DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PROBABILITAS Variabel random adalah fungsi yang mengasosiasikan suatu bilangan real dengan setiap elemen dalam ruang sampel dan mendapatkan probabilitas dari suatu variabel random pada nilai dalam suatu cakupan disebut distribusi probabilitas (probability disribution). Jika suatu ruang sampel mengandung jumlah kemungkinan (possibilities) terbatas (finite) atau suatu urutan yang takberakhir (unending) dengan sebanyak elemen sebagaimana merupakan jumlah keseluruhan, maka disebut sebagai ruang sampel diskrit. Jika suatu ruang sampel mengandung jumlah kemungkinan (possibilities) takterbatas (infinite) sama dengan jumlah titik pada suatu segmen garis, maka disebut sebagai ruang sampel kontinyu. Sekumpulan pasangan yang diinginkan (x, f(x)) adalah fungsi probabilitas massa (probability mass function pmf ) dari variabel random diskrit X jika, untuk setiap hasil x 1. f(x) > 0 2. f (x) = 1 x 3. P(X = x) = f(x) f(x) F(x) 1 0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 x Fungsi massa kumulatif (Cummulative mass function cmf ) F(x) dari variabel random diskrit dengan pmf f(x) adalah F (x) = f(x) Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 1

Fungsi f(x) merupakan suatu fungsi kepadatan probabilitas (probability density function pdf ) untuk variabel random kontinyu X, didefinisikan berdasarkan sekumpulan bilangan real R, jika 1. f(x) 0 ; untuk semua x R 2. f (x) dx = 1 b 3. P(a < X < b) = f (x) dx a Fungsi kepadatan kumulatif (cummulative density function cdf ) F(x) dari suatu variabel random kontinyu X dengan fungsi kepadatan f(x) adalah : a F(x) = P(X < x) = f (x) dx ; untuk < x < Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT DISTRIBUSI UNIFORM DISKRIT Jika variabel random X mengasumsikan nilai x 1, x 2,, x k, dengan probabilitas yang sama, maka diskrit probabilitasnya adalah : Mean dan variansi distribusi uniform diskrit : f(x ; k) = 1/k ; x = x 1, x 2,, x k k xi i= 1 μ = dan k σ 2 = k i= 1 (x μ) i k DISTRIBUSI BINOMIAL Ciri-ciri dari distribusi Binomial : 1. Setiap eksperimen terdiri dari n percobaan yang berulang. 2. Setiap percobaan menghasilkan hasil yang diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal. 3. Probabilitas sukses (p) akan selalu konstan untuk setiap percobaan. 4. Percobaan berulang independen. Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 3

Jika suatu percobaan binomial menghasilkan sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 p, maka distribusi probabilitas dari variabel random X, jumlah sukses dalam n independen percobaan adalah : n x b(x; n, p) = p x q n ; untuk x = 0, 1, 2, 3,, n pmf x n x Σb(x; n, p) = p x q n ; untuk x = 0, 1, 2, 3,, n cmf x Probabilitas mendapatkan tepat 3 sukses dalam 10 percobaan dengan probabilitas 0.4, maka didapatkan b(3; 10, 0.4) Probabilitas mendapatkan paling banyak 3 sukses dalam 10 percobaan dengan probabilitas 0.4, maka didapatkan Σb(3; 10, 0.4) = Σb(x < 3; 10, 0.4) Probabilitas mendapatkan paling sedikit 3 sukses dalam 10 percobaan dengan probabilitas 0.4, maka didapatkan Σb(x > 3; 10, 0.4) Dengan demikian untuk n = 10 dan p = 0.4, maka x = 3 b(x = 3; 10, 0.4) x < 3 b(x = 0; 10, 0.4) + b(x = 1; 10, 0.4) + b(x = 2; 10, 0.4) + b(x = 3; 10, 0.4) = Σb(x < 3; 10, 0.4) x > 3 1 Σb(x < 2; 10, 0.4) 2 < x < 3 Σb(x < 3; 10, 0.4) Σb(x < 1; 10, 0.4) Mean dan variansi distribusi binomial : μ = np dan σ 2 = npq Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 4

Probabilitas suatu komponen akan bertahan jika diberikan suhu tinggi adalah 0.75. Tentukan probabilitas tepat 2 komponen dari 4 komponen yang diperiksa akan tahan dalam uji ketahanan. Dari persoalan diketahui p (sukses bertahan dalam suhu tinggi) = 0.75, q = 0.25, n = 4, dan x = 2, maka 4 2 2 b(2; 4, 0.75) = (0.75) (0.25) = 0.2109 2 DISTRIBUSI MULTINOMIAL Jika suatu percobaan menghasilkan k hasil E 1, E 2,, E k, dengan probabilitas p 1, p 2,, p k, maka distribusi probabilitas dari variabel random X 1, X 2,, X k, mewakili jumlah kemunculan untuk E 1, E 2,, E k, dalam n percobaan independen adalah : n k k x1 x2 xk f(x 1, x 2,, x k ; p 1, p 2,, p k, n) = p1 p2... pk x1, x 2,..., x dengan x i = n dan pi = 1 k i= 1 i= 1 n n dimana x, x,..., x = 1 2 k x1! x 2!... x k! Jika sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapat probabilitas mendapatkan jumlah 7 dan 11 dua kali, sekali angka berjumlah sama, dan kombinasi jumlah yang lain 3 kali? E 1 = jumlah 7 dan 11 ; E 2 = jumlah sama ; E 3 = kombinasi yang lain dengan probabilitas masing-masing berturut-turut p 1 = 8/36, p 2 = 6/36, p 3 = 22/36, dan n = 2 + 1 + 3 = 6 2 1 2 6 8 6 22 f(2, 1, 3 ; 2/9, 1/6, 11/18, 6) = = 0. 1127 2,1,3 36 26 36 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 5

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Ciri-ciri distribusi hipergeometrik : 1. Suatu sampel random dengan ukuran n diambil dari N. 2. Sebanyak k dari N diklasifikasikan sebagai sukses dan N k diklasifikasikan sebagai gagal. Distribusi hipergeometrik dari variabel random X, jumlah sukses dalam suatu sampel random seukuran n diambil dari N dimana terdapat k sukses dan N k gagal adalah : k N k h(x ; N, n, k) = x n x untuk x = 0, 1, 2,, n pmf N n Pengiriman suatu lot yang berisi 20 produk mengandung 5 produk cacat. Jika 10 produk diambil secara random, berapa probabilitas terdapat tepat 2 produk cacat? h(2 ; 20, 10, 5) = 5 15 2 8 = 0.348 20 10 Jika ukuran N >>> dibanding ukuran n, maka dapat digunakan pendekatan binomial dengan p = k/n Contoh : h(3 ; 5000, 10, 1000), nilai N (5000) >>> n (10), gunakan pendekatan binomial dengan p = 0.2, sehingga menjadi b(3 ; 10, 0.2) Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 6

DISTRIBUSI GEOMETRIK Jika percobaan independen yang berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q, maka distribusi probabilitas dari variabel random X, sukses pertama dari sejumlah percobaan adalah : g(x ; p) = p q x 1 ; untuk x = 1, 2, 3, Pada suatu proses manufakturing tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata 1 dalam setiap 100 produk akan cacat. Berapa probabilitas dari produk ke lima yang diperiksa ternyata merupakan cacat pertama yang ditemukan? Dengan menggunakan distiribusi geometrik pada x = 5 dan p = 0.01, g(5 ; 0.01) = (0.01) (0.99) 4 = 0.0096 DISTRIBUSI NEGATIF BINOMIAL Jika percobaan independen yang berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q, maka distribusi probabilitas dari variabel random X, sukses ke-k dari sejumlah percobaan adalah : x 1 b*(x ; k, p) = p k q x k ; untuk x = k, k + 1, k + 2, k 1 Tentuka probabilitas seseorang yang melemparkan tiga koin akan mendapat semua angka atau semua gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ke 5? Dengan menggunakan distiribusi geometrik pada x = 5, k = 2, dan p = 0.25, maka b*(5 ; 2, 0.25) = 4 (0.25) 2 (0.75) 3 = 0.1055 1 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 7

DISTRIBUSI POISSON Ciri-ciri distribusi Poisson : 1. Jumlah kemunculan yang didapatkan dalam selang waktu yang spesifik adalah jumlah independen yang muncul pada seang waktu atau daerah. 2. Probabilitas suatu kemunculan tunggal yang didapatkan dalam selang waktu yang pendek atau dalam sebuah daerah yang sempit adalah proporsional terhadap panjang selang waktu atau ukuran daerah dan tidak tergantung dari jumlah hasil yang muncul diluar selang waktu atau daerah. 3. Probabilitas kemunculan lebih dari satu selang waktu atau daerah yang sempit diabaikan Distribusi probabilitas variabel random X Poisson, mewakili jumlah kemunculan dalam selang waktu atau daerah yang sepesifik adalah : λ x e λ p(x ; λ) = ; untuk x = 0, 1, 2,, n pmf x! n λ x e λ Σp(x ; λ) = ; untuk x = 0, 1, 2,, n cmf x! i= 1 Rata-rata truk yang melalui pintu tol selama 10 menit adalah 4. Berapa probabilitas terdapat tepat 6 truk yang melalui pintu tol pada 10 menit manapun? Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan λ = 4, maka 4 x e 4 p(6 ; 4) = = 0.1042 6! Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 8

Mean dan variansi untuk distribusi Poisson adalah : μ = λ = np dan σ 2 = λ Jika random variabel binomial dengan distribusi probabilitas b(x ; n, p), pada saat n >>> atau menuju takhingga dengan p <<< atau mendekati nol, dan μ = np konstan, maka dapat didekati dengan mengunakan distribusi Poisson dengan λ = μ = np. Dalam suatu proses pembuatan botol, suatu botol dikatakan cacat jika terdapat gelembung didalam dinding botol. Diketahui bahwa rata-rata terdapat 1 botol pada setiap 1000 botol yang diproduksi mempunyai cacat gelembung ini. Berapa probabilitas dalam suatu sampel random seukuran 8000 akan mendapatkan kurang dari 7 botol yang cacat? Persoalan ini merupakan tipe persoalan binomial dengan p = 1/1000 dan n = 8000 sehingga untuk x < 7, maka Σb(7 ; 8000, 0.001). Namun karena ukuran n >>> dan p <<<, maka dapat didekati dengan distribusi Poisson dengan λ = μ = np = (8000) (0.001) = 8, sehingga P(X < 7) = Σp(7 ; 8) = p(0 ; 8) + p(1 ; 8) + p(2 ; 8) + + p(7 ; 8) = 0.3134 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 9

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU DISTRIBUSI NORMAL Distribusi probabilitas kontinyu yang paling sering digunakan dalam statistik secara umum adalah distribusi normal, yang secara grafik sering disebut sebagai kurva normal, dengan ciri-ciri sebagai berikut : 1. Kurva mempunyai satu puncak unimodal berbentuk lonceng dan simetris, dengan demikian nilai mean = median = modus. 2. Mean μ (mu), sebagai parameter lokasi, dari distribusi normal berada ditengah-tengah kurva normal dan tersebar sebesar σ (sigma) sebagai parameter dispersi. 3. Kedua ekornya merupakan asymphtot. 4. Probabilitas kumulatifnya (luas kurva) adalah 1, dimulai dari sampai +. Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari variabel random normal X, dengan mean μ dan variansi σ 2 adalah : n(x ; μ, σ) = 1 2 (1 / 2)[(x μ) / σ] e 2πσ ; < x < + Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 10

Daerah Dibawah Kurva Normal Kurva dari distribusi probabilitas normal adalah daerah yang dibatasi oleh dua ordinat x = x 1 dan x = x 2 sama dengan probabilitas variabel random X yang diasumsikan suatu antara nilai antara x = x 1 dan x = x 2, sehingga dengan demikian : P(x 1 < X < x 2 ) = n (x; μ, σ) dx = x1 x2 x1 1 2 (1 / 2)[(x μ) / σ] 2πσ x2 e dx adalah daerah yang diarsir sebagai berikut : Untuk memudahkan penyelesaian integral dari fungsi densitas normal, maka mentransformasikan semua observasi variabel random normal X kedalam himpunan baru observasi dari variabel random normal dengan mean μ = 0 dan variansi σ 2 = 1 yang disebut dengan distribusi normal standard dengan menggunakan formulasi : μ Z = x σ Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 11

Berapa luas daerah yang diarsir pada gambar disamping ini? Z 1 = 2.45 2.1 = 0.58 Z 2 = 3.55 2.1 = 2.42 0.6 0.6 maka P(2.45 < x < 3.55) = P(0.58 < Z < 2.42) = P(Z < 2.42) P(Z < 0.58) = 0.9922 0.7190 = 0.2732 Pendekatan Normal terhadap Binomial Jika ukuran n besar dengan p mendekati nol, maka distribusi binomial didekati oleh distribusi Poisson. Namun dapat terjadi n besar dengan p mendekati 0.5, maka distribusi binomial didekati oleh distribusi normal. Jika X adalah variabel random binomial dengan mean μ = np dan variansi σ 2 = npq, maka bentuk terbatas distribusi normalnya adalah : X np Z = npq saat n, adalah distribusi normal standard n(z; 0, 1) Namun karena terdapat perbedaan distrbusi, dimana binomial adalah diskrit dan normal adalah kontinyu, maka batas (boundary) untuk x yang digunakan adalah x 1 0.5 dan x 2 + 0.5 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 12

Suatu soal multiple choice yang terdiri dari 4 jawaban dan hanya ada satu yang benar. Berapa probabilitas seseorang yang hitung kancing akan benar 25 sampai 30 dari 80 soal yang tidak dikuasai? Untuk jawaban secara binomial, maka P(25 < x < 30) = b (x; 80, 0.24), dengan menggunakan pendekatan normal pada μ = np = (80)(0.25) = 20 dan σ = (npq) = [(80)(0.25)(0.75)] = 3.873, boundary kelas untuk masing-masing X adalah 24 0.4 = 24.5 dan 30 + 0.5 = 30.5, maka 30 x= 25 Z 1 = 24.5 20 = 1.16 dan Z 2 = 30.5 20 = 2.71 3.873 3.873 P(25 < x < 30) = b (x; 80, 0.24) 30 x= 25 DISTRIBUSI GAMMA = P(1.16 < Z < 2.71) = P(Z < 2.71) P(Z < 1.16) = 0.9966 0.8770 = 0.1196 Distribusi Gamma diturunkan dari fungsi Gamma yaitu : Γ α 1 x ( α) = x e dx ; untuk α > 0 0 yang kemudian setelah dilakukan integral, maka hasilnya Γ(n) = (n 1)!, dan Γ(1/2) = π Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 13

Variabel random kontinyu X mempunyai sebuah distribusi Gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi kepadatannya adalah : 1 α 1 x / β x e α β Γ( α) f(x) = ; x > 0 0 ; yang lain dimana α > 0 dan β > 0 Untuk hal yang spesifik, dimana nilai α = 1, maka distribusi tersebut bernama distribusi Eksponensial. Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 14

Variabel random kontinyu X mempunyai sebuah distribusi eksponensial dengan parameter β, jika fungsi kepadatannya adalah : 1 x / β e β f(x) = ; x > 0, dimana β > 0 dengan mean μ = β dan variansi σ 2 = β 2 0 ; yang lain Distribusi ini banyak diterapkan dalam statistik terutama pada teori keandalan (reliability) atau masalah antrian (queueing problems) Suatu sistem mengandung sebuah tipe komponen tertentu dengan waktu gagal pertahun random variabel T berdistribusi eksponensial dengan parameter β = 5. Jika komponen ini dipasang pada sistem yang berbeda, berapa probabilitas sedikitnya 2 komponen tetap berfungsi selama 8 tahun? t / 5 8 P(T > 8) = 1 t / 1 e 5 t /5 1 dt = e dt = ( 5) 5 5 5 8 8 = ( e /5 ) ( e 8/5 ) = 0 + e 8/5 = 0.2 Jika X merupakan jumlah komponen yang berfungsi sesudah 8 tahun, maka dengan menggunakan distribusi binomial : 5 5 P(x > 2) = b (x; 5, 0.2) = 1 b (x; 5, 0.2) x= 2 = 1 0.7373 = 0.2627 x= 2 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 15

DISTRIBUSI WEIBULL Variabel random X merupakan distribusi Weibull dengan parameter α dan β, jika fungsi kepadatannya : β β 1 α x α β X e f(x) = ; x > 0 0 ; yang lain 2 dengan mean 1 / β 1 μ = α Γ(1 + ) dan variansi 2 2 / β 2 2 σ = α Γ( 1 + ) β Γ(1 + ) β β Umur sejenis batere (dalam jam) berdistribusi Weibull dengan α = 0.1 dan β = 0.5, maka batere akan habis pada rata-rata : 1 / 0.5 1 μ = (0.1) Γ(1 + ) = (0.1) 2 Γ(3) 0.5 = (0.1) 2 (3 1)! = 200 jam jika diinginkan probabilitas batere tahan lebih dari 300 jam, maka : 0.5 0.5 0.5 1 0.1X 0.1(300) P(X > 300) = ( 0.1)(0.5)X e dx = e = 0.177 300 Wachjoekaton Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinyu hal 16