Kursus Statistika Dasar Bagian Statistika Deskriptif Pengelompokan Statistika Statistika Deskriptif: statistika yang menggunakan data pada suatu kelompok untuk menjelaskan atau menarik kesimpulan mengenai kelompok itu saja Ukuran Lokasi: mode, mean, median, dll Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks Statistika Inferensi (Statistika Induksi): statistika yang menggunakan data dari suatu sampel untuk menarik kesimpulan mengenai populasi dari mana sampel tersebut diambil Pengelompokan Statistika lainnya Statistika Parametrik: Menggunakan asumsi mengenai populasi Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan level data interval atau rasio Statistika Nonparametrik (distribution-free statistics for use with nominal / ordinal data): Menggunakan lebih sedikit asumsi mengenai populasi (atau bahkan tidak ada sama sekali) Membutuhkan data dengan level serendahrendahnya ordinal (ada beberapa metode untuk nominal) Istilah-istilah Dasar Jenis Data Populasi: sekumpulan orang atau objek yang sedang diteliti Sensus: pengumpulan data pada seluruh populasi Sampel: sebagian dari populasi yang, apabila diambil dengan benar, merupakan representasi dari populasi Parameter: ukuran deskriptif dari populasi Statistik: ukuran deskriptif dari sampel Bilangan menunjukkan perbedaan Pengukuran dapat digunakan untuk membuat peringkat atau mengurutkan objek Perbedaan bilangan mempunyai arti Mempuyai nol mutlak dan rasio antara dua bilangan mempunyai arti Nominal Ordinal Interval Rasio
Distribusi Frekuensi Ungrouped Data vs Grouped data Range Class midpoint Frekuensi Relatif Frekuensi Kumulatif Histogram (contoh MINITAB) Data: 6, 65, 7, 73,, (tulis di C) MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> Display Descriptive Statistics Histogram of Nilai 7 Boxplot of Nilai 6 5 Frequency 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Nilai Descriptive Statistics: Nilai Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean Nilai 4 7.83 74.5 73.39 8.37.9 3 4 5 6 Nilai 7 8 9 Variable Minimum Maximum Q Q3 Nilai 35.. 59.5 89.5 Informasi di dalam Boxplot: Minimum, Q, Median (Q), Q3, dan Maksimum
Ogive (Poligon Frekuensi Kumulatif) MINITAB: Graph -> Histogram 4 Pie Chart MINITAB: Graph -> Pie Chart Cumulative Frequency 3 3 4 5 6 7 Nilai 8 9 Ogive Pie Chart Pemilih Bar Chart C (5, 35.5%) B ( 5,.8%) A ( 35, 8.3%) MINITAB: Graph -> Chart E ( 68, 6.%) D (, 8.4%) 3
5 Stem-and-leaf MINITAB: Graph -> Character Graph -> Stem-and-leaf Sum of Pemilih 5 A B C Calon D E Character Stem-and-Leaf Display Stem-and-leaf of HrgTanah N = 5 Leaf Unit = 4 5 5 5 3 6 5 7 7 699 8 455555669 (8) 9 345555556779 8 4 3 3 4 5 Ukuran Lokasi pada data tak terkelompok Mean = rata-rata hitung = rata-rata µ = rata-rata populasi, X = rata-rata sampel Median = nilai tengah dari data yang diurutkan Mode = nilai yang paling sering terjadi pada suatu data Persentil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok data menjadi bagian Quartil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian atau subkelompok Ukuran Lokasi pada data tak terkelompok (lanjutan) Mencari persentil ke p: - Urutkan n data dari kecil ke besar - Hitung lokasi persentil i = (p/) * n - Jika i = bil bulat, maka persentil ke p adalah (bil ke i + bil ke i+) / - Jika i bukan bil bulat, maka persentil ke p adalah bil ke int(i) + Ukuran Variabilitas pada data tak terkelompok Range = maksimum minimum Interquartile range = Q 3 Q Q 3 = persentil ke 75, Q = persentil ke 5 Deviasi absolut rata-rata Varians populasi σ = ( X µ N ) X µ MAD = N = X N ( ΣX ) N 4
Ukuran Variabilitas pada data tak terkelompok (lanjutan) Varians sampel: ( ( ) X X X S = = n n ΣX ) n Catatan: N = ukuran populasi, n = ukuran sampel Ukuran Variabilitas pada data tak terkelompok (lanjutan) Deviasi Standar Populasi ( X µ) σ = N Deviasi Standar Sampel ( X X ) S = n Note: Koefisien Variasi σ CV = % µ Ukuran Lokasi pada data terkelompok Rata-rata µ grouped f = frekuensi kelas N = frekuensi total fm = = f N fm Ukuran Variabilitas pada data terkelompok Varians populasi dan deviasi standar populasi ( µ ) f M = = ( ΣfM ) fm N σ ; σ = N N σ Varians sampel dan deviasi standar sampel S f ( M X ) = = n fm n ( ΣfM ) n ; S = S Ukuran Bentuk Skewness Ukuran Bentuk (lanjutan) Kurtosis (peakedness of a distribution) Mean Median Mode Mode Median Mean Mean Median Mode simetris Negatively skewed Positively skewed Distr. Platikurtis (datar dan menyebar) Distr. Mesokurtis (normal) Distr. Leptokurtis (tinggi dan tipis) 5
Probabilitas Bagian Probabilitas P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi < P(A) < P(A) = artinya A pasti terjadi P(A) = artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode Klasikal Menggunakan Frekuensi Relatif Kejadian Dengan carai subyektif Metode Klasikal untuk menentukan Probabilitas Metode ini menggunakan: Eksperimen, yaitu proses yang menghasilkan outcome, dan Event, yaitu outcome dari suatu ekrperimen ne P( E) = N N = total banyaknya outcome yang mungkin pada suatu eksperimen n e = banyaknya outcome di mana event E terjadi Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum eksperimen dilakukan (a priori) Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas Pada metode ini probabilitas suatu event didapat dari banyaknya event tersebut terjadi di masa lalu, dibagi dengan banyak total kesempatan event tersebut terjadi. Probabilitas Subyektif Hanya didasarkan atas perasaan, intuisi, atau pengetahuan orang yang menentukan probabilitas Meskipun bukan merupakan cara yang ilmiah, namun pendekatan ini dapat saja menghasilkan probabilitas yang cukup akurat Struktur Probabilitas Eksperimen. Contoh: Mencatat kurs US$ terhadap rupiah setiap hari Senin pukul 9 pagi selama bulan Event. Contoh: mendapati kurs US$ terhadap rupiah kurang dari Elementary Event: adalah event yang tidak dapat dipecah lagi menjadi event lain. Ruang sampel (sample space): adalah daftar atau tabel lengkap yang memuat semua elementary event pada suatu eksperimen. 6
Struktur Probabilitas (lanjutan) Contoh Ruang Sampel: Wawancara dengan pertanyaan jenis penanaman modal (PMA atau PMDN), maka ruang sampelnya adalah: Utk responden: {PMA, PMDN} Utk responden: {PMA-PMA, PMA-PMDN, PMDN-PMA, PMDN-PMDN} Struktur Probabilitas (lanjutan) Union = atau = gabungan. Simbol: U. Intersection = dan = irisan. Simbol:. Contoh: Jika diketahui X = {, 4, 7, 9} dan Y = {, 3, 4, 5, 6}, maka XUY = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 9} X Y = {4} X Y S X Y S XUY X Y Struktur Probabilitas (lanjutan) Mutually Exclusive Events: adalah kejadiankejadian yang tidak mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang satu meniadakan kejadian yang X Y lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi secara simultan. Jadi: P(X Y) = apabila X dan Y mutually exclusive. Struktur Probabilitas (lanjutan) Independent Events: adalah kejadian-kejadian satu sama lain tidak saling mempengaruhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi X Y terjadi atau tidak terjadinya kejadian yang lainnya. Jadi: P(X Y) = P(X) dan P(Y X) = P(Y) apabila X dan Y adalah kejadian independen. P(X Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi apabila diketahui Y telah terjadi. Struktur Probabilitas (lanjutan) Collectively Exhaustive Events: adalah daftar semua kejadian elementer (elementary events) yang mungkin terjadi pada sebuah eksperimen. Jadi sebuah ruang sampel selalu terdiri atas Collectively Exhaustive Events. Komplemen dari kejadian A, diberi notasi A yang artinya bukan A adalah semua kejadian elementer pada suatu eksperimen yang bukan A. Jadi: P(A)+P(A ) = S Aturan hitungan mn Untuk suatu operasi yang dapat dilakukan dengan m cara dan operasi ke dua yang dapat dilakukan dengan n cara, maka kedua operasi dapat terjadi dalam mn cara. Aturan ini dapat dikembangkan untuk tiga atau lebih operasi. A A 7
Pengambilan Sampel dari Suatu Populasi Pengambilan sampel berukuran n dari dari populasi berukuran N dengan penggantian (with replacement) akan menghasilkan N n kemungkinan Pengambilan sampel berukuran n dari dari populasi berukuran N tanpa penggantian (without replacement) akan menghasilkan N N! C n N kemungkinan = = n n!( N n)! Marginal, Union, Joint, and Conditional Probabilities Marginal Probability: P(A) = probabilitas bahwa A terjadi Union Probability: P(AUB) = probabilitas bahwa A atau B terjadi Joint Probability: P(AB) = P(A B) = probabilitas bahwa A dan B terjadi Conditional Probability: P(A B) = probabilitas bahwa A terjadi apabila diketahui B telah terjadi Aturan Perjumlahan Aturan Umum Perjumlahan: P(XUY) = P(X) + P(Y) P(X Y) Aturan Khusus Perjumlahan: Apabila X dan Y adalah kejadian yang mutually exclusive, maka P(XUY) = P(X) + P(Y) Aturan Perkalian Aturan Umum Perkalian: P(X Y) = P(X) * P(Y X) = P(Y) * P(X Y) Aturan Khusus Perkalian: Apabila X dan Y adalah kejadian yang independen, maka P(XUY) = P(X) * P(Y) Aturan untuk Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas bahwa X terjadi apabila diketahui Y telah terjadi P( X Y ) P( X )* P( Y X ) P ( X Y ) = = P( Y ) P( Y ) Contoh Soal tentang Probabilitas Di sebuah kota, diketahui bahwa: 4% penduduk mempunyai sepeda motor 9% mempunyai sepeda motor dan mempunyai mobil % mempunyai mobil Apakah kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil di kota tersebut independen? Gunakan data di atas untuk menjawabnya. Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak berapa probabilitas bahwa ia memiliki sepeda motor dan tidak memiliki mobil? Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak dan diketahui ia memiliki mobil, berapa probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor? Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak, berapakah probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor dan tidak memiliki mobil? 8
Jawab S M..9.3.56 S = memiliki sepeda motor; M = memiliki mobil P(S) =.4, P(SM) =.9, P(M) =.. Karena P(S)P(M) P(SM), maka kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil tidak independen. dengan diagram Venn didapatkan P(SM ) =.. P(S M) = P(S M) / P(M) =.3 /. =.364 P(S M ) =.56 (dari diagram Venn) Contoh Soal tentang Probabilitas Hasil sebuah survai yang menanyakan Apakah Anda mempunyai komputer dan/atau kalkulator di rumah? adalah sebagai berikut. Apakah kepemilikan kalkulator dan kepemilikan komputer independen? Kalkulator Komputer Ya Tdk Ya 46 Tdk 3 5 Jawab A = memiliki komputer; B = memiliki kalkulator Kalkulator Ya 46 57 Komputer Ya Tdk 49 P(A) = =.653 75 57 P(B) = =.76 75 46 P(AB) = =.63 75 P(A)*P(B) =.653*.76 =.4968 P(AB) A dan B tidak independen Tdk 3 5 8 49 6 75 Bagian 3 Variabel Acak Diskret Variabel Acak (X) Variabel Acak Diskret Variabel acak diskret: X hanya mempunyai sejumlah terbatas nilai Variabel acak kontinu: X dapat mempunyai tak hingga nilai Rata-rata µ = E( X ) = X * P( X ) P(X) f(x) Deviasi Standar σ = ( X µ ) * P( X ) P(X ) = X f ( x) dx = X 9
Distribusi Binomial Distribusi Binomial n = # trials X = # sukses p = probabilitas sukses pada satu trial q = - p = probabilitas gagal pada satu trial Rata-rata Distribusi Binomial µ = n* p Deviasi Standar Distribusi Binomial n! P( X ) = p X!( n X )! σ = X X q n n * p * q Distribusi Binomial (lanjutan) Terjadi pada: eksperimen yang terdiri atas n trials, dengan setiap trial mempunyai probabilitas sukses p (konstan) MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Binomial Distribusi Poisson Distribusi Poisson: X λ e P( X ) = X! X =,,,. λ = rata-rata e =.788 Rata-rata Distribusi Poisson µ = λ Deviasi standar Distribusi Poisson σ = λ Distribusi Poisson merepresentasikan kejadian yang amat jarang. X = banyaknya kejadian tersebut terjadi pada suatu waktu atau area MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Poisson λ Bagian 4 Distribusi Normal dan Normal Standar Distribusi Normal (=Gauss) Parameter: µ = rata-rata, dan σ = deviasi standar f(x) Variabel Acak Kontinu µ X
Distribusi Normal dan Normal Standar (lanjutan) Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = dan σ =. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke yang terdistribusi normal standar: µ z = X σ MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Normal Pilihan Distribusi Probabilitas di dalam MINTAB Calc -> Probability Distribution -> [nama distribusinya, misalnya Normal]. Ada 3 Pilihan: Probability Density Cumulative Probability Inverse Cumulative Probabilty Probability Density Cumulative Probability f(x) f(x) f(input) = output (untuk kontinu) P(X = input) = output (untuk diskret) P(X < input) = output output output µ input X µ input X Inverse Cumulative Probabilty f(x) P(X < output) = input Contoh Soal Distribusi Kontinu Contoh: Diketahui X terdistribusi normal dengan rata-rata dan deviasi standar 5. Carilah x agar P(X>x) = 5%. intput µ output X Ans: x = 44.678
Pendekatan Normal untuk Binomial Binomial: diskret, parameter n dan p Normal: kontinu, parameter µ dan σ Untuk n besar, distribusi binomial akan menyerupai distribusi normal. Jadi untuk masalah binomial dengan n besar, dapat didekati dengan distribusi normal Ingat: Untuk diskret: P(X=x) = ada nilai Untuk kontinu: P(X=x) = Contoh Pendekatan Normal untuk Binomial Untuk X yang terdistribusi bimonial dengan n = 8 dan p =.3, carilah P(X=4) P(X>3) P(3<X<34) P(X<33) Jawab: Untuk distribusi bimonial: Rata-rata = µ = np = 8*.3 = 4 Deviasi Standar = σ = n * p * q = 4.988 Rata-rata dan deviasi standar tersebut digunakan sebagai parameter distribusi normal 3.5 4 4.5 4 P( X = 4) = P(3.5 < X < 4.5) = P( < < ) 4.988 4.988 diskret kontinu = P(-. < <.) = *.478 =.956 koreksi kontinuitas Cek dengan rumus Binomial: 8! 4 P( X = 4) =.3.7 4!(8 4)! 8 4 =.96953 3.5 4 P( X > 3) = P( X > 3.5) = P( > ) 4.988 diskret kontinu = P( >.5858) =.5.444 =.559 koreksi kontinuitas 3.5 4 34.5 4 P(3 < X 34) = P(3.5 < X < 34.5) = P( < < ) 4.988 4.988 = P(.5858 < <.567) diskret kontinu =.4948.444 =.57 koreksi kontinuitas 33.5 4 P( X 33) = P( X < 33.5) = P( < ) 4.988 = P( <.377) diskret kontinu koreksi kontinuitas =.5 +.4898 =.9898 Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial (lanjutan) x f ( x) = λe λ Adalah distribusi kontinu dengan x λ > e =.788... Adalah kelompok distribusi dengan parameter = λ yang terjadi pada X = Mempunyai ekor di sebelah kanan Nilai x mulai dari nol sampai tak hingga Puncaknya selalu ada di X = Kurvanya selalu mengecil untuk X yang membesar Menunjukkan distribusi probabilitas untuk waktu antara kejadian acak Rata-rata dan deviasi standarnya: µ = dan λ σ = λ
f(x) λ Distribusi Eksponensial (lanjutan) P( X x ) = e λx Contoh Soal Distribusi Eksponensial Di restoran sebuah kota kecil kedatangan pelanggan dapat dianggap terdistribusi Poisson dengan rata-rata 3. pelanggan per 3 menit. Berapa menit waktu rata-rata antar kedatangan pelanggan di restoran tersebut? Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan pelanggan ada selang jam atau kurang? Berapa probabilitas bahwa dua pelanggan datang dengan selang waktu kedatangan 5 menit atau lebih? x X Jawab µ = /3. =.33. Jadi rata-rata.33*3 menit = 9.39 menit waktu antar kedatangan pelanggan jam = interval, yaitu * 3 menit. Jadi x =. P(X>) = -exp( -3.*) =.998 5 menit =.5 interval. Jadi x =.5. P(X>.5) = exp( -3.*.5) =. Bagian 5 Sampling dan Distribusi Sampling Sampling (pengambilan sampel) Dapat menghemat biaya Dapat menghemat waktu Untuk sumberdaya yang terbatas, pengambilan sampel dapat memperluas cakupan studi Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat menghemat produk Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan, pengambilan sampel adalah satusatunya pilihan Random Sampling Simple random sampling Stratified random sampling Systematic random sampling Cluster random sampling 3
Nonrandom Sampling Convenience sampling Judgement sampling Quota sampling Sampling Distribution (distribusi sampling) untuk Rata-rata Sampel Populasi Rata-rata = µ Deviasi standar = σ Sampel Ukuran sampel = n Rata-rata sampel = X Sampel Sampel Ukuran sampel = n Rata-rata sampel = X Jadi X Variabel acak Ukuran sampel = n Rata-rata sampel = X Teorema Limit Tengah untuk Ratarata Sampling Distribution (distribusi sampling) untuk Proporsi Sampel Sampel Apabila sampel berukuran n besar (>3) diambil dari populasi yang mempunyai rata-rata µ dan deviasi standar σ, maka rata-rata sampel X akan terdistribusi normal dengan rata-rata µ dan deviasi standar σ/ n Khusus: apabila populasinya terdistribusi normal, maka n pada teorema di atas tidak harus besar. Jadi X µ σ n = adalah normal standar Sampel Proporsi = p Λ Ukuran sampel = n pˆ Populasi Proporsi = P Variabel acak Proporsi = Ukuran sampel = n Sampel Proporsi = p Λ p Λ Ukuran sampel = n Teorema Limit Tengah untuk Proporsi Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi yang proporsinya P, dengan n*p > 5 dan n*q > 5, maka proporsi sampel p Λ akan terdistribusi normal dengan rata-rata P dan deviasi standar (P*Q/n). Jadi = pˆ P P* Q adalah Normal standar n Bagian 6 Estimasi untuk Populasi Tunggal 4
Statistika Inferensial Populasi Sampel Estimasi Interval untuk µ Selang kepercayaan σ (-)% untuk µ X ± pada sampel besar: n σ σ Artinya: P µ X X + = ( )% n n Distribusi Normal Standar Simpulkan (estimasi) tentang parameter mendapatkan statistik - Note: apabila σ tidak diketahui dapat digantikan dengan s Estimasi: Estimasi titik, estimasi interval, uji hipotesa Estimasi Interval untuk µ (lanjutan) MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> -sample z Estimasi Interval untuk µ (lanjutan) Output MINITAB: Confidence Intervals The assumed sigma = Variable N Mean StDev SE Mean 95. % CI HrgTanah 5 94. 74.7 7. ( 89.9, 957.5) Estimasi Interval untuk µ, sampel kecil. Asumsi: Populasi terdistribusi Normal Selang kepercayaan (-)% untuk µ pada sampel kecil: s P X t n X t ±,n s n s Artinya: µ X + t = ( )% n Estimasi Interval untuk µ sampel kecil (lanjutan) MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> -sample t - distribusi t dengan df = n- t t t 5
Estimasi Interval untuk µ sampel kecil (lanjutan) Estimasi Interval untuk P Syarat: np>5 dan nq>5 Output MINITAB: Populasi Sampel Confidence Intervals Variable N Mean StDev SE Mean 95. % CI HrgTanah 5 95.7 43.4 6.8 ( 87.9, 87.5) Proporsi = P (akan diestimasi) Ukuran = n proporsi pˆ qˆ = pˆ Selang kepercayaan (-)% untuk P pˆ ± pq ˆ ˆ n pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ Artinya: P ˆ ˆ p P p + = ( )% n n Estimasi Interval untuk Varians Populasi σ Syarat: - Populasi terdistribusi Normal - Sampel besar Populasi Varians Populasi = σ (akan diestimasi) Sampel Ukuran = n Varians sampel = S Estimasi Interval untuk Varians Populasi σ Selang kepercayaan (-)% untuk varians populasi σ ( n ) S ( n ) S, χ χ Artinya ( n ) S P χ, ( n ) S σ χ n = ( )% Estimasi Interval untuk Varians Populasi σ (lanjutan) Distribusi χ f ( χ ) Estimasi Interval untuk Varians Populasi σ (lanjutan) Contoh distribusi χ untuk df = 34 dan =.5 MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Chisquare - χ χ χ dengan derajat bebas = n- 6
Estimasi Interval untuk Varians Populasi σ (lanjutan).5 f ( χ ).95.5 χ.975,34 χ.5,34 χ dengan derajat = 9.863 = 5.966 bebas = 34 Ukuran Sampel dalam Mengestimasi Rata-rata Populasi µ Dalam mengestimasi rata-rata populasi µ, ukuran sampel minimum untuk suatu dan E yang ditetapkan, adalah z / σ n = dengan E = galat estimasi = error of estimation = x µ σ = deviasi standar populasi, = range/4 apabila tidak diketahui = taraf keterandalan ( )% = tingkat keyakinan = level of confidence E Contoh Seorang manajer bank ingin menentukan ratarata deposito bulanan per nasabah di bank tersebut. Untuk itu ia akan mengestimasi dengan menggunakan selang kepercayaan. Berapa ukuran sampel yang harus ia ambil apabila ia ingin yakin 99% dan kesalahannya tidak lebih dari juta rupiah. Ia asumsikan bahwa deviasi standar untuk deposito bulanan semua nasabah adalah milyar rupiah Jawab X = besarnya deposito bulanan nasabah, dinyatakan dalam juta rupiah σ = Tingkat keyakinan 99% =. dan / =.5, sehingga z / = z.5 =.5758 E = Ukuran sampel minimum z / σ.5758* n = = = 65.87 = 66 E Ukuran Sampel dalam Mengestimasi Proporsi Populasi p Dalam mengestimasi proporsi populasi p, ukuran sampel minimum untuk suatu dan E yang ditetapkan, adalah z / pq n = E dengan E = galat estimasi = error of estimation = p = proporsi populasi, pˆ =.5 apabila tidak diketahui (agar n maksimum) q = - p = taraf keterandalan ( )% = tingkat keyakinan = level of confidence p Contoh Seseorang ingin menyelidiki berapa proporsi sekretaris di seluruh perkantoran di Bandung yang diperlengkapi dengan komputer di ruang kerjanya. Ia akan menjawab pertanyaan ini dengan melakukan survai acak. Berapa ukuran sampel yang harus ia ambil apabila ia ingin yakin 95% dan galat pada selang kepercayaan tidak dapat lebih dari.5? Anggap bahwa proporsi aktual tidak diketahui sebelumnya. 7
Jawab p = proporsi sekretaris di seluruh perkantoran di Bandung yang diperlengkapi dengan komputer di ruang kerjanya Karena p tidak diketahui, asumsikan nilainya.5 q = p =.5 Tingkat keyakinan 95% =.5 dan / =.5, sehingga z / = z.5 =.96 E =.5 Ukuran sampel minimum z pq.96 *.5*.5 n = / = = 384.6 385 E.5 = Bagian 7 Uji Hipotesa untuk Populasi Tunggal Uji Hipotesis Hipotesis Riset: menyatakan hubungan Hipotesa nol (H ) vs Hipotesa alternatif (H = H a ) Galat (error) tipe I, galat tipe II, dan power Pertahank an H Tolak H H benar Keputusan benar Galat Tipe I () H salah Galat Tipe II (β) Keputusan benar (power) R = Rejection Region. Apabila statistik uji (test statistic) adadidaerahini, makatolakh. Bila tidak, maka pertahankan H. Beberapa Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik Uji z sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan menggunakan sampel besar Uji t sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan menggunakan sampel kecil pada populasi yang terdistribusi normal Uji t sampel: mengestimasi perbedaan rata-rata populasi independen dengan menggunakan sampel kecil pada populasi yang terdistribusi normal Anova arah (completely randomized design): mempelajari apakah rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda Anova arah (factorial design): mempelajari apakah rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda mempelajari apakah rata-rata r populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda mempelajari apakah efek interaksi ada atau tidak ada Beberapa Uji Hipotesis pada Statistika Nonparametrik Uji U Mann-Whitney: membandingkan dua populasi independen Uji peringkat bertanda Wilcoxon: membandingkan dua populasi yang related Uji K Kruskal-Wallis: menguji apakah c populasi identik atau berbeda pada completely random design Uji Friedman: menguji apakah c populasi identik atau berbeda, pada randomized block design Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z sampel X µ Statistik uji = σ n H : µ = µ vs H : µ > µ - Distribusi Normal Standar R: > 8
Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z sampel (lanjutan) H : µ = µ vs H : µ < µ Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z sampel (lanjutan) H : µ = µ vs H : µ µ Distribusi Normal Standar R: < - Distribusi Normal Standar R - R - R > : Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z sampel (lanjutan) Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value), berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif: Tolak H jika p < Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z sampel (lanjutan) Nilai p Distribusi Normal Standar Untuk kasus: H : µ < µ Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar Nilai p Untuk kasus: H a : µ > µ - Untuk kasus: H : µ µ Jumlahnya = nilai p Contoh Aplikasi Uji sampel Sebuah laporan menyebutkan bahwa ratarata penjualan harian di restoran A tidak melebihi juta rupiah. Untuk menguji apakah hal ini benar, maka dikumpulkanlah data penjualan di restoran A selama 3 hari (dalam juta rupiah). Gunakanlah taraf keterandalan = 5%. Kesimpulan apakah yang dapat ditarik? Data 9.7 8.5 9.8..5 3. 8.7 7.9 8.4 7.6.6.9. 9...5. 5.5 7. 7. 8. 8. 9.5 9.5 7.8.5.. 9.8 7. MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> -sample Note: Hitung dahulu deviasi standar sampel, S 9
Output MINITAB -Test Test of mu =. vs mu <. The assumed sigma =.7 Variable N Mean StDev SE Mean P Masuk 3 9.373.75.33 -..3 Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p =.3 < =.5. Jadi, tolak H. Artinya: rata-rata penjualan di restoran A tidak melebihi juta rupiah. Dengan metode nilai kritis: = -. berada di R, yaitu < -.645. Kesimpulan: tolak H. Artinya: rata-rata penjualan di restoran A tidak melebihi juta rupiah. Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal X µ Statistik uji t = s n H : µ = µ vs H : µ > µ Distribusi t dengan derajat bebas = n- R: t > t Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) H : µ = µ vs H : µ < µ R: t < -t - Distribusi t dengan derajat bebas = n- - t t t, n t Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) H : µ = µ vs H : µ µ R Distribusi t dengan derajat bebas = n- R Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value), berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif: Tolak H jika p < Distribusi t dengan derajat bebas = n- R : t > t t - t t t Nilai p t Untuk kasus: H : µ > µ
Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) Nilai p t -t t Distribusi t dengan derajat bebas = n- Distribusi t dengan derajat bebas = n- t t Untuk kasus: H : µ < µ Untuk kasus: H : µ µ Contoh Aplikasi Uji t sampel Majalah A menyebutkan bahwa rata-rata usia direktur utama bank di sebuah kota 4 tahun. Untuk menguji apakah hal ini benar, maka dikumpulkanlah data acak dari direktur utama bank di kota tersebut. Asumsikan bahwa usia direktur utama bank di kota tersebut terdistribusi normal. Gunakanlah taraf keterandalan = 5%. Kesimpulan apakah yang dapat ditarik? Data: 4, 43, 44, 5, 39, 38, 5, 37, 55, 57, 4 MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> Sample t Jumlahnya = nilai p Output MINITAB T-Test of the Mean Test of mu = 4. vs mu not = 4. Variable N Mean StDev SE Mean T P Usia 45. 7.7.3.88.9 Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p =.9 > =.5. Jadi, pertahankan H. Artinya: data yang ada mendukung pernyataan bahwa rata-rata usia direktur bank di kota tersebut 4 tahun. Dengan metode nilai kritis: t =.88 berada di luar R, yaitu t <.8. Kesimpulan: pertahankan H (sama dengan kesimpulan di atas). Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. np>5 dan nq>5 Statistik uji = pˆ P P Q n Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. np>5 dan nq>5 (lanjutan) H : P = P vs H : P < P H : P = P vs H : P > P Distribusi Normal Standar R: < - Distribusi Normal Standar R: > - -
Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. np>5 dan nq>5 (lanjutan) Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. np>5 dan nq>5 (lanjutan) H : P = P vs H : P P Distribusi Normal Standar Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value), berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif: Tolak H jika p < R R Distribusi Normal Standar R > : - Nilai p Untuk kasus: H : P > P Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. np>5 dan nq>5 (lanjutan) Nilai p Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar - Untuk kasus: H : P < P Untuk kasus: H : P P Contoh Uji Hipotesis Tentang Proporsi Populasi Untuk menyelidiki kebenaran apakah manajer restoran yang wanita di sebuah kota kurang dari 3%, seseorang mengumpulkan data dari restoran di kota tersebut yang diambil secara acak. Hasilnya: ada 5 restoran yang manajernya wanita, sisanya mempunyai manajer pria. Apa kesimpulan dari data tersebut, apabila yang digunakan 5%? Jumlahnya = nilai p Jawab H : P =.3 vs H : P <.3 5 pˆ = =.5.5.3 = =.488.3*.7 di luar R, jadi terima H. Artinya, tidak benar bahwa manajer restoran yang wanita di kota tesrsebut kurang dari 3% R: < -.645.5 -.645 -.488 Distribusi Normal Standar Uji Hipotesis tentang Varians Populasi. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal ( n ) S Statistik uji χ = σ R H : σ = σ vs H : σ < σ f ( χ ) : χ < χ - χ χ dengan derajat bebas = n-
Uji Hipotesis tentang Varians Populasi. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) H : σ = σ vs H : σ > σ f ( χ ) Uji Hipotesis tentang Varians Populasi. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) H : σ = σ vs H : σ σ f ( χ ) - R : χ > χ χ χ dengan derajat bebas = n- R : χ < χ - R : χ > χ χ χ χ dengan derajat bebas = n- Contoh Uji Hipotesis Tentang Varians Populasi Spesifikasi mesin pemotong menyebutkan bahwa deviasi standar hasil potongan kurang dari 6 mm. Untuk menguji hal ini, dikumpulkan 3 hasil potongan mesin tersebut. Dengan menggunakan = %, kesimpulan apakah yang dapat ditarik dari data tersebut. Data 5 6 95 97 8 99 99 3 3 99 99 98 98 94 Jawab N = 3 S = 3.8 (Stat -> Basic Statistic -> Descriptive Statistics) H : σ = 36 vs H : σ < 36 Untuk df = 9 dan =., χ.9,9 = 9.7677 (Calc -> Probability Distribution -> Chisquare) R: χ < χ.9,9 = 9.7677 Statistik uji: (3 )3.8 χ = 6 =.755 Karena.755 < 9.7677, maka tolak H. Artinya, benar bahwa deviasi standar hasil potong mesin tersebut kurang dari 6 mm. Bagian 8 Statistika Inferensi untuk Dua Populasi 3
Statistika Inferensi Tentang Ratarata Dua Populasi Independen Populasi Rata-rata = µ (tidak diketahui) Sampel Ukuran = n (besar) Rata-rata = X Deviasi Standar = S Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar Statistik uji ( µ µ ) X X = σ σ + n n Catatan: Bila deviasi standar populasi σ tidak ada, dapat digantikan dengan deviasi standar sampel S independen Populasi Sampel H : µ µ = µ vs H : µ µ > µ Distribusi Normal Standar R: > Rata-rata = µ (tidak diketahui) Ukuran = n (besar) Rata-rata = X Deviasi Standar = S - Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar (lanjutan) H : µ µ = µ vs H : µ µ < µ Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar (lanjutan) H : µ µ = µ vs H : µ µ µ R: < - - Distribusi Normal Standar R - Distribusi Normal Standar R R > : Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan Selang Kepercayaan (-)% Perbedaan Rata-rata Populasi Independen µ µ dengan menggunakan Sampel Besar Artinya: P ( X X ) ( X X ) ± σ σ + n n σ σ σ σ + µ µ X X ) + + n n n n = ( )% Catatan: Bila deviasi standar populasi σ tidak ada, dapat digantikan dengan deviasi standar sampel S Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama X X ( µ µ ) Statistik uji t = S + n n S = pooled standard deviation S = S ( n ) + S ( n n + n ) 4
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan) H : µ µ = µ vs H : µ µ > µ Distribusi t, df = n + n - Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan) H : µ µ = µ vs H : µ µ < µ R: t < -t Distribusi t, df = n + n - - R: t > t - t t t t Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan) H : µ µ = µ vs H : µ µ µ Distribusi t, df = n + n - Selang Kepercayaan (-)% Perbedaan Rata-rata Populasi Independen µ µ dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua populasi terdistribusi normal dan deviasi standarnya sama ( X X ) ± t S + n n Derajat bebas t adalah n + n - R R Artinya: t - t t R > : t t P ( X X ) t S + n n X µ µ X ) + t S + n n = ( )% Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan Contoh Uji Hipotesis Perbedaan Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung. Untuk menyelidiki kebenaran hal ini, seorang peneliti mengumpulkan data yang diambil secara acak di Jakarta dan di Bandung, sebagaimana tercantum dalam data berikut (dalam juta rupiah). Dengan menggunakan taraf keterandalan = 5%, kesimpulan apa yang dapat ditarik mengenai laporan tersebut di atas. Data Row Jakarta Bandung 5.6 8. 7. 7.9 3 6.8 5.4 4. 4.5 5.5 5.6 6 3.5 6.8 7 6.8 9. 8 5.8 8. 9 9.9 7.. 4.5 5.6 5. 7.7 6.8 3 9.8 6.7 4 6.8 5.7 5 5.8 5.8 6 6.8 5.8 7 8.9.3 8 9.4 4.5 9.5 5.8.6. 9.8 5.8 3 5.5 4 5.6 5 7. 5
Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Bandung dan Jakarta terdistribusi normal) H o : µ J µ B = vs H : µ J µ B > Two-sample T for j vs b N Mean StDev SE Mean j 9..83.63 b 5 6.7.75.35 Difference = mu j - mu b Estimate for difference:.395 95% lower bound for difference:.4 T-Test of difference = (vs >): T-Value = 3.48 P-Value =. DF = 43 Both use Pooled StDev =.9 Kesimpulan: tolak H o : µ J µ B =. Jadi: laporan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung didukung data. Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Bandung dan Jakarta tidak terdistribusi normal) -> Statistika Nonparametrik H o : µ J µ B = vs H : µ J µ B > Mann-Whitney Test and CI: Jakarta, Bandung Jakarta N = Median = 9.5 Bandung N = 5 Median = 5.8 Point estimate for ETA-ETA is. 95. Percent CI for ETA-ETA is (.899,3.8) W = 593.5 Test of ETA = ETA vs ETA > ETA is significant at. The test is significant at. (adjusted for ties) Kesimpulan: tolak H o : µ J µ B =. Jadi: laporan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung didukung data. Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Terkait (related) dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Perbedaan tersebut Terdistribusi Normal Banyak data: n pairs Populasi Yang Terkait (related) Sampel Sampel Before After Hitung d = perbedaan antara before dan after untuk setiap pasang data. Selanjutnya, lakukan uji t sampel dengan data d tersebut. Contoh Aplikasi. Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata Populasi Terkait (related) dengan menggunakan Sampel Kecil Sebuah lembaga kursus Bahasa Inggris mengklaim bahwa apabila seseorang mengikuti kursus selama bulan di lembaga tersebut, maka nilai TOEFL orang tersebut akan meningkat sedikitnya 3. Untuk menguji klaim tersebut, orang diukur nilai TOEFL mereka sebelum dan sesudah mengikuti kursus Bahasa Inggris di lembaga tersebut. Data terlampir. Dengan menggunakan = %, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai klaim lembaga tersebut? Asumsikan perbedaan nilai TOEFL seblm dan sesdh kursus terdistribusi normal Data Row Krywan Before After D Adi 45 47 Budi 53 535 3 3 Cica 4 433 33 4 Dedi 435 45 5 5 Edi 37 45 8 6 Feri 55 57 7 Gina 55 555 3 8 Hedi 378 4 3 9 Iwan 44 48 4 Joni 5 555 45 Kia 5 535 3 Lena 533 566 33 D = after - before Untuk menghitung D, Calc -> Calculator 6
MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> Sample t Output MINITAB T-Test of the Mean Test of mu = 3. vs mu > 3. Variable N Mean StDev SE Mean T P D 3.75 7.77 5.3.54.3 Nilai p =.3 dan =.. Ternyata nilai p >, maka terima H. Kesimpulan: klaim lembaga kursus Bahasa Inggris bahwa setelah kursus peningkatan nilai TOEFL sedikitnya 3, tidak didukung data. Estimasi Interval untuk d, sampel kecil. Asumsi: Populasi terdistribusi Normal Selang kepercayaan (-)% untuk d pada sampel kecil: sd P d t n d ± t,n sd n s d Artinya: d d + t = ( )% n Bagian 9 - distribusi t dengan df = n- Anova t t t Anova Satu Arah (One Way Anova) Membandingkan C (>) populasi independen (completely randomized design) Asumsi: Populasi terdistribusi normal Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi Varians semua populasi sama Anova Satu Arah (lanjutan) Populasi Populasi Populasi C Varians σ Varians σ Varians σ.. Rata-rata = µ Rata-rata = µ Rata-rata = µ C H : µ = µ = µ 3 = = µ C H : sedikitnya ada rata-rata populasi yang berbeda Sampel Ukuran n Sampel Ukuran n.. Sampel C Ukuran n c 7
Anova Satu Arah (lanjutan) Source Treatment (C =Column) Error Jumlah Catatan: DF C - N C N SS SSC SSE SST MS SSC MSC = C SSE MSE = N - C C N = n i i= Derajat bebas F adalah C- (pembilang) dan N-C (penyebut) F MSC F = MSE Contoh Aplikasi Anova Satu Arah Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D. Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta rupiah) untuk masing-masing kemasan dicatat (terlampir). Dengan menggunakan = 5%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik? Data A 5 9 B 8 8 7 9 8 C 8 8 9 D 4 9 Row Sale Tr 5 3 4 9 5 8 6 8 7 7 8 9 9 8 3 3 3 8 3 4 8 3 5 9 3 6 3 7 4 4 8 4 9 4 9 4 4 4 3 4 4 4 MINITAB: Stat -> ANOVA -> One Way Output MINITAB One-Way Analysis of Variance Analysis of Variance for Sale Source DF SS MS F P Tr 3 3..4 3.67.9 Error 56.6.83 Total 3 87.83 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev -----+---------+---------+---------+- 4.5.63 (--------*--------) 6 8.5.378 (------*-------) 3 6 9.5.378 (------*-------) 4 8.5.553 (------*-----) -----+---------+---------+---------+- Pooled StDev =.683 8... 4. Dengan metode nilai p: Nilai p =.9, sedangkan =.5, sehingga nilai p <. Tolak H. Artinya sedikitnya ada satu rata-rata penjualan produk kecantikan yang berbeda dengan yang lainnya Dengan Metode Nilai Kritis F Distribusi F f ( F ) - F dengan derajat bebas = C- dan N-C F R: F > F Pada contoh ini: F = 3.67 dan F.5 = 3.984 untuk derajat bebas 3 dan. Karena F > F.5, maka tolak H (sama dengan kesimpulan di atas) 8
Anova Dua Arah (Two Way Anova) Anova Dua Arah (lanjutan) Membandingkan C (>) populasi sekaligus membandingkan efek blok (randomized block design) Asumsi: Populasi terdistribusi normal Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi Varians semua populasi sama H : µ = µ = µ 3 = = µ C H : sedikitnya ada rata-rata treatment yang berbeda denga yang lain H : µ = µ = µ 3 = = µ R H : sedikitnya ada rata-rata blok yang berbeda dengan yang lain Variabel Blocking Variabel Independen Tunggal......... Catatan: Setiap sel hanya berisi satu pengamatan Anova Dua Arah (lanjutan) Source Block (R =Row) Treatment (C =Column) Error Jumlah DF R - C - (C-)(R-) N SS SSR SSC SSE SST MS SSR MSR = R SSC MSC = C SSE MSE = (C -)(R -) F MSR F = MSE MSC F = MSE N = RC = total banyaknya data yang diamati Untuk pengujian efek Blok: derajat bebas F adalah R- (pembilang) dan (C-)(R-) (penyebut) Untuk pengujian efek Treatment: derajat bebas F adalah C- (pembilang) dan (C-)(R-) (penyebut) Contoh Aplikasi Anova Dua Arah Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan (warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar. Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu minggu untuk masing-masing kemasan dicatat (terlampir). Dengan menggunakan = 5%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik mengenai pengaruh warna kemasan? Data MINITAB: Stat -> ANOVA -> Two Way Kecil Sedang Besar Merah 6 7 9 Kuning 5 9 8 Biru 6 6 Hijau 7 8 Row NSale Ukuran Warna 6 7 3 9 3 4 5 5 9 6 8 3 7 6 3 8 6 3 9 3 3 7 4 8 4 3 4 9
Output MINITAB Two-way Analysis of Variance Analysis of Variance for NSale Source DF SS MS F P Ukuran 8.5 4.5 9..6 Warna 3 6.5.8.3.353 Error 6 9.5.58 Total 44.5 Efek Blok (ukuran kemasan): F = 4.5/.58 = 9.. F.5 = 5.433 untuk df = dan 6. Jadi F > F.5, kesimpulan: Tolak H. Artinya: ada pengaruh ukuran terhadap penjualan. Efek Treatment (warna kemasan): F =.8/.58 =.3. F.5 = 4.757 untuk df = 3 dan 6. Jadi F < F.5, kesimpulan: Pertahankan H. Artinya: tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan Metode nilai p juga akan menghasilkan kesimpulan yang sama. Topik-topik Lanjut Regresi Linear Sederhana Regresi Berganda Deret Waktu Statistika Nonparametrik dan lain-lain Daftar Pustaka Black, K. 3. Business Statistics for Contemporary Decision Making. 4 th Ed. West Publishing Co. MINITAB, Inc. 3. Meet MINITAB Release 4 for Windows Lind, D.A.. Basic Statistics for Business and Economics. 4 nd Ed. McGraw-Hill Companies Terima kasih 3