TANGGAPAN FREKUENSI. 7.1 Pendahuluan BAB VII

Transkripsi

1 BAB VII TANGGAPAN FREKUENSI Taggapa frekuesi adalah taggapa keadaa tuak suatu sistem terhadap masuka siusoidal. Dalam metoda taggapa frekuesi, frekuesi siyal masuka dalam suatu daerah frekuesi tertetu diubah da taggapa frekuesi yag dihasilka dipelaari. Kriteria kestabila Nyquist memugkika utuk meyelidiki kestabila mutlak maupu relatif sistem liier lup tertutup dari karakteristik taggapa frekuesi lup terbukaya. Dalam megguaka kriteria kestabila ii tidak diperluka utuk meetuka akar-akar persamaa karakteristik. Peguia taggapa frekuesi pada umumya sederhaa da dapat dilakuka secara teliti dega megguaka pembagkit siyal siusoidal yag telah tersedia da alat-alat ukur yag teliti. Serigkali fugsi alih kompoe yag rumit dapat ditetuka secara eksperimetal dega peguia taggapa frekuesi. Metoda taggapa frekuesi dapat diterapka pada sistem yag tidak mempuyai fugsi rasioal. Solusi dari pada itu, sistem (kedalia) yag tidak diketahui atau sistem yag bear-bear dikeal, dapat ditagai dega metoda taggapa frekuesi sedemikia sehigga pegaruh derau yag tidak diigika dapat diabaika da aalisis serta peracaga semacam ii dapat diperluas ke sistem kedali o-liier. Pada bab ii aka dibahas metoda Bode Plot da metoda Nyquist utuk aalisis sistem kedali dalam kawasa frekuesi. Selautya dibahas kosep kestabila meurut Bode Plot da meurut kriteria Nyquist. Bila pada Bab V kosep kestabila sistem kedali dapat lagsug diterapka pada Root Locus yag berkawasa waktu, maka pada bab ii kosep kestabila pada Bode Plot da Nyquist diterapka secara tidak lagsug, yaitu dega megaitka letak pole-pole lup tertutup sistem dega besara margi fasa da margi peguata. 7. Pedahulua Perhatika sistem liier yag tidak berubah dega waktu seperti yag terlihat pada Gambar 7- berikut ii. 84

2 Bab 7: Taggapa Frekuesi 85 x(t) X(s) G(s) y(t) Y(s) Gambar 7-: Sistem liier yag tidak berubah dega waktu. Utuk sistem ii, maka Y(s) X(s) G(s) (7-) Masuka x(t) adalah siusoidal, yaitu x(t) X si t (7-) Jika sistem stabil, maka keluara y(t) dapat dituliska sebagai dega da y(t) Ysi( t + ) (7-3) Y X G( ) (7-4a) G( bagia imaier G( ) ) ta (7-4b) bagia riel G( ) Suatu sistem liier yag tidak berubah dega waktu stabil yag dikeai masuka siusoidal, pada keadaa tuak, aka mempuyai keluara siusoidal dega frekuesi yag sama dega masukaya.tetapi amplituda da fasa dari keluara, pada umumya, berbeda dega masukaya. Pada keyataaya, amplitudo keluara merupaka hasil kali amplitudo masuka dega G( ) ; sedagka sudut fasa berbeda dari masukaya sebesar G( ). Utuk masuka siusoidal, G( ) Y( X( ) ) perbadiga amplitudo keluara siussoidal terhadap masuka siusoidal. G( ) Y( X( ) ) pergesera fasa keluara siusoidal terhadap masuka siusoidal.

3 Bab 7: Taggapa Frekuesi 86 Dega demikia, karakteristik taggapa suatu sistem terhadap suatu masuka siusoidal dapat diperoleh secara lagsug dari Y( X( ) ) G( ) (7-5) Fugsi alih siusoidal G( ), perbadiga Y( ) dega X( ), merupaka besara kompleks da dapat diyataka dega besara da sudut fasa dega frekuesi sebagai parameter (sudut fasa egatif disebut fasa tertiggal (phase lag), da sudut fasa positif disebut fasa medahului (phase lead)). Fugsi alih siusoida setiap sistem liier diperoleh dega mesubstitusika s = pada fugsi alih sistem. 7. Diagram Bode Fugsi alih siusoidal dapat disaika dalam dua diagram yag terpisah, satu merupaka diagram besara terhadap frekuesi da yag laiya adalah diagram sudut fasa dalam deraat terhadap frekuesi. Diagram Bode terdiri dari dua grafik. Grafik pertama merupaka diagram dari logaritma besara fugsi siusoidal, da grafik yag lai merupaka sudut fasa; di maa kedua grafik digambarka terhadap frekuesi dalam skala logaritmik. Peyaia stadar besara logaritmik dari G( ) adalah log G( ), dega basis logaritma tersebut adalah. Satua yag diguaka dalam peyaia besara adalah desibel (db). Pada peyaia logaritmik, kurva digambarka pada kertas semilog, dega megguaka skala log utuk frekuesi da skala liier utuk besara (dalam db) atau sudut fasa (dalam deraat). 7.. Faktor-Faktor Dasar dari G( )H( ) Faktor-faktor dasar yag meyusu sebarag fugsi alih G( )H( ) adalah. Peguata K. Faktor itegral derivatif ( ) 3. Faktor orde pertama (+ T) 4. Faktor kuadratik

4 Bab 7: Taggapa Frekuesi Peguata K Setiap agka yag lebih besar dari satu mempuyai ilai positif dalam db, sedagka agka yag lebih kecil dari satu mempuyai ilai egatif. Kurva besara log utuk peguata K yag kosta merupaka garis horizotal dega besara log K db. Sudut fasa peguata K adalah ol. Pegaruh perubaha peguata K pada fugsi alih dapat meaikka atau meuruka kurva besara log fugsi alih tadi sesuai dega besar log K, tetapi tidak mempuyai pegaruh pada sudut fasa. db log K Gambar 7-: Kurva taggapa frekuesi besara log utuk peguata K Faktor Itegral da Derivatif ( ) Besara logaristmik dari dalam desibel adalah log log db Sudut fasa dari adalah kosta da besaraya -9. Dalam diagram Bode, perbadiga frekuesi diekspresika dalam betuk oktaf atau dekade. Oktaf adalah suatu pita frekuesi dari ke, dega adalah suatu harga frekuesi sembarag. Dekade adalah suatu pita frekuesi dari ke, dega adalah suatu harga frekuesi sembarag. Jika besara log - log db digambarka terhadap pada skala logaritmik, aka diperoleh garis lurus. (- log ) db = (- log -) db dega kemiriga garis tersebut adalah - db/dekade (atau -6 db/oktaf).

5 Bab 7: Taggapa Frekuesi 88 Dega cara yag sama, maka log log db dega sudut fasa yag kosta, yaitu 9. Kurva besara log adalah suatu garis lurus dega kemiriga db/dekade. Gambar berikut memperlihatka kurva taggapa frekuesi masig-masig utuk da. Perbedaa kedua taggapa frekuesi dari faktor da terletak pada tada kemiriga kurva besara - log da tada sudut fasa. Kedua besara log tersebut meadi sama dega db pada =. db db 4 kemiriga = -db/dekade - -4, 4 kemiriga = db/dekade - -4, o 8 o 9 o 9 o 8 o o,, Gambar 7-3: Kurva taggapa frekuesi besara - log da sudut fasaya, utuk da. Jika fugsi alih megadug faktor masig-masig meadi atau ( ), maka besara log log log log db ( ) atau log ( ) log log db

6 Bab 7: Taggapa Frekuesi 89 Selautya kemiriga kurva besara log utuk faktor-faktor da ( ), masig-masig - db/dekade da db/dekade. Sudut fasa = -9 o di seluruh retag frekuesi, sedagka sudut fasa ( ) = 9 o di seluruh retag frekuesi. Kurva besara melalui titik db, pada = Faktor Orde Pertama ( T) Besara log dari faktor orde pertama T adalah log T log T db Utuk frekuesi redah, <<, besara log dapat didekati dega T log T log = db Jadi kurva besara log pada frekuesi redah terletak di garis kosta db. Utuk frekuesi tiggi, >>, besara log dapat didekati dega T log T log T db yag merupaka ekspresi perkiraa retag frekuesi tiggi. Pada, besara log = db T, besara log = - db T Jadi harga - log T db megecil oleh db utuk setiap dekade. Utuk kurva besara log tersebut meadi suatu garis lurus dega kemiriga - db/dekade atau -6 db/oktaf. Kurva taggapa frekuesi dari faktor T T, dapat didekati dega dua buah garis lurus asimtotis, satu garis lurus pada db utuk daerah frekuesi < < T, da yag lai garis lurus dega kemiriga - db/dekade (-6 db/oktaf) utuk retag

7 Bab 7: Taggapa Frekuesi 9 frekuesi < <. Kurva besara log da kurva sudut fasaya terlihat pada gambar T berikut. Gambar 7-4: Kurva taggapa frekuesi besara - log da sudut fasaya, utuk T. Frekuesi pada perpotoga dua asimtot disebut frekuesi sudut (corer frequecy). Utuk faktor T, frekuesi = T merupaka frekuesi sudut karea pada = T kedua asimtot mempuyai ilai yag sama. (Ekspresi asimtot frekuesi redah pada = T adalah log db = db; ekspresi asimtotik frekuesi tiggi pada = T uga log db = db). Frekuesi sudut membagi kurva taggapa frekuesi meadi dua daerah, yaitu kurva utuk daerah frekuesi redah da kurva utuk daerah frekuesi tiggi. Frekuesi sudut sagat petig dalam membuat sketsa kurva taggapa frekuesi logaritmik. Sudut fasa sebearya dari faktor T adalah

8 Bab 7: Taggapa Frekuesi 9 ta T Pada frekuesi ol, sudut fasaya adalah. Pada frekuesi sudut, sudut fasaya adalah ta T T ta 45 Galat kurva besara yag diakibatka oleh asimtot-asimtot dapat dihitug. Kesalaha maksimum teradi pada frekuesi sudut da hampir sama dega -3 db, karea log log log 3, 3 db 3 db Galat pada frekuesi satu oktaf di bawah frekuesi sudut, yaitu pada 4 5 log log log, 97 db - db Galat pada frekuesi satu oktaf di atas frekuesi sudut, yaitu pada T adalah T adalah 5 log log log, 97 db - db Jadi galat pada satu oktaf di bawah atau di atas frekuesi sudut hampir sama dega - db. Dega demikia galat pada satu dekade di bawah atau di atas frekuesi sudut kirakira -,4 db. Dalam praktekya, kurva taggapa frekuesi yag teliti digambarka dega meempatka titik -3 db pada frekuesi sudut da titik - db satu oktaf di bawah atau di atas frekuesi sudut da selautya meghubugka titik ii dega suatu kurva yag halus (smooth). Suatu kelebiha diagram Bode adalah utuk faktor-faktor kebalika, misalya haya perlu diubah tadaya. Karea log T log T ta T T T maka frekuesi sudut kedua kasus tersebut adalah sama.

9 Bab 7: Taggapa Frekuesi 9 Kemiriga asimtot frekuesi tiggi dari adalah db/dekade. Da sudut T fasaya berubah dari sampai 9 ika frekuesi diperbesar dai sampai. Kurva besara log da sudut fasa utuk faktor T seperti terlihat pada gambar berikut. Gambar 7-5: Kurva taggapa frekuesi besara log da sudut fasaya, utuk T Faktor Kuadratik Sistem kedali mempuyai faktor kuadratik yag berbetuk Jika >, maka faktor kuadratik ii dapat diyataka sebagai perkalia dua buah orde pertama dega pole riel. Pole s da s adalah akar-akar yata, dega betuk

10 Bab 7: Taggapa Frekuesi 93 s s da s s ekivale dega T +, sehigga diagram Bode dapat digambarka sesuai dega subbab Jika < <, maka faktor kuadratik aka mempuyai dua akar kompleks sekawa. Pedekata asimtot pada kurva taggapa frekuesi utuk suatu faktor dega harga redah adalah tidak teliti. Hal ii disebabka besara da fasa faktor kuadratik tersebut tergatug pada frekuesi sudut da rasio redama. Megigat: log log maka utuk frekuesi redah sedemikia rupa sehigga meadi - log = db Jadi asimtot frekuesi redah merupaka garis horizotal pada db. Utuk frekuesi tiggi, log 4log, besara logya meadi db, besara log tersebut Persamaa utuk asimtot frekuesi tiggi merupaka garis lurus dega kemiriga -4 db/dekade, karea 4log 4 4log Asimtot frekuesi tiggi memotog asimtot frekuesi redah pada frekuesi ii =, karea pada 4log 4log Frekuesi ii merupaka frekuesi sudut pada frekuesi yag ditiau. db

11 Bab 7: Taggapa Frekuesi 94 Sudut fasa faktor kuadratik adalah ta..... (7-6) Sudut fasa merupaka fugsi da. Pada =, sudut fasa =. Pada frekuesi sudut =, sudut fasa = - 9, tidak tergatug karea ta ta 9 Pada =, sudut fasa meadi -8. Kurva sudut fasa simetris mirig terhadap ifleksi pada = -9. Kurva taggapa frekuesi utuk faktor dapat diperoleh haya dega membalik tada besara log da sudut fasa dari faktor. Utuk mecari kurva taggapa frekuesi fugsi alih kuadratik, pertama-tama harus ditetuka harga frekuesi sudut da rasio redama. Cotoh 7- Gambarka diagram Bode utuk fugsi alih lup terbuka Jawab : G(s)H(s) 4(s ) s(s 4)

12 Bab 7: Taggapa Frekuesi 95 G(s)H(s) G( )H( ) 4(s ) s(s 4) 4( ) ( 4) Meggambar besara log : Tetuka frekuesi sudut : da 4 Buat garis-garis asimtot dari Buat garis asimtot da 4 4 (garis - db/dekade atau -6 db/oktaf melalui titik = ). Buat garis kurva log = db (garis horizotal). Semua garis asimtot da kurva diumlahka. Lalu buat kurva yag lebih terperici, yag merupaka diagram Bode. Meggambar sudut fasa : G( )H( ) G( )H( ) ta G( )H( ) 5, 7 G( )H( ), 3 5 G( )H( ) 6, 57 G( )H( ) 45 G( )H( ) 63, 43 4 G( )H( ) 76 G( )H( ) G( )H( ) ta 4 4 G( )H( ), 43 G( )H( ) 4, G( )H( ) 6, 57 4 G( )H( ) 45 8 G( )H( ) 63, 43

13 Bab 7: Taggapa Frekuesi 96 G( )H( ) G( )H( ) 9 G( )H( ) G( )H( ) Semua sudut yag diperoleh diumlahka Bode yag bersagkuta. merupaka sudut fasa dari diagram Gambar 7-6: Kurva taggapa frekuesi besara - log da sudut fasaya, utuk Cotoh Hubuga atara Tipe Sistem dega Kurva Besara - Log Perhatika diagram blok sistem kedali balika satua seperti pada gambar berikut. R(s) + E(s) C(s) G(s) - Gambar 7-7: Sistem kedali balika satua.

14 Bab 7: Taggapa Frekuesi 97 Kostata galat posisi statik, kostata galat kecepata statik da kostata galat akselerasi statik, masig-masig meggambarka perilaku frekuesi redah dari sistem tipe, tipe da tipe. Utuk setiap sistem, haya ada satu kostata galat statik yag terhigga da sigifika. (Maki besar harga kostata galat statik terhigga tersebut, maka peguata lup meadi semaki tiggi ika medekati ol). Tipe sistem meetuka kemiriga kurva besara - log pada frekuesi redah. Jadi, iformasi megeai keberadaa da besarya galat keadaa tuak suatu sistem kedali terhadap masuka dapat ditetuka dari pegamata pada daerah frekuesi redah kurva besara - log Peetua Kostata Galat Posisi Statik adalah Perhatika Gambar 7-7 di atas. Asumsika bahwa fugsi alih lup terbukaya G(s) K(T s )(T s ) (T s ) a b m N s (T s )(T s ) (T s ) p atau G( ) K(T )(T ) (T ) a b m N (T )(T ) (T ) p Gambar 7-8 memperlihatka suatu cotoh diagram besara - log suatu sistem tipe. Dalam suatu sistem, besara G( ) sama dega K p pada frekuesi redah, atau db log K p - db/dekade -4 db/dekade dalam skala log Gambar 7-8 : Kurva besara - log suatu sistem tipe.

15 Bab 7: Taggapa Frekuesi 98 lim G( ) K p Hal ii berarti asimtot frekuesi redah berupa garis harizotal yag terletak pada log K p db Peetua Kostata Galat Kecepata Statik Perhatika sistem kedali balika satua seperti yag terlihat pada Gambar 7-7. Gambar 7-9 memperlihatka suatu cotoh diagram besara - log dari suatu sistem tipe. Perpotoga dari segme keadaa mula - db/dekade (atau perpaagaya) dega garis = mempuyai besara log K v. db db / dekade log K v 3 K v dalam ska la log - 4 db / dekade Gambar 7-9 : Kurva besara - log suatu sistem tipe. Dalam sistem tipe sehigga G( ) = K v, utuk << log K v = = log K v Perpotoga dari segme keadaa mula - db/dekade (atau perpaagaya) dega garis db mempuyai suatu frekuesi yag besarya sama dega K v. Utuk melihat hal ii, defiisika frekuesi pada perpotoga ii sebagai, maka K v = atau K v

16 Bab 7: Taggapa Frekuesi Peetua Kostata Galat Statik Perhatika sistem kedali balika satua seperti yag terlihat pada Gambar 7-7. Gambar 7- memperlihatka suatu cotoh diagram besara - log suatu sistem tipe. Perpotoga dari segme keadaa mula -4 db/dekade (atau perpaagaya) dega garis maka = mempuyai besara log K a. Pada frekuesi redah G( ) = K ( a ), utuk << log K a = = log K a db - 4 db / dekade 6 db / dekade log K a db / dekade a K a dalam ska la log Gambar 7-: Kurva besara - log suatu sistem tipe. Frekuesi a pada perpotoga segme keadaa mula -4 db/dekade (atau perpaagaya) dega garis db memberika kuadrat K a. Hal ii dapat dilihat dari log K ( ( K K a a ) a a ) = log = sehigga a K a

17 Bab 7: Taggapa Frekuesi 7..3 Meggambar Diagram Bode dega MATLAB Peritah bode meghitug besara da sudut fasa taggapa frekuesi sistem liier kotiyu yag tidak berubah dega waktu. Bila peritah bode (tapa argume di sebelah kiri sumbu khayal) dimasukka dalam komputer, MATLAB aka meghasilka suatu diagram Bode pada layar. Bila diperitahka dega argume di sebelah kiri, [mag,phase,w]=bode(um,de,w) bode megembalika taggapa frekuesi sistem dalam matriks mag, phase, da w. Tidak tampak diagram pada layar. Matriks mag da phase berisi besara da sudut fasa taggapa frekuesi sistem yag dievaluasi pada titik-titik frekuesi yag ditetuka. Sudut fasa dikembalika dalam satua deraat. Besara dapat dikoversika ke desibel dega peryataa. magdb=*log(mag) Utuk retag frekuesi tertetu, diguaka peritah logspace(d,d ) atau logspace(d,d, ). logspace(d,d ) meghasilka suatu vektor yag terdiri dari 5 titik logaritmik yag sama di atara dekade d da d. Sebagai cotoh, utuk meghasilka 5 titik di atara, rad/dtk da rad/dtk, masukka peritah w=logspace(-,) logspace(d,d, ) meghasilka titik logaritmik sama di atara dekade d da d. Sebagai cotoh, utuk meghasilka titik di atara rad/dtk da rad/dtk, masukka peritah w=logspace(,3,) Utuk memasukka frekuesi ii bila meggambar diagram Bode, guaka peritah bode(um,de,w) atau bode(a,b,c,d,iu,w). Peritah ii meyataka vektor frekuesi w yag ditetuka. Cotoh 7- Diberika fugsi alih sistem G( s) s 5 4s 5 Gambarka diagram Bodeya utuk fugsi alih di atas.

18 Bab 7: Taggapa Frekuesi Jawab : Program MATLAB : um=[ 5]; de=[ 4 5]; bode(um,de) subplot(,,); title( Diagram bode dari G(s) = 5/(s^+4+5) ) Gambar 7-: Diagram Bode dari G(s) 5. s 4s 5 Cotoh 7-3 Diberika fugsi alih lup terbuka suatu sistem adalah 9( s, s ) G( s) s( s, s 9) Gambarka diagram Bodeya. Jawab :

19 Bab 7: Taggapa Frekuesi Program MATLAB : um=[ 9.8 9]; de=[. 9 ]; bode(um,de) subplot(,,); title( Diagram Bode dari G(s) = 9(s^+,s+)/[s(s^+,s+9) ] Diagram Bode yag dihasilka secara otomatis aka mempuyai retag frekuesi, rad/dtk sampai rad/dtk. Gambar 7-: Diagram Bode dari G(s) 9(s,s ) s(s,s 9). Jika diigika gambar diagram Bode dari, rad/dtk sampai rad/dtk, masukka peritah w=logspace(-,3,)

20 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 Peritah ii meghasilka titik logaritmis yag sama di atara, rad/dtk da rad/dtk. Gambar 7-3: Diagram Bode dari G(s) 9(s,s ) s(s,s 9). Program MATLAB-ya : um=[ 9.8 9]; de=[. 9 ]; w=logspace(-,3,); bode(um,de,w) subplot(,,); title( Diagram Bode dari G(s) = 9(s^+,s+)/[s(s^+,s+9) ] Jika diguaka peritah bode(um,de,w)

21 Bab 7: Taggapa Frekuesi 4 kemudia retag frekuesi ditetuka, tetapi retag besara da retag sudut fasa secara otomatis aka ditetuka. Utuk retag besara da retag sudut fasa tertetu, guaka peritah [mag,phase,] = bode(um,de,w) Matriks mag da phase berisi besara da sudut fasa taggapa frekuesi yag dievaluasi pada titik-titik frekuesi yag ditetuka. Sudut fasa dikembalika ke dalam satua deraat. Besara dapat dikoversika ke desibel dega peryataa magdb=*log(mag) 7.3 Diagram Polar Diagram polar suatu fugsi alih siusoidal G( ) adalah suatu diagram besara G( ) terhadap sudut fasa G( ) pada koordiat polar, ika diubah dari sampai. Jadi diagram polar adalah tempat keduduka vektor G( ) G( ) ika diubah dari sampai. Dalam diagram polar, sudut fasa positif (egatif) diukur berlawaa arah dega arah arum am (searah dega arah arum am) dari sumbu riel positif. Diagram polar serig disebut diagram Nyquist. Gambar 7- berikut merupaka cotoh diagram polar. Re G( ) Im 3 G( ) G( ) Im Re G( ) Gambar 7-4: Diagram polar. Setiap titik pada diagram polar dari G( ) merupaka titik termial dari vektor utuk harga tertetu. Proyeksi G( ) pada sumbu yata da sumbu khayal adalah

22 Bab 7: Taggapa Frekuesi 5 kompoe yata da kompoe khayal G( ). Utuk meggambar diagram polar, baik besara G( ) maupu sudut fasa G( )harus dihitug secara lagsug utuk setiap frekuesi. Meskipu demikia, karea diagram logaritmik (Bode) mudah digambar, maka data yag diperluka utuk meggambar diagram polar dapat diperoleh secara lagsug dari diagram logaritmik tersebut, yaitu ika diagram ii digambarka lebih dahulu da skala desibel diubah meadi skala besara biasa. Atau MATLAB (program komputer) dapat diguaka utuk meetuka suatu diagram polar G( ) atau medapatka G( ) da G( ) secara teliti utuk harga yag berubah dalam retag frekuesi yag diperluka. Suatu keutuga pegguaa diagram polar adalah bahwa diagram tersebut melukiska karakteristik taggapa frekuesi sistem di seluruh retag frekuesi pada satu diagram. Kelemahaya adalah diagram ii tidak dapat secara elas meuukka kotribusi tiap-tiap faktor fugsi alih lup terbuka Faktor Itegral Da Derivatif ( ) Diagram polar dari G( ) = adalah sumbu khayal egatif, karea G( ) 9 Diagram polar dari G( ) = adalah sumbu khayal positif G( ) Faktor Orde Pertama + T Utuk fugsi alih siusoidal, G( ) T T ta T Harga G( ) pada = da = T, masig-masig adalah G() da G( ) T 45

23 Bab 7: Taggapa Frekuesi 6 Jika meuu,maka besara G( ) meuu da sudut fasa medekati - 9. Diagram polar dari fugsi alih ii adalah setegah ligkara ika frekuesi diubah dari sampai,seperti terlihat pada gambar berikut. Pusat terletak di,5 pada sumbu yata da ari-ariya =,5. Im T = G( T ) T T,5 Re G( T ) T = Gambar 7-5: Diagram polar dari T. Utuk membuktika bahwa diagram polar ii merupaka setegah ligkara, didefiisika dega G( X = Y = ) maka diperoleh X + Y = bagia riel dari G( ) + T T = bagia imaier dari G( ) + T ( X ) Y T T T T Jadi, pada bidag X-Y, G( ) berupa ligkara dega pusat di X = ½, Y = da ariari ½, seperti diperlihatka gambar berikut. Ligkara bagia bawah berkaita dega, sedagka ligkara bagia atas berkaita dega -.

24 Bab 7: Taggapa Frekuesi 7 Y,5 X Gambar 7-6: Diagram dari G( ) pada bidag X - Y. Diagram polar da fugsi alih + T berupa garis lurus melalui titik (,) dalam bidag kompleks da paralel dega sumber imaier, seperti yag terlihat pada gambar berikut. Im Re Gambar 7-7: Diagram polar dari T Faktor Kuadratik Bagia frekuesi redah da frekuesi tiggi alih siusoidal berikut G( ) Masig-masig diberika oleh limg( ) = da lim G( ) = ; > 8 Diagram polar fugsi alih siusoidal dimulai dari da berakhir pada -8 ika membesar dari meuu. Jadi bagia frekuesi tiggi dari G( ) meyiggug

25 Bab 7: Taggapa Frekuesi 8 sumbu riel egatif. Harga-harga G( ) dalam retag frekuesi yag diigika dapat dihitug secara lagsug, atau dega megguaka diagram Bode, atau dega megguaka MATLAB. Cotoh diagram polar dari fugsi alih yag diperhatika, seperti yag terlihat pada gambar berikut. Betuk eksak dari suatu diagram polar tergatug dari harga rasio redama, tetapi betuk umum dari diagram sama, baik utuk keadaa kurag teredam (> >) da terlalu diredam ( >). Gambar 7-8: Diagram polar dari G( ) ; > Im Re Gambar 7-9: Diagram polar dari utuk >

26 Bab 7: Taggapa Frekuesi Betuk Umum Diagram Polar Diagram polar dari fugsi alih yag berbetuk G( ) K(+ T )(+ T ) ( ) (+ T )(+ T ) ; > m. m m- b ( ) b ( ) o a ( ) a ( ) o a - b Betuk umumya adalah sebagai berikut.. Utuk = atau sistem tipe. Titik awal diagram polar adalah berhigga da terletak pada sumbu riel positif. Garis yag meyiggug diagram polar pada = adalah tegak lurus sumbu yata. Titik akhir yag berkaita dega = terletak di titik asal, da kurva tersebut meyiggug salah satu sumbu.. Utuk = atau sistem tipe. Betuk pada peyebut meambah - 9 pada sudut fasa total dari G( ) utuk. Pada =, besara dari G( ) adalah da sudut fasaya meadi - 9. Pada frekuesi redah, diagram polar mempuyai asimtot berupa garis lurus yag seaar dega sumbu khayal egatif. Pada =, besara G( ) meadi ol sehigga kurva koverge ke titik asal da meyiggug salah satu sumbu. 3. Utuk = atau sistem tipe. Betuk ( ) pada peyebut meambah pada sudut fasa total dari G( ) utuk. Pada =, besara G( ) meadi da sudut fasaya meadi -8. Pada frekuesi redah, diagram polar mempuyai asimtot berupa garis lurus yag seaar dega sumbu riel egatif. Pada =, besara G( ) meadi ol da kurva meyiggug salah satu sumbu.

27 Bab 7: Taggapa Frekuesi Betuk umum bagia frekuesi redah diagram polar dari sistem tipe, tipe, da tipe terlihat pada gambar berikut. Gambar 7-: Diagram polar dari sistem tipe, tipe, da tipe. Terlihat bahwa ika deraat poliomial peyebut dari G( ) lebih besar dari deraat poliomial pembilagya, maka tempat keduduka G( ) koverge ke titik pusat (,) searah dega arah arum am. Pada =, tempat keduduka meyiggug salah salah satu sumbu. Betuk kurva diagram polar yag rumit disebabka oleh diamika pembilagya, yaitu kostata waktu dalam pembilag dari fugsi alih. Gambar 7-: Diagram polar dari fugsi alih dega diamika pembilag.

28 Bab 7: Taggapa Frekuesi Dalam aalisis sistem kedali, diagram polar dari G( ) pada retag frekuesi yag diigika harus ditetuka secara teliti Cara Meggambar Diagram Nyquist Diagram Nyquist adalah sebuah cara utuk membuat taggapa frekuesi, di maa setiap phasor dari fugsi alih digambarka dalam koordiat polar, dega frekuesi sebagai variabelya. Beberapa cara meggambar diagram Nyquist adalah sebagai berikut. a. Cara tidak lagsug Dega terlebih dahulu membuat diagram Bode. Lalu utuk setiap frekuesi, besara da sudut fasaya dapat ditetuka. Cara ii teliti, tetapi memerluka waktu yag cukup lama. b. Cara lagsug Dega meghitug besara da sudut fasaya pada ttitik tertetu saa (titik-titik petig). Cara ii cepat, tetapi tidak teliti. Cotoh 7-4 : Peguata lup terbuka G( ) H( ) utuk G( )H( G( )H( ) ) 5 Lalu digambarka seperti berikut ( 5 ) 3, 6 5 (, 6 )(, ) , 433 ( 4) 9

29 Bab 7: Taggapa Frekuesi Perpotoga dega garis -8 (dicari dega cara coba-coba), yaitu pada tertetu, dalam hal ii pada = 4 rad/dtk. 5 G( ) H( ) 4 (, 4 )(, 4 ) 5 4(, 4 )(, 4 ), c. Cara pemetaa Utuk meggambarka G(s)H(s) dega pemetaa dari bidag s ke bidag GH (koordiat bola). Diperluka kurva yag legkap, termasuk frekuesi kompleks da egatif. Mes kipu demikia, cara ii tidak teliti Meggambar Diagram Nyquist dega MATLAB Diagram Nyquist, seperti diagram Bode, biasaya diguaka dalam represetasi taggapa frekuesi dari sistem kedali balika liier yag tidak berubah dega waktu. Diagram Nyquist adalah diagram polar, sedagka diagram Bode adalah diagram rectagular. Dalam MATLAB, peritah yquist meghitug taggapa frekuesi utuk sistem liier kotiyu yag tidak berubah dega waktu. Bila tapa argume bagia sebelah kiri sumbu khayal, yquist aka meghasilka suatu diagram Nyquist pada layar. Peritah yquist(um,de) meggambar diagram Nyquist dari fugsi alih um(s) G( s) de( s) dega um da de berisi koefisie poliomial dalam pagkat s yag meuru. Peritah yquist(um,de,w) megguaka vektor frekuesi w yag ditetuka oleh pemakai. Vektor w meyataka titik-titik frekuesi dalam radia per detik di maa taggapa frekuesi aka dihitug. Bila dimita dega argume sebelah kiri

30 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 [re,im,w] = yquist(um,de) atau [re,im,w] = yquist(um,de,w) MATLAB megembalika taggapa frekuesi sistem dalam matriks re, im, da w. Tidak terdapat diagram pada layar. Matriks re da im berisi bagia riel da imaier dari taggapa frekuesi sistem yag dievaluasi pada titik-titik frekuesi tertetu dalam vektor w. Perhatika bahwa re da im mempuyai bayak kolom sebagai keluara da satu baris utuk setiap eleme dalam w. Cotoh 7-5 Diberika fugsi alih lup terbuka dari sistem adalah G( s) s, 8s Gambarka diagram Nyquist-ya dega MATLAB. Jawab : Karea sistem diberika dalam betuk fugsi alih, peritah yquist(um,de) dapat diguaka utuk meggambar suatu diagram Nyquist. Program MATLABya : um=[ ]; de=[.8 ]; yquist(um,de) grid title( Diagram Nyquist dari G(s) = /(s^+,8s+) )

31 Bab 7: Taggapa Frekuesi 4 Gambar 7-: Diagram Nyquist dari G(s) s,8s Jika diigika meggambar diagram Nyquist dega retag yag ditetuka, misalya dari - sampai pada sumbu riel da - sampai pada sumbu imaier, masukka peritah v=[ - - ] axis(v); atau axis ([- - ]); Program Matlab ya %.. Diagram Nyquist.. um=[ ]; de=[.8 ]; yquist(um,de) v=[- - ]; axis(v) grid title( Diagram Nyquist dari G(s) = /(s^+,8s+) )

32 Bab 7: Taggapa Frekuesi 5 Gambar 7-3: Diagram Nyquist dari G(s) utuk retag - higga + s,8s Kriteria Kestabila Nyquist Kriteria kestabila Nyquist adalah kriteria kestabila yag megaitka atara taggapa frekuesi lup terbuka G( )H( ) dega bayakya pole loop tertutup + G( )H( ) yag terletak di sebelah kaa sumbu khayal pada bidag s. Sistem stabil bila semua akar persamaa karakteristik G s H s, atau semua pole loop tertutup terletak disebelah kiri bidag-s. Sistem tetap stabil meskipu pole-pole/zerozero fugsi alih loop terbuka ada yag terletak disebelah kaa bidag-s. Kriteria ii sagat bergua karea kestabila mutlak sistem lup tertutup dapat ditetuka secara grafis dari kurva taggapa frekuesi lup terbuka sehigga tidak perlu mecari pole-pole lup tertutup. Kurva taggapa frekuesi lup terbuka yag diperoleh secara aalitis maupu yag diperoleh secara eksperimetal dapat diguaka utuk aalisis kestabila. Utuk memahami kosep kestabila Nyquist, diperluka pemahama tetag kosep pemetaa dari bidag-s ke bidag F( s) G( s) H( s) terlebih dahulu.

33 Bab 7: Taggapa Frekuesi 6 Gambar 7-4 meuukka hasil pemetaa tersebut utuk beberapa kasus. Beberapa catata yag dapat diambil dari Gambar 7-4 adalah sebagai berikut:. Bila ada pole dikeliligi oleh kurva tertutup bidag-s, maka titik asal aka dikeliligi kali berlawaa arah arum am pada di bidag F(s).. Bila ada pole da zero dega umlah sama pada kurva tertutup di bidag -s, maka kurva tertutup di bidag F(s) tak megeliligi titik asal. 3. Bila ada zero yag diligkupi oleh kurva tertutup di-bidag-s, maka kurva tertutup pada bidag F(s) ya aka megeliligi titik asal searah arum am sebayak umlah zero tersebut. 4. Bila kurva tertutup di bidag-s tak mecakup pole atau zero, maka kurva pemetaaya di bidag F(s) tak megeliligi titik asal pula. 5. Pemetaa dari bidag-s ke bidag F(s) merupaka pemetaa -, sebalikya tidak.

34 Bab 7: Taggapa Frekuesi 7 Gambar 7-4: Pemetaa dari bidag s ke bidag F(s) = + G(s)H(s)

35 Bab 7: Taggapa Frekuesi 8 Secara umum, persamaa karakteristik suatu sistem kedali dapat diyataka sbb: p( s) F( s) q( s) Bila P = umlah pole F(s) yag terletak di dalam beberapa litasa tertutup dibidag-s, da Z = umlah zero F(s) yag terletak di dalam beberapa litasa tertutup di bidag-s, dega litasa-litasa tersebut tidak melalui pole-pole / zero-zero tersebut. Apabila litasa-litasa pada bidag-s tersebut dipetaka pada bidag F(s), maka umlah total N litasa tertutup di bidag F(s) yag megeliligi titik asal searah arum am = Z - P. Dalam aplikasiya, teori pemetaa pada aalisis kestabila harus memeuhi beberapa persyarata berikut ii: Litasa tertutup pada bidag-s mecakup semua bidag sebelah kaa (disebut litasa Nyquist) sebagaimaa dituukka pada Gambar 7-5. Gambar 7-5: Litasa Nyquist Semua pole da zero + G(s) H(s) yag memiliki bagia yata positip tercakup pada litasa Nyquist. Sistem stabil bila tak ada akar-akar persamaa karakteristik +G(s)H(s) =, atau pole-pole loop tertutup didalam litasa Nyquist. Utuk memudahka aalisis selautya, maka bidag F( ) = + G( )H( ) yag meggambarka sistem loop tertutup dipetaka pada bidag G( )H( ) yag meggambarka sistem loop terbuka. Pemetaa ii meghasilka pergesera titik asal pada bidag [+G( )H( )] ke titik + pada bidag G( )H( ) sebagaimaa

36 Bab 7: Taggapa Frekuesi 9 dituukka pada Gambar 7-6. Dega demikia, pegeliliga titik asal pada kurva [ + G( ) H( )] berubah meadi pegeliliga titik - + pada kurva G( ) H( ). Gambar 7-6: Pemetaa dari bidag [+ G( )H( )] ke bidag G( )H( ) Berikut ii adalah kriteria kestabila Nyquist utuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya. Bila fugsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di sebelah kaa bidag-s da lim s ~ G(s)H(s) = kosta, maka sistem stabil bila kurva G( )H( ) megeliligi titik - + sebayak k kali berlawaa arah arum am. dega: Secara matematis, kriteria tersebut dapat dituliska sebagai berikut: Z = N + P Z = bayakya akar persamaa karakteristik +G(s)H(s)=, atau pole-pole loop tertutup yag terletak disebelah kaa bidag-s. N = Berapa kali titik -+ pada bidag G( )H( ) dikeliligi searah arum am. P = bayakya pole loop terbuka G(s)H(s) yag terletak disebelah kaa bidag-s. Kriteria tersebut dapat diyataka sebagai berikut: Bayakya akar F(s)=+G(s)H(s) yag terletak di daerah tak stabil sama dega bayakya pole G(s)H(s) di daerah tak stabil ditambah dega berapa kali kurva F(s) megeliligi titik asal searah arum am.

37 Bab 7: Taggapa Frekuesi Dega demikia, sistem stabil bila Z =. Hal ii dapat teradi apabila:. P = da N =. Bila P, maka N = -P Pada kasus pertama, sistem yag tak memiliki pole da zero loop terbuka yag terletak disebelah kaa bidag-s (disebut sistem fasa miimum) aka stabil bila kurva Nyquist pada bidag G( )H( ) tak megeliligi titik +. Sedag pada kasus kedua, yaitu utuk sistem yag memiliki P pole da /atau zero loop terbuka yag terletak disebelah kaa bidag-s (disebut sistem fasa o miimum) aka stabil bila kurva Nyquist pada bidag G( )H( ) megeliligi titik + berlawaa arah arum am sebayak P kali. Pada sistem yag memiliki beberapa loop, maka kestabilaya harus diaalisis secara hati-hati megigat sistem tersebut mugki memiliki pole-pole yag terletak disebelah kaa bidag-s. Perlu dicatat bahwa meskipu sistem loop dalamya tidak stabil, dega peracaga yag sesuai sistem keseluruha dapat stabil. Ispeksi pegeliliga titik + oleh kurva G( )H( ) tidak cukup utuk melacak ketidak stabila pada sistem loop bayak. Dalam kasus ii, kestabila lebih mudah diui dega kriteria Routh. Bila ada fugsi trasedetal (misal e -Ts ) pada G(s)H(s), dekati fugsi tersebut dega suku pertama deret sebagai berikut: e Ts Ts Ts ( Ts) 8 ( Ts) 8 ( Ts) 48 ( Ts) e Ts Ts Ts Ts Ts (7-7) Selautya guaka kriteria Routh utuk megaalisis kestabilaya. Bila kurva G( )H( ) melalui titik +, hal ii meuukka ada pole-pole loop tertutup pada sumbu, sehigga sistem aka berosilasi. Disampig itu, litasa Nyquist tak boleh melalui pole/zero +G(s)H(s). Bila ada pole atau zero G(s)H(s) dititik asal (pada bidag-s), maka litasa Nyquist harus tidak mecakupya seperti terlihat pada Gambar 7-7.

38 Bab 7: Taggapa Frekuesi. Gambar 7-7: Kurva Nyquist tidak melitasi pole / zero loop terbuka pada titik asal Cotoh 7-6: Tetuka kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka: k G s H s s s Jawab: Pemetaa s e ; dega ; 9 o sampai 9 o, maka G e H e k k e e (setegah ligkara dega ari-ari ~ da bermula dari +9 higga -9 ) Gambar 7-8 : Pemetaa Kurva Nyquist dari kompleks bidag s ke k bidag kompleks GH utuk G s H s s s

39 Bab 7: Taggapa Frekuesi Dari Gambar 7-8 terlihat bahwa N =, P=, sehigga Z = yag berarti sistem tersebut adalah stabil. Cotoh 7-7: Tetuka kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka: k G s H s s Ts Jawab: Pemetaa s e 9 o ; t ; : sampai 9 o, diperoleh : lim s te G s H s k e (ligkara dega ari-ari ~ da berawal dari 8 o higga -8 o ). Gambar 7-9 : Pemetaa Kurva Nyquist dari kompleks bidag s ke k bidag kompleks GH utuk G s H s s Ts Terlihat dari Gambar 7-9 bahwa : N=, P=, sehigga Z= yag meuukka adaya pole lup tertutup sistem berada didaerah tak stabil pada bidag s.

40 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 Cotoh 7-8: Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. Cotoh 7-9: Gambar 7-3: Kurva Nyquist sistem pada Cotoh 7-8 pada bidag GH Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. Gambar 7-3: Kurva Nyquist sistem pada Cotoh 7-9 pada bidag GH

41 Bab 7: Taggapa Frekuesi 4 Cotoh 7-: Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. Gambar 7-3: Kurva Nyquist sistem pada Cotoh 7- pada bidag GH Cotoh 7-: Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. Gambar 7-33: Kurva Nyquist sistem pada Cotoh 7- pada bidag GH.

42 Bab 7: Taggapa Frekuesi 5 Cotoh 7-: Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. Gambar 7-34: Kurva Nyquist sistem pada Cotoh 7- pada bidag GH Cotoh 7-3: Aalisislah kestabila sistem yag memiliki fugsi alih lup terbuka berikut ii. G( s) H( s) s( s )( s 3) 7 sistem stabil 8 9 Gambar 7-35: Kurva Nyquist sistem utuk G( s) H( s) pada bidag GH s( s )( s 3) Bila peguata lup terbukaya diperbesar kali, maka G( s) H( s) Terlihat pada Gambar 7-36 bahwa sistem tersebut masih stabil. s( s )( s 3 ).

43 Bab 7: Taggapa Frekuesi sistem stabil 9 Gambar 7-36: Kurva Nyquist sistem utuk G( s) H( s) pada bidag GH s( s )( s 3) Bila peguata lup terbukaya diperbesar 5 kali, maka G( s) H( s) Terlihat pada Gambar 7-37 bahwa sistem tersebut tidak stabil. 5 s( s )( s 3 ). 7 sistem tidak stabil 8 9 Gambar 7-37: Kurva Nyquist sistem utuk G( s) H( s) 5 pada bidag GH s( s )( s 3) Jadi utuk G( s) H( s) stable). K s( s )( s 3) sistemya aka stabil bersyarat (coditioally 7.4 Margi Fasa da Margi Peguata Kestabila sistem pada kawasa waktu dapat ditetuka dari letak pole-pole sistem lup tertutupya. Sistem stabil bila semua pole tersebut terletak disebelah kiri

44 Bab 7: Taggapa Frekuesi 7 sumbu maya pada bidag-s. Dega kata lai, sumbu maya merupaka batas atara stabil da tidak stabil. Pada kawasa frekuesi, syarat kestabila dapat dituruka dari persamaa karakteristik sistem balika satua [ + G( )= atau G( )= -], dega G( ) adalah eleme mau. Persamaa kompleks ii selautya dapat dipecah meadi persamaa utuk magitude da utuk sudut fasa. Dari persamaa utuk magitude selautya dituruka kosep margi peguata da margi fasa dituruka dari persamaa kedua. Kosep kestabila aka lebih mudah dipahami setelah memahami pegertia margi fasa da margi peguata Margi Fasa Margi fasa adalah bayakya fasa tertiggal yag ditambahka pada frekuesi gai cross over yag diigika agar sistem berbatasa dega keadaa tidak stabil. Frekuesi gai cross over adalah frekuesi di maa G( ) =. Margi fasa adalah 8 ditambah sudut fasa dari fugsi alih lup terbuka pada frekuesi gai cross over atau = 8 + (7-8) Dari gambar berikut terlihat bahwa dalam diagram polar sebuah garis harus digambar dari pusat ke titik di maa ligkara satua berpotoga dega diagram G( ). Sudut dari sumbu riel egatif ke garis ii adalah margi fasa. Margi fasa positif utuk > da egatif utuk <. Utuk sistem fasa miimum (tidak terdapat pole atau zero di kaa sumbu khayal bidag s) yag stabil, margi fasa harus positif. Dalam diagram logaritmik, titik kritis dalam bidag kompleks berkaita dega garis db da -8.

45 Bab 7: Taggapa Frekuesi 8 G db G db margi peguata positif margi peguata egatif log log log margi fasa positif log margi fasa egatif Sistem stabil Sistem tidak stabil Bidag G Im Bidag G Im margi peguata positif K g margi fasa egatif - Re - Re margi fasa positif G( ) G( ) K g margi peguata egatif Sistem stabil Sistem tidak stabil Gambar 7-3: Margi fasa da margi peguata dari sistem stabil da sistem tidak stabil Margi Peguata Margi fasa adalah kebalika dari besara G( ) pada frekuesi di maa sudut fasa = -8. Bila didefiisika frekuesi phase cross over adalah frekuesi di maa sudut fasa fugsi alih lup terbuka = -8, maka margi peguata K g adalah K g G( ) (7-9a)

46 Bab 7: Taggapa Frekuesi 9 Dalam betuk desibel K g db log K g log G( ) (7-9b) Margi fasa yag diekspresika dalam desibel, positif ika K g > da egatif ika K g <. Jadi suatu margi fasa positif (dalam desibel) berarti sistem stabil, da margi fasa egatif (dalam desibel) berarti sistem tidak stabil. Sistem stabil dalam fasa miimum dituukka oleh margi peguataya, yaitu seberapa besar peguata dapat diaikka sebelum sistem meadi tidak stabil. Sistem tidak stabil dituukka oleh seberapa besar peguata yag harus dituruka agar sistem meadi stabil. 7.5 Taggapa Frekuesi Lup Tertutup 7.5. Sistem Balika Satua Utuk suatu sistem lup tertutup stabil, taggapa frekuesi dapat diperoleh secara mudah dari lup terbuka. Fugsi alih lup tertutupya adalah C( s) R( s) G( s) G( s) Diagram Nyquist utuk lup terbukaya [G ( )] dituukka pada Gambar 7-4. Im -+ P - O Re A G( ) Gambar 7-4: Diagram Polar G( ) pada bidag G( ). Perbadiga dari vektor OA da PA adalah taggapa frekuesi lup tertutup utuk ilai pada titik yag bersagkuta. OA PA G( ) G( ) C( ) R( ) (7-) Hal ii memperlihatka bahwa setiap titik pada bidag G( ) terhubug ke suatu ilai

47 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 C( ) R( ) tertetu. Besara taggapa frekuesi lup tertutup didefiisika sebagai M da sudut fasaya, C( ) sehigga R( ) M e Ligkara M : Magitude Utuk medapatka tempat keduduka besara kosta, G( ) dilihat sebagai suatu ilai kompleks yag dituliska sebagai G( ) = X + Y Dega X da Y berilai riil, maka M meadi M= X Y X Y da M adalah M sehigga X X Y Y X M M X M M Y.... (7-) Jika M =, maka dari persamaa (7-) didapat X persamaa garis yag paralel dega sumbu Y da melalui titik persamaa (7-) dapat dituliska sebagai. Persamaa ii adalah,. Jika M, X M M M X M Y Bila pada kedua sisiya ditambahka M ( M ), didapat X sehigga M M M M M X Y M ( M ) ( M ) X M M M Y ( M )... (7-)

48 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 Persamaa (7-) merupaka persamaa ligkara yag berpusat di X= Y=, dega ari-ari M M. M M da Tempat keduduka kostata M pada bidag G(s) adalah sekumpula ligkara. Titik pusat da ari-ariya utuk suatu M tertetu dapat ditetuka dapat dega mudah. Gambar 7-5: Ligkara M pada bidag G( ) Ligkara N: Sudut Fasa Sudut fasa e dalam betuk X da Y diperoleh seperti berikut. X Y X Y Sudut fasa adalah ta X Y ta Y X Jika didefiisika ta maka = N N ta ta Y X ta Y X

49 Bab 7: Taggapa Frekuesi 3 karea ta( A B) maka diperoleh atau N Y X Y X Y Y X X X X Y ta A ta B taa ta B N Y Y X X Y Tambahka 4 N pada kedua sisiya sehigga diperoleh X Y N 4 N.. (7-3) Persamaa (7-3) merupaka persamaa ligkara yag berpusat di X da Y N dega ari-ari 4 N Gambar 7-6: Ligkara N pada bidag G( ).