Eksistensi dan Kestabilan Model SIR dengan Nonlinear Insidence Rate

Transkripsi

1 LEMMA VOL NO NOV 04 Eksistensi dan Kestabilan Model R dengan Nonlinear nsidence Rate Mohammad oleh ) dan Riry riningsih ) ) Jurusan Matematika Fakultas ains dan Teknologi UN uska Riau ) Jurusan Matematika FMPA UNP ) msoleh975@yahoocoid ) srirysriningsih@yahoocom Abstrak Diberikan model epidemi R dengan laju insidensi penularan berbentuk Pada model tersebut diselidiki eksistensi dan kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik Berdasarkan hasil penyelidikan didapat bahwa terdapat satu titik ekuilibrium bebas penyakit dan dua buah titik ekuilibrium endemik Titk ekuilibrium bebas penyakit stabil global sedang titik ekuilibrium endemik masing-masing stabil lokal untuk suatu kondisi yang dipersyaratkan Kata kunci : R Titik equilibrium Kestabilan Nonlinear nsidence Rate A PENDAHULUAN Model epidemi R pertama kali diperkenalkan oleh Kermack & Mckendrick pada tahun 97 Model ini disusun secara deterministik untuk menggambarkan sifat penyebaran penyakit Model ini terus diperbaiki oleh ilmuwan-ilmuwan sesudahnya diantaranya oleh H E oper (99) dan Hetchote (976) Model yang digunakan masing-masing masih menggunakan laju insidensi penularan penyakit bilinear yaitu linear dalam berbentuk menyatakan laju kontak perkapita jumlah individu rentan Laju insidensi penularan bilinear menyatakan jumlah individu sakit dan PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 43 dengan menyatakan mengasumsikan homogenitas dalam populasi dan prinsip aktivitas massa yaitu jumlah kejadian individu rentan menjadi sakit tergantung dari proporsi kelas Pada tahun 987 Wei Min Liu H W Hetchote dan imon A Levin memperkenalkan bentuk lain laju insidensi penularan penyakit nonlinear yaitu g ) q p q ( dengan p q bilangan positif sebagai bentuk umum dari laju insidensi penularan bilinear Jika p q maka laju insidensi penularan menjadi bentuk bilinear Alasan penggantian laju insidensi penularan penyakit menjadi p q adalah untuk mengakomodasi kondisi bahwa asumsi homogenitas pada populasi belum tentu valid Alasan yang lain adanya pertimbangan efek kejenuhan (saturation effect) yaitu jika jumlah sakit sangat tinggi sedemikian hingga individu yang rentan menjadi individu sakit sangat mungkin terjadi maka pada titik tertentu laju insidensi penularan akan menurun

2 LEMMA VOL NO NOV 04 Dengan penggantian laju insidensi penularan bilinear menjadi nonlinear berbentuk banyak sifat-sifat dinamik yang bisa dipelajari Andrei Korobeinikov dan Philip K Mani (004) mempelajari sifat-sifat dinamik sistem jika (006) mempelajari sifat-sifat dinamik sistem jika 0 p p p q sementara Jing Li dan Jun Yu Dengan metode yang sama dengan Korobeinikov; Jing Li Ying Wang dan Jun Yu (00) mempelajari model ER untuk p Pada penelitian ini penulis hendak memaparkan Model R dendan laju insidensi penularan p q untuk p Penulis mempertimbangkan eksistensi dan kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik penyakit B METODE PENELTAN Metode penelitian pada makalah ini adalah pengembangan jurnal dari Li Jing [5] dengan menerapkan laju penularan nonlinear yang sama untuk model R Eksistensi titk ekuilibrium bebas penyakit dan endemik di cari dengan menganalisis sistem persamaan differensial model [90] Kestabilan titik ekuilibrium diinvestigasi dengan menggunakan kriteria nilai eigen matriks Jacobian [90] untuk menemukan sifat penyebaran penyakit yang dibicarakan C HAL DAN PEMBAHAAN Pembentukan Model Populasi dibagi menjadi 3 kelas: kelas (rentan) menyatakan kelas individu yang rentan terjangkit penyakit kelas (sakit) menyatakan kelas individu yang sudah terjangkit penyakit dan memiliki kemampuan menularkan penyakit ke kelas Kelas R (sembuh) menyatakan kelas individu yang telah sembuh dari penyakit dan memiliki kekebalan tetap sehingga tidak masuk dalam kelas rentan lagi Jika t t Rt rentan sakit dan sembuh pada saat t t t Rt Dalam penelitian ini diasumsikan: berturut-turut menyatakan proporsi kelas-kelas maka didapat hubungan: Dalam populasi terjadi proses kelahiran dengan laju kelahiran bernilai konstan yaitu b 0 dan proses kematian alami (yaitu kematian yang tidak disebabkan oleh penyakit yang sedang dibicarakan) dengan laju kematian bernilai konstan yaitu μ 0 Dalam makalah ini diasumsikan bahwa b Laju insidensi penularan penyakit berbentuk perkapita dengan β 0 menyatakan laju kontak PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 44

3 LEMMA VOL NO NOV 04 ndividu yang telah sembuh memiliki kekebalan yang tetap sehingga tidak masuk ke kelas rentan lagi dengan laju kesembuhan bernilai konstan yaitu α 0 etiap kelahiran masuk ke kelas rentan Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut didapat diagram alir model R: α Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut didapat model R dengan laju insidensi penularan nonlinear: d d dr (a) (b) α μr (c) Daerah penyelesaian istem () adalah himpunan: ( 3 R) : 0 R R 0 μ μ μ Karena R dapat diketahui setelah diabaikan Misalkan diperoleh Persamaan Diferensial ditentukan maka untuk sementara R d d (a) (b) Daerah penyelesaian untuk istem () adalah ( ) : 0 0 Keadaan etimbang Teorema istem () mempunyai satu titik ekuilibrium bebas penyakit 0 Q PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 45

4 LEMMA VOL NO NOV 04 istem () memiliki dua titik ekuilibrium endemik Q ( ) dan dan Î Qˆ ( ˆ ˆ) dengan masing-masing merupakan akar positif dari 0 dengan ˆ ˆ dan Bukti: Jika 0 maka dari Persamaan (a) diperoleh 0 R 0 0 Terbukti Jika 0 maka dari Persamaan (b) 0 dan dari hubungan R atau diperoleh 0 0 Akar-akar yang didapat adalah: ˆ dan ( ) ( ) Jelas bahwa dan Î ada sehingga didapat PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 46

5 LEMMA VOL NO NOV 04 ˆ dan ˆ Terbukti untuk 0 elanjutnya karena jika adalah : 0 diperoleh 0 daerah penyelesain istem () ( ) : 0 4 Kestabilan keadaan setimbang untuk Teorema Q 0 0 Ttitik ekuilibrium bebas penyakit Jika stabil asimtotik global maka Q ( ) stabil asimtotik lokal Hal yang serupa berlaku Qˆ ( ˆ ˆ) Bukti : Q 0 Jika 0 Didefinisikan fungsi V : dengan rumus: ln V ( ) (3) dengan 0 titik ekuilibrium bebas penyakit ubstitusi ln V( ) (4) 0 Akan ditunjukkan V merupakan fungsi Lyapunov pada domain V diferensiabel kontinu pada Fungsi (4) mempunyai turunan parsial : ke Persamaan (3) menjadi: (5a) V (5b) V PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 47

6 LEMMA VOL NO NOV 04 V Fungsi f ( ) dan V masing-masing adalah fungsi yang kontinu pada sehingga fungsi V adalah fungsi differensibel kontinu pada Dengan menyelesaikan Persamaan 0 dengan titik ekuilibrium 0 Titik ekuilibrium V minimum global 0 diperoleh titik kritis yang ternyata sama Turunan parsial kedua dari V ( ) adalah V ( ) V ( ) 0 Ditunjukkan bahwa 0 bahwa V ( ) merupakan fungsi konveks pada Matriks Hessian di titik titik minimum global yang ekuivalen dengan menunjukkan 0 dari fungsi V 0 H (0) (6) 0 0 adalah Matriks Hessian () semidefinit positif karena nilai eigen-nilai eigennya 0 dan 0 Diperoleh bahwa V ( ) fungsi konveks pada minimum global 0 sehingga merupakan titik dv Ditunjukkan 0 untuk setiap solusi ( ) Turunan dari V terhadap t yaitu dv V V t t PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 48

7 LEMMA VOL NO NOV 04 PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 49 Misalkan f ) ( maka 0 ) ( f untuk 0 Diperoleh bahwa V merupakan fungsi Lyapunov yang terdefinisi pada dan 0 dv hanya dipenuhi pada titik ekuilibrium 0 Terbukti titik ekuilibrium 0 stabil asimtotik global Titik equilibrium endemik ) ( Matriks Jacobi untuk istem () adalah: ) ( Jf Diperoleh persamaan karaktristik ) ( Jf : Akar-akar karakteristiknya dapat dihitung sebagai berikut:

8 LEMMA VOL NO NOV Diperoleh bahwa: Jika maka 0 dan 0 sehingga bagian real akar-akar adalah negatif Terbukti untuk D KEMPULAN DAN ARAN Titik Equilibrium endemik stabil asimtotik lokal Beberapa kesimpulan yang dapat ditarik dari pembahasan di atas diantaranya: Model epidemi R dengan laju insidensi penularan berbentuk mempunyai satu titik ekuilibrium bebas penyakit 0 Q dan dua buah titik ekuilibrium endemik 0 Q ( ) dan Qˆ ( ˆ ˆ ) dengan dan Î masing-masing merupakan akar positif dari 0 dengan ˆ ˆ dan Titk ekuilibrium bebas penyakit stabil global sehingga lama-kelamaan populasi akan terbebas dari penyakit yang dibicarakan PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 50

9 LEMMA VOL NO NOV 04 3 Titik ekuilibrium endemik masing-masing stabil lokal untuk kondisi untuk titik awal yang cukup dekat dengan titik ekuilibrium Q ( ) atau dalam populasi akan selalu ada individu yang terjangkait penyakit sehingga Qˆ ( ˆ ˆ) DAFTAR PUTAKA Kocak H and Hole J K 99 Dynamic and Bifurcation New York pringer-verlag New York Korobeinikov A and Maini P K 004 A Lyapunov Function and Global Properties For R and ER Epidemiological Models With Nonlinear ncidence Mathemetical Bioscience and engineering Vol Number pp Korobeinikov A etall 00 Lyapunov functions for R and R epidemic model Elsevier: Applied Mathematics Letters 3 pp 446_448 4 Li J Yu J 006 Global behavior of a ER model in epidemiology with nonlinear incidence rates World Journal of Modelling and imulation Vol No 3 pp Li J Wang Y Yu J 00 Global stability of high dimensional system in epidemiology with nonlinear incidence rates nternational Journal of Math analysis Vol 4 No 7 pp 35-6 Lahrous A Omari L Kiouach D 0 Global analysis of a deterministic and stochastic nonlinear R epidmic models Nonlinear Analysis: Model and Control Vol 6 no pp Liu W M Hethcote H W and Levin A 987 Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates J Math Biol 5: Luenberger D G 979 ntroduction to dynamical system theory models and applications John Wiley & ons nc Canada 9 Olsder G J 994 Mathematical system theory st ed Delft University of Technology 0 Perko L 99 Differential Equations and Dynamical ystem pringer-verlag New York Wiggins 990 ntroduction to applied nonlinear dynamical system and chaos pringer-verlag New York PROD PEND MATEMATKA TKP PGR UMBAR 5