Statistik Non Parametrik

Transkripsi

1 Statistik Non Parametrik

2 STATISTIK PARAMETRIK DAN NON PARAMETRIK Statistik parametrik, didasarkan asumsi : - sampel random diambil dari populasi normal atau - ukuran sampel besar atau - sampel berasal dari populasi dengan variansi yang sama Statistik non parametrik, didasarkan asumsi : - hampir tidak mengasumsikan persyaratan apapun kecuali distribusinya kontinyu.

3 Statistik non parametrik Statistik Non parametrik Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum. Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll tetapi cukup pada asumsi yang umum Statistik bebas sebaran Uji Statistik Parametrik Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio Biasanya datanya besar : > 30 SI 2 - Statistik Non Parametrik 3

4 Parametrik Parametrik Vs Non Parametrik menuntut ukuran ukuran tingkat taraf tinggi Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. Misal: Ukuran berat (kg) Perbedaan (0-485 kg) sama dengan perbedaan ( kg) Non Parametrik Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi) Misal: Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4) Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8 Rank : SI 2 - Statistik Non Parametrik 4

5 Skala Pengukuran...(review) Nominal Juga disebut sebagai skala kategorik Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada aau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll. Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik. SI 2 - Statistik Non Parametrik 5

6 Ordinal Skala Pengukuran Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan lebih besar atau lebih sedikit. Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk. Product A Product B Product C Brand Rank Very satisfied Not at all satisfied A 1 B 2 C 3 6

7 Skala Pengukuran Interval Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama Tidak memiliki nilai nol mutlak. Contoh : Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F, seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya. 4/25/2014 Multivariate Analysis 7

8 Skala Pengukuran Ratio Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak. Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain. Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian. Contoh : 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter dll 4/25/2014 Multivariate Analysis 8

9 Statistik non parametrik Kelebihan statistik non parametrik 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal 6. Bisa digunakan untuk sampel kecil (misal n=7) walaupun distribusi populasinya tidak diketahui Kekurangan statistik non parametrik 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan SI 2 - Statistik Non Parametrik 9

10 Kekurangan Kekurangan Statistik Non parametrik Bila persyaratan untuk uji parametrik dapat dipenuhi maka efisiensi pengujian non parametrik lebih rendah dibanding uji parametrik. Uji non parametrik tidak dapat digunakan untuk menguji interaksi seperti dalam model analisis variansi Uji non parametrik tidak bisa digunakan untuk membuat prediksi seperti dlm analisis regresi krn asumsi distribusi normal tidak dipenuhi.

11 Statistik non parametrik Kapan digunakan?? Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi Data yang digunakan : data ordinal atau nominal Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi Bila penghitungan harus dilakukan secara manual SI 2 - Statistik Non Parametrik 11

12 Langkah Langkah Pemilihan Metode Statistik 1. Apakah distribusi data diketahui? LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA ya tidak NON PARAMETRIK 2. Apakah data berdistribusi normal? PARAMETRIK ya tidak NON PARAMETRIK 3. Apakah sampel ditarik secara random? PARAMETRIK ya tidak 12 NON PARAMETRIK

13 Langkah Langkah Pemilihan Metode Statistik Apakah varians kelompok sama? LIHAT JENIS DISTRIBUSINYA ya tidak NON PARAMETRIK 5. Bagaimana jenis skala pengukuran data? PARAMETRIK INTERVAL RASIO NOMINAL ORDINAL NON PARAMETRIK SI 2 - Statistik Non Parametrik 13

14 Langkah2 pemilihan metode statistik SI 2 - Statistik Non Parametrik 14

15 Parametrik Vs Non Parametrik SI 2 - Statistik Non Parametrik 15

16 Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Langkah langkah pengujian hipotesis: 1. Menentukan formulasi hipotesis 2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel 3. Menentukan kriteria pengujian 4. Menentukan nilai uji statistik 5. Membuat kesimpulan SI 2 - Statistik Non Parametrik 16

17 Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik Uji Non Parametrik yang akan dipelajari: Uji Tanda (Sign Test) Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Uji Mann-Whitney Uji Kruskal Wallis (H Test) Uji Friedman Uji Cochran (Uji Q) Uji kerandoman (Randomness test/run test) Uji kolmogorov smirnov sampel tunggal SI 2 - Statistik Non Parametrik 17

18 SIGN TEST (UJI TANDA)

19 Uji Tanda (Sign Test) Fungsi pengujian: Untuk menguji perbedaan/perubahan ranking (median selisih skor/ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan Didasarkan atas tanda-tanda positif atau negatif dari perbedaan antara pasangan pengamatan. SI 2 - Statistik Non Parametrik 19

20 SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL Merupakan alternatif uji t dengan 1 sampel dalam uji parametrik Prosedur pengujian H 0 : μ = μ0 (p=0,5) H 1 : μ μ0 (p 0,5) atau μ > μ0 (p > 0,5) atau μ < μ0 (p < 0,5) Tingkat signifikansi Perhitungan data sampel untuk statistik uji Setiap nilai pengamatan yang > μ 0 diganti dengan/diberi tanda + Setiap nilai pengamatan yang < μ 0 diganti dengan/diberi tanda Setiap nilai pengamatan yang = μ 0 diganti dengan 0 dan dihapus dari data n = banyak pengamatan setelah tanda 0 di hapus dari data k = Banyaknya pengamatan bertanda + P = 0,5 ( probabilitas terjadinya tanda + dan adalah sama)

21 SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL Statistik Uji untuk n 20 X ~ berdistribusi binomial dengan parameter k, n, p P hitung = P(X k) = 1 - P(X k-1) untuk n > 20 X ~ berdistribusi Normal (μ, ) dengan μ = np dan sehingga k np np( 1 p) Z hitung np( 1 p) Berdistribusi normal standard (0,1)

22 Daerah kritis untuk n 20 SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL H 1 : μ μ0 daerah penolakan Ho : P hitung < /2 atau P hitung > (1- /2 ) H 1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : P hitung < H 1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : P hitung > (1- ) untuk n > 20 H 1 : μ μ0 daerah penolakan Ho : Z hitung < -Z /2 atau Z hitung > Z /2 H 1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : Z hitung < -Z H 1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : Z hitung > Z

23 Uji Tanda (Sign Test) Menentukan formulasi hipotesis H 0 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama H 1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda Menentukan taraf nyata dan nilai tabel Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi Menentukan kriteria pengujian Pengujian satu sisi H 0 : diterima bila probabilitas hasil sampel H 1 : diterima bila > probabilitas hasil sampel Pengujian dua sisi H 0 : diterima bila 2 KALI probabilitas hasil sampel H 1 : diterima bila > 2 KALI probabilitas hasil sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik 23

24 Uji Tanda (Sign Test) Menentukan nilai uji statistik Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5 r = jumlah tanda yang terkecil Membuat kesimpulan Menyimpulkan H0 diterima ataukah tidak SI 2 - Statistik Non Parametrik 24

25 Contoh 1. Uji Tanda (Sign Test) Pasangan Istri Suami Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secara acak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dan suami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut: Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? Taraf nyata uji 0,01 SI 2 - Statistik Non Parametrik 25

26 Penyelesaian Diketahui : data di atas, = 0,01 Ditanya : apakah ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara istri dengan suami? Jawab : H 0 : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri H 1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami) Taraf nyata uji : 0,01 Kriteria pengujian : H 0 diterima Jika 0,01 probabilitas hasil sampel H 1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik 26

27 Perhitungan Pasangan Istri Suami Selisih r = 3, distribusi Binom dengan n = 9 dan p = 0,5 Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,254 Keputusan, karena 0,01 0,254, maka terima H 0. Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antara suami dan istri SI 2 - Statistik Non Parametrik 27

28 Contoh 2. Uji Tanda (Sign Test) Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik! Pegawai Sebelum kenaikan gaji (X 1 ) Sesudah kenaikan gaji (X 2 ) Selisih (X 2 X 1 ) SI 2 - Statistik Non Parametrik 28

29 Penyelesaian Dari tabel diketahui bahwa tanda (+) ada 7, dan tanda (-) ada 3 Jawab : H 0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja H 1 : Ada peningkatan mutu kerja Taraf nyata uji : 0,05 Kriteria pengujian : H 0 diterima Jika 0,05 probabilitas hasil sampel H 1 diterima Jika 0,05 > probabilitas hasil sampel N = 10, r = 3 dan p = 0,5 Probabilitas hasil sampel: Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,1719 0,05 < H 0 diterima SI 2 - Statistik Non Parametrik 29

30 Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut. Contoh 3. Uji Tanda (Sign Test) Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi. SI 2 - Statistik Non Parametrik 30

31 Contoh Berikut adalah data sampel random dari 15 pengukuran rating octane dalam sejenis bensin yang diamati disuatu daerah tertentu 99,0 102,3 99,8 100,5 99,7 96,2 99,1 102,5 103,3 97,4 100,4 98,9 98,3 98,0 101,6 Ujilah dengan = 0,01 apakah rating octane dari bensin yang diamati tersebut lebih dari 98,0?

32 Contoh Data berikut menunjukkan berapa lama (jam) sebuah alat listrik bisa digunakan sebelum diisi tenaga listrik 1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7 Ujilah dengan = 0,05 bahwa alat tersebut rata-rata dapat bekerja 1,8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik lagi

33 Contoh Seorang pimpinan universitas mengklaim bahwa lulusannya mempunyai ratarata IP lebih dari 3. Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataannya tersebut diambil sampel berukuran 31 mahasiswa yang sudah lulus dan dicatat IP nya. Data yang diperoleh : 3,41 3,02 2,57 2,86 2,78 3,00 2,55 2,13 2,14 2,81 2,85 2,74 2,73 2,94 3,22 3,15 3,00 2,82 3,81 2,77 3,00 3,62 3,16 3,39 3,14 3,21 2,97 3,33 3,03 3,41 3,00 Ujilah dengan = 1 % apakah klaim tersebut bisa diterima

34 SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN Merupakan alternatif uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n 1 = n 2 Prosedur pengujian H 0 : μ 1 = μ2 H 1 : μ 1 μ2 Tingkat signifikansi Perhitungan data sampel untuk statistik uji Hitung d i = selisih (X 1 X 2 ) Jika d i = 0 maka data dibuang n = banyak data d i setelah data dengan d i = 0 dihapus dari data Beri tanda (+) bila d i > 0 dan (-) bila d i < 0 R + = banyaknya data yang bertanda + R - = banyaknya data yang bertanda R = min (R + ; R - ) atau μ 1 > μ2 atau μ 1 < μ2

35 SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN Untuk n 40 ; R~ berdistribusi R, n* (R, n* dari tabel nilai kritis untuk uji tanda) Untuk n > 40; R~ berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standard deviasi Sehingga R Z hitung n 2 R R R 2R n n R n 4 ~ berdistribusi Normal standart N (0;1) 35

36 Daerah kritis untuk n 40 SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN H 1 : μ 1 μ 2 daerah penolakan Ho jika R R, n* H 1 : μ 1 > μ 2 daerah penolakan Ho jika R - R, n* H 1 : μ 1 < μ 2 daerah penolakan Ho jika R + R, n* untuk n > 40 H 1 : μ 1 μ 2 daerah penolakan Ho jika Z hitung < -Z /2 atau Z hitung > Z /2 H 1 : μ 1 > μ 2 daerah penolakan Ho jika Z hitung > Z H 1 : μ 1 < μ 2 daerah penolakan Ho jika Z hitung < - Z 36

37 Contoh Sebuah perusahaan otomotif akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi ban radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopir, mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter) Gunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa. 37

38 Penyelesaian 1. H 0 : μ 1 = μ2 (ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) H 1 : μ 1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) 2. Tingkat signifikansi =0,05 3. Perhitungan : 38

39 Penyelesaian 4. Statistik Uji R + = 13 n = Daerah kritis : Ho ditolak bila R + R 0,05, 20* = 5 Karena R + =13 > R, n* = 5 maka Ho diterima. Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa. 39

40 Note : Atau ada yang menggunakan perbandingannya adalah probabilitas hasil sampel dengan taraf uji nyata Taraf nyata uji : Kriteria pengujian : H 0 diterima Jika probabilitas hasil sampel H 0 ditolak Jika > probabilitas hasil sampel * Untuk tabel menggunakan binomial (komulatif) dari data n, k dan p

41 UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON

42 UJI RANKING BERTANDA WILCOXON Wilcoxon s signed-rank test Alternatif dari uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n 1 = n 2 Penyempurnaan dari uji tanda untuk menguji 2 sampel berpasangan Prosedur Uji 1. H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 > μ 2 H 1 : μ 1 < μ 2 2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji d i = selisih (x 1 x 2 ) d i = 0 data dibuang

43 UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON Beri peringkat atau rangking pada I d i I dari terkecil hingga terbesar Bila ada peringkat / rangking yang sama diambil peringkatnya diambil rata-rata Hitung w + = total jumlah peringkat dari d i yang positif w - = total jumlah peringkat dari d i yang negatif w = min (w + ; w - ) Untuk n 50 : w w (nilai w dari tabel rangking bertanda wilcoxon) Untuk n > 50 : w berdistribusi normal dengan rata-rata : n( n 1) w 4 dengan standard deviasi n( n 1)(2n 1) sehingga : w 24 Z 4. Daerah kritis hitung w w ~ berdistribusi normal standard N (0; 1) w untuk n 50 H 1 : μ 1 μ 2 H 0 ditolak jika w w H 1 : μ 1 > μ 2 H 0 ditolak jika w - w H 1 : μ 1 < μ 2 H 0 ditolak jika w + w untuk n > 50 H 1 : μ 1 μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung < -Z /2 atau Z hitung >Z /2 H 1 : μ 1 > μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung > Z H 1 : μ 1 < μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung > - Z

44 Contoh 1 Berikut adalah data rata-rata jam kerja yang terbuang perminggu karena kecelakaan yang terjadi dalam 10 pabrik sebelum dan sesudah diterapkannya program keselamatan kerja dengan menggunakan = 0,05 untuk menguji apakah program tersebut efektif Pabrik Sebelum Sesudah Penyelesaian 1. H 0 : μ 1 = μ 2 ( program keselamatan kerja tidak efektif) H 1 : μ 1 > μ 2 ( program keselamatan kerja efektif) 2. Tingkat signifikansi = 0,05 3. Perhitungan statistik uji Pabrik d i I d i I Urutan Ranking , ,5 2 7

45 4. Statistik Uji w + = 53 w - = 2 Contoh 5. Daerah kritis jika w - w 0,05 = 10 karena w - = 2 < w 0,05 = 10 maka H 0 ditolak Jadi program keselamatan kerja tersebut efektif

46 Contoh 2 Sebuah perusahaan taxi akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi bann radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopirnya, mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter). Digunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa Mobil Ban radial 10,2 10,7 12, ,7 10,5 11, ,4 10,9 12,1 11,2 Ban biasa 10,1 10,9 12,2 12,9 12,8 10,4 11,7 11,8 12,9 10, ,9 Mobil Ban radial 11,1 12,3 13,1 10,8 10,2 11,2 13,3 12,7 11, ,4 10,7 Ban biasa 10,9 12,4 13,1 10,5 10,7 11,2 13,4 12,2 11,7 11,8 13,1 10,8 Penyelesaian 1. H 0 : μ 1 = μ 2 ( ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) H 1 : μ 1 < μ 2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa) 2. Tingkat signifikansi = 0,05

47 Contoh 2 4. Perhitungan statistik uji 4. Statistik uji w + = 148 w - = Daerah kritis jika w + w 0,05; 20 = 60 karena w + = 148 > w 0,05;20 = 60 maka H 0 diterima Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa

48 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) Sebagai penyempurnaan uji tanda Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon) Selain memperhatikan + dan -, uji ini juga memperhatikan besarnya beda/selisih SI 2 - Statistik Non Parametrik 48

49 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) Memperhitungkan tanda dan besarnya selisih. H 0 : Tidak terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2. H 1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2 Menentukan taraf nyata ( ) Dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi Menentukan Kriteria pengujian H 0 : Diterima jika T < T 0 H 1 : Diterima jika T > T 0 Nilai T diperoleh dari Tabel nilai kritis untuk uji urutan/rank tanda => T α SI 2 - Statistik Non Parametrik 49

50 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test) Menentukan nilai uji statistik (Nilai T 0 ) 1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya 2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda) Ranking 1 diberikan pd selisih terkecil, urutan 2 pd selisih terkecil berikutnya. Bila dua atau lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing2 diberi rangking sama dengan rata2 urutan. Contoh selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang sama, maka masing - masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2 3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif 4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif 5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai T 0 Membuat kesimpulan SI 2 - Statistik Non Parametrik 50

51 Contoh 1. Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (dr Soal Uji Tanda) Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji. Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik! Pegawai Sebelum kenaikan gaji (X 1 ) Sesudah kenaikan gaji (X 2 ) SI 2 - Statistik Non Parametrik 51

52 Penyelesaian Jawab : H 0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja H 1 : Ada peningkatan mutu kerja Taraf nyata uji : 0,05 Kriteria pengujian : H 0 : Diterima jika T < T 0 H 1 : Diterima jika T > T 0 Dengan n=10 dan α = 0,05 berdasarkan Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji satu arah) => T 0.05 = 11 SI 2 - Statistik Non Parametrik 52

53 Penyelesaian Pegawai ke Sebelum kenaikan gaji Sesudah kenaikan gaji Selisih Urutan Ranking Tanda Ranking Tanda Ranking (X) (Y) (Y-X) (+) (-) Jumlah Kesimpulan Karena T 0.05 = 11 < T 0 = 11,5, maka: H 0 diterima yang artinya bahwa tidak ada perbedaan nyata pada mutu kerja pegawai setelah kenaikan gaji T 0 = 11,5 SI 2 - Statistik Non Parametrik 53

54 Contoh 2. Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum dicharge lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; dan 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge SI 2 - Statistik Non Parametrik 54

55 1. H 0 : m = 1,8 H 1 : m 1,8 2. α = 0,05 Penyelesaian 3. Kriteria pengujian H 0 : Diterima jika T < T 0 H 0 : Ditolak jika T > T 0 Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T 0.05 = 8 SI 2 - Statistik Non Parametrik 55

56 Penyelesaian Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus n ke Selisih Tanda Rangking Tanda Rangking (+) (-) 1-0,3 5 5,5-5,5 2 0, , , , , Urutan Ranking 8-0,3 6 5,5-5,5 9 0, , , Jumlah T 0 = 13 Kesimpulan: Karena T 0.05 = 8 < T 0 = 13, maka terima H 0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge 56

57 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel Untuk 2 sampel yang berbeda SI 2 - Statistik Non Parametrik 57

58 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Contoh untuk 2 sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik 58

59 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Contoh untuk 2 sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik 59

60 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Contoh untuk 2 sampel SI 2 - Statistik Non Parametrik 60

61 Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Untuk data besar Menurut Walpole & Meyer Bila n > 15, distribusi sampel T mendekati distribusi normal SI 2 - Statistik Non Parametrik 61

62 Contoh Uji Urutan Bertanda Wilcoxon sampel besar SI 2 - Statistik Non Parametrik 62

63 SI 2 - Statistik Non Parametrik 63

64 Keputusan Pengujian: 1. Dari tabel terlihat, N = 26, T = Untuk mencari harga z dari N = 26, T = 53, gunakan perhitungan memakai rumus SI 2 - Statistik Non Parametrik 64

65 Untuk z = 3,11, harga p = 0,0009 Karena nilai tersebut diperoleh dari tabel distribusi normal untuk pengujian satu sisi, sementara belum dapat diduga kelompok sampel mana yang memberikan skor yang lebih besar, maka SI 2 - Statistik Non Parametrik 65

66 Uji Korelasi Urutan Spearman Pertama kali dikemukakan oleh Carl Spearman SI 2 - Statistik Non Parametrik 66

67 Uji Korelasi Urutan Spearman SI 2 - Statistik Non Parametrik 67

68 Contoh 1. Uji Korelasi Urutan Spearman SI 2 - Statistik Non Parametrik 68

69 Penyelesaian Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah ada korelasi antara peringkat yang diberikan oleh kedua pakar? SI 2 - Statistik Non Parametrik 69

70 Penyelesaian SI 2 - Statistik Non Parametrik 70

71 Contoh 2. Uji Korelasi Urutan Spearman M dan R, dua orang analis, merangking kualitas stok dengan n = 12 seperti pada tabel berikut. Dengan tingkat signifikansi 5%, susunlah pengujian untuk menentukan apakah ada kecenderungan kecocokan pada rank rank mereka. Kode Stok Rank M Rank R M - R = d d 2 A B C D E F G H I J K 6 11,5-5,5 30,25 L 12 11,5 0,5 0,25 d 2 91,5 71

72 Penyelesaian Ada kecenderungan cocok berarti kita artikan bahwa rank rank berkorelasi positif 1. H 0 : ρ s = 0 H 1 : ρ s > 0 2. α = 0,05 Berarti Z 0,05 = 1,64 3. Nilai hitung SI 2 - Statistik Non Parametrik 72

73 Penyelesaian Dengan demikian nilai statistik Z sampel 4. Daerah Kritis Terima H 0 jika Z sampel < Z 0,05 =1,64 Tolak H 0 jika Z sampel > Z 0,05 =1,64 5. Kesimpulan Karena Z sampel =2,26 > Z 0,05 =1,64, maka tolak H0 dan terima H1 yang artinya bahwa ada kecocokan dalam rank rank M dan R SI 2 - Statistik Non Parametrik 73

74 UJI MANN WHITNEY / UJI U

75 UJI MANN WHITNEY UJI U Mann whitney test Alternatif dari uji t maupun uji Z untuk dua sampel yang diambil dari dua populasi yang bebas (independen) dan tidak berdistribusi normal Prosedur Uji 1. H 0 : μ 1 = μ 2 (kedua sampel berasal dari populasi yang identik) H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 > μ 2 H 1 : μ 1 < μ 2 2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji ukuran sampel 1 : n 1 ukuran sampel 2 : n 2

76 UJI MANN WHITNEY UJI U Gabungkan kedua sampel dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / rangking yang sama, peringkatnya diambil rata-ratanya Hitung jumlah peringkat sampel 1 dan sampel 2 dan dinotasikan dengan R 1 dan R 2 Statistik Uji U 1 n ( n 1) 2 U n ( n 1) n n R U min( U 1 ; U2) n1n 2 R

77 UJI MANN WHITNEY UJI U Untuk n 1 : n 2 20 Untuk n 1 : n 2 > 20 U ~ berdistribusi Un 1: n 2: (nilai U tabel mann whitney) U ~ berdistribusi normal n 1 n dengan rata-rata 2 u 2 n1n 2( n1 n2 1) dengan standard deviasi u Daerah kritis sehingga : Z hitung w u u ~ berdistribusi normal standard N (0; 1) n 1 : n 2 20 H 1 : μ 1 μ 2 H 0 ditolak jika U < U H 1 : μ 1 > μ 2 H 0 ditolak jika U 1 < U H 1 : μ 1 < μ 2 H 0 ditolak jika U 2 < U n 1 : n 2 > 20 H 1 : μ 1 μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung < -Z /2 atau Z hitung >Z /2 H 1 : μ 1 > μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung > Z H 1 : μ 1 < μ 2 H 0 ditolak jika Z hitung > - Z

78 Contoh 1 Manajer produksi sebuah perusahaan ingin menguji apakah iringan musik lembut berpengaruh terhadap produktivitas kerja. Untuk itu dilakukan pengamatan terhadap data output perjam dari sampel random 10 pekerja yang bekerja tanpa iringan musik dan 18 pekerja yang bekerja dengan iringan musik. Hasilnya adalah sebagai berikut : Tanpa iringan musik lembut Pekerja Output Dengan iringan musik lembut Pekerja Output Pekerja Output Ujilah dengan = 0,05 apakah iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas kerja

79 Penyelesaian Contoh 1. H 0 : μ 1 = μ 2 ( iringan musik lembut tidak meningkatkan produktivitas) H 1 : μ 1 < μ 2 ( iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas) 2. Tingkat signifikansi =0,05 3. Perhitungan : 4. statistik uji n2( n2 1) U 2 n1n 2 R2 2 18(18 1) U2 10(18) 324,5 26, Daerah kritis jika U 2 < U 0,05; 10; 18 =55 karena U 2 = 26,5 < U 0,05; 10; 18 =55 maka H 0 ditolak Jadi iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas.

80 Uji Mann-Whitney (U Test) Disebut juga pengujian U. Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukuran tidak sama Data ordinal Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama. Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak. SI 2 - Statistik Non Parametrik 80

81 Uji Mann-Whitney (U Test) Untuk sampel kecil Tahapan: Menentukan n 1 dan n 2. Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan (ranking) tiap-tiap anggota Menjumlahkan urutan masing-masing sampel Menghitung statistik U SI 2 - Statistik Non Parametrik 81

82 Uji Mann-Whitney (U Test) SI 2 - Statistik Non Parametrik 82

83 Uji Mann-Whitney (U Test) SI 2 - Statistik Non Parametrik ) (. R n n n n U ) (. R n n n n U Jika sample size kecil

84 Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test) SI 2 - Statistik Non Parametrik 84

85 Uji Mann-Whitney (U Test) Dipakai adalah U terkecil SI 2 - Statistik Non Parametrik 85

86 Uji Mann-Whitney (U Test) Latihan!! Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan A O B 820 3,5 P 820 3,5 C Q D R E R 1 =19,5 R 2 = 25,5 Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur. SI 2 - Statistik Non Parametrik 86

87 Uji Mann-Whitney (U Test) Jika sample size besar SI 2 - Statistik Non Parametrik 87

88 Uji Mann-Whitney (U Test) SI 2 - Statistik Non Parametrik 88

89 Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test) Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer Urutan Nilai Rank Catatan: jumlah sampel mahasiswa SI 2 - Statistik Non Parametrik

90 Uji Mann-Whitney (U Test) Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer? SI 2 - Statistik Non Parametrik 90

91 Uji Mann-Whitney (U Test) 91

92 Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test) Taraf taraf operasi (prosentase kapasitaa) telah didapat dari sampel sampel random n 1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n 2 = 12 hari pada perusahaan 2. n 1 + n 2 = 22 taraf taraf operasi diranking dalam besaran order. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah taraf operasi rata rata perusahaan 1 lebih besar dari taraf operasi rata rata perusahaan 2! Jawab Misalkan μ 1 dan μ 2 merupakan taraf operasi rata rata perusahaan 1 dan 2 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 > μ 2 2. Nilai kritis Dengan α = 0,05, diperoleh: Z 0,05 = 1,64 SI 2 - Statistik Non Parametrik 92

93 Penyelesaian 3. Nilai hitung Standar deviasi populasi Nilai statistik Z sampel 4. Kesimpulan Karena nilai statistik Z sampel = 2,01 > Z 0,05 = 1,64 maka tolak H 0. Ini berarti taraf operasi rata rata perusahaan 1 lebih besar dari pada taraf operasi rata rata perusahaan 2 SI 2 - Statistik Non Parametrik 93

94 Contoh 4. Uji Mann-Whitney (U Test) SI 2 - Statistik Non Parametrik 94

95 Penyelesaian 1. Hipotesis H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 2. Nilai kritis Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z 0,05 = 1,64 3. Nilai hitung μ R1 = n 1(n 1 + n 2 + 1) = 2 Standar deviasi populasi 14( ) 2 = 182 δ R = n 1 n 2 (n 1 + n 1 + 1) 12 = (14)(11)( = 1) 12 = 18,267 SI 2 - Statistik Non Parametrik 95

96 Penyelesaian Nilai statistik Z sampel Z sampel = R 1 μ R1 σ R = ,267 = 1,26 4, Kesimpulan Karena nilai statistik Z sampel = 1,26 < Z 0,05 = 1,64 maka terima H 0. Ini berarti taraf rata rata kedua paket adalah sama Daerah penolakan H 0 Daerah penolakan H 0 SI 2 - Statistik Non Parametrik 96

97 UJI KRUSKAL WALLIS (UJI H) Kruskal Wallis test Uji Mann-Whitney dengan k>2 sampel atau merupakan alternatif dari uji F untuk pengujian kesamaan beberapa rata-rata dalam analisis variansi satu arah Prosedur Uji 1. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 =...=μ k (kedua sampel berasal dari populasi yang identik) H 1 : tidak semua sama 2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji ukuran sampel ke i : ni i= 1,2,3,...,k n = n 1 +n 2 +n n k gabungkan data dari k sampel (semua sampel) dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking yang sama maka peringkatnya diambil rata-rata

98 UJI KRUSKAL WALLIS (UJI H) Hitung jumlah peringkat sampel ke 1 sampai dengan sampel ke k, notasikan dengan R 1, R 2,..., R k Statistik uji R k X ; v k 1 i H 3( n 1) n( n 1) i 1 ni ~ berdistribusi 2 X ; v k 1 4. Daerah kritis bila H > H 0 ditolak

99 Contoh 1 Akan diuji apakah upah tukang kayu, tukang batu dan tukang talang perjam mempunyai perbedaan yang signifikan. Untuk itu diambil sampel 7 tukang kayu, 7 tukang batu dan 6 tukang talang. Data sampel berupa upah harian dari pekerja-pekerja tersebut disajikan dalam tabel berikut : Ujilah dengan = 0,01!

100 Contoh 1 Penyelesaian 1. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 =...=μ k (upah harian ketiga jenis tukang tidak berbeda) H 1 : tidak semua sama ( upah harian ketiga jenis tukang berbeda 2. Tingkat signifikansi = 0,01 3. Perhitungan : n = = 20 H 12 n( n 1) k i 1 R n 2 i i 3( n 1) (20 1) (20 1) 12,26

101 Contoh Daerah kritis : Jika H > X 0,01; v 3 1 = 9,210 Ho ditolak karena H = 12,26 > ditolak X 2 0,01; v 3 1 = 9,210 maka Ho Upah harian ketiga jenis tukang berbeda secara signifikan