1. Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang. a. Defenisi. Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol

Transkripsi

1 1. Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang a. Defenisi Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol Titik digambarkan dengan sebuah noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital misalnya titik A, B pada gambar 1 Garis adalah kumpulan titik titik dan hanya mempunyai ukuran panjang saja sehingga dikatakan berdimensi satu Garis panjangnya tak terhingga dan penggambarannya hanya sebagian saja. Penamaan garis dengan huruf kecil misalnya k, l, m atau dengan menamakan segmen garis dari titik pangkal sampai ke titik ujungnya misalnya garis AB pada gambar 1 Bidang adalah himpunan titik titik yang memiliki ukuran panjang dan lebar sehingga dikatakan berdimensi dua Bidang ukurannya sangat luas sehingga penggambaranya hanya sebagian saja. Penamaan bidang dengan huruf α, β, γ atau degan menyebut titik sudut dari wakil bidang misalnya bidang EFGH pada gambar 1 Gambar 1

2 b. Aksioma Euclides Aksioma adalah kebenaran yang tidak perlu dibuktikan kebenarannya Dalil adalah kebenaran yang bisa dibuktikan berdasarkan aksioma atau dalil lain Aksioma 1 Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berhimpit (berbeda) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus Pada gambar 2 melalui titik A dan titik B hanya dapat dibuat satu garis lurus yaitu garis AB Aksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan maka garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang Pada gambar 2 titik E dan titik F adalah persekutuan antara garis EF dan bidang EFGH maka garis EF terletak pada bidang EFGH Aksioma 3 Melalui tiga buah titik sembarang yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang Pada gambar 2 melalui titik EFG hanya dapat dibuat satu bidang yaitu bidang EFG atau EFGH Gambar 2

3 c. Kedudukan Titik pada Garis dan Bidang Titik A terletak pada garis k jika titik A dilalui oleh garis k Pada gambar 3 titik A dilalui oleh garis AB sehingga titik A terletak pada garis AB Titik A terletak diluar garis k jika titik A tidak dilalui oleh garis k Pada gambar 3 titik A tidak dilalui oleh garis BC sehingga titik A terletak pada garis BC Karena pada garis minimal ada 2 buah titik ditambah 1 titik diluar garis maka ada 3 titik sehingga berdasarkan aksioma 1 dan aksioma 3 dapat disimpulkan Hanya satu bidang dapat dibuat dari sebuah garis dan sebuah titik di luar garis Pada gambar 3, hanya bidang ADHE yang dapat dibuat dari titik A dan garis EH Titik A terletak pada bidang α jika titik A dapat dilalui oleh bidang α Pada gambar 3 titik A dilalui oleh bidang ADHE sehingga titik A terletak pada bidang ADHE Titik A terletak diluar bidang α jika titik A tidak dapat dilalui oleh bidang α Pada gambar 3 titik A tidak dilalui oleh bidang BCGF sehingga titik A tidak terletak pada bidang BCGF Gambar 3

4 d. Kedudukan Garis dan Garis Ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap garis lain i. Berpotongan Dari aksioma 1 bahwa melalui dua buah titik tidak berhimpit hanya dapat dibuat sebuah garis Asumsi titik A B terletak pada garis k dan l dan k l artinya melalui titik A dan B ada dua garis yaitu garis k dan l, karena pada dua titik berbeda hanya ada satu garis maka k = l sehingga asumsi salah akibatnya adalah Pada dua garis yang berbeda k l paling banyak mempunyai satu titik persekutuan atau titik potong Pada gambar 4, garis AD dan AB berpotongan di titik A Pada dua garis yang sama k = l paling sedikit mempunyai dua titik persekutuan Pada gambar 4, garis AB = AB dan titik persekutuannya adalah titik A dan B Garis yang tidak berpotongan bisa sejajar atau bisa bersilangan Karena pada dua garis berpotongan pada 1 titik, pada garis pertama dan kedua masing masing terdapat 1 titik lain selain titik potong maka terdapat minimal 3 titik berbeda pada dua garis yang berpotongan sehingga Hanya satu bidang dapat dibuat dari dua buah garis berpotongan Dua buah garis berpotongan terletak pada bidang yang sama Pada gambar 4, garis AB dan AD berpotongan di titik A dilalui oleh bidang ABD Gambar 4

5 ii. Sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika tidak berpotongan dan searah Aksioma 4 Jika titik A terletak di luar garis k maka ada satu dan hanya satu garis l sehingga garis l melalui titik A dan k l Pada gambar 5, titik A di luar garis EH sehingga ada satu dan hanya satu garis melalui titik A dan sejajar EH yaitu garis AD EH Karena ke dua garis sejajar tidak mempunyai titik persekutuan berarti titik pada garis yang satu berada di luar garis yang lain maka memenuhi syarat untuk membentuk bidang dari sebuah garis dan sebuah titik di luar garis sehingga Hanya satu bidang dapat dibuat dari dua buah garis sejajar Dua buah garis sejajar terletak pada bidang yang sama Pada gambar 5, garis EH FG dan pada garis FG terdapat titik F maka melalui titik F yang terletak di luar garis EH dapat dibuat satu dan hanya satu bidang yang melalui garis EH dan FG yaitu bidang EFGH Gambar 5

6 iii. Bersilangan Dua garis dikatakan bersilangan jika tidak berpotongan dan tidak sejajar serta tidak ada bidang yang dapat melalui ke dua garis tersebut Pada gambar 6, garis AB bersilangan dengan garis FG karena tidak saling berotongan dan tidak sejajar satu sama lain dan tidak ada satu bidang melalui ke dua garis tersebut. Garis AB dilalui oleh bidang ABFE sedang garis FG dilalui bidang BCGF Gambar 6 iv. Tiga Garis Sejajar Jika garis k m dan garis l m maka garis k l Pada gambar 7, garis AE PQ, garis CG PQ dan ketiga garis tersebut terletak pada satu bidang yang sama yaitu bidang ACGE maka garis AE CG Pada gambar 7, garis AE BF, garis CG BF dan ketiga garis tersebut terletak pada bidang dua bidang yang berbeda yaitu bidang ABFE dan bidang ABFE maka garis AE CG Gambar 7

7 v. Dua Garis Sejajar dan Satu Garis Memotong Jika garis k l dan garis m memotong garis k maka garis m juga memotong garis l Pada gambar 8, garis AE PQ dan garis EG memotong garis AE di titik E maka garis EG memotong garis PQ di titik Q Gambar 8 vi. Dua Garis Sejajar dan Satu Garis Memotong Jika garis k m, garis l m, garis n memotong garis k dan garis n memotong garis l maka garis k, l dan n terletak pada satu bidang yang sama Pada gambar 9, garis AE BF, garis CG BF, garis EG memotong garis AE dan garis EG memotong garis CG maka garis AE, CG dan EG terletak pada satu bidang yang sama yaitu bidang ACGE Gambar 9

8 e. Kedudukan Garis dan Bidang Aksioma 5 Garis k sejajar bidang α jika tidak mempunyai titik persekutuan Garis k menembus bidang α jika mempunyai satu titik persekutuan Pada gambar 10, garis AB sejajar bidang EFGH karena tidak mempunyai titik persekutuan Pada gambar 10, garis CG menembus bidang EFGH karena mempunyai satu titik persekutuan yaitu titik G Gambar 10

9 Aksioma 6 Garis k memotong tegak lurus bidang α jika dan hanya jika garis k tegak lurus pada dua garis yang terletak pada bidang α yang melalui titik persekutuan garis k dengan bidang α Jika garis k tegak lurus pada bidang α maka garis k tegak lurus dengan semua garis pada bidang α Proyeksi titik A pada bidang α adalah titik persekutuan antara bidang α dengan garis tegak lurus melalui titik A dengan bidang α Pada gambar 11, garis BF AB, BF BC, titik B adalah titik persekutuan garis BF dengan bidang ABCD dan garis AB dan BC terletak pada bidang ABCD maka garis BF memotong tegak lurus bidang ABCD Pada gambar 11, garis BF memotong tegak lurus bidang ABCD maka garis BF tegak lurus dengan semua garis pada bidang ABCD yaitu BF BD, BF AC, BF AD, BF CD Pada gambar 11, proyeksi titik F pada bidang ABCD adalah titik B yang merupakan persekutuan antara garis BF yang tegak lurus bidang ABCD Gambar 11

10 i. Dua Garis Sejajar Menembus Bidang Jika garis k l dan garis l menembus bidang α maka garis k juga menembus bidang α Pada gambar 12, garis BF CG dan garis CG menembus bidang EFGH maka garis BF juga menembus bidang EFGH Gambar 12 Jika garis k l dan garis l menembus tegak lurus bidang α maka garis k juga menembus tegak lurus bidang α ii. Dua Garis Sejajar, Satu Pada Bidang Jika garis k l dan garis k terletak pada bidang α maka garis l sejajar bidang α Pada gambar 13, garis AB EF dan garis EF terletak pada bidang EFGH maka garis AB sejajar bidang EFGH Gambar 13

11 iii. Dua Garis Sejajar dan Bidang Jika garis k l dan garis k sejajar bidang α maka garis l sejajar bidang α Pada gambar 14, garis AB DC dan garis AB sejajar bidang EFGH maka garis DC sejajar bidang EFGH Gambar 14

12 f. Kedudukan Bidang dan Bidang Aksioma 7 Dua bidang sejajar jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan Dua bidang saling berpotongan jika keduanya mempunyai satu garis persekutuan Dua bidang berhimpit jika setiap titik pada bidang yang satu juga terletak pada bidang yang lain Pada gambar 15, bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH karena tidak mempunyai titik persekutuan Pada gambar 15, bidang ABCD berpotongan dengan bidang BCGF karena mempunyai satu garis persekutuan yaitu garis BC Gambar 15 i. Garis dan Dua Bidang Jika garis k terletak pada bidang α dan garis k sejajar bidang β maka garis potong antara bidang α dan bidang β sejajar dengan garis k Pada gambar 16, garis BC terletak pada bidang BCGF dan garis BC sejajar bidang FGHE maka garis potong antara bidang BCGF dan bidang FGHE yaitu garis FG sejajar garis BC Gambar 16

13 ii. Dua Pasag Garis Berpotongan dan Dua Bidang Jika garis k m dan garis l n, garis k dan l berpotongan dan terletak pada bidang α, garis m dan n berpotongan dan terletak pada bidang β maka bidang α sejajar bidang β Pada gambar 17, garis BD FH dan garis AC EG, garis AC dan BD berpotongan dan terletak pada bidang ABCD, garis EG dan FH berpotongan dan terletak pada bidang EFGH maka bidang ABCD sejajar bidang EFGH Gambar 17 iii. Dua Bidang Sejajar Dipotong Bidang Lain Jika bidang α sejajar bidang β dan dipotong oleh bidang γ maka garis potong α, γ sejajar garis potong β, γ Pada gambar 18, bidang ABCD sejajar bidang EFGH dan dipotong oleh bidang BCGF maka garis potong antara bidang ABCD dengan bidang BCGF yaitu garis BC sejajar garis potong antara bidang EFGH dengan bidang BCGF yaitu garis FG Gambar 18

14 iv. Garis Memotong Dua Bidang Sejajar Jika garis k menembus bidang α dan bidang α sejajar bidang β maka garis k juga menembus bidang β Pada gambar 19, garis BF menembus bidang ABCD yang sejajar bidang EFGH maka garis BF juga menembus bidang EFGH Gambar 19 v. Garis Sejajar Dua Bidang Sejajar Jika garis k sejajar bidang α dan bidang α sejajar bidang β maka garis k sejajar bidang β Pada gambar 20, garis PQ sejajar bidang ABCD dan bidang ABCD sejajar bidang EFGH maka garis PQ sejajar bidang EFGH Gambar 20

15 vi. Garis Pada Dua Bidang Sejajar Jika garis k terletak pada bidang α dan bidang α sejajar bidang β maka garis k sejajar bidang β Pada gambar 21, garis BF terletak pada bidang BCGF dan bidang BCGF sejajar bidang ADHE maka garis BF sejajar bidang ADHE Gambar 21 vii. Dua Bidang Sejajar Dipotong Bidang Lain Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang γ memotong bidang α maka bidang γ juga memotong bidang β Pada gambar 22, bidang BCGF sejajar bidang ADHE dan bidang EFGH memotong bidang BCGF maka bidang EFGH juga memotong bidang ADHE Gambar 22

16 viii. Tiga Bidang Sejajar Jika bidang α sejajar bidang β dan bidang β sejajar bidang γ maka bidang α sejajar bidang γ Pada gambar 23, bidang ADHE sejajar bidang PQRS dan bidang PQRS sejajar bidang BCGF maka bidang ADHE sejajar bidang BCGF Gambar 23 ix. Garis Tegak Lurus Bidang Jika garis k memotong tegak lurus bidang α dan bidang β melalui garis k maka bidang β memotong tegak lurus bidang α Pada gambar 24, garis BF memotong tegak lurus bidang ABCD dan bidang BFHD melalui garis BF maka bidang BFHD memotong tegak lurus bidang ABCD Gambar 24

17 x. Proyeksi Titik Pada Bidang Jika bidang α memotong tegak lurus bidang β pada garis k dan titik A terletak pada bidang α maka proyeksi titik A pada bidang β adalah titik potong garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis k Pada gambar 25, bidang BFHD memotong tegak lurus bidang ABCD pada garis BD dan titik F terletak pada bidang BFHD maka proyeksi titik F pada bidang ABCD adalah titik potong garis yang melalui titik F dan tegak lurus garis BD yaitu garis BF. Titik B adalah titik potong antara garis BD dan garis BF yang merupakan proyeksi titik F pada bidang ABCD Gambar 25 xi. Proyeksi Garis Pada Bidang Jika bidang α memotong tegak lurus bidang β pada garis k dan garis l terletak pada bidang α maka proyeksi garis l pada bidang β terletak pada garis potong antara bidang α dengan bidang β Pada gambar 26, bidang BFHD memotong tegak lurus bidang ABCD pada garis BD dan garis BH terletak pada bidang BFHD maka proyeksi garis BH pada bidang ABCD terletak pada garis potong antara bidang BFHD dengan bidang ABCD yaitu garis BD Gambar 26