METODE PEMECAHAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING

Transkripsi

1 METODE PEMECAHAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING Oleh : Siti Malihah Fakulta Ilmu Tariyah dan Keguruan Univerita Ilam Negeri Waliongo ratik0@yahoo.com Atrak Variael keputuan dalam penyeleaian maalah program linier ering kali erupa ilangan pecahan. Dalam eerapa kau tertentu ada yang menghendaki oluinya erupa ilangan ulat (integer). Solui integer yang didapatkan dengan cara pemulatan tidak menjamin erada di daerah fiiel. Untuk memperoleh olui integer antara lain dengan metode Cutting Plane Algorithm atau Branch and Bound. Keleihan metode Cutting Plane Algorithm adalah cukup efektif memperingkat hitungan, edangkan keleihan metode Branch and Bound adalah memiliki tingkat kealahan yang edikit akan tetapi memerlukan perhitungan yang cukup lama. Atract Deciion variale in the prolem olving linear program are often in the form of fraction. In ome cae there are pecific deire the olution in the form of an integer (integer). Integer olution i otained y way of rounding doe not warrant eing in the area of fiiel. To otain integer olution, among other, y the method of Cutting Plane Algorithm or Branch and Bound. The advantage of the method of Cutting Plane Algorithm i quite effectively horten the matter, while the advantage of the method of Branch and Bound the error level i to have a little ut require quite a long calculation. Key Word : integer linier programming; Cutting Plane Algorithm; Branch and Bound A. Pendahuluan Model dalam maalah program linier alah atunya memolehkan variael keputuannya erupa ilangan pecahan, jadi oluinya merupakan olui yang kontinu dengan menggunakan aumi diviiilita. Dalam eerapa kau, aumi diviiilita tidak dapat diterapkan dan tidak dapat diterima. Mialnya uatu olui menghailkan. uah peawat terang yang akan diproduki agar keuntungan makimum. Hal ini tidak dapat diterima karena peawat yang diuat eharunya atau 5 uah. Maalah olui yang tidak ulat ini dapat diatai dengan menggunakan optimiai Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah...

2 dengan olui ulat yang dieut dengan integer programming. Model dari integer programming eagai erkut: Makimumkan Dengan kendala j n j c j j n ai j j i, i,,,..., j 0 j integer, untuk eerapa atau untuk emua j,,,..., n B. Contoh-contoh maalah Integer Programming Terdapat mied integer programming dan pure integer programming dan 0 integer programming. Dikatakan mied integer programming jika tidak emua variael keputuannya integer, edangkan dikatakan pure integer programming jika emua variael keputuannya ertipe integer, dan dikatakan 0 integer programming jika olui yang diharapkan adalah hanya ertipe 0 atau. Beerapa contoh maalah dari maing-maing tipe 0 integer programming adalah eagai erikut: Contoh pure integer programming Pemilik took merencanakan memeli mein pencetak dan mein uut. Pemilik memprediki etiap mein pencetak akan menaikkan keuntungan eear $00/hari dan mein uut akan menaikkan keuntungan $50/hari. Lua tempat dan harga maing-maing eagai erikut: Mein Lua tempat (ft) Harga eli ($) Pencetak Buut Anggaran pemelian mein adalah $0.000, edangkan tempat teredia 00 feet peregi. Pemilik ingin mengetahui erapa anyak mein yang dapat dieli upaya keuntungan makimum. Dalam hal ini tidak diperolehkan menghailkan olui yang pecahan. Formulai maalah untuk kau tereut adalah: Makimumkan Z m Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

3 Dengan kendala , 0 dan integer Contoh 0 integer programming Bapeda euah kota merencanakan untuk memangun failita rekreai yaitu kolam renang, lapangan teni, lapangan atletik dan gelanggang olah raga. Pengguna, iaya dan lahan yang diperlukan diajikan pada tael erikut: Failita Rekreai Banyaknya pengguna (orang/hari) Biaya ($) Lua lahan (are) Kolam renang Lapangan teni Lapangan atletik Gelanggang Olah raga Anggaran yang diediakan $0.000 dan lua lahan are. Karena ada pada lahan yang ama, lahan kolam renang atau lapangan teni hanya akan didirikan alah atu aja. Bapeda ingin mengetahui failita mana aja yang haru didirikan agar pengguna menjadi makimum. Formulai maalah untuk kau tereut adalah: Mialkan : Kolam renang : Lapangan teni : Lapangan atletik : Gelanggang olah raga Makimumkan Z Dengan kendala ,,, 0 atau Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah...

4 Contoh mied linier programming Seorang penguaha memiliki keleihan uang $ dan akan diinvetaikan pada alternatif, yaitu: kondominium, tanah dan oligai. Dia ingin menginvetaikan uangnya dengan tujuan pengemalian terear diperoleh pada akhir tahun. Data jeni invetai: Jeni invetai Harga Keterediaan Keuntungan per tahun Kondominium $50.000/unit unit $9.000 Tanah $.000/are 5 are $500 Oligai $8.000/oligai 0 oligai $000 Formulai maalah tereut adalah: Makimumkan Z Dengan kendala , 0 dan integer Untuk mendapatkan olui yang integer dari maalah program linier eperti contoh tereut di ata cukup digunakan metode implek yang iaa kemudian memulatkan olui pecah optimum yang didapatkan. Bukan uatu pekerjaan yang mudah untuk memulatkan olui pecah agar menjadi ulat dan tetap memenuhi emua kendala dan tidak menyimpang jauh dari olui ulat yang tepat. C. Solui ulat/integer Ada eerapa cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan olui ulat optimum antara lain pemulatan, pendekatan grafik, pendekatan Gomory (Cutting Plane Algorithm) dan metode Branch and Bound. Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

5 . Metode pemulatan Metode pemulatan merupakan uatu cara yang termudah, prakti dan efiien dalam menyeleaikan maalah integer programming. Cara yang digunakan yaitu dengan memulatkan nilai variael keputuan yang didapatkan melalui metode implek iaa. Metode ini prakti dalam hal waktu, iaya dan tenaga untuk memperoleh uatu olui. Contoh anyaknya pakaian yang haru diproduki adalah eanyak 57, maka dengan menggunakan metode pendekatan menjadi 57 potong pakaian. Dalam eerapa kau metode pemulatan kurang tepat untuk digunakan karena ada kemungkinan olui pemulatan yang diperoleh leih jelek dari pada olui ulat eungguhnya, atau ada kemungkinan juga olui pemulatan yang didapatkan tidak layak. Hal ini memawa konekueni ear jika produk-produk yang diulatkan eperti peawat terang komerial, kapal perang atau yang lainnya yang mempunyai nilai jual yang tinggi apaila diulatkan ke ilangan ulat terdekat. Maalah-maalah yang dapat muncul dari metode pemulatan akan tampak dalam eerapa maalah program linier erikut: a. Makimalkan Z Dengan kendala Pada maalah tereut jika dieleaikan menggunakan metode implek maka akan didapatkan olui 0.667, dan Z 5.. Jika menggunakan pemulatan nilai terdekat untuk mendapatkan olui integer maka akan didapatkan, 7 dan Z 7, olui tereut ukan olui yang layak karena tidak memenuhi alah atu kendala. Solui integer yang eenarnya adalah, 6 dan Z 5.. Makimumkan Z 7 Dengan kendala 7 Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah... 5

6 5 9 5 Pada maalah tereut jika dieleaikan menggunakan metode implek maka akan didapatkan olui,. dan Z 5.. Jika menggunakan pemulatan nilai terdekat untuk mendapatkan olui integer maka akan didapatkan, dan Z. Solui integer yang eenarnya adalah 0, 5 dan Z 5. Tampak nilai optimal eenarnya leih ear diandingkan dengan pendekatan pemulatan. Berdaarkan contoh-contoh di ata dengan metode pemulatan untuk mendapatkan olui integer memungkinkan mendapatkan olui yang tidak layak, atau nilai optimal olui eenarnya leih ear daripada olui optimal.. Metode Cutting Plane Metode Cutting Plane merupakan alah atu metode yang digunakan untuk menyeleaikan maalah program linier untuk variaelnya haru ulat, aik ulat murni maupun campuran dengan penamahan ataan aru yang dieut dengan gomory. Kendala gomory dierikan jika variael keputuan elum ulat (ernilai pecahan). Bataan-ataan tereut ecara efektif akan menyingkirkan eerapa ruang penyeleaian yang tidak erii titik ilangan ulat yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan atupun titik ilangan ulat yang layak. Langkah-langkah penyeleaian metode Cutting Plane: a. Seleaikan maalah integer programming dengan menggunakan metode implek.. Perika olui optimum yang diperoleh dari langkah, jika variael keputuan olui optimum udah ernilai ulat (integer) maka proe eleai. Jika variael keputuan pada olui optimum maih ernilai pecahan maka proe erlanjut ke tahap erikutnya. c. Buat ataan/kendala Gomory dan eleaikan dengan metode dual implek. d. Kemali ke langkah. 6 Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

7 Tael olui optimal Program linier B X Xm S Sn Nilai Kanan/ Solui X 0 a Cn 0 Xm 0 Z 0 0 a m c a mn m c n 0 Dengan i adalah variael ai, i,,,..., m adalah variael non ai, j,,,..., n j Perhatikan peramaan ke - i di mana variael ernilai non integer. i diaumikan i i aij j, dengan non integer (ari umer). Kemudian piahkan i dan a ij menjadi agian yang ulat dan pecahan non negatif eperti erikut: f dan, a a f dengan 0. Mialnya: f i i ' i ' i i i f i ' ij ij i Tamahan kendala Gomory dalam entuk: g fij j fi dengan g adalah variael lack Gomory ke g. Pada umumnya, Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah... 7

8 peramaan kendala yang erhuungan dengan olui pecah dipilih untuk menghailkan uatu kendala Gomory. Namun, eagai aturan main iaanya dipilih peramaan yang memiliki makimum. f i B Tael aru etelah penamahan kendala Gomory m n Nilai Kanan/ g Solui 0 a a 0 in 0 0 m a m a 0 mn m 0 0 g f i f in f i Z 0 0 c c 0 n 0 Penyeleaian optimal maalah primal tereut menggunakan metode dual implek karena didapatkan olui optimal yang tidak layak. Pementukan kendala gomory dihentikan jika olui integer udah diperoleh, namun jika olui integer elum diperoleh maka kendala gomory diuat lagi. Jika di etiap iterai tidak ditemukan olui integer maka tidak ditemukan olui integer yang layak. Contoh: Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala dan non negative integer Solui dengan primal implek: Iterai ke 0 B NK Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

9 Z Iterai ke B Z Iterai ke B Z NK 5 0 NK Solui yang didapatkan adalah = 9, = 5 65 dan Z =. Nilai dan ukanlah olui yang integer. Karena yang diinginkan adalah olui dan merupakan ilangan integer maka diuatlah kendala gomory. Nilai f i terear pada nilai ehingga dari peramaan kedua didapatkan: 5 5 atau ehingga kendala gomory yang didapatkan adalah g. Tael aru etelah penamahan kendala gomory adalah eagai erikut: Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah... 9

10 Iterai ke- B g 0 0 Z g NK Dengan penyeleaian menggunakan metode dual implek didapatkan hail eperti erikut: Iterai ke- B g 0 0 Z g 5 NK Berdaarkan tael pada iterai ke- didapatkan = 0, = 5 dan Z = 0. Karena olui dan yang didapatkan udah merupakan olui yang integer maka iterai eleai.. Metode Branch and Bound Metode Branch and Bound (caang dan ata) adalah alah atu metode yang ering digunakan untuk menghailkan penyeleaian optimal program linier yang menghailkan variale-variale keputuan ilangan ulat. Seuai dengan namanya, metode ini mematai penyeleaian optimum yang akan menghailkan ilangan pecahan dengan cara memuat caang ata dan awah agi maing-maing 0 0 Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

11 variale keputuan yang ernilai pecahan agar ernilai ulat ehingga etiap pemataan akan menghailkan caang aru. Langkah-langkah dalam metode ranch and ound adalah:. Menyeleaikan maalah program linier dengan cara implek iaa. Meneliti olui optimumnya. Jika variael ai yang diharapkan ulat adalah ulat, maka artinya olui optimum ulat udah didapatkan/dicapai.. Nilai olui pecah yang layak dicaangkan ke dalam u-u maalah, tujuannya adalah untuk menghilangkan olui kontinu yang tidak memenuhi olui ulat pada maalah itu.. Untuk etiap u maalah, nilai olui optimum kontinyu fungi tujuan ditetapkan eagai ata ata. Solui ulat teraik menjadi ata awah (pada awalnya, ini adalah olui kontinyu yang diulatkan ke awah). Su-u maalah yang memiliki ata ata kurang dari ata awah yang ada, tidak diikut ertakan pada analia elanjutnya. Suatu olui ulat layak adalah ama aik atau leih aik dari ata ata untuk etiap u maalah yang dicari. Jika olui yang demikian terjadi, uatu u maalah dengan ata ata teraik dipilih untuk dicaangkan. Kemali ke langkah. Keuntungan dari cara pencaangan dan pemataan adalah cara yang efiien untuk mendapatkan eluruh jawaan layak (fiiel), edangkan kerugian cara ini adalah akan mencari eluruh jawaan program linier pada etiap titik. Pada peroalan yang ear akan memerlukan waktu yang cukup lama. Contoh: Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala dan non negatif integer Solui yang didapatkan adalah dengan metode implek adalah ,.75 dan Z =.5. Solui integer dengan metode Branch and Bound didapatkan dengan mencaangkan maalah tereut menjadi dua agian dengan menamahkan pemata untuk variael yang memiliki nilai agian Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah...

12 pecah yang terear kemudian etiap percaangan maalah dieleaikan dengan metode implek untuk dicari nilai optimumnya. Variael terpilih untuk dilakukan percaangan adalah ehingga didapatkan pemata aru yaitu dan. Maalah yang didapatkan adalah: Bagian A. Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala , 0 Bagian B. Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala , 0 Solui untuk maalah agian A adalah Z 9,, Solui untuk maalah agian B adalah Z,.8, Pada maalah agian A udah didapatkan olui yang emuanya ulat, akan tetapi maalah agian B oluinya maih ada yang pecahan, ehinga maih memungkinkan untuk dicari olui ulat lainnya yang nilainya mungkin leih ear dari olui maalah A. Dengan demikian maalah B dapat dicaangkan lagi menjadi dua agian yaitu B dan B dengan menamahkan kendala dan. Bagian B. Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala , 0 Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

13 Bagian B. Makimumkan Z 5 8 Dengan kendala , 0 Solui dari maalah agian B adalah Z = 0.55,,. Untuk agian B tidak ada olui yang fiiel Berdaarkan olui tereut maka maalah B dapat dicaangkan lagi menjadi dua maalah yaitu Ba dan B dengan menamahkan kendala dan 5. Dengan penamahan kendala pada agian Ba tereut didapatkan Z = 7, dan. Penamahan kendala 5 pada agian B mengakiatkan nilai Z = 0, 0 dan 5. Pencarian olui integer udah eleai dengan didapatkannya olui pada agian Ba dan B kedua-duanya integer. Dari emua pencarian olui integer, yang menghailkan olui integer makimum adalah pada agian B dengan hail Z = 0, 0 dan 5. Ringkaan emua hail pencarian olui dapat digamarkan dalam diagram erikut: Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah...

14 Z = Z = 0 A Z = 7 Ba Z = B Diagram Z = B Z =.8 B Tidak fiiel B Untuk kau minimum dapat digamarkan dalam diagram erikut: Z = Z = 9 7 Z = Tidak fiiel Z = 7 5 Diagram Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05

15 Untuk kau minimai di ata olui integer minimainya adalah Z = 7 dengan 5 dan D. Keimpulan: Penggunaan metode Branch and Bound edikit ekali kealahannya namun memerlukan perhitungan yang leih anyak. Sedangkan metode Cutting Plane leih cepat mencapai optimal karena dengan penamahan kendala gomory efektif menghilangkan olui yang kontinu. Metode Gomory leih aik digunakan jika variaelnya edikit. Siti Malikhah, Metode Pemecahan Maalah... 5

16 DAFTAR PUSTAKA Aminuddin, 005, Prinip-prinip Riet Operai, Erlangga, Jakarta Hamdy A. Taha Riet Operai. Binarupa Akara, Jakarta Hillier, F.S. dan Lieerman, G.J., (995), Introduction to Operation Reearch, Holden Day, Inc. USA. kiayati.taff.gunadarma.ac.id/download/file/.../program-integer.pdf Yuhendra Ajeng dkk. 0. Integer Programming Dengan Pendekatan Metode Branch And Bound Dan Metode Cutting Plane Untuk Optimai Kominai Produk. Jurnal Matematika FMIPA Univerita Brawijaya. 6 Jurnal at-taqaddum, Volume 7, Nomor, Novemer 05