PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan Resmawan UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO November 2018 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 1 / 30

4.1 Pengertian dan Klasifikasi 4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi 4.1 Pengertian dan Klasifikasi resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 2 / 30

4.1 Pengertian dan Klasifikasi 4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi Definition Persamaan Diferensial linear biasa orde n adalah persamaan diferensial yang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui y (n) = d n y dx n yang secara umum dapat ditulis dalam bentuk a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 2 (x) y + a 1 (x) y + a 0 (x) y = r (x) (1) dimana a n, a n 1,, a 1, a 0 dengan a n = 0 dan r adalah fungsi dari x. PD ini dikatakan linear karena pangkat tertinggi dari fungsi dan turunan-turunannya, y (n), y (n 1),, y, y, dan y yang tak diketahui berderajat satu. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 3 / 30

4.1 Pengertian dan Klasifikasi 4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi Berdasarkan nilai koefisien pada persamaan (1), Persamaan Diferensial Linear diklasifikasikan sebagai berikut: 1 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Konstan, jika koefisien a n, a n 1,..., a 1, a 0 adalah konstan dan r (x) = 0. a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 2 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Variabel, jika koefisien a n, a n 1,..., a 1, a 0 merupakan fungsi-fungsi x, a n = 0, dan r (x) = 0. Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy homogen orde ke n a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 2 x 2 y + a 1 xy + a 0 y = 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 4 / 30

4.1 Pengertian dan Klasifikasi 4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi 3. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Konstan, jika koefisien a n, a n 1,..., a 1, a 0 adalah konstan, a n = 0, dan r (x) = 0. a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 2 y + a 1 y + a 0 y = r (x) 4. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Variabel, jika koefisien a n, a n 1,..., a 1, a 0 merupakan fungsi-fungsi x, a n = 0, dan r (x) = 0. Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy non homogen orde ke n a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 2 x 2 y + a 1 xy + a 0 y = r (x) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 5 / 30

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 6 / 30

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan Misal PD Linear Orde Dua Koefisien Konstan ay + by + cy = r(x) (2) Persamaan (2) disebut linear karena pangkat tertinggi dari y, y, dan y adalah satu. Jika r (x) = 0, maka persamaan (2) disebut PD homogen dengan bentuk ay + by + cy = 0 (3) dengan a, b, c konstanta. Solusi umum dari PD homogen (3) berbentuk y = c 1 y 1 + c 2 y 2 dimana c 1, c 2 konstan dan y 1, y 2 fungsi-fungsi dari x, yang disebut basis penyelesaian y. Andaikan basis penyelesaian berbentuk y = e λx (4) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 7 / 30

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan maka y = λe λx dan y = λ 2 e λx (5) Jika persamaan (4) dan (5) disubtitusi ke persamaan (3), maka ( aλ 2 + bλ + c ) e λx = 0 Karena e λx = 0, maka aλ 2 + bλ + c = 0 (6) Persamaan (6) disebut Persamaan Karakteristik yang akar-akarnya diberikan oleh λ 12 = b ± b 2 4ac (7) 2a resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 8 / 30

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan Selanjutnya, solusi umum persamaan diferensial homogen akan bergantung pada akar-akar persamaan karakteristik (7) yang terdiri atas 3 kasus: 1 λ 1 dan λ 2 merupakan dua akar real berbeda. Kasus ini terjadi jika D = b 2 4ac > 0 2 λ 1 dan λ 2 merupakan dua akar real kembar. Kasus ini terjadi jika D = b 2 4ac = 0 3 λ 1 dan λ 2 merupakan dua akar kompleks. Kasus ini terjadi jika D = b 2 4ac < 0 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 9 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 10 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda Jika diskriminan persamaan karakteristik lebih besar dari nol D = b 2 4ac > 0 Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real berbeda, yaitu λ 1 = b + b 2 4ac ; λ 2 = b b 2 4ac 2a 2a Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh y 1 = e λ 1x dan y 2 = e λ 2x Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3) diberikan oleh y (x) = c 1 e λ1x + c 2 e λ 2x (8) dimana c 1 dan c 2 konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 11 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda Examples Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1 y + 4y 12y = 0 2 y 4y + 3y = 0 3 2y 5y + 3y = 0; y (0) = 6, y (0) = 13 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 12 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda Solution 1 Persamaan karakteristik yang bersesuaian sehingga solusi umum PD adalah 2 Dengan cara sama λ 2 + 4λ 12 = 0 λ 1 = 2 (λ 2) (λ + 6) = 0 λ 2 = 6 y = c 1 e 2x + c 2 e 6x λ 2 4λ + 3 = 0 λ 1 = 1 (λ 1) (λ 3) = 0 λ 2 = 3 sehingga diperoleh solusi y = c 1 e x + c 2 e 3x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 13 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda Solution 3. Persamaan karakteristik yang bersesuaian sehingga solusi umum PD adalah 2λ 2 5λ + 3 = 0 λ 1 = 3 2 (2λ 3) (λ 1) = 0 λ 2 = 1 y = c 1 e 3 2 x + c 2 e x y = 3 2 c 1e 3 2 x + c 2 e x Dengan nilai awal y (0) = 6, y (0) = 13 diperoleh 6 = c 1 + c 2 26 = 3c 1 + 2c 2 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 14 / 30

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda 4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda Solution 3. Dengan demikian, 26 = c 1 + 2c 2 26 = 3c 1 + 2 (6 c 1 ) c 1 = 14 c 2 = 8 sehingga solusi kuhusus PD adalah y = 14e 3 2 x 8e x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 15 / 30

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar 4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar 4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 16 / 30

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar 4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar Jika diskriminan persamaan karakteristik sama dengan nol D = b 2 4ac = 0 Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real kembar, yaitu λ 12 = b 2a Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh y 1 = e λx dan y 2 = xe λx Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3) diberikan oleh y = (c 1 + xc 2 ) e λx (9) dimana c 1 dan c 2 konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 17 / 30

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar 4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar Examples Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1 y 8y + 16y = 0 2 y 4y + 4y = 0; y (0) = 4, y (0) = 3 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 18 / 30

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar 4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar Solution 1 Diketahui persamaan karakteristik λ 2 8λ + 16 = 0 (λ 4) (λ 4) = 0 λ 12 = 4 Maka solusi umum PD adalah y = (c 1 + xc 2 ) e 4x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 19 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 20 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Jika diskriminan persamaan karakteristik kurang dari nol D = b 2 4ac < 0 Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar kompleks, yaitu λ 1 = α + βi dan λ 2 = α βi dimana α = b 2a ; β = b2 4ac 2a Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh y 1 = e (α+βi)x dan y 2 = e (α βi)x Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3) diberikan oleh y = (c 1 cos βx + c 2 sin βx) e αx (10) dimana c 1 dan c 2 konstanta. resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 21 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Problem Buktikan kebenaran persamaan (10) resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 22 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Examples Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1 y 6y + 13y = 0 2 4y 4y + 5y = 0; y (0) = 2, y (0) = 11 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 23 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Solution 1 Persamaan karakteristik λ 2 6λ + 13 = 0 sehingga solusi umum adalah λ 12 = b ± b 2 4ac 2a = 6 ± 16 2 = 3 ± 2i y = (c 1 cos 2x + c 2 sin 2x) e 3x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 24 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Solution 2. Persamaan karakteristik 4λ 2 4λ + 5 = 0 sehingga solusi umum adalah λ 12 = b ± b 2 4ac 2a λ 12 = 4 ± 64 8 = 1 2 ± i y = (c 1 cos x + c 2 sin x) e 1 2 x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 25 / 30

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks 4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Solution 2. Dengan nilai awal y (0) = 2, y (0) = 11 dan selanjutnya y = 1 2 e 1 2 x (c 1 cos x + c 2 sin x) + ( c 1 sin x + c 2 cos x) e 1 2 x Maka 2 = (c 1 cos 0 + c 2 sin 0) e 0 c 1 = 2 11 = 1 2 c 1 + c 2 c 2 = 10 Solusi Khusus PD y = (2 cos x + 10 sin x) e 1 2 x resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 26 / 30

4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 7 * Soal-Soal Latihan 7 Problem Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1 y 4y + 3y = 0 2 y 2y + 10y = 0 3 2y + 7y 4y = 0 4 4y 4y + y = 0 Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensial dengan nilai awal berikut 5 y + 2y 3y = 0; y (0) = 2, y (0) = 8 6 y 6y + 25y = 0; y (0) = 6, y (0) = 8 7 y + 4y 5y = 0; y (0) = 3, y (0) = 2 8 y + 4y + 4y = 0; y (0) = 2, y (0) = 5 resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 27 / 30

3. Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " resmawan@ung.ac.id (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 30 / 30