiik di luar garis. Jika sebuah iik idak dilalui garis maka iik iu erleak di luar garis. Inisari imensi di dalam geomeri anara lain: imensi sau (berbenuk garis) imensi dua (berbenuk bidang) α 2. Kedudukan Tiik erhadap idang a. Tiik erleak pada bidang. α Jika sebuah iik dapa dilalui suau bidang maka iik erleak pada bidang ersebu. imensi sau (berbenuk ruang) Y X imensi selanjunya dipelajari pada pembahasan geomeri opologi unuk ingka lebih lanju. Z b. Tiik di luar bidang. α Jika sebuah iik idak dapa dilalui suau bidang maka iik iu erleak di luar bidang. Maemaika XI SMK/MK 145
. Kedudukan aris Terhadap aris dan idang 1. Kedudukan aris Terhadap aris Kedudukan garis erhadap garis yang lain dalam sebuah bangun adalah berpoongan, sejajar, aau bersilangan. ua garis berpoongan: ua buah garis dikaakan berpoongan jika keduanya erleak pada sebuah bidang dan mempunyai sau iik persekuuan. ua buah garis sejajar: ua buah garis dikaakan sejajar jika keduanya erleak pada sebuah bidang dan idak mempunyai sau pun iik persekuuan. ua garis saling bersilangan: ua buah garis dikaakan bersilangan (idak berpoongan dan idak sejajar), jika kedua garis α iu idak erleak pada sebuah bidang. 2. Perpoongan aris dengan idang Jika ada sebuah garis dan sebuah bidang maka akan diperoleh 3 kemungkinan sebagai beriku. a. aris erleak pada bidang, jika semua iik pada garis iu erleak pada bidang ersebu. α b. aris sejajar bidang, jika anara garis dan α bidang idak mempunyai sau pun iik persekuuan. c. aris memoong bidang, jika anara garis dan α bidang hanya mempunyai sau iik perpoongan. 146 eomeri imensi Tiga
. Kedudukan idang Terhadap idang yang Lain Kedudukan bidang erhadap bidang lain ada iga kemungkinan, yaiu berimpi, sejajar, dan berpoongan. ua bidang berimpi: ua bidang saling berimpi jika seiap iik yang erleak α pada bidang yang sau juga erleak pada bidang yang lain. β ua bidang sejajar: ua bidang saling sejajar jika kedua bidang iu idak mempunyai sau pun iik persekuuan. ua saling berpoongan: ua bidang dikaakan berpoongan jika kedua bidang iu mempunyai iik persekuuan.. Jarak Tiik ke Tiik, Tiik ke aris, Tiik ke idang Kedudukan iik erhadap iik yang lain, garis, dan bidang ada iga kemungkinan sebagai beriku. 1. Jarak Tiik ke Tiik Jarak iik ke iik dalam suau ruang dengan cara menghubungkan iik iu ke iik yang lain sehingga erjadi sebuah garis. Jarak kedua iik dienukan oleh panjang garis iu. 2. Jarak Tiik ke aris Jarak iik ke garis adalah jarak erpendek anara iik dan garis. Jarak anara iik dan garis dapa dengan menggunakan langkah-langkah sebagai beriku. i. Membua garis dari iik ke garis g, memoong garis di iik P sehingga erjadi garis P yang egak lurus garis g. ii. Jarak iik ke garis adalah panjang dari P. 3. Jarak Tiik ke idang Jarak suau iik ke suau bidang adalah jarak dari iik ersebu ke proyeksinya pada bidang ersebu. Maemaika XI SMK/MK 147
. Jarak aris ke aris, aris ke idang 1. Jarak aris ke aris dalah jarak erpendek anara dua garis iu, aau panjang garis yang memoong egak lurus kedua garis iu. 2. Jarak aris ke idang Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. onoh: ikeahui sebuah kubus dengan panjang rusuk 8 cm, iik P perengahan rusuk, hiunglah: a. jarak iik ke iik, b. jarak iik ke iik, c. jarak iik ke iik, d. jarak iik ke iik, 8 e. jarak iik ke garis, f. jarak iik ke garis, dan g. jarak iik P ke garis. Penyelesaian: a. Jarak iik ke iik = panjang garis = 8 cm. M 8 8 b. Jarak iik ke iik = panjang diagonal = 8 cm. c. Jarak iik ke iik = panjang garis = 8 cm. d. Jarak iik ke iik = panjang garis. = + = + = + = = 8 cm e. Jarak iik ke garis = panjang garis = 8 cm. f. Jarak iik ke garis = O, di mana iik O adalah iik perengahan. Perhaikan ΔO, = 8 cm, O = 4 cm. Maka: O = = = = = 4 cm g. Jarak iik P ke garis adalah PR, dengan R iik di engah garis. Perhaikan ΔRP siku-siku di, R = 4 cm, dan P = 4 cm. PR = + = + = + = = 4 cm. Sudu nara aris dan idang Sudu anara garis dan bidang adalah sudu yang erbenuk anara garis ersebu dengan proyeksi garis pada bidang ersebu. onoh: ikeahui kubus. dengan panjang rusuk 4 cm, enukan besar sudu anara garis dengan bidang. 148 eomeri imensi Tiga
Perhaikan garis, diproyeksikan ke bidang maka iik jauh di M. esar sudu yang erbenuk adalah sudu M. M = = 8 = 4. Perhaikan segiiga M siku-siku di M maka berlaku: sin M = = = maka sudu M = 30 8 8 M 8 I. Sudu anara ua idang Sudu anara dua bidang yang berpoongan pada garis adalah sudu anara dua garis yang erleak bidang yang masing-masing egak lurus pada dan berpoongan pada sau iik. idang V dan W berpoongan pada garis. iperoleh: PQ dan RQ. PQR adalah sudu yang erbenuk anara bidang V dan bidang W. Q V P R W onoh: ikeahui kubus.. Tenukan besar sudu anara bidang dengan bidang! Penyelesaian: dan berpoongan di pada bidang dan pada bidang dan Maka sudu yang dibenuk anara bidang dan bidang adalah = sudu siku-siku = 90 = 45 Laihan 4 Kerjakan soal-soal beriku! 1. ikeahui panjang rusuk kubus. adalah 12 cm. P di engah-engah. iunglah jarak: a. iik ke, b. iik P ke. 2. ikeahui limas segi empa berauran T. dengan rusuk alas 13 cm, inggi limas 10 cm. P di engah-engah T. iunglah jarak P ke bidang alas! 3. Limas egak T. dengan alas berbenuk persegi panjang. Jika panjang = 8 cm, = 6 cm, dan T = T = T = T = 13 cm, hiunglah besar sudu anara T dan bidang alas! 4. ikeahui sebuah kerucu lingkaran egak ingginya 6 cm dan diameer alas 6 dm. Tenukan besar sudu anara apoema kerucu dengan bidang alas! 5. ikeahui sebuah balok. dengan panjang rusuk-rusuk = 5 cm, = 4 cm, = 3 cm. iunglah jarak unsur-unsur: a. anara dengan bidang, b. anara dan. Maemaika XI SMK/MK 149
Rangkuman 1. Luas sisi (permukaan) unuk kubus, balok, prisma, abung, limas, kerucu, dan bola sebagai beriku. a. Luas permukaan kubus L = 6 a 2 b. Luas permukaan balok L = 2(p + p + ) c. Luas permukaan prisma L = 2 La + K dimana La = luas alas K = keliling alas = inggi prisma d. Luas permukaan abung L = 2π r(r + ). e. Luas permukaan limas segi empa berauran L = 2a + a 2 L = a(2 + a) dimana a = panjang rusuk alas = inggi sisi egak f. Luas permukaan kerucu L = πr 2 + πrs L = πr(r + s) g. Luas permukaan bola L = 4πr 2 (r = jari-jari bola) L = πd 2 (d = 2r = diameer bola) 2. Volume kubus : V = a a a = a 3 3. Volume balok : V = p l 4. Volume prisma egak: V = La 5. Volume abung : V = La alas berupa lingkaran La = πr 2 (dimensi jari-jari) 6. Volume limas V = La La = πd2 (dimensi diameer) 7. Volume kerucu V = La, alas berupa lingkaran La = πr 2 (dimensi jari-jari) 8. Volume bola V = πr3 La = πd2 (dimensi diameer) 9. Jarak suau iik ke suau bidang adalah jarak erpendek dari iik ersebu ke proyeksinya pada bidang. 10. Sudu anara garis dan bidang adalah sudu anara garis ersebu dengan proyeksi garis pada bidang. 11. Sudu anara dua garis yang erleak pada bidang yang masing-masing egak lurus pada sebuah garis dan berpoongan pada sau iik. 150 eomeri imensi Tiga
valuasi Kompeensi. Pilihlah jawaban yang epa! 1. Suau limas berauran T. di samping memiliki inggi TP = 4 cm. Luas permukaan limas adalah... cm 2. a. (22 6 ) d. (22 + 3 ) b. (17 3 ) e. (22 + 6 ) c. (17 + 6 ) 6 cm 2. Luas permukaan kerucu yang diameer alasnya 14 cm dan ingginya 24 cm adalah.... a. 570 cm 2 d. 682 cm 2 b. 572 cm 2 e. 704 cm 2 c. 594 cm 2 3. Luas bahan yang diperlukan unuk membua pipa saluran udara dari pla seng berdiameer 42 cm dan panjang 2 meer adalah.... a. 0,132 cm 2 d. 2,64 cm 2 b. 0,264 cm 2 e. 5,28 cm 2 c. 1,32 cm 2 4. Sebuah limas berauran dengan alas berbenuk persegi panjang, panjang alas = 16 cm, lebar alas = 12 cm, panjang rusuk egak = 26 cm. Volume limas ersebu adalah.... a. 1.248 cm 3 d. 2.304 cm 3 b. 1.536 cm 3 e. 2.496 cm 3 c. 1.664 cm 3 5. ikeahui prisma., = 8 cm, = 6 cm, dan = dan volume prisma 240 cm 3. Tinggi prisma ersebu adalah.... a. 5 cm b. 10 cm c. 15 cm d. 20 cm e. 30 cm 6. T Limas segiiga berauran T.PQR dengan dimensi inggi limas 12 cm. Jika volume limas ersebu 100 cm 3 maka panjang rusuk alasnya.... a. 6 cm b. 7 cm c. 8 cm d. 9 cm e. 10 cm 7. Volume sebuah kerucu yang berdiameer 21 cm adalah 1.155 cm 3, inggi kerucu adalah.... a. 6 cm d. 11 cm b. 8 cm e. 12 cm c. 10 cm 2 cm 8. Volume sebuah bola yang jari-jarinya 10 cm adalah.... a. 2.364,3 cm 3 d. 5.544,7 cm 3 b. 3.872,6 cm 3 e. 6.217,6 cm 3 c. 4.186,7 cm 3 Maemaika XI SMK/MK 151
9. T Volume sebuah kerucu yang berjari-jari 14 cm adalah 7.392 cm 3. Tinggi kerucu adalah.... a. 10 cm b. 11 cm c. 12 cm d. 13 cm 14 cm e. 14 cm 10. Pada kubus. kedudukan bidang dengan bidang adalah.... a. berpoongan di sau iik b. berimpi c. sejajar d. egak lurus e. berpoongan pada sau garis. Kerjakan soal-soal beriku! 1. Perhaikan gambar di samping! pabila luas daerah yang diarsir adalah 36 cm 2, enukan luas permukaan kubus! 2. Pada balok di samping, dikeahui perbandingan : : = 3 : 4 : 5. Jika dikeahui luas selimu balok 376 dm 2, enukan volume balok! 3. Perhaikan gambar di samping! Tenukan luas permukaan bangun di samping! 60 cm 20 cm 4. 7 dm Sebuah empa dudukan iang bendera dirancang seperi gambar di samping. 5 dm Tenukan volume empa dudukan iang bendera ersebu! 15 dm 0,5 dm 5. iunglah jarak dari unsur-unsur beriku! a. iik ke iik b. iik ke garis c. iik ke iik d. ruas segiiga e. jarak iik ke bidang f. jarak bidang ke bidang g. jarak iik ke garis 152 eomeri imensi Tiga