GEOMETRI RUANG. Oleh : Tetty Natalia Sipayung, S.Si., M.Pd. Geometri Ruang i

Transkripsi

1 i

2 GEOMETRI RUANG Oleh : Tetty Natalia Sipayung, S.Si., M.Pd. Geometri Ruang i

3 GEOMETRI RUANG Penulis: Tetty Natalia Sipayung, S.Si., M.Pd. Isi diluar tanggungjawab penerbit Hak Cipta 2018 pada Penulis Copyright 2018 by Jayapangus Press All Right Reserved PENERBIT: Jayapangus Press Anggota IKAPI No. 019/Anggota Luar Biasa/BAI/2018 Jl. Ratna No.51 Denpasar - BALI jayapanguspress@gmail.com Perpustakaan Nasional Republik Indonesia Katalog Dalam Terbitan (KDT) ISBN: Geometri Ruang ii

4 Kutipan Pasal 44, Ayat 1 dan 2, Undang-undang Republik Indonesia tentang HAK CIPTA : Tentang Sanksi Pelanggaran Undang-Undang No. 6 Tahun 1982 tentang HAK CIPTA sebagaimana telah diubah dengan Undang-Undang No. 7 Tahun 1987 jo. Undang-Undang No. 12 Tahun 1997, bahwa : Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana denganpidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp ,- (seratus juta rupiah). Barang siapa sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan pidana paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp ,- (lima puluh juta rupiah). Geometri Ruang iii

5 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga buku ajar mata kuliah Geometri Ruang ini dapat selesai disusun. Buku ajar ini disusun dengan menambahkan sumber dari buku referensi lain yang dapat digunakan guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan mata kuliah Geometri Ruang. Di dalam buku ajar ini terdapat materi dan contoh soal yang dibahas dengan penyelesaian yang sederhana yang dapat memudahkan mahasiswa dalam mempelajari buku ajar ini dan membantu mahasiswa memahami keterkaitan antar materi dalam buku ajar ini. Buku ajar Geometri Ruang ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk penyusunan buku ajar Geometri Ruang berikutnya. Akhir kata penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun buku ajar ini. Medan, Maret 2018 Penulis, Geometri Ruang iv

6 DAFTAR ISI Hal. HALAMAN DALAM... i HALAMAN REDAKSI... ii HAK CIPTA... iii KATA PENGANTAR... iv DAFTAR ISI... v BAB 1 : Hubungan dan Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Dalam Ruang... 1 BAB 2 : Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang BAB 3 : Jarak Titik Terhadap Titik, Garis, dan Bidang BAB 4 : Jarak Garis Terhadap Garis dan Bidang BAB 5 : Jarak Bidang Terhadap Bidang BAB 6 : Sudut Antara Dua Garis Dalam Ruang BAB 7 : Sudut Antara Garis dan Bidang Dalam Ruang.. 61 BAB 8 : Sudut Antara Dua Bidang Dalam Ruang BAB 9 : Bentuk Bidang Banyak, Sifat, Unsur, Jaring- Jaring dan Rumus Kubus BAB 10 : Sifat, Unsur, Jaring-Jaring dan Rumus Balok BAB 11 : Sifat, Unsur, Jaring-Jaring dan Rumus Prisma BAB 12 : Sifat, Unsur, Jaring-Jaring dan Rumus Limas BAB 13 : Sifat, Unsur, Jaring-Jaring dan Rumus Tabung. 131 BAB 14 : Sifat, Unsur, Jaring-Jaring dan Rumus Kerucut 140 BAB 15 : Sifat, Unsur dan Rumus Bola DAFTAR PUSTAKA BIODATA PENULIS Geometri Ruang v

7 BAB 1 HUBUNGAN DAN KEDUDUKAN TITIK,GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG PENDAHULUAN Ada tiga unsur pembentuk ruang yaitu titik, garis, dan bidang. Pada bab ini akan dibahas hubungan antara ketiga unsur tersebut. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami hubungan dan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang. MATERI PENYAJIAN A. Hubungan Titik, Garis, dan Bidang Bagian pembentuk bangun ruang adalah titik, garis dan bidang. Ketiga bagian ini disebut unsur-unsur ruang. Unsur-unsur titik, garis dan bidang dalam geometri merupakan istilah-istilah dasar. Sebagaimana kita ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yang hanya dapat dideskripsikan atau dipaparkan. Dengan demikian, titik, garis, dan bidang dapat dideskripsikan sebagaimana dalam uraian berikut ini: Geometri Ruang 1

8 1. Titik Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi). Sebuah titik digambarkan dengan memakai tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q atau R. Pada gambar diperlihatkan dua titik, yaitu titik A dan titik P. A P Gambar 1.1 Titik A dan Titik P Dalam bidang matematika, terdapat macam-macam titik yaitu: a. Titik balik yaitu titik paling bawah atau paling atas dari suatu parabola. Titik balik dibedakan atas titik balik maksimum dan titik balik minimum. b. Titik bagi suatu garis yaitu titik yang membagi sebuah garis. c. Titik invarian disebut titik tetap atau titik simetri d. Titik pangkal disebut titik asal atau titik pusat koordinat e. Titik potong adalah titik yang merupakan perpotongan dua buah garis Geometri Ruang 2

9 f. Titik sudut dibentuk dari dua buah garis yang salah satu ujungnya bertemu di satu titik dan membentuk garis. 2. Garis Sebuah garis (dimaksudkan adalah garis lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian dari garis ini disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai huruf kecil g, h, k, atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Pada gambar diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis g dan segmen garis AB. g A Gambar 1.2 Garis g dan Segmen Garis AB Ketika pertama kali diformalkan geometri oleh Euclid dalam Elements, garis merupakan salah satu unsur yang tidak bisa didefinisikan, namun terkadang banyak orang yang mencoba mendefinisikan untuk memperjelasnya. Pada geometri modern, sebuah garis B Geometri Ruang 3

10 hanya dianggap sebagai obyek belum terdefinisi dengan sifat-sifat yang diberikan oleh dalil-dalil. Euclid, seorang matematikawan dari Alexanderia, menyatakan beberapa aksioma yang berkaitan dengan titik, garis dan bidang. Aksioma-aksioma ini merupakan sumbangan pemikiran Euclid dalam bidang ilmu geometri. Aksioma1: Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus. Aksioma2: Melalui tiga buah titik sembarang yang tidak terletak pada satu garis lurus dapat dibuat sebuah bidang. v Geometri Ruang 4

11 Aksioma3: Jika sebuah garis dan bidang memuat dua buah titik persekutuan, maka garis tersebut terletak pada bidang. v Aksioma 4: Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut. v Garis adalah komponen pembentuk bangun datar dan bangun ruang. Garis selalu digambarkan sebagai garis lurus yang kedua ujungnya memiliki anak panah. Ciri ciri garis : 1. Tidak mempunyai pangkal 2. Tidak mempunyai ujung 3. Panjangnya tidak terhingga Sifat sifat garis : 1. Jika diketahui kedua titik sembarang dalam ruang, maka melalui titik itu dapat dibuat satu garis. Geometri Ruang 5

12 2. Suatu garis dapat diperpanjang secara tak terbatas dikedua arahnya. 3. Suatu garis mungkin mempunyai banyak nama. Unsur pembentuk garis adalah ruas garis. Ruas garis merupakan jajaran ruas garis yang saling menyambung membentuk garis. Ruas garis adalah garis yang dibatasi dua buah titik. Ruas garis dilambangkan dengan garis lurus tanpa panah. 3. Bidang Sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar), dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunyai dua ukuran, yaitu panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai huruf,, γ atau (, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu. Pada gambar diperlihatkan beberapa bentuk bidang. B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang Pada sub bagian ini akan dibahas kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang meliputi kedudukan titik terhadap garis, titik terhadap bidang, garis terhadap garis, garis terhadap bidang, dan bidang terhadap bidang. Geometri Ruang 6

13 Penjelasan tersebut juga akan disinggung lagi pada bab-bab berikutnya yang masih terkait. a. Kedudukan Titik Terhadap Garis Kemungkinan kedudukan titik terhadap garis dalam ruang adalah: Terletak pada garis, artinya titik tersebut dilalui garis. A l Di luar garis, artinya titik tersebut tidak dilalui garis. B l b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang Kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang dalam ruang adalah sebagai berikut: Terletak pada bidang, artinya titik tersebut dilalui oleh bidang. v A Geometri Ruang 7

14 Di luar bidang, artinya titik tersebut berada di luar bidang atau tidak dilalui bidang. B v c. Kedudukan Garis Dan Garis Dalam Ruang Kemungkinan kedudukan dua garis dalam ruang adalah sebagai berikut: Berimpit, artinya dua garis (misal: g dan l) benarbenar menjadi satu. Setiap titik pada garis l juga terletak pada garis g, demikian juga sebaliknya. Dua garis berimpit jika memiliki minimal 2 titik persekutuan. Berpotongan, artinya dua garis (g dan l) mempunyai tepat satu titik persekutuan yang disebut titik potong. Dua garis dapat berpotongan jika terletak pada bidang yang sama. l titik potong g Sejajar, artinya dua garis (g dan l) tidak mempunyai titik potong atau titik persekutuan satu pun. Sebuah bidang dapat dibentuk dari dua buah garis sejajar. Sejajar biasanya dilambangkan dengan //. Geometri Ruang 8

15 v l g Bersilangan, artinya kedua garis(g dan l) tidak sejajar, tidak mempunyai titik persekutuan dan terletak pada bidang yang berbeda. l v g d. Kedudukan Garis Terhadap Bidang Kemungkinan kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah sebagai berikut: Terletak pada bidang, artinya garis dan bidang setidaknya mempunyai 2 titik persekutuan. v Sejajar bidang, artinya garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan atau garis Geometri Ruang 9

16 tidak terletak pada bidang. Jika garis g sejajar dengan sebuah bidang, maka bidang tersebut memuat minimal satu garis yang sejajar dengan garis g. g v Menembus bidang, artinya garis dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik tembus. titik tembus v e. Kedudukan bidang dan bidang dalam ruang. Kemungkinan kedudukan dua bidang dalam ruang adalah sebagai berikut: Berimpit Bidang v dan w dikatakan berimpit jika setiap titik pada v juga terletak pada w begitu pula sebaliknya. Geometri Ruang 10

17 w v Sejajar Bidang v dan w dikatakan sejajar jika kedua bidang tersebut tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. v w Berpotongan Bidang v dan w dikatakan berpotongan jika kedua bidang mempunyai satu garis persekutuan (disebut garis potong). Garis potong bidang v dan w ditulis (v,w). w Geometri Ruang 11

18 LATIHAN 1. Bagaimana keberadaan titik dengan garis, titik dengan bidang, dan garis dengan bidang? Jelaskan! 2. Sebuah garis dan bidang tidak terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan, maka irisan keduanya menghasilkan himpunan? 3. Perhatikan gambar berikut: Sebutkan pasangan garis mana sajakah yang saling sejajar, berpotongan, atau bersilangan? 4. Perhatikan gambar berikut: Sebutkanlah garis-garis yang sejajar, garis-garis yang berpotongan! 5. Perhatikan gambar berikut: Geometri Ruang 12

19 a. Diketahui Gambar (a) adalah garis AB. Jelaskan apakah titk C terletak pada garis AB? b. Diketahui Gambar (b) adalah segmen garis PQ. Jelaskan apakah titk R terletak pada segmen garis PQ? Jelaskan juga apakah titk S terletak pada segmen garis PQ? c. Diketahui Gambar (c) adalah sinar garis KL. Jelaskan apakah titk M dan P terletak pada sinar garis KL? Jelaskan juga apakah titk N dan O terletak pada sinar garis KL? 6. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut. Geometri Ruang 13

20 Gambar segitiga ABC di atas terdiri dari 4 buah segitiga yang sama dan sebangun. Tentukanlah ruas garis yang sejajar dengan AB, DF, dan DE! RANGKUMAN 1. Ada 3 unsur pembentuk bangun ruang yaitu titik, garis, dan bidang. 2. Titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi). 3. Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar sehingga garis dikatakan dimensi satu. 4. Ruas garis adalah garis yang dibatasi dua buah titik. 5. Bidang mempunyai dua ukuran, yaitu panjang dan lebar sehingga bidang dikatakan dimensi dua. 6. Kedudukan titik terhadap garis dalam ruang yaitu terletak pada garis dan di luar garis. 7. Kedudukan titik terhadap bidang dalam ruang yaitu terletak pada bidang dan di luar bidang. 8. Kedudukan garis terhadap garis dalam ruang yaitu berimpit, berpotongan, sejajar, dan bersilangan. 9. Kedudukan garis terhadap bidang dalam ruang yaitu terletak pada bidang, sejajar bidang, dan menembus bidang. 10. Kedudukan bidang terhadap bidang dalam ruang yaitu berimpit, sejajar, dan berpotongan. Geometri Ruang 14

21 BAB 2 PROYEKSI TITIK, GARIS, DAN BIDANG PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas tentang proyeksi. Proyeksi yang dimaksud adalah proyeksi titik ke garis, titik ke bidang, garis ke garis, garis ke bidang, bidang ke bidang. Proyeksi dapat dipakai dalam menentukan jarak. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami proyeksi titik, garis, dan bidang. MATERI PENYAJIAN Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Secara sederhana proyeksi dapat juga diartikan sebagai pencerminan proyeksian pada proyeksitor yang hasil proyeksiannya ada pada proyeksitor, dimana jika proyeksian dan hasil proyeksian kita hubungkan dengan garis maka garis tersebut tegak lurus dengan proyeksitornya. Proyeksi pada bangun ruang meliputi proyeksi titik ke garis, proyeksi titik ke bidang, proyeksi garis ke garis, proyeksi garis ke bidang, dan proyeksi bidang ke bidang. Geometri Ruang 15

22 1. Proyeksi Titik Ke Garis Untuk proyeksi titik ke garis, titik sebagai proyeksian, dan garis sebagai proyeksitor. Gambar 2.1 Proyeksi Titik Ke Garis Dari gambar, proyeksi titik P ke segmen garis AB yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada garis AB. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis R (putus-putus) tegak lurus garis AB. 2. Proyeksi Titik Ke Bidang Proyeksi titik P ke bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari P pada bidang. P v P Gambar 2.2 Proyeksi Titik Ke Bidang Geometri Ruang 16

23 Keterangan: P = Proyeksi P pada bidang v. PP = Proyektor atau jarak titik P terhadap bidang v. Α = bidang proyeksi PP v 3. Proyeksi Garis Ke Garis Untuk proyeksi garis ke garis, garis pertama sebagai proyeksian dan garis kedua sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya. Gambar 2.3 Proyeksi Garis Ke Garis Dari gambar, proyeksi garis AB ke garis g yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada garis g. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan garis g. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = garis PR, dan proyeksitor = garis g. 4. Proyeksi Garis Ke Bidang Proyeksi garis AB ke bidang v adalah A B dan BB tegak lurus pada bidang v. Geometri Ruang 17

24 A B v A B Gambar 2.4 Proyeksi Garis Ke Bidang Proyeksi suatu garis lurus pada bidang datar pada umumnya berupa garis lurus pula. Garis AB// bidang v Proyeksi garis AB pada bidang v adalah garis AB 1 1 B A v A 1 B 1 Gambar 2.5 Proyeksi Garis Sejajar Bidang Garis AB menembus bidang v Proyeksi garis AB pada bidang v adalah garis AB 1 Geometri Ruang 18

25 A v B A 1 Gambar 2.6 Proyeksi Garis Menembus Bidang Garis AB bidang v Proyeksi garis AB pada bidang v adalah titik B. A v B Gambar 2.7 Proyeksi Garis Tegak Lurus Bidang Geometri Ruang 19

26 Contoh: H G E F D C v A B Gambar 2.8 Kubus ABCD.EFGH Pada Bidang v Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah titik A. Proyeksi titik E pada bidang v adalah titik A. Proyeksi garis FG pada bidang v adalah garis BC. Proyeksi garis BE pada bidang v adalah garis AB. 5. Proyeksi Bidang Ke Bidang Untuk proyeksi bidang ke bidang, bidang pertama sebagai proyeksian, dan bidang kedua sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya: Gambar 2.9 Proyeksi Bidang Ke Bidang Geometri Ruang 20

27 Dari gambar proyeksi bidang V ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah bidang Y. Bidang Y tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = bidang V, Hasil proyeksian = bidang Y, dan proyeksitor = bidang W. LATIHAN 1. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke garis HF! 2. Pada kubus ABCD. EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke bidang HDC! 3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AH ke bidang AD! 4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AE ke bidang AFH! 5. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AFH ke bidang ABCD! 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Hitunglah panjang proyeksi DE pada BDHF! 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika panjang rusuk kubus 6 cm. Hitunglah panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG! RANGKUMAN 1. Proyeksi adalah pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya atau dapat juga diartikan sebagai pencerminan proyeksian pada proyeksitor yang hasil proyeksiannya ada pada proyeksitor, dimana jika Geometri Ruang 21

28 proyeksian dan hasil proyeksian kita hubungkan dengan garis maka garis tersebut tegak lurus dengan proyeksitornya. 2. Proyeksian mewakili benda yang mau diproyeksikan dapat berupa titik, garis, atau bidang. Demikian juga proyeksitor yang mewakili benda sebagai tempat proyeksinya yaitu dapat berupa titik, garis, dan bidang. 3. Proyeksi pada bangun ruang meliputi proyeksi titik ke garis, proyeksi titik ke bidang, proyeksi garis ke garis, proyeksi garis ke bidang, dan proyeksi bidang ke bidang. Geometri Ruang 22

29 BAB 3 JARAK TITIK TERHADAP TITIK, GARIS, DAN BIDANG PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas tentang jarak. Jarak yang akan dibahas pada bab ini adalah jarak antara dua titik dan jarak titik terhadap garis dan bidang. Untuk bahasan tentang jarak garis dan jarak bidang akan dibahas pada bab-bab selanjutnya. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu: 1. Memahami jarak titik terhadap titik 2. Memahami jarak titik terhadap garis 3. Memahami jarak titik terhadap bidang MATERI PENYAJIAN A. Jarak Titik Terhadap Titik Kedudukan antara dua titik dibagi atas 2 bagian yaitu: 1. Dua titik berimpit adalah dua titik yang sama. Dua buah titik dapat terjadi keduanya berimpit. Dua buah titik yang berimpit dapat dipikirkan sebagai sebuah titik yang memiliki dua nama. 2. Dua titik berlainan Geometri Ruang 23

30 Jarak kedua buat titik dapat disajikan pada Gambar 3.1 berikut: A B C G D E F Gambar 3.1 Kedudukan Antara Dua Titik Pada Gambar 3.1: pasangan-pasangan titik B dan titik C, titik E dan titik F, merupakan pasangan/dua buah titik yang berimpit. Tampak bahwa ada satu gambar titik, namun mempunyai dua nama: B dan C, E dan F. Tampak juga pasangan-pasangan: titik A dan titik D, titik A dan titik G, titik D dan titik G, merupakan dua buah titik yang berlainan. Kita juga dapat mengatakan pasangan-pasangan: titik A dan titik B, titik A dan titik C, titik A dan titik E, titik A dan titik F, merupakan pasangan/dua buah titik yang berlainan. Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB, yang ditentukan dengan teorema Phytagoras, yaitu: 2 2 AB = x + y B A x y Geometri Ruang 24

31 Contoh: Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Misalkan P merupakan perpotongan diagonal bidang atas. Hitung jarak titik P dan A. H G P E F D C A B Penyelesaian: Perhatikan bahwa AEP siku-siku di E (AE bidang EFGH) AP AE EP 6 2 EG AP cm. 2 B. Jarak Titik Terhadap Garis Kedudukan titik terhadap garis dapat terjadi dalam dua kondisi, yaitu: Titik terletak pada garis artinya titik tersebut dilalui garis, ada pada garis, atau titik tersebut menjadi bagian dari garis. Geometri Ruang 25

32 Titik terletak di luar garis artinya titik tersebut tidak dilalui garis. Jarak Titik Ke Garis Dalam Ruang Jika titik dan garis terletak pada satu bidang Titik A dan garis g terletak pada bidang v. Untuk menentukan jarak titik A ke garis g yaitu: 1. Buatlah garis h yang melalui titik A dan memotong tegak lurus garis g di B. 2. Titik B adalah proyek titik A pada garis g. AB adalah jarak antara titik A dan garis g. v A B g h Jika Titik dan Garis Tidak Terletak pada satu Bidang. Garis g terletak pada bidang v. Untuk menentukan jarak antara titik A dan garis g, yaitu: 1. Buatlah garis AB yang tegak lurus bidang v. 2. Buatlah garis BC yang tegak lurus garis g. Geometri Ruang 26

33 3. AC adalah jarak antara titik A dan garis g. A v C g B Contoh: Balok ABCD.EFGH memiliki ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 6 cm. Misalkan titik P merupakan perpotongan diagonal bidang FH dan EG, titik R terletak di pertengahan ruas garis EH dan titik Q di pertengahan ruas garis AD. a. Tentukan jarak antara titik P dan garis AD. b. Tentukan jarak antara titik C dan garis EH. Penyelesaian: a. Titik P di luar bidang ADHE, sehingga jarak P dan garis AD dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut: Buatlah garis PR EH Buatlah garis RQ AD PQ adalah jarak titik P dengan garis AD PQ = PR + RQ PQ = = 2 13 cm. Geometri Ruang 27

34 b. Garis EH terletak pada bidang ADHE. CD ADHE dan DH EH. Jadi, jarak antara titik C dengan garis EH adalah CH CH = CD + DH CH = = 10 cm C. Jarak Titik Terhadap Bidang Kedudukan titik terhadap bidang dapat terjadi dalam dua kondisi, yaitu: Titik terletak pada bidang artinya titik dilalui oleh bidang atau titik berada di dalam bidang atau menjadi bagian bidang. Titik di luar bidang artinya titik tidak lalui bidang atau titik berada di luar bidang. Titik A terletak di luar bidang v. Untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang v adalah sebagai berikut: 1. Buatlah garis g yang melalui titik A dan tegak lurus bidang v. 2. Jika garis g menembus bidang di B, maka AB adalah jarak antara titik A dan bidang v. Geometri Ruang 28

35 A v B g Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitung jarak titik B ke bidang AFC! Penyelesaian: Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Titik B terletak pada bidang BDHF. Bidang BDHF dan bidang AFC berpotongan pada ruas garis FL. Misalkan BK adalah garis tinggi segitiga BLF, maka BK FL. BK menembus bidang AFC dan tegak lurus garis FL pada bidang AFC, maka BK merupakan jarak dari B ke bidang AFC. H G E F D K C L 6 cm A 6 cm B Geometri Ruang 29

36 Perhatikan FBL BF = 6 cm, LB = 1 2 DB = = 3 2 cm FL LB + BF FL = 54 = 3 6 cm FB 6 1 sinθ = = = 6 FL BK sinθ = BK = BLsinθ BL = cm = 12 = 2 3 cm K θ L 3 2 cm B Jadi, jarak titik B ke bidang AFC adalah 2 3 cm F LATIHAN 1. Perhatikan kubus di bawah ini! Jika kubus diatas memiliki panjang rusuk 6 cm, dan titik x merupakan titik ditengah-tengah AB, maka tentukanlah : Geometri Ruang 30

37 a. titik H ke titik A b. titik H ke titik X c. titik H ke titik B d. titik E ke titik X 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan: a. Jarak titik D ke garis BF b. Jarak titik B ke garis EG c. Jarak titik A ke garis BH 3. Perhatikan gambar di bawah ini! Diketahui panjang rusuknya 6 cm, dan x merupakan titik yang terletak di tengan AB. Tentukanlah: a. jarak titik X ke garis DE b. jarak titik X ke garis CE 4. Perhatikan gambar di bawah ini! Geometri Ruang 31

38 Jika rusuk kubus diatas adalah 6 cm, dan titik x merupakan titik tengah AB maka tentukanlah jarak titik X ke bidang CDEF? 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Titik P terletak pada perpanjangan BC sehingga BC = CP. Tentukan jarak titik P ke bidang BDHF! RANGKUMAN 1. Kedudukan antara dua titik dibagi atas 2 bagian yaitu: a. Dua titik berimpit adalah dua titik yang sama. Dua buah titik dapat terjadi keduanya berimpit. Dua buah titik yang berimpit dapat dipikirkan sebagai sebuah titik yang memiliki dua nama. b. Dua titik berlainan 2. Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB, yang ditentukan dengan teorema Phytagoras, yaitu: 2 2 AB = x + y 3. Kedudukan titik terhadap garis dapat terjadi dalam dua kondisi, yaitu: Geometri Ruang 32

39 a. Titik terletak pada garis artinya titik tersebut dilalui garis, ada pada garis, atau titik tersebut menjadi bagian dari garis. b. Titik terletak di luar garis artinya titik tersebut tidak dilalui garis. 4. Kedudukan titik terhadap bidang dapat terjadi dalam dua kondisi, yaitu: a. Titik terletak pada bidang artinya titik dilalui oleh bidang atau titik berada di dalam bidang atau menjadi bagian bidang. b. Titik di luar bidang artinya titik tidak lalui bidang atau titik berada di luar bidang. Geometri Ruang 33

40 BAB 4 JARAK GARIS TERHADAP GARIS DAN BIDANG PENDAHULUAN Bab ini merupakan lanjutan dari bab sebelumnya. Walaupun dalam bab ini masih membahas tentang jarak sebagaimana materi pada bab sebelumnya, namun yang dibahas dalam bab ini adalah tentang jarak garis terhadap garis dan bidang. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu: 1. Memahami jarak garis terhadap garis 2. Memahami jarak garis terhadap bidang MATERI PENYAJIAN A. Jarak Garis Terhadap Garis Sebelum membahas jarak garis terhadap garis, akan dibahas terlebih dahulu keberadaan dua buah garis diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu: Dua garis berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah Geometri Ruang 34

41 titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan Dua garis bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. Gambar 4.1 Pengklasifikasian Kedudukan Dua Buah Garis Geometri Ruang 35

42 Untuk penjelasan jarak antara garis ke garis, perhatikan gambar di bawah ini! Pada gambar di atas terdapat dua buah garis yaitu garis f dan garis g. Dari kedua garis itu ditarik sebuah garis yang tegak lurus dengan garis f dan garis g, sehingga terbentuk garis AP. Panjang garis AP ini merupakan jarak garis f dengan garis g. Jadi jarak garis ke garis merupakan jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu. Syarat agar bisa menghitung jarak dari garis ke garis adalah kedua garis tersebut harus sejajar atau bersilangan. Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai jarak garis ke garis sekarang perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Geometri Ruang 36

43 Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P, titik Q, titik R, serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut. (a) Hitunglah jarak garis PQ ke garis EG dan (b) hitunglah jarak garis PQ ke garis RS! Penyelesaian: (a) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan garis PQ dan garis EG! Garis tersebut dihubungkan sebuah garis XY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG. Untuk mencari garis tersebut Anda harus paham dengan konsep teorema Phytagoras. Sekarang cari panjang PQ dimana PB = ½ AB = 4 cm, maka: PQ = BP 2 + BQ 2 ) PQ = ) PQ = + 16) PQ = PQ = cm Sekarang cari panjang BY dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di Y di mana QY = ½ PQ = cm, maka: BY = BQ 2 QY 2 ) Geometri Ruang 37

44 BY = 2 2 ) BY = 8) BY = cm Sekarang cari panjang FX yang merupakan setengah panjang EG, maka: EG = EF 2 + FG 2 ) EG = ) EG = cm FX = ½ EG = cm Jika digambarkan akan menjadi seperti gambar berikut ini. Sekarang cari panjang UX: UX = FX BY UX = cm cm UX = 2 cm Terakhir hitung panjang XY: XY = UY 2 + UX 2 ) XY = ) XY = + 8) XY = Geometri Ruang 38

45 XY = cm Jadi panjang garis PQ dengan garis EG adalah cm. (b) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan garis PQ dan garis RS! Garis tersebut dihubungkan sebuah garis WY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG. Untuk mencari garis WY tersebut Anda harus paham dengan konsep teorema Phytagoras. Kita ketahui panjang BY = cm, EG = FH = cm dan panjang BY = HW, maka gambarnya akan menjadi: Sekarang cari panjang UW dengan menggunakan gambar di atas, yakni: UW = FH BY HW UW = 2 UW = cm Geometri Ruang 39

46 Terakhir hitung panjang WY: WY = UY 2 + UW 2 ) WY = ) WY = + 32) WY = WY = cm Jadi panjang garis PQ dengan garis RS adalah cm. B. Jarak Garis Terhadap Bidang Sebelum membahas jarak garis ke bidang, sebelumnya akan dibahas kedudukan garis terhadap bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu: Garis terletak pada bidang artinya garis dan bidang setidaknya mempunyai 2 titik persekutuan atau apabila garis menjadi bagian dari bidang. Garis sejajar bidang (garis di luar bidang) Sejajar bidang, artinya garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan atau garis tidak terletak pada bidang. Jika garis g sejajar dengan sebuah bidang, maka bidang tersebut memuat minimal satu garis yang sejajar dengan garis g. Garis memotong/menembus bidang artinya garis dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan atau jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik tembus (titik potong). Titik persekutuan ini disebut titik tembus. Secara umum dicontohkan pada gambar berikut: Geometri Ruang 40

47 (i) (ii) (iii) Gambar 4.5 Garis Terhadap Bidang Keterangan: (i) Garis terletak pada bidang (ii) Garis sejajar bidang (iii) Garis menembus bidang Sebagai pembahasan jarak garis ke bidang, perhatikan gambar berikut ini! Gambar di atas merupakan sebuah bidang dengan garis k. Kemudian garis k dan bidang tersebut dihubungkan sebuah garis AB yang tegak lurus dengan garis dan bidang Geometri Ruang 41

48 tersebut. Jarak garis AB tersebut merupakan jarak garis k dengan bidang. Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. Untuk memantapkan pemahaman anda tentang jarak garis ke bidang, perhatikan contoh berikut! Contoh: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P, titik Q, titik R, serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang DRS! Penyelesaian: Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Geometri Ruang 42

49 Perhatikan bidang DRS dan garis PQ! Garis YZ merupakan jarak antara bidang DRS dengan garis PQ di mana DX tegak lurus dengan garis YZ. Dengan menggunakan contoh soal no 1, maka HX = BY = cm, DY = cm dan XY = cm Sekarang cari panjang DX dengan teorema Phytagoras, yakni: DX = D( 2 + HX 2 ) DX = ) DX = + 8) DX = DX = cm Maka gambarnya menjadi: Sekarang cari panjang DO dengan menggunakan teorema phytagoras, yakni: DO = DY 2 OY 2 ) DO = 2 2 ) DO = 24) DO = DO = cm Geometri Ruang 43

50 Dengan menggunakan konsep luas segitiga maka: DX. YZ = XY. DO. YZ =.. YZ =. YZ = 16. YZ = 16/2 YZ= 8 cm Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah 8 cm. LATIHAN 1. Perhatikan gambar! Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 8 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 6 cm. Hitunglah jarak antara garis CD dan EF! 2. Perhatikan gambar! Geometri Ruang 44

51 Balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitung jarak antara garis AE dan bidang BCGF! 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Titik P dan Q membagi rusuk EH dan GH menjadi 2 sama panjang. Hitunglah jarak antara garis PQ dan bidang ACF! 4. Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan rusuk alas 8 cm dan tinggi 10 cm. Tentukan jarak garis AD ke bidang TBC! 5. Balok ABCD.EFGH berukuran 8 x 10 x 6. Titik P pada EH dan Q pada AD dengan EP : PH = 3:2 dan AQ : AD = 3:5. Tentukan jarak garis CG terhadap bidang BFPQ! RANGKUMAN 1. Kedudukan dua buah garis yang diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu: a. Dua garis berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit b. Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan Geometri Ruang 45

52 c. Dua garis bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. 2. Kedudukan garis terhadap bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu: a. Garis terletak pada bidang artinya garis dan bidang setidaknya mempunyai 2 titik persekutuan atau apabila garis menjadi bagian dari bidang. b. Garis sejajar bidang Sejajar bidang, artinya garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan atau garis tidak terletak pada bidang. Jika garis g sejajar dengan sebuah bidang, maka bidang tersebut memuat minimal satu garis yang sejajar dengan garis g. c. Garis memotong/menembus bidang artinya garis dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan atau jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik tembus (titik potong). Titik persekutuan ini disebut titik tembus. 3. Jarak garis ke garis merupakan jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu. 4. Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. Geometri Ruang 46

53 BAB 5 JARAK BIDANG KE BIDANG PENDAHULUAN Pembahasan materi jarak pada dimensi tiga meliputi jarak antara unsur ruang yaitu titik dan garis sudah dibahas pada bab sebelumnya. Namun secara khusus pada bab ini akan dibahas materi mengenai jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak bidang ke bidang. TUJUAN PEMBELAJARAN: Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami jarak bidang ke bidang. MATERI PENYAJIAN Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, diperlukan melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua. Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah. Geometri Ruang 47

54 Berikut ini akan diberikan contoh kasus jarak bidang ke bidang. Contoh: Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Tentukan jarak bidang FPQ ke bidang DRS! Penyelesaian: Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkahlangkah berikut: Menghitung panjang PQ: Geometri Ruang 48

55 PB = BQ = 21, panjang rusuk kubus = cm Sehingga, diperolah persamaan PQ seperti di bawah. 2 Segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tingg dan garis berat garis PQ. Jadi PM = 1 MQ = 21 PQ = cm 2 Mencari panjang BM (Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M): Mencari panjang FM (Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B): Geometri Ruang 49

56 Mencari panjang BD: BD = diagonal sisi Mencari Panjang DM: Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya. Keterangan: DM = FK = cm DK = FM = cm TK = BF = 8 cm Mencari panjang ML: Geometri Ruang 50

57 Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm. LATIHAN 1. Perhatikan gambar! Diketahui, kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm Hitunglah jarak bidang AFH ke bidang BDG! 2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AE = 8 cm dan BC = 6 cm. Hitung jarak antara: a. Bidang ADHE dan bidang BCGF b. Bidang PQRS dan bidang ABGH (titik P, Q, R dan S masing-masing adalah titik tengah AE, BF, FG dan EH) RANGKUMAN Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Geometri Ruang 51

58 BAB 6 SUDUT ANTARA DUA GARIS DALAM RUANG PENDAHULUAN Masih ingatkah anda dengan materi sebelumnya tentang jarak antara dua buah garis? Materi tersebut masih berhubungan dengan materi yang akan dibahas pada bab ini yaitu cara mencari besar sudut antara garis dengan garis. Kita ketahui bahwa kedudukan dua buah garis ada empat yakni: dua garis berpotongan dan saling bersilangan, berimpit, dan saling sejajar. TUJUAN PEMBELAJARAN: Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami sudut antara dua garis dalam ruang. MATERI PENYAJIAN Sebelum kita membahas besar sudut ditinjau dari kedudukan dua buah garis, akan dibahas jenis-jenis sudut ditinjau dari besar sudutnya. Adapun jenis-jenis sudut tersebut adalah: a. Sudut 0 0 Geometri Ruang 52

59 Sudut dimana kaki-kakinya berimpit dengan jarak putar ( 0 ). b. Sudut Lancip Sudut yang besarnya antara 0-90 atau c. Sudut Siku Siku Sudut yang besarnya 90. d. Sudut Tumpul Sudut yang besarnya lebih dari 90 tetapi kurang dari 180 atau 90 A 180 e. Sudut Lurus Sudut yang besarnya 180 f. Sudut Refleks Sudut yang besarnya Sekarang kita akan membahas tentang besar sudut berdasarkan kedudukan dua buah garis yang meliputi: 1. Sudut Antara Dua Garis Berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan, maka dua garis tersebut berada dalam bidang yang sama. Maka untuk menentukan sudut antara dua garis yang berpotongan sama seperti menentukan sudut berpotongan pada bidang datar. l p k q Geometri Ruang 53

60 2. Sudut Antara Dua Garis Bersilangan Dua garis dikatakan bersilangan, maka dua garis tersebut berada dalam bidang yang berlainan. Maka untuk menentukan sudut antara dua garis yang bersilangan, dengan cara menggeser salah satu garis atau keduanya sehingga keduanya terletak pada bidang yang sama. Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut antara dua garis yang bersilangan yang dimaksud. Gambar di atas adalah cara menentukan besar sudut antara dua garis yang bersilangan DE dan HF. Perlu di ingat** Sudut antara garis x dengan garis y dilambangkan dengan (x,y). Jika besar (x,y) = 90 serta x dan y berpotongan, maka garis x dan y dikatakan berpotongan tegak lurus; dan x dan y bersilangan, maka garis x dan x dikatakan bersilangan tegak lurus. 3. Sudut Antara Dua Garis Yang Sejajar Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! Geometri Ruang 54

61 Gambar di atas merupakan jarak dua buah garis yang saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0 Untuk memantapkan pemahaman anda tentang sudut yang dibentuk oleh sudut antara garis dan garis silahkan lihat dan pahami contoh soal di bawah ini. Contoh: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Jika titik P berada di tengah-tengah rusuk AB, titik Q berada di tengah-tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. Tentukan: (a) Besar sudut antara garis AF dan garis FP (b) Besar sudut garis AG dengan GQ Penyelesaian: (a) Perhatikan gambar di bawah ini! Geometri Ruang 55

62 Sudut yang dibentuk oleh garis AF dengan garis FP adalah. Untuk mencari besar Anda harus mencari panjang AF, panjang FP, dan panjang AP. AP = ½ AB AP = ½ 10 cm AP = 5 cm Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni: AF = s AF = cm Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni: FP = BF 2 + BP 2 ) FP = ) FP = FP = cm Cari besar dengan aturan cosinus yakni: AP 2 = AF 2 + FP 2 2AF.FP.cos 5 2 = cos 25 = cos.cos = cos = 300 cos = / cos = / cos = / arc cos / = 18,43. Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43 Geometri Ruang 56

63 (b) Perhatikan gambar di bawah ini. Sudut yang dibentuk oleh garis AG dengan garis GQ adalah. Untuk mencari besar Anda harus mencari panjang AG, panjang GQ, dan panjang AQ. Panjang AC = DB yang merupakan diagonal sisi kubus, yakni: AC = s AC = AQ = ½ AC AQ = ½ cm AQ = cm Cari panjang AG dengan rumus panjang diagonal ruang kubus yakni: AG = s AG = cm Cari panjang GQ dengan teorema phytagoras yakni: Geometri Ruang 57

64 GQ = CQ 2 + CG 2 ) GQ = ) GQ = GQ = cm Cari besar dengan aturan cosines yakni: AQ 2 = AG 2 + GQ 2 2AG.GQ.cos 2 = cos 50 = cos 50 = 450. cos. cos = cos = 400 cos = / cos = / cos = / cos = / arc cos / = 19,47 Jadi, besar sudut garis AG dengan GQ adalah 19,47 LATIHAN 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung besar sudut antara: a. AH dan HC b. AF dan BG c. EB dan HP 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika titik P berada di tengah-tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. Hitung besar sudut antara: Geometri Ruang 58

65 a. Garis AF dan garis FP b. Garis AG dan FQ 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika BE dan AH masingmasing diagonal sisi ABFE dan ADHE. Hitunglah besar sudut antara BE dan AH! 4. Pada kubus ABCD.EFG(, panjang rusuk cm. adalah sudut antara garis AD dengan garis AH. Tentukan nilai tan dan! 5. Pada kubus ABCD.EFG(, panjang rusuk cm. adalah sudut antara garis AD dengan garis diagonal ruang HB. Tentukan nilai tan, sin dan cos! RANGKUMAN 1. Adapun jenis-jenis sudut tersebut adalah: a. Sudut 0 0, Sudut dimana kaki-kakinya berimpit dengan jarak putar ( 0 ). b. Sudut Lancip Sudut yang besarnya antara 0-90 atau c. Sudut Siku Siku Sudut yang besarnya 90. d. Sudut Tumpul Sudut yang besarnya lebih dari 90 tetapi kurang dari 180 atau 90 A 180 e. Sudut Lurus Sudut yang besarnya 180 f. Sudut Refleks Sudut yang besarnya Geometri Ruang 59

66 2. Besar sudut berdasarkan kedudukan dua buah garis yang meliputi: a. Sudut antara dua garis berpotongan b. Sudut antara dua garis bersilangan c. Sudut antara dua garis yang sejajar Geometri Ruang 60

67 BAB 7 SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG PENDAHULUAN Pada dasarnya sudut dibentuk oleh dua buah sinar yang memiliki titik ujung yang sama. Besar sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara haris tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami sudut antara garis dan bidang dalam ruang. MATERI PENYAJIAN Jika suatu garis tidak tegak lurus pada bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis dan proyeksi garis tersebut pada bidang. P'Q = proyeksi garis PQ pada bidang Geometri Ruang 61

68 Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang? Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan kedudukan garis terletak di bidang atau berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar dengan bidang. Kita ketahui bahwa bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0. Maka sudut yang dibentuk oleh Geometri Ruang 62

69 garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit adalah 0. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! Pada gambar di atas merupakan sebuah garis g yang menembus bidang ABCD di titik O. Proyeksi garis g akan membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar. Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang. Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam bangun ruang dimensi tiga silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Geometri Ruang 63

70 Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD dengan garis PQ adalah R. (a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidang FPQ! Penyelesaian: (a) Perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah. Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras: PQ = BP 2 + BQ 2 ) Geometri Ruang 64

71 PQ = ) PQ = + 4) PQ = cm Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = cm, maka: BR = BP 2 PR 2 ) BR = 2 2 ) BR = 2) BR = cm Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni: BD = s BD = cm Cari panjang DR DR = BD BR DR = cm cm DR = cm tan = DH/DR tan = 4 cm/ cm) tan = / tan = / arc tan / = 43,31 Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31. Geometri Ruang 65

72 (b) Perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah. Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras: PQ = BP 2 + BQ 2 ) PQ = ) PQ = + 4) PQ = cm Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = cm, maka: BR = BP 2 PR 2 ) BR = 2 2 ) BR = 2) BR = cm Cari panjang FR, yakni: FR = BR 2 + BF 2 ) FR = ) Geometri Ruang 66

73 FR = FR = cm Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni: BD = s BD = cm Cari panjang DR DR = BD BR DR = cm cm DR = cm Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni: HR = D( 2 + DR 2 ) HR = ) HR = cm Cari besar dengan aturan cosinus yakni: FH 2 = HR 2 + FR 2 2.HR.FR.cos 2 = cos 32 = cos 32 = 52. cos. cos = cos = 20 cos = / cos = / cos = / cos = 0,4 Geometri Ruang 67

74 arc cos 0,4 = 23,6 Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidang FPQ adalah23,6 LATIHAN 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Tentukan kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG! 2. Terdapat kubus ABCD.EFGH. Hitunglah besar sudut antara CG dan BDG! 3. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AF( adalah. (itunglah nilai sin! 4. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Hitunglah besar sudut antara TA dan bidang ABCD! RANGKUMAN 1. Jika suatu garis tidak tegak lurus pada bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis dan proyeksi garis tersebut pada bidang. 2. Sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit adalah 0. Geometri Ruang 68

75 BAB 8 SUDUT ANTARA DUA BIDANG DALAM RUANG PENDAHULUAN Kita telah ketahui bahwa kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu dua bidang yang saling berimpit, sejajar, dan berpotongan. Bagaimana mencari besar sudut yang dibentuk dua buah bidang? TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami sudut antara dua bidang dalam ruang. MATERI PENYAJIAN Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan, garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. Geometri Ruang 69

76 Gambar diatas menunjukkan sudut antara bidang TBA dengan bidang ABC. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan kedudukan bidang terhadap bidang lainnya. Gambar pertama merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling berimpit dan gambar kedua merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling sejajar. Kita ketahui bahwa pengertian bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Geometri Ruang 70

77 Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar atau garis yang berimpit adalah 0. Selain itu sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang sejajar dan yang berimpit adalah 0. Maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang saling sejajar atau saling berimpit juga sama dengan 0. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan dua buah bidang yang saling berpotongan, di mana bidang ABCD saling berpotongan dengan bidang EFGH di garis g. Adapun cara menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang ABCD dan bidang EFGH di atas adalah sebagai berikut. =>Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta berpotongan di titik M =>Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan berimpit dengan garis EFGH serta bepotongan di titik M Geometri Ruang 71

78 =>Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh dua bidang tersebut. Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. Bagaimana Anda masih bingung? Jika Anda masih bingung, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini. Contoh: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 4 cm, dan adalah sudut yang dibentuk oleh ACF dan ACGE, maka tentukan nilai sin dan hitung besar sudut! Penyelesaian: Perhatikan gambar berikut. Geometri Ruang 72

79 Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni: BD = s BD = cm Cari panjang FS dengan teorema phytagoras, di mana panjang BS merupakan setengah panjang diagonal bidang BD. BS = ½ BD = ½. cm = cm FS = BS 2 + BF 2 ) FS = ) FS = FS = cm sin = FT/FS (FT = BS) sin = / sin = / sin = / sin = / arc sin / = 35,26 Jadi, nilai sin dan besar sudut adalah / dan 35,26 Geometri Ruang 73

80 LATIHAN 1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah besar sudut antara: a. Bidang ABCD dengan bidang ADHE b. Bidang ABCD dengan bidang ABGH 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika merupakan sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD, hitung nilai tan! 3. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak cm dan panjang rusuk alas cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah. (itunglah cos! 4. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC. dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung kosinus sudut antara bidang TAB dengan bidang CAB! RANGKUMAN 1. Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan, garisgaris itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. 2. Sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang saling sejajar atau saling berimpit juga sama dengan Sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. Geometri Ruang 74

81 BAB 9 BENTUK BIDANG BANYAK, SIFAT, UNSUR, JARING-JARING, DAN RUMUS KUBUS PENDAHULUAN Suatu bidang-banyak (polyhedron) adalah gabungan dari sejumlah terhingga (finite) daerah-daerah segibanyak, sedemikian sehingga setiap sisi dari suatu daerah segi banyak merupakan sebuah sisi dari tepat sebuah segi banyak yang lain, dan jika sisi-sisi dari daerah-daerah segi banyak tersebut berpotongan, maka sisi-sisi tersebut berpotongan pada satu titik atau pada sebuah sisi. Sebuah bidang-banyak dapat divariasi seperti memvariasi segi banyak. Salah satu bidang banyak adalah kubus. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendapati bangun bangun yang berbentuk kubus, diantaranya adalah dadu, dan lain-lainnya. Pada bab ini akan dibahas tentang bentuk bidang banyak secara umum. Selain itu akan dibahas sifat, unsur-unsur, diagonal ruang, jaring-jaring dan rumus kubus. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu: Geometri Ruang 75

82 1. Memahami bentuk bidang banyak. 2. Memahami tentang sifat, unsur-unsur, diagonal ruang, jaring-jaring dan rumus kubus. MATERI PENYAJIAN A. Bentuk Bidang Banyak Bidang banyak disebut juga polyhedron. Bidang banyak merupakan suatu bidang banyak yang mempunyai batas-batas terdiri dari daerah-daerah polygon yang saling berpotongan. Poligon merupakan bangun datar bersisi lurus. Bidang banyak mempunyai sisi, rusuk dan titik sudut. Sisi merupakan daerah polygon dari bidang banyak atau polihedron. Rusuk merupakan segmen garis pertemuan dua sisi. Titik sudut merupakan titik potong dua rusuk. Bidang banyak terkait dengan bangun ruang. Bangun ruang merupakan sebuah bangun yang memiliki ruang yang dibatasi oleh beberapa sisi. Jumlah dan model yang membatasi bangun tersebut menentukan nama dan bentuk bangun tersebut. Geometri Ruang 76

83 Sebuah bidang-banyak dapat divariasi seperti memvariasi segibanyak Klasifikasi Bidang-Banyak Didasarkan pada B anyak Permukaan (bidang-sisi)-nya Geometri Ruang 77

84 Jenis bidang-banyak (polyhedron) bidangempat bidanglima bidangenam bidangtujuh bidangdelapan bidangsembilan bidangsepuluh bidangsebelas bidangduabelas bidangduapuluh (tetrahedron) (pentahedron) (hexahedron) (heptahedron) (octahedron) (nanohedron) (decahedron) (undecahedron) (dodecahedron) (icosahedron) banyak permukaan (face) 4 buah 5 buah 6 buah 7 buah 8 buah 9 buah 10 buah 11 buah 12 buah 20 buah B. Sifat, Unsur-Unsur, Jaring-Jaring, dan Rumus Kubus Sifat-Sifat Kubus: Semua sisi kubus berbentuk persegi. Semua rusuk kubus beukuran sama panjang. Geometri Ruang 78

85 Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi panjang. Unsur-Unsur Kubus a. Sisi atau Bidang Kubus Sisi atau Bidang Kubus adalah Bidang atau sisi yang membatasi Kubus. Kubus memiliki 6 sisi. Perhatikan gambar kubus diatas, yang merupakan sisi atau bidang kubus yaitu (ABCD), (EFGH), (ABFE), (DCGH), (BCGF), dan (ADHE). b. Rusuk Rusuk adalah garis potongan antar dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Geometri Ruang 79

86 Kubus memiliki 12 rusuk. Perhatikan gambar kubus diatas, yang merupakan Rusuk yaitu AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan HE. c. Titik Sudut Titik Sudut adalah titik potongan antara dua atau 3 rusuk. Kubus memiliki 8 titik sudut. Perhatikan gambar kubus diatas, yang merupakan Titik Sudut yaitu A, B, C, D, E, E, F, G, dan H. d. Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang 1. Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Kubus memiliki 12 diagonal sisi atau diagonal bidang. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Geometri Ruang 80

87 Yang merupakan diagonal bidang diantaranya : AF, BE, BG, CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan HF. Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kubus di bawah ini. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada kubus? Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga: BE = AB 2 + AE 2 ) BE = s 2 + s 2 ) BE = s 2 BE = s Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan: b = s Geometri Ruang 81

88 2. Diagonal Ruang Diagonal Ruang adalah garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang saling berhadapkan dalam satu ruang. Kubus memiliki 4 diagonal ruang. Perhatikan gambar kubus dibawah ini. Yang merupakan diagonal ruang adalah AG, BH, CE, dan DF. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang kubus? Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Geometri Ruang 82

89 Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD siku-siku di A. Sehingga: BD = s Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH siku-siku di D. Sehingga: B( = BD 2 + DH 2 ) B( = s 2 + s 2 ) B( = s 2 + s 2 ) B( = s 2 ) B( = s Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan: d = s e. Bidang Diagonal Kubus Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Terdapat 6 Bidang diagonal pada Kubus. Perhatikan gambar dibawah ini: Geometri Ruang 83

90 Bidang ABGH disebut bidang diagonal, selain itu yang merupakan bidang diagonal yaitu ACGE, AFGD, CDEF, BFHD, dan BEHC. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni: Luas ABGH = AB. BG Luas ABG( = s. s Luas ABGH = s 2 Jaring-Jaring Kubus Jaring-Jaring adalah bidang datar yang berupa gabungan dari bangun datar yang membentuk sebuah bangun ruang seperti kubus, balok, prisma, limas dan lain sebagainya. Jaring-jaring bisa didapatkan dengan cara membagi sebuah bangun ruang dengan mengikuti rusukrusuknya. Pada bagian ini kita akan membahas tentang bentuk jaring-jaring kubus. Jaring-jaring kubus terdiri dari 6 buah bangun datar persegi atau bujur sangkar. Ada 11 buah jaring-jaring kubus. Berikut adalah gambar jaring-jaring kubus: Geometri Ruang 84

91 Keterangan: A : Alas T : Tutup Rumus-Rumus Kubus: Luas Permukaan (L) = 6.S 2 Volume (V) = S 3 Keliling (K) = 12.S Geometri Ruang 85

92 Diagonal Bidang/sisi (Ds) = S Diagonal Bidang/sisi seluruhnya (Dss) =. S Diagonal Ruang (Dr) = S Luas Bidang Diagonal = S 2 Luas Bidang Diagonal seluruhnya = 6. S 2 Keterangan: S : rusuk atau sisi Contoh: Diketahui volume sebuah kubus sama dengan 27cm 3. Hitunglah: a. Panjang sisi kubus b. Keliling kubus c. Luas kubus Penyelesaian: a. Volume = 27 cm 3 Volume = sisi x sisi x sisi 27cm 3 = sisi 3 3 sisi = 27 3cm Panjang sisi kubus adalah 3 cm b. Keliling = 12 x s K = 12 x 3 cm K = 36 cm c. Luas = 6 s 2 Luas = 6 x 3 2 = 6 x 9 = 54 cm 2 Geometri Ruang 86

93 Contoh: Diketahui luas permukaan sebuah kotak berbentuk kubus 96 cm 2. Hitunglah volume kotak tersebut. Penyelesaian: Untuk menjawab soal ini anda harus menguasai konsep luas permukaan kubus. Kita harus mencari panjang rusuk kubus dengan menggunakan luas permukaan kubus yaitu Luas permukaan = 6s 2 s = Luas permukaan/6) s = cm 2 /6) s = cm 2 ) s = 4 cm Sekarang kita cari volume kubus yaitu Volume = s 3 Volume = (4 cm) 3 Volume = 64 cm 3 Jadi, volume kubus tersebut adalah 64 cm 3 Contoh: Sebuah kubus memiliki volume 343 cm 3. Jika panjang rusuk kubus tersebut diperbesar menjadi 4 kali panjang rusuk semula, tentukan volume kubus yang baru! Penyelesaian: Kita harus mencari panjang rusuk awal (s0), yakni: V0 = s cm 3 = s 3 (7 cm) 3 = s 3 s0 = 7 cm Geometri Ruang 87

94 Sekarang kita hitung panjang jika rusuk tersebut diperbesar 4 kali dari panjang semula, maka s1 = 4s0 s1 = 4.7 cm s1 = 28 cm Sekarang kita hitung volume kubus setelah rusuknya diperbesar 4 kali yakni: V1 = s 3 V1 = (28 cm) 3 V1 = cm 3. Jadi volume kubus setelah diperbesar 4 kali adalah cm 3. LATIHAN 1. Jika panjang sisi sebuah bukus adalah 10 cm. Hitunglah: a. Volume b. Keliling c. Luas permukaan 2. Sebuah kotak kayu berbentuk kubus memiliki luas permukaan cm 2. Hitunglah panjang sisi kotak kayu tersebut? 3. Sebuah peti kayu yang berbentuk kubus mempunyai panjang sisi 14 cm. Hitunglah berapa volume kubus tersebut? 4. Sebuah kubus panjang rusuknya 8 cm, kemudian rusuk tersebut diperkecil sebesar ¾ kali panjang rusuk semula. Berapa volume kubus sebelum dan setelah diperkecil? Geometri Ruang 88

95 RANGKUMAN 1. Sifat-Sifat Kubus: a. Semua sisi kubus berbentuk persegi. b. Semua rusuk kubus beukuran sama panjang. c. Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. d. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. e. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi panjang. 2. Unsur-unsur kubus meliputi: a. Sisi atau bidang kubus b. Rusuk c. Titik Sudut d. Diagonal bidang dan diagonal ruang 3. Jaring-jaring kubus terdiri dari 6 buah bangun datar persegi atau bujur sangkar. Ada 11 buah jaring-jaring kubus. 4. Rumus-rumus kubus meliputi: a. Luas Permukaan (L) = 6.S 2 b. Volume (V) = S 3 c. Keliling (K) = 12.S d. Diagonal Bidang/sisi (Ds) = S e. Diagonal Bidang/sisi seluruhnya (Dss) =. S f. Diagonal Ruang (Dr) = S g. Luas Bidang Diagonal = S 2 h. Luas Bidang Diagonal seluruhnya = 6. S 2 Geometri Ruang 89

96 BAB 10 SIFAT, UNSUR, JARING-JARING, DAN RUMUS BALOK PENDAHULUAN Balok adalah bangun ruang 3 dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang dengan paling tidak ada sepasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok memiliki sifat, unsur, dan juga rumus seperti luas permukaan, volume, bidang diagonal, diagonal bidang, dan diagonal ruang. Pada bab ini akan dibahas tentang itu. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, jaring-jaring dan rumus kubus. Geometri Ruang 90

97 MATERI PENYAJIAN Sifat-Sifat Balok Sisi-sisi balok berbentuk persegi panjang. Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang. Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang. Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang. Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegi panjang. Unsur-Unsur Balok a. Sisi atau Bidang Sisi balok adalah bidang yang membatasi balok. Balok memiliki 6 sisi. Perhatikan gambar diatas yang merupakan yang merupakan sisi adalah sisi bawah (ABCD); sisi atas (EFGH); sisi depan (ABFE); sisi belakang (DCGH);sisi samping kiri (BCGF); dan sisi samping kanan(adhe). Geometri Ruang 91

98 Balok memiliki 3 pasang sisi yang sama bentuk dan ukurannya. Pasangan tersebut adalah: Sisi ABFE = sisi DCGH Sisi ABCD = sisi EFGH Sisi BCGF = sisi ADHE b. Rusuk Rusuk adalah garis potongan antar dua sisi bidang balok dan terlihat seperti kerangka yang menyusun balok. Sama seperti kubus, balok memiliki 12 rusuk. Perhatikan gambar kubus diatas yang merupakan rusuk adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan HD. c. Titik Sudut Titik Sudut adalah titik potongan antara dua atau 3 rusuk. Balok memiliki 8 titik sudut. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan titik sudut yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. d. Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang 1. Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 12 Diagonal bidang. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan diagonal bidang yaitu AF, BE, BG, CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan HF. Geometri Ruang 92

99 2. Diagonal Ruang Diagonal Ruang adalah garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang saling berhadapkan dalam satu ruang. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 4 diagonal ruang. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan diagonal ruang yaitu AG, BH, CE, dan DF. e. Bidang Diagonal Bidang diagonal adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 6 bidang diagonal. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan bidang diagonal yaitu ACGE, AFGD, CDEF, BFHD, dan BEHC. Jaring-Jaring Balok Jaring-jaring balok ada 11 buah. Kesemuanya itu dapat dilihat pada gambar berikut! Geometri Ruang 93

100 Geometri Ruang 94

101 Geometri Ruang 95

102 Geometri Ruang 96

103 Geometri Ruang 97

104 Geometri Ruang 98

105 Rumus-Rumus Balok Luas permukaan (L) = 2.(p.l+p.t+l.t) Volume (V) = p.l.t Panjang diagonal ruang (Dr) = p 2 +l 2 +t 2 ) Panjang Diagonal Bidang Db1 : s 2 +s 2 ) Db2 : s 2 +s 2 ) Db3 : s 2 +s 2 ) Luas Bidang Diagonal Lb1 : Db1.t Lb2 : Db2.l Lb3 : Db3.p Contoh: Diketahui sebuah balok berukuran sebagai berikut! a. Tentukan luas permukaan balok! b. Tentukan Volume balok! Penyelesaian: Diketahui: p = 5 cm Geometri Ruang 99

106 l = 3 cm t = 4 cm Ditanya: a. Luas permukaan (L)? b. Volume (V)? Penyelesaian: A. Luas Permukaan Balok L : 2.(p.l+p.t+l.t) L : 2.( ) L : 2.( ) L : 2 (47) L : 94 Jadi luas permukaan balok adalah 94 cm 2. B. Volume Balok V = p.l.t V = V = 60 Jadi Volume balok tersebut adalah 60 cm 3. Contoh: Perhatikan gambar balok dibawah ini! Diketahui panjang AB= 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 5 cm. Hitunglah: Geometri Ruang 100

107 a. Panjang AF b. Panjang AC c. Panjang AH Penyelesaian: a). Panjang AF dapat dihitung dengan teorema phytagoras. Perhatikan segitiga ABF siku-siku di B, maka: AF = AB 2 + BF 2 ) AF = ) AF = + AF = AF = 13 cm b). Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC = AB 2 + BC 2 ) AF = ) AF = + AF = AF = cm Geometri Ruang 101

108 c). Perhatikan segitiga AEH siku-siku di E, maka: AC = AE 2 + EH 2 ) AF = ) AF = + AF = cm Contoh: Sebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 8 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah berapa panjang diagonal ruang balok? Penyelesaian: Diketahui: p = 12 cm l = 8 cm t = 4 cm Ditanya: Diagonal ruang (Dr)? Jawab: Dr = p 2 +l 2 +t 2 ) Dr = ) Dr = Dr = Contoh: Perhatikan gambar balok berikut ini! Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 6 cm. Hitunglah luas bidang diagonal ABGH! Geometri Ruang 102

109 Penyelesaian: Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini. Terlebih dahulu harus cari panjang BG dengan teorema phytagoras. BG = BC 2 + CG 2 ) BG = ) BG = + BG = BG = 10 cm Luas bidang diagonal ABGH dapat dicari dengan rumus persegi panjang, yaitu: Luas ABGH = AB. BG Luas ABGH = 12 cm. 10 cm Luas ABGH = 120 cm 2 LATIHAN 1. Apabila sebuah balok memiliki volume 480cm 3 dengan panjang dan tinggi sisi berturut-turut 10cm dan 8cm. Maka berapakah lebar dari balok tersebut? Dan Geometri Ruang 103

110 berapakah jumlah luas permukaannya? 2. Apabila luas permukaan dari sebuah balok adalah 202cm 3. Hitunglah lebar dari balok tersebut apabila panjangnya adalah 5 cm dan tingginya adalah 2cm! 3. Badu memiliki bak berbentuk balok dengan tinggi 50 cm, lebarnya 70 cm dan panjang 90 cm. Bak tersebut akan diisi air. Berapa banyak air yang dibutuhkan untuk mengisi 2/3 bagian bak milik badu? 4. Sinta ingin membuat bak sampah berbentuk balok. Ia menginginkan lebar bak sampah tersebut 30 cm, dengan panjang 3/2 kali lebarnya dan tinggi bak sampah 4 lebihnya dari ukuran lebar. Berapakah volume bak sampah sinta? 5. Sebuah balok memiliki panjang 15 cm, dan lebarnya 10 cm. Jika volume balok tersebut 6 liter. Hitung: a. Tinggi b. Luas permukaan balok 6. Suatu tempat beras berbentuk balok dengan ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 10 cm, 15 cm, dan 1m. tempat beras tersebut akan diisi penuh dengan beras seharga Rp ,00 perliter. Berapa uang yang harus dikeluarkan untuk membeli beras tersebut? Geometri Ruang 104

111 RANGKUMAN 1. Sifat-sifat balok a. Sisi-sisi balok berbentuk persegi panjang. b. Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang. c. Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang. d. Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang. e. Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegi panjang. 2. Unsur-unsur balok meliputi: a. Sisi atau bidang balok b. Rusuk c. Titik sudut d. Diagonal bidang dan diagonal ruang 3. Jaring-jaring balok ada 11 buah. 4. Rumus-rumus balok sebagai berkut: Luas permukaan (L) = 2.(p.l+p.t+l.t) Volume (V) = p.l.t Panjang diagonal ruang (Dr = p 2 +l 2 +t 2 ) Panjang Diagonal Bidang Db1 : s 2 +s 2 ) Db2 : s 2 +s 2 ) Db3 : s 2 +s 2 ) Luas Bidang Diagonal Lb1 : Db1.t Geometri Ruang 105

112 Lb2 : Db2.l Lb3 : Db3.p Geometri Ruang 106

113 BAB 11 SIFAT, UNSUR, JARING-JARING, DAN RUMUS PRISMA PENDAHULUAN Prisma adalah salah satu bentuk bangun ruang yang dibatasi oleh 2 bangun datar yang kongruen (sama dan sebangun) dan sejajar. Dua bangun yang membatasi tersebut disebut dengan bidang alas dan bidang atas/tutup. Ada banyak macam jenis prisma diantaranya prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, prisma segi enam, prisma trapesium, prisma belah ketupat, dan lain sebagainya. Berikut adalah contoh dari bangun prisma: Geometri Ruang 107

114 TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, jaring-jaring, dan rumus prisma. MATERI PENYAJIAN Sifat-Sifat Prisma Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen (sama dan sebangun). Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegi panjang. Prisma memiliki rusuk yang tegak dan adapula yang tidak tegak. Setiap diagonal bidang bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. Unsur-Unsur Prisma Berikut adalah unsur-unsur dari prisma segi enam yang mewakili adalah unsur-unsur prisma. Perhatikan gambar berikut! Geometri Ruang 108

115 a. Sisi atau Bidang Prisma segi enam memiliki 8 sisi atau bidang. Perhatikan gambar diatas yang merupakan sisi atau bidang prisma segi enam, adalah: Sisi alas = ABCDEF Sisi atas = GHIJK Sisi depan = BCIH Sisi belakang = FEKL Sisi Depan Kanan = ABHG Sisi Belakang Kanan = AFLG Sisi Depan Kiri = CDJI Sisi Belakang Kiri = DEKJ b. Rusuk Prisma segi enam memiliki 18 rusuk, 6 diantaranya rusuk tegak. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan rusuk yaitu AB, BC, CD, DE, EF, FA, GH, HI, IJ, JK, KL,LG, rusuk tegaknya yaitu AG, BH, CI, DJ, EK, FL. c. Titik Sudut Prisma segi enam memiliki 12 titik sudut yaitu A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, dan L. d. Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang 1. Diagonal Bidang Prisma segienam memiliki 16 diagonal Bidang atau Diagonal sisi, perhatikan gambar diatas yang merupakan diagonal bidang diantaranya: Geometri Ruang 109

116 BG, CJ, BI, AH, HC, ID, DK, JE, KF, LE, LA, GF, HK, IL, BE, dan CF. Bidang Diagonal Perhatikan gambar diatas yang merupakan bidang diagonal diantaranya BFKI, ECHL, KLBC, HIEF dan lain sebagainya. 2. Diagonal Ruang Pada gambar prisma segi enam di atas dapat diketahui bahwa terdapat 36 diagonal ruang yang merupakan diagonal ruang antara lain: AI, AJ, AK, BJ, BK, BL dan lain sebagainya. Jaring-Jaring Prisma Jaring-jaring prisma dapat dibuat dengan mengiris beberapa rusuk prisma sehingga prisma tersebut dapat direbahkan pada suatu bidang datar. Berdasarkan jenis prisma, akan ditunjukkan jaring-jaring prisma yang mewakili masing-masing jenis prisma. 1. Jaring-Jaring Prisma Segitiga Jaring-jaring prisma segitiga memiliki 2 sisi alas yang berbentuk segitiga dan 3 sisi tegak yang berbentuk persegi atau persegi panjang. Dengan mengiris rusuk-rusuk prisma yang berbeda, kita juga akan mendapat jaring-jaring prisma yang berbeda pula. Berikut contoh jaring-jaring dari prisma! Geometri Ruang 110

117 a. Jaring-Jaring Prisma Segitiga Siku-Siku b. Jaring-Jaring Prisma Segitiga Sama Sisi 2. Jaring-Jaring Prisma Trapesium Sama Kaki Jaring-jaring prisma trapesium sama kaki mewakili prisma segi empat. Geometri Ruang 111

118 3. Jaring-Jaring Prisma Segi Lima a. b. c. Geometri Ruang 112

119 4. Jaring-Jaring Prisma Segi Enam a. b. 5. Jaring-Jaring Prisma Segi Tujuh Geometri Ruang 113

120 Rumus-Rumus Prisma: Luas Permukaan Prisma (L) L = 2 x Luas alas + Luas sisi tegak L = 2 x Luas alas + (Keliling alas x tinggi) Volume Prisma (V) V = Luas alas x Tinggi Contoh: Tentukanlah volume prisma yang memiliki luas alas 38 cm 2 dan tinggi 45 cm! Penyelesaian: Diketahui: Luas alas : 38 cm 2 Tinggi : 45 cm Ditanya : Volume (v)? Jawab: V = Luas alas x tinggi V = 38 x 45 V = 1710 cm 3 Jadi volume prisma tersebut adalah 1710 cm 3 Contoh: Volume sebuah prisma segitiga adalah 186 cm 3. Tentukan luas alas prisma tersebut adalah 31 cm 2. tinggi prisma tersebut! Penyelesaian: Diketahui: Volume = 186 cm 3 Tinggi = 31 cm 2 Geometri Ruang 114

121 Ditanya: Tinggi (t) Jawab : V = Luas alas x tinggi 186 = 31 x t 31 x t = 186 t = 186/31 t = 6 cm Jadi tinggi prisma tersebut adalah 6 cm. Contoh: Perhatikan gambar dibawah ini! Diketahui panjang AC = 12 cm, BC = 9 cm dan BE = 46 cm, maka berapakah besar volume prisma tersebut! Penyelesaian: Diketahui: BC = Alas = 9 cm AC = Tinggi alas = 12 cm BE = Tinggi = 46 cm Ditanya: Volume (V) Jawab: Geometri Ruang 115

122 Luas alas = 1/2 x alas x tinggi Luas alas = 1/2 x 9 x 12 Luas alas = 54 cm 2 Volume = luas alas x tinggi Volume = luas alas x BE Volume = 54 x 46 Volume = cm 3 Jadi volume prisma tersebut adalah cm 3. Contoh: Perhatikan gambar prisma dibawah ini! Jika diketahui )J = cm dan AG = cm, tentukan luas permukaan prisma segi enam beraturan diatas! Penyelesaian: Diketahui : IJ = 6 cm AG = cm Ditanya : Luas Permukaan (L) Jawab : Geometri Ruang 116

123 cari luas segitiga sama sisi tersebut, caranya : L = ¼r 2 L = ¼ cm 2 L = cm 2 Luas alas prisma: L = x L L = x cm 2 L = cm 2 Luas sisi tegak yaitu keliling alas dikali tinggi prisma: L = 6r x t L =. cm x L = cm 2 Luas Permukaan Prisma L = 2 x luas alas + luas sisi tegak L = x cm 2 + cm 2 L = cm 2 LATIHAN 1. Diberikan prisma segitiga ABC.DEF dengan panjang AC = BC = 6 cm; AB = 10 cm; dan CF = 8 cm. Hitunglah volume prisma tersebut! Geometri Ruang 117

124 2. Diketahui prisma segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = BC = 2a cm, AC = a cm, dan AD = 4 cm. Hitunglah volume prisma! RANGKUMAN 1. Sifat-sifat prisma adalah sebagai berikut: Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen (sama dan sebangun). Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegi panjang. Prisma memiliki rusuk yang tegak dan adapula yang tidak tegak. Setiap diagonal bidang bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. 2. Unsur-unsur balok meliputi: a. Sisi atau bidang balok b. Rusuk c. Titik sudut d. Diagonal bidang dan diagonal ruang 3. Jaring-jaring prisma dapat dibuat dengan mengiris beberapa rusuk prisma sehingga prisma tersebut dapat direbahkan pada suatu bidang datar. 4. Jaring-jaring prisma segitiga memiliki 2 sisi alas yang berbentuk segitiga dan 3 sisi tegak yang berbentuk persegi atau persegi panjang. Dengan mengiris rusukrusuk prisma yang berbeda, kita juga akan mendapat jaring-jaring prisma yang berbeda pula. 5. Rumus-rumus prisma adalah sebagai berikut: Geometri Ruang 118

125 a. Luas Permukaan Prisma (L) L = 2 x Luas alas + Luas sisi tegak L = 2 Luas alas + (Keliling alas x tinggi) b. Volume Prisma (V) V = Luas alas x Tinggi Geometri Ruang 119

126 BAB 12 SIFAT, UNSUR, JARING-JARING DAN RUMUS LIMAS PENDAHULUAN Limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga dengan titik puncak yang saling berhimpit. Ada berbagai jenis limas, diantaranya limas segitiga, limas segiempat, limas segi lima, limas segi enam, limas segi delapan, segin. Pada setiap jenis atau macam limas terdapat unsur-unsur limas yang berbeda. Selain itu, untuk mengetahui untuk menghitung luas permukaan limas dan volume limas ada rumus yang perlu diketahui. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, jaring-jaring, dan rumus limas. MATERI PENYAJIAN Limas adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau segi banyak sebagai alas dan beberapa buah segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Geometri Ruang 120

127 Sifat-Sifat Limas Adapun sifat-sifat limas adalah sebagai berikut: Alasnya berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dan sebagainya. Nama limas disesuaikan dengan bentuk sudut alasnya, misalnya jika sebuah limas alasnya berbentuk segi empat maka nama limasnya adalah limas segi empat. Memiliki titik puncak yang merupakan pertemuan beberapa buah segitiga. Memiliki tinggi yang merupakan jarak antara titik puncak ke alas limas. Memiliki bidang (sisi), rusuk, dan titik sudut. Limas segin memiliki n+1 sisi, 2n rusuk, dan n+1 titik sudut. Berikut beberapa contoh gambar limas sesuai dengan namanya. Geometri Ruang 121

128 Geometri Ruang 122

129 Unsur-Unsur Limas Untuk memudahkan penjelasan tentang unsur-unsur limas, disajikan contoh gambar limas segi empat berikut! Unsur-unsur limas segi empat adalah sebagai berikut: a. Sisi atau Bidang Perhatikan gambar di atas yang merupakan sisi atau bidang limas segi empat yaitu ABCD (sisi alas), ABE (sisi depan), DCE (sisi belakang), ADE (sisi kanan), BCE (sisi kiri). b. Rusuk Perhatikan gambar limas diatas, limas segi empat diatas memiliki 8 rusuk yaitu 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Yang merupakan rusuk alas yaitu AB, BC, CD, dan DA; rusuk tegak yaitu AE, BE, CE, dan DE. c. Titik Sudut Jumlah titik sudut yang dimiliki oleh limas bergantung pada bentuk alasnya. Limas segitiga memiliki titik sudut sebanyak 4 titik Limas segiempat memiliki titik sudut sebanyak 5 titik Geometri Ruang 123

130 Limas segilima memiliki titik sudut sebanyak 6 titik Limas segienam memiliki titik sudut sebanyak 7 titik Limas segidelapan memiliki titik sudut sebanyak 9 titik dan seterusnya. d. Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi Jumlah diagonal sisi atau diagonal bidang pada setiap limas berbeda, jumlahnya bergantung pada jenis limas. Contohnya limas segi empat memiliki 2 diagonal bidang atau limas segi lima memiliki 5 diagonal bidang. e. Bidang Diagonal Bidang diagonal Limas terbentuk dari diagonal sisi dan sisi alasnya dengan dua rusuk di sampingnya. f. Diagonal Ruang Semua jenis bangun ruang limas tidak memiliki diagonal Ruang. Jaring-Jaring Limas 1. Jaring-Jaring Limas Segitiga Jaring-jaring limas segitiga diperoleh dengan cara mengiris sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring sebagaimana berikut ini! Gambar Jaring-Jaring Limas Segitiga Geometri Ruang 124

131 Gambar tersebut di atas merupakan proses pembentukan jaring-jaring limas segitiga. 2. Jaring-Jaring Limas Segi Empat Jaring-jaring limas segiempat diperoleh dengan cara mengiris sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring sebagaimana berikuti ini! Gambar Jaring-jaring Limas segi empat Gambar tersebut di atas merupakan proses pembentukan jaring-jaring limas segiempat. 3. Jaring-Jaring Limas Segi Lima Jaring-jaring limas segi lima diperoleh dengan cara mengiris sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring sebagaimana berikut ini! Gambar Jaring-Jaring Limas Segi Lima Geometri Ruang 125

132 Gambar tersebut di atas merupakan proses pembentukan jaring-jaring limas segi lima. 4. Jaring-Jaring Limas Segi Enam Jaring-jaring limas segienam diperoleh dengan cara mengiris sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring sebagaimana berikut ini! Gambar Jaring-Jaring Limas Segi Enam Gambar tersebut di atas merupakan proses pembentukan jaring-jaring limas segi enam. Rumus-Rumus Limas a. Luas Permukaan Limas (L) L = Luas alas + Luas Selumbung Limas b. Volume Limas (V) V= 1/3.Luas alas.tinggi Geometri Ruang 126

133 Contoh: Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm dan tinggi segitiga pada bidang tegak 8 cm. Hitunglah luas permukaan limas? Penyelesaian: Banyak bidang tegak pada limas segi empat adalah 4 Luas permukaan limas = luas alas + 4(luas segi tiga pada bidang tegak) = s s + 4(a t) = (1/2 8 10) = = 260 cm 2 Contoh: Hitunglah luas permukaan limas dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm dan tinggi sisi miring 6 cm? Penyelesaian: Luas alas limas berbentuk persegi = sisi sisi = 10cm 10cm = 100 cm 2 Luas sisi miring limas = ½ alas tinggi = ½ 10cm 6cm = ½ 60cm 2 = 30cm 2 Jadi, luas permukaan = luas alas + jumlah luas sisi tegak = 100cm 2 + 4(30cm 2 ) = 100cm cm 2 = 220cm 2 Geometri Ruang 127

134 Contoh: Hitunglah luas permukaan limas dengan alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm, jika luas sisi tegaknya masing-masing 24 cm 2, 32 cm 2, 40 cm 2! Penyelesaian: Luas alas limas yang berbentuk segi tiga = ½ alas tinggi = ½ 6cm 8cm = 24cm 2 Luas pemukaan = luas alas + jumlah luas sisi tegak limas = 24cm cm cm cm 2 = 120cm 2 Contoh: Diketahui sebuah limas memiliki alas berbentuk segitiga dengan panjang 7cm dan lebar 6cm. jika tinggi limas segitiga itu adalah 10cm maka berapakah volumenya? Penyelesaian: V = 1/3 x (1/2 p x l) x t V = 1/3 x (1/2 x 7 x 6) x 10 V = 1/3 x (1/2 42) x 10 V = 1/3 x 21 x 10 V = 70 cm 3 LATIHAN 1. Diketahui limas T.PQRS adalah limas persegi. Jika panjang PQ = 10 cm. Dan tingginya 12 cm, maka tentukan luas permukaan limas tersebut! Geometri Ruang 128

135 2. Sebuah bangun berbentuk limas dengan alas berbentuk persegi dengan sisi 12 cm. Tentukanlah volume limas tersebut jika tingginya 30 cm! 3. Sebuah monumen berbentuk limas segiempat dengan panjang sisi alas 6 m dan tinggi 20 m. Tentukan volume monumen tersebut! 4. Limas segiempat memiliki volume 256 cm 3. Jika luas alas limas adalah 48 cm 2. Tentukan tinggi limas! 5. Sebuah limas segiempat memiliki volume 2400 cm 3. Tentukanlah luas alas limas jika tingginya 30 cm! RANGKUMAN 1. Limas adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau segi banyak sebagai alas dan beberapa buah segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. 2. Sifat-sifat limas adalah sebagai berikut: a. Alasnya berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dan sebagainya. Nama limas disesuaikan dengan bentuk sudut alasnya, misalnya jika sebuah limas alasnya berbentuk segi empat maka nama limasnya adalah limas segi empat. b. Memiliki titik puncak yang merupakan pertemuan beberapa buah segitiga. c. Memiliki tinggi yang merupakan jarak antara titik puncak ke alas limas. d. Limas segi-n memiliki n+1 bidang sisi, 2n rusuk, dam n+1 titik sudut. Geometri Ruang 129

136 3. Ada beberapa jenis limas yaitu limas segitga, limas segi empat, limas segi lima, dan limas segi enam. 4. Unsur-unsur limas adalah: a. Sisi atau bidang b. Rusuk c. Titik Sudut d. Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi e. Bidang Diagonal f. Diagonal Ruang 5. Jaring-jaring limas diperoleh dengan cara mengiris sisisisi sampingnya kemudian merebahkannya. 6. Rumus-Rumus Limas a. Luas Permukaan Limas (L) L = Luas alas + Luas selumbung limas b. Volume Limas (V) V= 1/3.Luas alas.tinggi Geometri Ruang 130

137 BAB 13 SIFAT, UNSUR, JARING-JARING DAN RUMUS TABUNG PENDAHULUAN Tabung adalah salah satu bangun ruang sisi lengkung. Secara spesifik, tabung adalah suatu bangun ruang berbentuk prisma tegak beraturan dengan alas dan tutupnya berupa lingkaran. Pada bab ini akan dijelaskan sifat-sifat tabung, unsur, jaring-jaring dan rumus tabung. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, jaring-jaring, dan rumus tabung. MATERI PENYAJIAN Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang memiliki satu sisi alas dan satu sisi atas yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari sama panjang dan sejajar, serta memiliki satu sisi tegak berbentuk bidang lengkung (selimut tabung). Geometri Ruang 131

138 Sifat-Sifat Tabung: a. Bidang alas dan bidang atas tabung berupa lingkaran yang berjari-jari sama. b. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dan titik pusat lingkaran atas. c. Mempunyai 3 bidang sisi yaitu alas, tutup, dan selimut (sisi tegak). d. Sisi tegak berupa bidang lengkung yang dinamakan selimut tabung. e. Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama. atas sisi atas tinggi tabung sisi alas Jari-jari Geometri Ruang 132

139 Unsur-Unsur Tabung Unsur-unsur tabung adalah sebagai berikut: 1. Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di P1 dan P2. 2. Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t. 3. Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AP1, sedangkan diameter nya AB=2AP1. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d. 4. Selimut tabung merupakan bidang lengkung. Jaring-Jaring Tabung Jaring-jaring tabung terdiri atas 1 buah persegi panjang sebagai selimut tabung dan 2 buah lingkaran sebagai atap dan alas tabung. Geometri Ruang 133

140 Rumus-Rumus Tabung: Luas Permukaan Tabung Untuk mengetahui luas permukaan tabung harus diketahui terlebih dahulu: Luas Selimut Tabung: Luas Selimut = 2..r. t Luas Alas Tabung = Luas Penutup Tabung 2 Luas alas (penutup) =.r Jadi, Luas Permukaan Tabung Luas = Luas selimut + Luas alas + Luas penutup = 2..r. t + 2.r + = 2.. r. t 2.. r 2..r t r 2 2.r = = 2..r r t Luas permukaan tabung = 2..r r t 22 dimana: = 3,14 atau 7 r = jari-jari alas (tutup) t = tinggi tabung (jarak dari alas ke tutup) Geometri Ruang 134

141 Contoh: Hitunglah luas permukaan tabung di samping! 8 cm 2 cm Penyelesaian: r tabung = 2 cm t tabung = 8 cm Luas permukaan tabung t L = 2..r r t L t = 2 x 3,14 x 2 x (2 + 8) = 125,6 2 cm Jadi, luas permukaan tabung adalah 125,6 Volume Tabung 2 cm 2 Volume =.r. t dimana: 22 = 3,14 atau 7 r = jari-jari alas (tutup) t = tinggi tabung (jarak dari alas ke tutup) Geometri Ruang 135

142 Contoh: Kaleng bola tenis mempunyai tinggi 15 cm dan jari-jari 5 cm. Selimut kaleng itu ditutupi dengan kertas. Berapakah luas kertas itu? Berapa volume kaleng bola tenis tersebut? Penyelesaian: Luas kertas = Luas selimut tabung = 2..r. t = 2 x 3.14 x 5 x 15 = cm Jadi, luas kertas adalah cm. 2 Volume kaleng bola tenis =.r. t = 3,14 x 5 2 x 15 = 1177,5 3 cm Jadi, volume kaleng bola tenis = 1177,5 3 cm LATIHAN 1. Sebuah tabung memiliki tinggi 25 cm dan jari-jari alas tabung 14 cm, tentukan luas permukaan tabung! 2. Sandaran sebuah sofa berbentuk tabung dengan panjang 75 cm dan diameter 14 cm. Hitunglah luas permukaan sandaran sofa tersebut dengan π = 22/7! 3. Seorang tukang kayu membentuk sebuah kayu menjadi sebuah silinder dengan luas penampang alasnya adalah 340cm². Silinder dari kayu itu memiliki tinggi 40 cm. Hitunglah volume silinder dari kayu tersebut! 4. Andi memiliki tangki minyak berbentuk tabung dengan tinggi 2 meter. Jika diisi minyak hingga penuh, tangki Geometri Ruang 136

143 tersebut dapat menampung 2260,8 liter minyak. Berapa volume tangki minyak milik Andi? 5. Sebuah drum berbentuk tabung memiliki volume cm 3. Jika tingginya 36 cm, tentuknlah ukuran jari-jari tabung tersebut! 6. Sebanyak 165 liter bensin ditungkan ke dalam drum berbentuk tabung dengan jari-jari 30 cm. Berapakah ketinggian bensin dalam drum tersebut? 7. Sebuah tabung memiliki ukuran jari-jari 14 cm dan tinggi 28 cm. Tabung tersebut berisi air setinggi 3/4 bagian. Andi memasukkan 6 buah bola besi yang masing-masing memiliki jari-jari 7 cm hingga sebagian air tumpah dari tabung. Hitunglah volume air yang tumpah dari dalam tabung! RANGKUMAN 1. Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang memiliki satu sisi alas dan satu sisi atas yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari sama panjang dan sejajar, serta memiliki satu sisi tegak berbentuk bidang lengkung (selimut tabung). Geometri Ruang 137

144 2. Sifat-sifat tabung adalah sebagai berikut: a. Bidang alas dan bidang atas tabung berupa lingkaran yang berjari-jari sama. b. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dan titik pusat lingkaran atas. c. Mempunyai 3 bidang sisi yaitu alas, tutup, dan selimut (sisi tegak). d. Sisi tegak berupa bidang lengkung yang dinamakan selimut tabung. e. Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama. 3. Unsur-unsur tabung adalah: a. Sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran. b. Tinggi tabung yaitu jarak antara alas dan tutup. Tinggi tabung dinotasikan dengan t. c. Jari-jari dan diameter lingkaran dari alas dan tutup. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d. d. Selimut tabung berbentuk bidang lengkung. 4. Jaring-jaring tabung terdiri atas 1 buah persegi panjang sebagai selimut tabung dan 2 buah lingkaran sebagai atap dan alas tabung. 5. Rumus-Rumus Tabung: Luas Selimut Tabung: Luas Selimut = 2..r. t Luas Alas Tabung = Luas Penutup Tabung 2 Luas alas (penutup) =.r Geometri Ruang 138

145 Luas permukaan = Luas selimut+luas alas+luas penutup 2..r r t = 22 dimana: = 3,14 atau 7 r = jari-jari alas (tutup) t = tinggi tabung (jarak dari alas ke tutup) Geometri Ruang 139

146 BAB 14 SIFAT, UNSUR, JARING-JARING, DAN RUMUS KERUCUT PENDAHULUAN Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung yang simetris terhadap porosnya yang melalui titik pusat lingkaran tersebut. Kerucut merupakan limas tegak dengan bidang alas berbentuk lingkaran. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, dan rumus kerucut. MATERI PEMBELAJARAN Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang mempunyai satu alas berbentuk lingkaran dan satu sisi berbentuk bidang lengkung (selimut kerucut). Geometri Ruang 140

147 Sifat-Sifat Kerucut: a. Alas kerucut berbentuk lingkaran. b. Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dengan pusat lingkaran alas kerucut. c. Merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran. d. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut). e. Mempunyai 1 rusuk dan 1 titik puncak. f. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segitiga. Unsur-Unsur Kerucut Perhatikan gambar kerucut berikut ini! a. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diraster). b. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB. c. Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB. d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis CO). Geometri Ruang 141

148 e. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diraster. f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke titik pada lingkaran. Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan persamaan-persamaan berikut: Jaring-Jaring Kerucut Jaring-jaring merupakan pembelahan dari sebuah bangun yang berkaitan sehingga jika digabungkan akan menjadi sebuah bangun ruang tertentu. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran sebagai alasnya dan bangun segitiga dengan alas lengkung yang merupakan selimutnya. Gambar di atas menunjukkan Geometri Ruang 142

149 sebuah kerucut dengan puncak C, tingginya t, jari-jari lingkaran alas r, dan garis pelukis kerucut s. Untuk menambah pemahaman mengenai Jaringjaring kerucut, dapat dilakukan langkah berikut ini. 1. Membuat juring lingkaran dengan sudut pada suatu kertas, kemudian memotong juring tersebut. 2. Membuat suatu kerucut dengan menghubungkan garis pelukis PQ ke PQ. 3. Menjiplak lingkaran alas kerucut yang terbentuk pada suatu kertas. 4. Membuka kembali kerucut dan menjiplaknya tepat di atas lingkaran alas. Dari proses diatas, maka akan diperoleh hasil seperti gambar berikut. Gambar tersebut menunjukkan suatu jaring-jaring kerucut. Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut. Jaring-jaring kerucut tersebut terdiri dari juring lingkaran Geometri Ruang 143

150 yang berjari-jari s dan lingkaran berjari-jari r, seperti yang tampak pada Gambar di bawah ini: Geometri Ruang 144

151 Rumus-Rumus Kerucut: Luas permukaan kerucut terdiri dari: Luas selimut: Luas selimut =.r. s Luas alas: 2 Luas alas =.r Jadi, Luas Permukaan Kerucut = Luas selimut + Luas Alas 2 =.r. s +.r.r s r = Luas Permukaan Kerucut =.r r s 22 dimana: = 3,14 atau 7 r = jari-jari lingkaran s = panjang garis pelukis (dari T ke B atau dari T ke A) Volume Kerucut 1 Volume = x Luas alas x tinggi 3 dimana: 22 = 3,14 atau 7 r = jari-jari lingkaran t = tinggi kerucut atau: Volume = 1 2..r. t 3 Contoh: Hitunglah luas permukaan dan volume kerucut berikut: Geometri Ruang 145

152 T 39 cm A O B 14 cm Penyelesaian: TB = s = 39 cm 1 1 r =. AB =.14 7 cm TO = t = TB BO , 37 cm Luas permukaan kerucut =.r r s = 3,14 x 7 (7 + 39) = 1011, cm Volume kerucut =..r. t 3 1 = x 3,14 x7 x38, ,12 3 cm LATIHAN 1. Pasir sebanyak m 3 ditumpuk hingga membentuk kerucut dengan ketinggian 15 meter. Tentukanlah jarijari alas tumpukan pasir tersebut! Geometri Ruang 146

153 2. Andi ingin membut kerucut yang memiliki Volume 192,5 cm 3 dan jari-jari 3,5 cm. Berapa tinggi kerucut yang akan Andi buat? 3. Sebuah tabung dengan jari-jari 21 cm dan tinggi 50 cm. Tentukan: a. Luas selimut tabung b. Luas tabung tanpa tutup c. Luas tabung seluruhnya 4. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 10 cm dan tinggi 24 cm. Tentukan: a. Panjang garis pelukis kerucut b. Volume kerucut c. Luas selimut kerucut d. Luas seluruh kerucut 5. Andi memiliki sebuah kerucut terbuat dari bahan yang lunak. Kerucut tersebut kemudian diiris secara horizontal tepat pada setengah ketinggian kerucut seperti pada gambar berikut. Dari hasil pemotongan yang dilakukan Andi, hitunglah perbandingan volume hasil pemotongan bagian atas dengan bagian bawah! Geometri Ruang 147

154 6. Sebuah nasi tumpeng yang berbentuk kerucut memiliki ukuran jari-jari (r) adalah 7 cm dan tingginya adalah 14cm. Maka berapakah volume dari nasi tumpeng itu? 7. Sebuah tempat es krim berbentuk kerucut dengan diameter alas 7 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah banyak es krim yang harus ditambahkan untuk memenuhi tempat tersebut! RANGKUMAN 1. Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang mempunyai satu alas berbentuk lingkaran dan satu sisi berbentuk bidang lengkung (selimut kerucut). 2. Sifat-sifat kerucut adalah sebagai berikut: a. Alas kerucut berbentuk lingkaran. b. Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dengan pusat lingkaran alas kerucut. c. Merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran. d. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut). e. Mempunyai 1 rusuk dan 1 titik puncak. f. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segitiga. 3. Unsur-unsur kerucut adalah: a. Bidang alas yang berbentuk lingkaran b. Diameter bidang alas c. Jari-jari bidang alas (r) Geometri Ruang 148

155 d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas. e. Selimut kerucut f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak ke titik pada lingkaran. 4. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran sebagai alasnya dan bangun segitiga dengan alas lengkung yang merupakan selimutnya. 5. Rumus-rumus kerucut adalah sebagai berikut:.r r s a. Luas Permukaan Kerucut = 1 b. Volume = x Luas alas x tinggi =..r. t 3 22 dimana: = 3,14 atau 7 r = jari-jari lingkaran s = panjang garis pelukis Geometri Ruang 149

156 BAB 15 SIFAT, UNSUR-UNSUR, DAN RUMUS BOLA PENDAHULUAN Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bundar ini sering dipakai dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagaimnya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda tergantung jenis permainannya. Sesuai dengan namanya, bola berbentuk bangun ruang bola. Tahukah Anda apa peengertian bangun ruang bola? Pada bab ini akan dibahas tentang sifat, unsur, dan rumus-rumus bola. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan mempelajari materi pada bab ini adalah diharapkan mahasiswa mampu memahami tentang sifat, unsur-unsur, dan rumus bola. Geometri Ruang 150

157 MATERI PENYAJIAN Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang hanya memiliki sebuah bidang sisi berbentuk bidang lengkung atau bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360 pada garis tengahnya. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! Sifat-Sifat: a. Tidak memiliki rusuk dan titik sudut. b. Hanya memiliki satu buah bidang sisi. c. Setiap titik pada bidang lengkung mempunyai jarak yang sama ke pusat bola. d. Irisan bola dengan bidang mendatar selalu membentuk lingkaran. Geometri Ruang 151

158 Unsur-Unsur Bola Perhatikan gambar di bawah ini! Unsur-unsur bola dapat diuraikan sebagai berikut: 1) Titik O dinamakan titik pusat bola. 1) Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari-jari bola lainnya. 2) Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola. 3) Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola. 4) Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya. 5) Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola. Rumus-Rumus: a. Luas Permukaan Bola Luas permukaan bola = 4.. r 2 Geometri Ruang 152

159 b. Volume Bola Volume = 4 3 x x dimana: 22 = 3,14 atau 7 r = jari-jari bola r 2 Contoh: Hitung luas permukaan dan volume bola jika jari-jarinya 14 cm. Penyelesaian: 2 Luas permukaan bola = 4.. r 22 2 = 4 x x = 4 x x = cm Jadi, luas permukaan bola = Volume bola = x x r = x x = x x = 821,33 3 cm Jadi, volume bola = 821,33 3 cm 2 cm Geometri Ruang 153

160 LATIHAN 1. Sebuah balon udara berbentuk bola dan terbuat dari bahan elastis. Hitunglah berapa luas bahan yang diperlukan untuk membuat balon udara tersebut jika diameternya m dengan π= /! 2. Sebutir kelereng memiliki jari-jari 7 mm. Tentukanlah volume kelereng tersebut! 3. Sebuah bola plastik memiliki diameter 20 cm. Berapa voume bola plastik tersebut? 4. Diketahui jari-jari dari sebuah bola basket adalah 7 cm, apabila π = / maka berapakah volume dari bola basket tersebut? 5. Volume sebuah bola adalah 38,808 cm 3. Carilah panjang jari-jarinya! 6. Sebuah benda berbentuk setengah bola dengan jari-jari 14 cm. Jika benda tersebut akan diisi air sampai penuh, berapa banyak air yang dibutuhkan! RANGKUMAN 1. Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang hanya memiliki sebuah bidang sisi berbentuk bidang lengkung atau bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. 2. Unsur-unsur bola meliputi: a. Titik pusat bola b. Jari-jari bola c. Diameter bola d. Sisi bola atau selimut atau kulit bola. Geometri Ruang 154

161 e. Tali busur bola f. Ruas-ruas garis pada selimut bola yang disebut garis pelukis bola 3. Ciri-ciri bola adalah sebagai berikut: a. Tidak memiliki rusuk dan titik sudut. b. Hanya memiliki satu buah bidang sisi. c. Setiap titik pada bidang lengkung mempunyai jarak yang sama ke pusat bola. d. Irisan bola dengan bidang mendatar selalu membentuk lingkaran. 4. Rumus-rumus bola adalah sebagai berikut: 2 a. Luas Permukaan = 4.. r 4 2 b. Volume = x x r 3 22 dimana: = 3,14 atau 7 r = jari-jari bola Geometri Ruang 155

162 DAFTAR PUSTAKA A. Sarjana Geometri Ruang. Buku Materi Pokok PEMA4216/3sks/ Modul 1-9. Edisi 1. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka. Iswadji, Djoko Geometri Ruang (Modul UT). Jakarta : Depdikbud. Soewardi Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: PT Gramedia. Staff of research and Education Association The Geometry Problem Solver. Plane-Solid Analytic. New York: Research and Education Association 505 Eighth Avenue. Travers, Kenneth J Geometry. Illionis: Laidlaw Brotherhttp:// an-antara-titik-garis-dan-bidang.html. Geometri Ruang 156

163 BIODATA PENULIS Tetty Natalia Sipayung, S.Si., M.Pd. lahir di Pagar Merbau III, tanggal 03 Desember Merupakan lulusan Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan pada tahun Alumnus Program Pascasarjana Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Negeri Medan pada tahun Menjadi dosen tetap di Universitas Katolik Santo Thomas pada tahun 2014 dan menjabat sebagai ketua Unit Penjaminan Mutu Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di Universitas Katolik Santo Thomas sejak tahun 2015 sampai dengan sekarang. Pernah mengajar sebagai guru matematika di SMA Santo Yoseph Medan pada tahun Pernah mengajar sebagai guru matematika di SMA Nusantara Lubuk Pakam pada tahun Pernah mengajar sebagai dosen Pendidikan Matematika di STKIP Pelita Bangsa Binjai pada tahun Pernah mengajar sebagai dosen di STMIK Pelita Nusantara Medan pada tahun Pernah mengajar sebagai dosen di STKIP Riama Medan pada tahun Menjadi Anggota Profesi Indonesian Geometri Ruang 157

164 Mathematical Soceity (IndoMS) pada tahun sekarang. Menjadi Anggota Profesi Indonesian Mathematics Educators Society (I-MES) pada tahun Pernah menjadi Koordinator Program Praktek Pengalaman Lapangan (PPL) FKIP Universitas Katolik Santo Thomas pada tahun Sebagai ketua peneliti pada hibah penelitian skema Penelitian Dosen Pemula pada pendanaan tahun 2017 dengan judul Pengembangan Modul Matematika Kelas X SMA Untuk Pembelajaran Model Kooperatif Dengan Beberapa Variasi dan pada pendanaan tahun 2018 dengan judul dengan judul Pengembangan Modul Matematika Kelas VII SMP Berbasis Pendekatan Matematika Realistik Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah. Hasil penelitian baik yang didanai kampus maupun DRPM Kemenristek DIKTI dipublikasikan pada junal Nasional Tidak Terakreditasi yang terindeks Google Scholar dan DOAJ. Ada juga dipublish pada jurnal internasional. Cukup aktif dalam kegiatan Pengabdian Kepada Masyarakat melalui pemberian pelatihan di beberapa sekolah. Penulis buku modul pembelajaran matematika penerbit Batic Press Bandung, dan buku ajar Persamaan Diferensial I dan Persamaan Diferensial II penerbit deepublish (CV. Budi Utama) Yogyakarta. Geometri Ruang 158

165 Geometri Ruang 1