Bab 3. Solusi Persamaan Nirlanjar

Transkripsi

1 Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendii saya nampaknya hanyalah sepeti seoang anak laki-laki yang bemain-main di pantai, dan mengalihkan dii sendii sekaang dan kemudian menemu kan koal yang lebih halus atau keang yang lebih indah daipada yang biasa, sementaa samudea besa kebenaan semuanya tebentang di hadapan saya tak teungkapkan. (Isaac Newton) Dalam bidang sains dan ekayasa, paa ahli ilmu alam dan ekayasawan seing behadapan dengan pesoalan mencai solusi pesamaan lazim disebut aka pesamaan (oots of equation) atau nilai-nilai nol yang bebentuk f() = 0. Bebeapa pesamaan sedehana mudah ditemukan akanya. Misalnya 2 3 = 0, pemecahannya adalah dengan memindahkan -3 ke uas kanan sehingga menjadi 2 = 3, dengan demikian solusi atau akanya adalah = 3/2. Begitu juga pesaman kuadatik sepeti = 0, aka-akanya mudah ditemukan dengan caa pemfaktoan menjadi ( 5)( + 1) = 0 sehingga 1 = 5 dan 2 = -1. Umumnya pesamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nilanja (non linea) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaitma, dan fungsi tansenden lainnya. Misalnya, 1. Tentukan aka iil tekecil dai = 0 2. Kecepatan ke atas sebuah oket dapat dihitung dengan memakai umus beikut: m0 v = u ln gt m qt 0 Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 59

2 yang dalam hal ini v adalah kecepatan ke atas, u adalah kecepatan pada saat bahan baka dikeluakan elatif tehadap oket, m 0 massa awal oket pada saat t = 0, q laju pemakaian bahan baka, dan g pecepatan gavitasi (= 9.8 m/det 2 ). Jika u = 2200 m/det, m 0 = kg, dan q = 2680 kg/det, hitunglah waktu saat v = 1000 m/det. (Nyatakan pesamaan dengan uas kanan sama dengan 0: v - u ln[m 0 /(m 0 - qt)] + gt = 0 ) 3. Dalam teknik kelautan, pesamaan gelombang bedii yang dipantulkan oleh demaga pelabuhan dibeikan oleh h = h 0 { sin(2π/λ) cos (2πtv/λ) + e - } Tentukan jika h = 0.5h 0, λ = 20, t = 10 dan v = 50! (Nyatakan pesamaan dengan uas kanan sama dengan 0: h - h 0 { sin(2π/λ) cos (2πtv/λ) + e - } = 0 ) 4. Suatu aus osilasi dalam angkaian listik dibeikan oleh I = 10e -t sin(2π t) yang dalam hal ini t dalam detik. Tentukan semua nilai t sedemikan sehingga I = 2 ampee. (Nyatakan pesamaan dengan uas kanan sama dengan 0: I - 10e -t sin(2π t) = 0 ) 5. Dalam bidang teknik lingkungan, pesamaan beikut ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat oksigen pada hili sungai dai tempat pembuangan limbah: c = 10-15(e e -0.5 ) yang dalam hal ini adalah jaak hili sungai ke tempat pembuangan limbah. Tentukan jaak hili sungai tesebut bila pembacaan petama pada alat penguku tingkat oksigen adalah 4 bila penguku beada 5 mil dai pembuangan. (Nyatakan pesamaan dengan uas kanan sama dengan 0: ) c (e e -0.5 ) = 0 60 Metode Numeik

3 6. Reaksi kesetimbangan 2A + B C dapat diciikan oleh hubungan setimbang K = [ C] 2 [ A] [ B] yang dalam hal ini [.] menyatkan konsentasi zat kimia. Andaikan bahwa kita mendefenisikan peubah sebagai jumlah mol C yang dihasilkan. Hukum kekekalan massa dapat dipakai untuk meumuskan ulang hubungan keseimbangan itu sebagai K = [ C0 ] + [ A ] 2)( [ B ] ) ( 0 0 yang dalam hal ini indeks 0 menounjukkan konsentasi awal tiap unsu. Jika diketahui tetapan kesetimbangan K = , dan konsentasi lautan [A 0 ] = 50, [B 0] = 40, dan [C 0 ] = 5, hitunglah. (Nyatakan pesamaan dengan uas kanan sama dengan 0: [ C 0] + [ A ] 2)( [ B ] K = 0 ) ) ( 0 0 Keenam contoh di atas mempelihatkan bentuk pesamaan yang umit/kompleks yang tidak dapat dipecahkan secaa analitik (sepeti pesamaan kuadatik pada paagaf awal). Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan pesamaan, maka kita masih bisa mencai solusinya dengan menggunakan metode numeik. 3.1 Rumusan Masalah Pesoalan mencai solusi pesamaan nilanja dapat diumuskan secaa singkat sebagai beikut: tentukan nilai yang memenuhi pesamaan f() = 0 (P.3.1) yaitu nilai = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 61

4 3.2 Metode Pencaian Aka Dalam metode numeik, pencaian aka f() = 0 dilakukan secaa lelaan (iteatif). Sampai saat ini sudah banyak ditemukan metode pencaian aka. Secaa umum, semua metode pencaian aka tesebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besa: 1. Metode tetutup atau metode penguung (backeting method) Metode yang temasuk ke dalam golongan ini mencai aka di dalam selang [a, b]. Selang [a, b] sudah dipastikan beisi minimal satu buah aka, kaena itu metode jenis ini selalu behasil menemukan aka. Dengan kata lain, lelaannya selalu konvegen (menuju) ke aka, kaena itu metode tetutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvegen. 2. Metode tebuka Bebeda dengan metode tetutup, metode tebuka tidak memelukan selang [a, b] yang mengandung aka. Yang dipelukan adalah tebakan (guest) awal aka, lalu, dengan posedu lelaan, kita menggunakannya untuk menghitung hampian aka yang bau. Pada setiap kali lelaan, hampian aka yang lama dipakai untuk menghitung hampian aka yang bau. Mungkin saja hampian aka yang bau mendekati aka sejati (konvegen), atau mungkin juga menjauhinya (divegen). Kaena itu, metode tebuka tidak selalu behasil menemukan aka, kadang-kadang konvegen, kadangkala ia divegen. 3.3 Metode Tetutup Sepeti yang telah dijelaskan, metode tetutup memelukan selang [a,b] yang mengandung aka. Sebagaimana namanya, selang tesebut menguung aka sejati. Tata-ancang (stategy) yang dipakai adalah menguangi leba selang secaa sistematis sehingga leba selang tesebut semakin sempit, dan kaenanya menuju aka yang bena. Dalam sebuah selang mungkin tedapat lebih dai satu buah aka atau tidak ada aka sama sekali. Secaa gafik dapat ditunjukkan bahwa jika: (1) f(a)f(b) < 0 maka tedapat aka sebanyak bilangan ganjil (Gamba 3.1). 62 Metode Numeik

5 a b a b (a) (b) Gamba 3.1 Banyaknya aka ganjil (2) f(a)f(b) > 0 maka tedapat aka sebanyak bilangan genap atau tidak ada aka sama sekali (Gamba 3.2). a b a b (a) (b) Gamba 3.2 Banyaknya aka genap Syaat Cukup Kebeadaan Aka Gamba 3.1 mempelihatkan bahwa selalu ada aka di dalam selang [a, b] jika nilai fungsi bebeda tanda (+/-) di = a dan = b. Tidak demikian halnya jika nilai fungsi di ujung-ujung selang sama tandanya, yang mengisyaatkan mungkin ada aka atau tidak ada sama sekali. Jadi, jika nilai fungsi bebeda tanda tanda di ujung-ujung selang, pastilah tedapat paling sedikit satu buah aka di dalam selang tesebut. Dengan kata lain, syaat cukup kebeadaan aka pesamaan kita tulis sebagai beikut: Jika f(a) f(b) < 0 dan f() meneus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit tedapat satu buah aka pesamaan f() = 0 di dalam selang [a, b]. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 63

6 Syaat ini disebut syaat cukup 1 -bukan syaat pelu- sebab meskipun nilai-nilai di ujung selang tidak bebeda tanda, mungkin saja tedapat aka di dalam selang tesebut (sepeti ditunjukkan pada Gamba 3.2). Syaat cukup kebeadaan aka ini ditunjukkan pada Gamba 3.3. y = f() a aka b Gamba 3.3 Lokasi aka Ada dua masalah yang tejadi kaena ketidaktepatan mengambil selang [a, b]. Masalah petama adalah bila di dalam selang [a, b] tedapat lebih dai satu buah aka. Sekali suatu metode tetutup digunakan untuk mencai aka di dalam selang [a, b], ia hanya menemukan sebuah aka saja. Kaena itu, bila kita mengambil selang [a, b] yang mengandung lebih dai satu aka, hanya satu buah aka saja yang behasil ditemukan (lihat kembali Gamba 3.1(b)). Masalah kedua adalah bila mengambil selang [a, b] yang tidak memenuhi syaat cukup. Adakalanya kita dapat kehilangan aka kaena selang [a, b] yang diambil tenyata tidak memenuhi syaat cukup f(a)f(b) < 0. Sehingga, kita mungkin sampai pada kesimpulan tidak tedapat aka di dalam selang [a, b] tesebut, padahal sehausnya ada (lihat kembali Gamba 3.2 (b)). Untuk mengatasi kedua masalah di atas, pengguna metode tetutup disaankan mengambil selang yang beukuan cukup kecil yang memuat hanya satu aka. Ada dua pendekatan yang dapat kita gunakan dalam memilih selang tesebut. 1 Bentuk implikasi jika p maka q bisa dibaca sebagai p adalah syaat cukup untuk q. Di dalam kalkulus poposisi, penyataan jika p maka q (dilambangkan dengan p q) adalah bena kecuali jika p bena dan q salah. Jadi, penyataan tesebut tetap bena meskipun f(a)f(b) > 0 dan di dalam selang [a, b] tedapat paling sedikit satu buah aka atau tidak tedapat aka sama sekali. Penyataan tesebut jelas salah bila f(a)f(b) > 0 dan di dalam selang [a, b] tedapat paling sedikit satu buah aka (tidak mungkin). 64 Metode Numeik

7 Pendekatan petama adalah membuat gafik fungsi di bidang X-Y, lalu melihat di mana pepotongannya dengan sumbu-x. Dai sini kita dapat mengia-ngia selang yang memuat titik potong tesebut. Gafik fungsi dapat dibuat dengan pogam yang ditulis sendii, atau lebih paktis menggunakan paket pogam yang dapat membuat gafik fungsi. Pendekatan yang kedua adalah dengan mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang bejaak tetap. Jaak titik ini dapat diatu cukup kecil. Jika tanda fungsi beubah pada sebuah selang, pasti tedapat minimal satu aka di dalamnya. Pogam 3.1 beisi posedu untuk menemukan selang yang cukup kecil yang mengandung aka. Pogam ini mencetak tabel titik-titik sepanjang selang [a, b]. Dai tabel tesebut kita dapat menentukan upaselang yang nilai fungsi di ujungujungnya bebeda tanda. Kebehasilan dai pendekatan ini begantung pada jaak antaa titik-titik absis. Semakin kecil jaak titik absis, semakin besa peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah aka. Pogam 3.1 Menemukan selang kecil yang mengandung aka pocedue Cai_SelangKecilYangMengandungAka(a, b, h: eal); { Menentukan dan mencetak nilai-nilai fungsi untuk absis di dalam selang [a, b]. Jaak antaa tiap absis adalah h. K.Awal: a dan b adalah ujung-ujung selang, nilainya sudah tedefenisil; h adalah jaak antaa tiap absis K.Akhi: tabel yang beisi dan f() dicetak ke laya } va : eal; begin :=a; witeln(' '); witeln(' f() '); witeln(' '); while <= b do begin witeln(:5:2, f():10:6); :=+h; end; { > b } witeln(' '); end; Bila Pogam 3.1 digunakan untuk mencai selang kecil yang mengandung aka pada fungsi f() = e mulai dai a = -0.5 sampai b = 1.4 dengan kenaikan absis sebesa h = 0.1, maka hasilnya tampak pada tabel beikut: Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 65

8 f() Bedasakan tabel di atas, selang yang cukup kecil yang mengandung aka adalah [-0.40, -0.30] dan [0.60, 0.70] kaena nilai fungsi beubah tanda di ujung-ujung selangnya. Selang [0.00, 1.00] juga dapat kita ambil tetapi cukup leba, demikian juga [-0.50, 1.40], [-0.30, 0.80], dan seteusnya. Ada dua metode klasik yang temasuk ke dalam metode tetutup, yaitu metode bagidua dan metode egula-falsi. Masing-masing metode kita bahas lebih inci di bawah ini Metode Bagidua 2 Misalkan kita telah menentukan selang [a, b] sehingga f(a)f(b) < 0. Pada setiap kali lelaan, selang [a, b] kita bagi dua di = c, sehingga tedapat dua buah upaselang yang beukuan sama, yaitu selang [a, c] dan [c, b]. Selang yang diambil untuk lelaan beikutnya adalah upaselang yang memuat aka, begantung pada apakah f(a)f(c) < 0 atau f(c)f(b) < 0. 2 Nama lainnya adalah metode Bolzano 66 Metode Numeik

9 [a, b] bagi dua di = c [a, c] [c, b] f(a)f(c) < 0? ya tidak selang bau: [a, b] [a, c] selang bau: [a, b] [c, b] Selang yang bau dibagi dua lagi dengan caa yang sama. Begitu seteusnya sampai ukuan selang yang bau sudah sangat kecil (lihat Gamba 3.4). Kondisi behenti lelaan dapat dipilih salah satu dai tiga kiteia beikut: 1. Leba selang bau: a - b < ε, yang dalam hal ini ε adalah nilai toleansi leba selang yang menguung aka. 2. Nilai fungsi di hampian aka: f(c) = 0. Bebeapa bahasa pemogaman membolehkan pembandingan dua buah bilangan iil, sehingga pebandingan f(c) = 0 dibenakan. Namun kalau kita kembali ke konsep awal bahwa dua buah bilangan iil tidak dapat dibandingkan kesamaannya kaena epesentasinya di dalam mesin tidak tepat, maka kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil (misalnya epsilon mesin) sebagai pengganti nilai 0. Dengan demikian, menguji kesamaan f(c) = 0 dapat kita hampii dengan f(c) < epsilon_mesin. 3. Galat elatif hampian aka: (c bau - c lama )/c bau < δ, yang dalam hal ini δ adalah galat elatif hampian yang diinginkan. y = f() a c 0 c 1 b c 2 Gamba 3.4 Poses pembagian selang [a, b] dengan metode bagidua Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 67

10 Pogam 3.2 beisi algoitma metode bagidua. Di dalam algoitma tesebut, fomat penulisan keluaan tidak dituliskan untuk menghindai keumitan algoitma dai hal-hal yang tidak esensial. Pogam 3.2 Metode bagidua pocedue BagiDua(a,b: eal); { Mencai aka f()=0 di dalam selang [a,b] dengan metode bagidua K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, nilai a dan b sudah tedefinisi. K.Akhi : Hampian aka tecetak di laya. } const epsilon1 = ; {batas leba selang akhi lelaan} epsilon2 = ; {bilangan yang sangat kecil, mendekati nol} begin epeat c:=(a+b)/2; { titik tengah [a,b]} if f(a)*f(c) < 0 then b:=c {selang bau [a,b]=[a,c]} else a:=c; {selang bau [a,b]=[c,b]} until (ABS(a-b)< epsilon1) o (f(c)) < epsilon2); { c adalah aka pesamaan } witeln( Hampian ka =, :10:6); end; Kasus yang Mungkin Tejadi pada Penggunaan Metode Bagidua 1. Jumlah aka lebih dai satu Bila dalam selang [a, b] tedapat lebih dai satu aka (banyaknya aka ganjil), hanya satu buah aka yang dapat ditemukan (lihat kembali Gamba 3.1(b)). Caa mengatasinya: gunakan selang [a,b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah aka. 2. Aka ganda. Metode bagidua tidak behasil menemukan aka ganda. Hal ini disebabkan kaena tidak tedapat pebedaan tanda di ujung-ujung selang yang bau (Gamba 3.5). Contoh: f() = ( - 3) 2 = ( - 3)( - 3), mempunyai dua aka yang sama, yaitu = Metode Numeik

11 y = f() aka ganda Gamba 3.4 Aka ganda Caa mengatasinya: akan dibahas pada upabab Singulaitas. Pada titik singula, nilai fungsinya tidak tedefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik singula, lelaan metode bagidua tidak penah behenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singula sebagai aka kaena lelaan cendeung konvegen. Yang sebenanya, titik singula bukanlah aka, melainkan aka semu (Gamba 3.6) y titik singula a b Gamba 3.6 Fungsi singula Caa mengatasinya: peiksa nilai f(b) - f(a). Jika f(b) - f(a) konvegen ke nol, aka yang dicai pasti aka sejati, tetapi jika f(b) - f(a) divegen, aka yang dicai meupakan titik singula (aka semu). Pada setiap lelaan pada metode bagidua, kita mencatat bahwa selisih antaa aka sejati dengan aka hampian tidak penah melebihi setengah panjang selang saat itu. Penyataan ini dinyatakan degan teoema beikut. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 69

12 TEOREMA 3.1. Jika f() meneus di dalam selang [a,b] dengan f(a) f(b) < 0 dan s [a, b] sehingga f(s) = 0 dan c = (a + b )/2, maka selalu belaku dua ketidaksamaan beikut: dan Bukti: (i) s c b a / 2 b a (ii) s c, = 0,1, 2, Misalkan pada lelaan ke- kita mendapatkan selang [a, b ] yang panjangnya setengah panjang selang sebelumnya, [a -1, b -1 ]. Jadi, b a = b a 1 1 / 2 Jelaslah bahwa b 1 - a 1 = b 0 - a 0 /2 = b - a /2 b 2 - a 2 = b 1 - a 1 /2 = b - a /2 2 b 3 - a 3 = b 2 - a 2 /2 = b - a / b - a = b -1 - a -1 /2 = b - a /2 Pada lelaan ke-, posisi c (aka hampian) dan s (aka sejati) adalah sepeti diagam beikut: a s c b Bedasakan diagam di atas jelaslah bahwa s c b a 2 Selanjutnya, b a 1 b a b a s c = = Metode Numeik

13 Jadi, selisih antaa aka sejati dengan aka hampian tidak penah lebih dai setengah epsilon. Dengan mengingat kiteia behenti adalah b - a < ε, maka dai (i) telihat bahwa s c < a / 2 sehingga b a ε < > b a / ε ln(2) > ln ( b a ) ln ( ε ) ln ( b a ) ln ( ε ) ket: ln adalah logaitma natual > ln R > ln ( 2) ( b a ) ln ( ε ) ln ( 2) yang dalam hal ini R adalah jumlah lelaan (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampian aka yang memiliki galat kuang dai ε. Contoh 3.1 Temukan aka f() = e di dalam selang [0, 1] dan ε = Penyelesaian: Tabel lelaan menggunakan metode bagidua: a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebanya [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [c, b] [a, c] [c, b] [a, c] [c, b] [c, b] Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 71

14 [c, b] [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [c, b] Jadi, hampian akanya adalah = Jumlah lelaan yang dibutuhkan R > ln( 1 0 ) ln( ) ln(2) > Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali lelaan ( =0 sampai dengan =16), sesuai dengan jumlah lelaan pada tabel, aga galat aka hampian kuang dai ε Metode Regula-Falsi Meskipun metode bagidua selalu behasil menemukan aka, tetapi kecepatan konvegensinya sangat lambat. Kecepatan konvegensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga tuut dipehitungkan. Logikanya, bila f(a) lebih dekat ke nol daipada f(b) tentu aka lebih dekat ke = a daipada ke = b. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) ini adalah metode egula-falsi (bahasa Latin) atau metode posisi palsu. (false position method). Dengan metode egula-falsi, dibuat gais luus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Pepotongan gais tesebut dengan sumbu- meupakan taksian aka yang dipebaiki. Gais luus tadi seolah-olah belaku menggantikan kuva f() dan membeikan posisi palsu dai aka. y y = f() B a C c b A Gamba 3.7 Metode egula-falsi 72 Metode Numeik

15 Pehatikan Gamba 3.7: gadien gais AB = gadien gais BC f ( b) f ( a) b a = ( b) f 0 b c yang dapat disedehanakan menjadi c = ( b)( b a) ( b) f ( a) f b (P.3.2) f Algoitma egula-falsi (lihat Pogam 3.3) hampi sama dengan algoitma bagidua kecuali pada pehitungan nilai c. Pogam 3.3 Metode egula-falsi pocedue egula_falsi(a, b: eal); { Mencai aka f()=0 di dalam selang [a,b] dengan metode egulafalsi K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, haga a dan b sudah tedefenisi K.Akhi : Hampian aka tecetak di laya } const epsilon1 = ; {batas leba selang akhi lelaan} epsilon2 = ; {bilangan yang sangat kecil, bisa diganti } begin epeat c:=b-(f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a))); if abs(f(c))< epsilon2 then {f(c) = 0, c adalah aka} begin a:=c; b:=c; end else if f(a)*f(c) < 0 then b:=c; {selang bau [a,b]=[a,c]} else a:=c; {selang bau [a,b]=[c,b]} until ABS(a-b)< epsilon1; { c adalah hampian aka } witeln( Hampian aka :, c:10:6); end; Secaa umum, metode egula-falsi lebih cepat konvegensinya dibandingkan dengan metode bagidua. Namun, pada bebeapa kasus kecepatan konvegensinya justu lebih lambat. Bila kita memakai Pogam 3.4 untuk menghitung aka f() = e di dalam selang [0, 1] dan ε = , maka tabel lelaannya yang dihasilkan adalah sebagai beikut: Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 73

16 a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebanya [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [a,c] Hampian aka = Jumlah lelaan tabel di atas = 22, lebih banyak daipada jumlah lelaan metode bagidua. Bila dipehatikan, dai lelaan 12 sampai lelaan 21, nilai a, b, c tidak penah beubah, padahal f(c) sudah sangat kecil ( 0). Kasus sepeti ini akan tejadi bila kuva fungsinya cekung (konkaf) di dalam selang [a, b]. Akibatnya, gais potongnya selalu teletak di atas kuva (bila kuvanya cekung ke atas) atau selalu teletak di bawah kuva (bila kuvanya cekung ke bawah). Pehatikan Gamba 3.8. y = f() a 0 a 1 =c 0 a 2 =c 1 c 2 b 0 b 1 b 2... Gamba 3.8 Gais potong selalu teletak di atas kuva y = f() 74 Metode Numeik

17 Pada kondisi yang paling ekstim, b - a tidak penah lebih kecil dai ε, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk setiap lelaan = 0, 1, 2,.... Titik ujung selang yang tidak penah beubah itu dinamakan titik mandek (stagnant point). Pada titik mandek, b - a = b - a = 0, 1, 2,... yang dapat mengakibatkan pogam mengalami looping. Untuk mengatasi hal ini, kondisi behenti pada algoitma egula-falsi haus kita tambah dengan memeiksa apakah nilai f(c) sudah sangat kecil sehingga mendekati nol. Jadi, kondisi pada epeat-until menjadi until (ABS(a-b) < epsilon1) o (ABS(f(c)) < epsilon2) Bila peubahan ini diteapkan pada soal pencaian aka di atas dengan epsilon2 = , lelaannya akan behenti pada = 12 dengan aka = Pebaikan Metode Regula-Falsi Untuk mengatasi kemungkinan kasus titik mandek, metode egula-falsi kemudian dipebaiki (modified false position method). Caanya, pada akhi lelaan = 0, kita sudah mempeoleh selang bau akan dipakai pada lelaan = 1. Bedasakan selang bau tesebut, tentukan titik ujung selang yang tidak beubah (jumlah peulangan > 1) - yang kemudian menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi setengah kalinya, yang akan dipakai pada lelaan = 1. Misalkan fungsi f() cekung ke atas di dalam selang [a, b] sepeti yang ditunjukkan pada Gamba 3.9. y = f() a 0 c 0 c 1 f(b)/2 c 2 b Gamba 3.9 Pebaikan metode egula-falsi Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 75

18 Setelah menghitung nilai c 0 pada lelaan = 0, ujung selang b untuk lelaan = 1 tidak beubah. Titik b menjadi titik mandek. Kaena itu, untuk lelaan = 1, nilai f(b) yang dipakai adalah f(b)/2. Begitu juga untuk lelaan = 2, nilai f(b) yang dipakai adalah setengah dai nilai f(b) sebelumnya. Pada akhi lelaan = 2, c 2 sudah teletak di bawah kuva y = f(). Selang yang dipakai selanjutnya adalah [c 1, c 2 ]. Dengan caa ini kita dapat menghilangan titik mandek yang bekepanjangan. Pogam 3.3 kita modifikasi menjadi Pogam 3.4. Pogam 3.4 Metode egula-falsi yang dipebaiki pocedue pebaikan_egula_falsi(a, b: eal); { Mencai aka f()=0 di dalam selang [a,b] dengan metode egula-falsi yang dipebaiki K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, haga a dan b sudah tedefenisi K.Akhi : aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon1 = ; {batas leba selang akhi lelaan} epsilon2 = ; {batas galat nilai fungsi di hampian aka} va FA, FB, simpan : eal; mandek_kii, mandek_kanan : intege; {jumlah peulangan titik ujung selang} begin FA:=f(a); FB:=f(b); mandek_kii:=1; mandek_kanan:=1; epeat c:=b-(fb*(b-a)/(fb-fa)); if abs(f(c)) < epsilon2 then {f(c) = 0, c adalah aka} begin a:=c; b:=c; end else begin if f(a)*f(c) < 0 then begin b:=c {selang bau [a,b]=[a,c]} FB:=f(c); mandek_kii:=mandek_kii + 1; mandek_kanan:=0; if mandek_kii > 1 then FA:=FA/2; {a menjadi titik mandek } end else begin a:=c; {selang bau [a,b]=[c,b]} FA:=f(c); mandek_kanan:=mandek_kanan + 1; mandek_kii:=0; if mandek_kanan > 1 then FB:=FB/2; {b menjadi titik mandek} end; 76 Metode Numeik

19 end; until (ABS(a-b)< epsilon1) OR (ABS(f(c)) < epsilon2); { c adalah taksian aka ) witeln( Hampian aka :, c:10:6); end; Tabel lelaan dai Pogam 3.4 untuk menghitung aka f() = e di dalam selang [0, 1] dengan ε = dan δ = adalah sebagai beikut: a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebanya [c,b] (*/2) [a,c] [c,b] [c,b] (*/2) [a,c] [c,b] Hampian aka = Telihat bahwa jumlah lelaannya bekuang menjadi sepetiga semula. Haus dicatat bahwa metode egula-falsi yang dipebaiki tetap belaku untuk fungsi yang tidak cekung sekalipun. Jadi, jika anda mempogam dengan metode egula-falsi, pakailah Pogam 3.4 ini untuk semua kemungkinan kasus fungsi. 3.4 Metode Tebuka Tidak sepeti pada metode tetutup, metode tebuka tidak memelukan selang yang menguung aka. Yang dipelukan hanya sebuah tebakan awal aka atau dua buah tebakan yang tidak pelu menguung aka. Inilah alasan mengapa metodenya dinamakan metode tebuka. Hampian aka sekaang didasakan pada hampian aka sebelumnya melalui posedu lelaan. Kadangkala lelaan konvegen ke aka sejati, kadangkala ia divegen. Namun, apabila lelaannya konvegen, konvegensinya itu belangsung sangat cepat dibandingkan dengan metode tetutup. Yang temasuk ke dalam metode tebuka: 1. Metode lelaan titik-tetap (fied-point iteation) 2. Metode Newton-Raphson 3. Metode secant Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 77

20 Metode Lelaan Titik-Tetap Metode ini kadang-kadang dinamakan juga metode lelaan sedehana, metode langsung, atau metode sulih beuntun. Kesedehanaan metode ini kaena pembentukan posedu lelaannya mudah dibentuk sebagai beikut: Susunlah pesamaan f() = 0 menjadi bentuk = g(). Lalu, bentuklah menjadi posedu lelaan +1 = g( ) (P.3.3) dan tekalah sebuah nilai awal 0, lalu hitung nilai 1, 2, 3,..., yang mudahmudahan konvegen ke aka sejati s sedemikian sehingga f(s) = 0 dan s = g(s). Kondisi behenti lelaan dinyatakan bila +1 - < ε atau bila menggunakan galat elatif hampian < δ dengan ε dan δ telah ditetapkan sebelumnya. Pogam lelaan titik-tetap ditunjukkan oleh Pogam 3.5. Pogam 3.5 Metode lelaan titik-tetap pocedue lelaan_titik_tetap(:eal); { mencai aka f() = 0 dengan metode lelaan titik-tetap K.Awal : adalah tebakan awal aka, nilainya sudah tedefinisi K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon = ; va _sebelumnya: eal; function g(:eal): eal; {mengembalikan nilai g(). Definisikan g(), ), lihat Contoh 3.2 } begin epeat _sebelumnya:=; 78 Metode Numeik

21 :=g(); until ABS(-_sebelumnya) < epsilon; { adalah hampian aka } wite( Hampian aka =, :10:6); end; Pogam 3.5 hanya menangani lelaan yang konvegen. Pogam haus dimodifikasi menjadi Pogam 3.6 untuk menangani lelaan yang divegen. Salah satu caa penanganannya adalah dengan membatasi jumlah maksimum lelaan (Nmaks). Jika jumlah lelaan lebih besa dai Nmaks, maka diasumsikan lelaannya divegen. Pogam 3.6 Metode lelaan titik-tetap (dengan penanganan kasus divegen) pocedue lelaan_titik_tetap(:eal); { mencai aka f() = 0 dengan metode lelaan titik-tetap K.Awal : adalah tebakan awal aka, nilainya sudah tedefinisi K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon = ; Nmaks = 30; va _sebelumnya: eal; { hampian nilai aka pada lelaan sebelumnya } i : intege; { pencacah jumlah lelaan } function g(:eal): eal; {mengembalikan nilai g(). Definisikan g() di sini, lihat Contoh 3.2 } begin i:=0; epeat _sebelumnya:=; :=g(); i:=i+1; until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon) o (i > Nmaks); { adalah hampian aka } if i > Nmaks then wite( Divegen! ) else wite( Hampian aka =, :10:6); end; Contoh 3.2 Cailah aka pesamaan f() = = 0 dengan metode lelaan titik-tetap. Gunakan ε = Penyelesaian: Tedapat bebeapa kemungkinan posedu lelaan yang dapat dibentuk. (a) = 0 Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 79

22 2 = = (2 + 3) Dalam hal ini, g() = (2 + 3). Posedu lelaannya adalah +1 = (2 + 3). Ambil tekaan awal 0 =4 Tabel lelaannya: Hampian aka = (konvegen monoton) (b) = 0 (-2) = 3 = 3/( - 2) Dalam hal ini, g() = 3/( - 2). Posedu lelaannya adalah +1 = 3/( - 2). Ambil tekaan awal 0 = 4 Tabel lelaannya: i Metode Numeik

23 Hampian aka = (konvegen beosilasi) (c) = 0 = ( 2-3)/2 Posedu lelaannya adalah +1 = ( 2-3)/2. Ambil tekaan awal 0 =4 Tabel lelaannya: i Tenyata lelaannya divegen! Contoh 3.3 Apa yang tejadi dengan pemilihan beagam nilai 0 pada pencaian aka pesamaan = 0 dengan posedu lelaan = [PUR84] 6 Cobakan dengan: 0 = 0.5, 0 = 1.5, 0 = 2.2, 0 = 2.7 Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 81

24 Penyelesaian: Tabel lelaannya adalah sebagai beikut: Konvegen Divegen Telihat dengan pengambilan 0 yang cukup dekat ke aka sejati, poses akan konvegen, tetapi jika kita mengambil 0 telalu jauh dai aka sejati, ia akan divegen. Kadang-kadang lelaan konvegen, kadang-kadang ia divegen. Adakah suatu tanda bagi kita untuk mengetahui kapan suatu lelaan konvegen dan kapan divegen? Kiteia konvegensi Dibeikan posedu lelaan +1 = g( ) (P.3.4) Misalkan = s adalah solusi f() = 0 sehingga f(s) = 0 dan s = g(s). Selisih antaa +1 dan s adalah +1 - s = = g( ) - s ( ) ( s) g s ( s) (P.3.5) Teapkan teoema nilai ata-ata pada pesamaan (P.3.5) sehingga +1 - s = g'(t)( - s) (P.3.6) 82 Metode Numeik

25 yang dalam hal ini +1 < t < s. Misalkan galat pada lelaan ke- dan lelaan ke-(+1) adalah ε = - s dan ε +1 = +1 - s Pesamaan (P.4.6) dapat kita tulis menjadi ε +1 = g'(t) ε (P.3.7) atau dalam tanda mutlak ε +1 = g'(t) ε K ε Beapakah batas-batas nilai K itu? Misalkan 0 dan beada di dalam selang sejauh 2h dai s, yaitu s - h < < s + h. Jika lelaan konvegen di dalam selang tesebut, yaitu 0, 1, 2, 3,... menuju s, maka galat setiap lelaan bekuang. Jadi, hauslah dipenuhi kondisi ε +1 K ε K 2 ε -1 K 3 ε K +1 ε 0 Kondisi tesebut hanya belaku jika g'() K < 1 Kaena K < 1, maka K +1 0 untuk ; di sini +1 - s 0. TEOREMA 3.2. Misalkan g() dan g'() meneus di dalam selang [a,b] = [s-h, s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal 0 dipilih dalam selang tesebut. Jika g'() < 1 untuk semua [a, b] maka lelaan +1 = g( ) akan konvegen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik ataktif. Jika g'() > 1 untuk semua [a, b] maka lelaan +1 = g( ) akan divegen dai s. Teoema 3.2 dapat kita saikan sebagai beikut: Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap, jika 0 < g'() < 1 untuk setiap I, maka lelaan konvegen monoton; jika -1< g'() < 0 untuk setiap I, maka lelaan konvegen besosilasi; jika g'() > 1 untuk setiap I, maka lelaan divegen monoton; jika g'() < -1 untuk setiap I, maka lelaan divegn beosilasi. Semuanya diangkum sepeti pada Gamba Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 83

26 Sebagai catatan, keadaan g'() = 1 tidak didefinisikan. Catat juga bahwa semakin dekat nilai g'() ke nol di dekat aka, semakin cepat kekonvegenan metode lelaan titik-tetap ini [PUR84]. y y = y = g() y y = y = g() s 0 s 0 (a) Konvegen monoton: 0 < g () < 1 (b) Konvegen beosilasi: 1 < g () < 0 y y = g() y = y y = y = g() s 0 s 0 (c) Divegen monoton: g () > 1 (d) Divegen beosilasi: g () < -1 Gamba 3.10 Jenis-jenis kekonvegenan Sekaang, mai kita analisis mengapa pencaian aka pesamaan = 0 pada Contoh 3.2 dan pencaian aka pesamaan = 0 pada Contoh 3.3 dengan bemacam-macam posedu lelaan dan tebakan awal kadang-kadang konvegen dan kadang-kadang divegen. (i) Posedu lelaan petama: = 2 3 g ( ) = ( 2 + 3) Metode Numeik

27 g ' ( ) = 2 1 ( 2 + 3) Telihat bahwa g'() < 1 untuk di sekita titik-tetap s = 3. Kaena itu, pengambilan tebakan awal 0 = 4 akan menghasilkan lelaan yang konvegen sebab ' ( 4) = 1/ [ 2 ( 8 + 3) = < 1 g. (ii) Posedu lelaan kedua: +1 = 3/( - 2) g() = 3/(-2) g'() = -3/(-2) 2 Telihat bahwa g'() < 1 untuk di sekita titik-tetap s = 3. Kaena itu, pengambilan tebakan awal 0 = 4 akan menghasilkan lelaan yang konvegen sebab g'(4) = -3/(4-2) 2 = 0.75 < 1. (iii) Posedu lelaan ketiga +1 = ( 2-3)/2 g() = ( 2-3)/2 g'() = Telihat bahwa g'() > 1 untuk di sekita titik-tetap s = 3. Kaena itu, pengambilan tebakan awal 0 = 4 akan menghasilkan lelaan yang divegen sebab g'(4) = 4 = 4 > 1. (iv) Posedu lelaan pada Contoh 3.3: +1 = ( )/6 g() = ( )/6 g'() = - 2 /2 Telihat bahwa g'() < 1 untuk di sekita titik-tetap s = Pemilihan 0 = 0.5 akan menjamin lelaan konvegen sebab g'( 0 ) < 1. Untuk 0 = 1.5 dan 0 = 2.2 memang nilai g'( 0 ) > 1 tetapi lelaannya masih tetap konvegen, namun 0 = 2.7 telalu jauh dai titik-tetap sehingga lelaannya divegen. Dapatkah kita menentukan batas-batas selang yang menjamin posedu lelaan akan konvegen di dalamnya? Temukan jawabannya pada Contoh 3.4 di bawah ini. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 85

28 Contoh 3.4 Pada Contoh 3.3 di atas, tentukan selang sehingga posedu lelaan +1 = ( )/6 konvegen? Penyelesaian: g() = ( )/6 g '()=- 2 /2 Syaat konvegen adalah g'() < 1. Jadi, - 2 /2 < 1-1 < - 2 /2 < 1 2 > 2 > -2-2 < 2 < 2 Uai satu pe satu: (i) 2 > -2 { tidak ada yang memenuhi) (ii) 2 < 2, dipenuhi oleh 2-2 < 0-2 < < 2 Jadi, posedu lelaan +1 = ( )/6 konvegen di dalam selang - 2 < < 2. Kita dapat memilih 0 dalam selang tesebut yang menjamin lelaan akan konvegen. Contoh 3.5 Gunakan metode lelaan titik-tetap untuk mencai aka pesamaan dalam selang [1, 2] [PUR84] Catatan : selang [1, 2] ini sebenanya tidak digunakan dalam poses lelaan sebagaimana halnya pada metode bagidua. Selang ini dibeikan untuk memastikan bahwa suatu posedu lelaan titik-tetap konvegen di dalamnya. Kuva fungsi y = dipelihatkan pada Gamba Metode Numeik

29 y y = Gamba 3.11 Kuva y = Penyelesaian: (i) +1 = ( 3 + 1)/3 Tetapi, kaena g '() = 2 > 1 dalam selang [1, 2], maka posedu lelaan ini tidak digunakan. (ii) +1 = -1/( 2-3) Tetapi, kaena g'() = 2 /( 2-3) 3 > 1 dalam selang [1, 2], maka posedu lelaan ini tidak digunakan. (iii) +1 = 3/ - 1/ 2 Tenyata g '() = (-3 + 2)/ 3 1 di dalam selang [1, 2], yaitu, g '() naik dai g '(1) = -1 ke g '(2)=-1/2. Jadi, g '() lebih kecil dai 1 dalam selang [1, 2]. Dengan mengambil = 1.5, posedu lelaannya konvegen ke aka = sepeti pada tabel beikut ini Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 87

30 Contoh 3.5 menunjukkan bahwa ada dua hal yang mempengauhi kekonvegenan posedu lelaan: 1. Bentuk fomula +1 = g( ) 2. Pemilihan tebakan awal Catatan: Meskipun g'() > 1 menyatakan lelaan divegen, tetapi kita haus hatihati dengan penyataan ini. Sebabnya, walaupun divegen dai suatu aka, untunan lelaannya mungkin konvegen ke aka yang lain. Kasus sepeti ini ditunjukkan pada Contoh 3.6 di bawah ini. Contoh 3.6 Tentukan aka pesamaan f() = = 0 dengan posedu lelaan Penyelesaian: +1 = ( 2 + 3)/4 Jika posedu lelaan +1 = ( 2 + 3)/4 konvegen ke titik-tetap s, maka sehingga limit = s s = (s 2 + 3)/4 s 2-4s + 3 = 0 (s - 3)(s - 1) = 0 yang membeikan s 1 = 1 atau s 2 = 3. Jadi, lelaan konvegen ke aka = 1 atau aka = 3. Dai dipeoleh g() = ( 2 + 3)/4 g '() = /2 Gambakan kuva y = dan y = ( 2 + 3)/4 sepeti pada Gamba Poseda lelaan akan konvegen bila g '() > 1-1 < /2 < 1 atau -2 < < 2 88 Metode Numeik

31 Sehingga pemilihan 0 dalam selang -2 < < 2 menjamin lelaan konvegen ke aka = 1. Dai Gamba 3.12 telihat bahwa lelaan juga konvegen ke aka = 1 untuk pemilihan 0 dalam selang 2 < < 3. Padahal, kalau dihitung, dalam selang 2 < < 3, g '() > 1 yang menyatakan bahwa lelaannya divegen. Lelaan divegen dai aka = 3 tetapi konvegen ke aka = 1. y y = ( 2 +3)/4 y = Gamba 3.12 Kuva y = dan y=( 2 + 3)/4 Sebagai contoh teakhi metode lelaan titik-tetap, mai kita hitung aka fungsi pada Contoh 3.1, yaitu f() = e Contoh 3.7 Hitunglah aka f() = e dengan metode lelaan titik-tetap. Gunakan ε = Tebakan awal aka 0 =1. Penyelesaian: Salah satu posedu lelaan yang dapat dibuat adalah e = 0 e = 5 2 = e /5 +1 = SQRT(EXP( )/5) Tabel lelaannya: i Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 89

32 Hampian aka = Metode Newton-Raphson 3 Di antaa semua metode pencaian aka, metode Newton-Raphsonlah yang paling tekenal dan paling banyak dipakai dalam teapan sains dan ekayasa. Metode ini paling disukai kaena konvegensinya paling cepat diantaa metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menuunkan umus metode Newton-Raphson, yaitu: (a) penuunan umus Newton-Raphson secaa geometi, (b) penuunan umus Newton-Raphson dengan bantuan deet Taylo. (a) Penuunan umus Newton-Raphson secaa geometi y = g() Gais singgung kuva di i dengan gadien = f '( i ) i+1 i Gamba 3.13 Tafsian geometi metode Newton-Raphson 3 Bebeapa buku menyebutnya metode Newton saja. Joseph Raphson ( ) adalah matematikawan Inggis yang mempublikasikan metode Newton. 90 Metode Numeik

33 Dai Gamba 3.13, gadien gais singgung di adalah ( ) y f 0 m = f ' ( ) = = (P.3.8) + 1 atau ( ) f f '( ) = (P.3.9) + 1 sehingga posedu lelaan metode Newton-Raphson adalah ( ) '( ) f + 1 =, f '( ) 0. (P.3.10) f (b) Penuunan umus Newton-Raphson dengan bantuan deet Taylo Uaikan f( +1 ) di sekita ke dalam deet Taylo: f ( ) f ( ) + ( ) f ( ) ( ) ' + f " < + 2 ( t), < t 1 (P.3.11) yang bila dipotong sampai suku ode-2 saja menjadi f( +1 ) f( ) + ( +1 - )f '( ) (P.3.12) dan kaena pesoalan mencai aka, maka f( +1 ) = 0, sehingga 0 = f( ) + ( +1 - ) f '( ) (P.3.13) atau ( ) '( ) f + 1 =, f '( ) 0 (P.3.14) f yang meupakan umus metode Newton-Raphson. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 91

34 Kondisi behenti lelaan Newton-Raphsin adalah bila +1 - < ε atau bila menggunakan galat elatif hampian < δ dengan ε dan δ adalah toleansi galat yang diinginkan. Catatan: 1. Jika tejadi f '( ) = 0, ulang kembali pehitungan lelaan dengan 0 yang lain. 2. Jika pesamaan f() = 0 memiliki lebih dai satu aka, pemilihan 0 yang bebeda-beda dapat menemukan aka yang lain. 3. Dapat pula tejadi lelaan konvegen ke aka yang bebeda dai yang dihaapkan (sepeti halnya pada metode lelaan titik-tetap). Pogam 3.7 Metode Newton-Raphson pocedue Newton_Raphson(:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode Newton-Raphson K.Awal : adalah tebakan awal aka, nilainya sudah tedefinisi K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon = ; va _sebelumnya: eal; function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } function f_aksen(:eal):eal; { mengembalikan nilai f'(). Definisi f () begantung pada pesoalan } begin epeat _sebelumnya:=; := - f()/f_aksen(); until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon) end; { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); 92 Metode Numeik

35 Catatan: Pogam 3.7 ini belum menangani kasus pembagian dengan 0 atau 0 dan kasus divegen. Pogam 3.8 di bawah ini meupakan modifikasi dai Pogam 3.7 untuk menangani pembagian dengan 0 dan kasus divegen. Pogam 3.8 Metode Newton-Raphson (dengan penanganan kasus divegen dan pembagian dengan 0) pocedue Newton_Raphson(:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode Newton-Raphson K.Awal : adalah tebakan awal aka, nilainya sudah tedefinisi K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon1 = ; { toleansi galat aka hampian } epsilon2 = ; { toleansi nilai yang hampi 0 } Nmaks = 30; { jumlah maksimum lelaan } va _sebelumnya: eal; i : intege; behenti : boolean; { jika f () <<<< 0, stop! } function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } function f_aksen(:eal):eal; { mengembalikan nilai f'(). Definisi f () begantung pada pesoalan } begin i:=0; behenti:=false; epeat if ABS(f_aksen()) < epsilon2 then behenti:=tue; { menghindai pembagian bilangan yang 0} else begin _sebelumnya:=; := - f()/f_aksen(); i:=i+1; end; until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon1) o (behenti) o (i > Nmaks) if behenti then witeln( Pembagian dengan bilangan yang hampi 0 ) else if i > Nmaks then witeln( Divegen ) else { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); {endif} {endif} end; Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 93

36 Contoh 3.8 Hitunglah aka f() = e dengan metode Newton-Raphson. Gunakan ε = Tebakan awal aka 0 = 1. Penyelesaian: f() = e f '() = e - 10 Posedu lelaan Newton-Raphson: e = e 10 Tebakan awal 0 = 1 Tabel lelaannya: i Hampian aka = Contoh 3.8 di atas mempelihatkan bahwa metode Newton-Raphson memelukan sedikit lelaan, dibandingkan dengan metode bagidua, metode egula falsi, dan metode lelaan titik-tetap. Metode Newton-Raphson sangat beguna untuk menghitung fungsi-fungsi dasa, sepeti aka bilangan, nlai e, acsin (), dan sebagainya. Contoh 3.9 dan Contoh 3.10 mempelihatkan penggunaan metode Newton-Raphson untuk menghitung aka bilangan dan nilai pecahan. Contoh 3.9 Tentukan bagaimana caa menentukan c dengan metode Newton-Raphson. Penyelesaian: Misalkan c =. Kuadatkan kedua uas sehingga c = c = 0. Di sini f() = 2 - c dan f '() = 2. Posedu lelaan Newton-Raphsonnya adalah 94 Metode Numeik

37 2 c + = = 0.5( + c / 2 1 Untuk c = 2, dengan memilih 0 = 1 dan ε = , kita peoleh 1 = = = = ) Jadi, Contoh 3.10 Bagaimana menghitung nilai 1/c dengan metode Newton-Raphson? Penyelesaian: Misalkan 1/c = 1/ = c 1/ - c = 0. Di sini f() = 1/ - c dan f '() = -1/ 2. Posedu Newton-Raphsonnya adalah = (1/ c) = 2 1/ (2 c + 1 Untuk c = 7, dengan memilih 0 = 0.2 dan ε = , kita peoleh 1 = = = = = = ) Jadi, 1/ Secaa umum, bila metode Newton-Raphson konvegen, kekonvegenannya itu belangsung sangat cepat, sepeti yang dilukiskan pada Gamba Titik potong gais singgung fungsi dengan sumbu- semakin cepat begeak mendekati aka sejati. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 95

38 y = g() 1 0 Gamba 3.14 Kecepatan konvegensi metode Newton-Raphson sangat cepat Kaena metode Newton-Raphson tegolong metode tebuka, maka dalam bebeapa kasus lelaannya mungkin divegen. Bahkan, kalau kuvanya sepeti pada Gamba 3.15 seta pemilihan 0 yang jauh dai aka sejati, lelaannya akan beosilasi di sekita cekungan lain Gamba 3.15 Lelaan metode Newton-Raphson yang divegen Membuat gafik fungsi sangat membantu dalam pencaian aka. Gafik fungsi dapat mempelihatkan secaa visual lokasi aka sejati. Dengan demikian tebakan awal yang bagus untuk aka dapat dituunkan. Pemilihan tebakan awal sebaiknya cukup dekat dengan aka. Selain itu, kita juga dapat mengetahui apakah fungsi tesebut mempunyai aka tidak. Pada kasus tidak ada aka, lelaannya akan divegen beosilasi. 96 Metode Numeik

39 Kiteia konvegensi metode Newton-Raphson Apakah pesyaatan aga metode Newton-Raphson konvegen? Tinjau kembali bentuk umum posedu lelaan metode tebuka, +1 = g( ) Kaena metode Newton-Raphson temasuk metode tebuka, maka dalam hal ini, g() = f ( ) f '( ) Dengan mengingat syaat pelu aga lelaan konvegen adalah g'() < 1, maka g'() = 1 = [ f '( ) f '( ) f ( ) f "( ) ] [ f '( ) ] 2 ( ) f "( ) [ f '( ) ] 2 f (P.3.18) Kaena itu, metode Newton-Raphson akan konvegen bila ( ) f" ( ) 2 [ f '( ) ] f < 1 dengan syaat f () Ode Konvegensi Metode Tebuka Posedu lelaan pada setiap metode tebuka dapat ditulis dalam bentuk +1 = g( ) (P.3.19) misalnya pada metode Newton-Raphson g( ) = - f( )/f '( ). Misalkan adalah hampian tehadap aka sejati s sehingga s = g(s). Maka, bedasakan konsep galat yang sudah dijelaskan di dalam Bab 2, s = + ε dengan ε adalah galat dai. Uaikan g(s) di sekita : g(s) = g( ) + g'( )(s - ) + ½ g ( )(s - ) 2 + = g( ) + g'( )ε + ½ g ( )ε 2 + (P.3.20) Kuangi pesamaan (P.3.20) dengan pesamaan (P.3.19): Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 97

40 g(s) = g( ) + g'( )ε + ½ g ( )ε = g( ) g(s) - +1 = g'( )ε + ½ g ( )ε 2 + Kaena g(s) = s, maka s - +1 = g'( )ε + ½ g ( )ε 2 + Misalkan s - +1 = ε +1, sehingga ε +1 = g'( )ε + ½ g ( )ε 2 + (P.3.21) Bilangan pangkat dai ε menunjukkan ode (atau laju) konvegensi posedu lelaan: (a) ε +1 g'(t)ε (P.3.22), < t < +1 : posedu lelaan beode satu (b) ε +1 ½ g (t )ε 2, < t < +1 : posedu lelaan beode dua (P.3.23) Metode Newton-Raphson temasuk ke dalam metode tebuka beode dua. Penyataan ini kita buktikan di bawah ini. Ode konvegensi metode Newton-Raphson Pada netode Newton-Raphosn, g( ) = - f( ) / f '( ). Tuunan petama dai g( ) adalah (dai pesamaan P.3.18): g'( ) = f ( ) f "( ) [ f '( )] 2 Jika adalah aka pesamaan f() = 0, maka f( ) = 0, sehingga g'( ) = 0 (P.3.24) Ini beati metode Newton-Raphson paling sedikit beode dua. Tuunan kedua dai g( ) adalah g ( ) = f ( ) / f '( ) (P.3.25) Sulihkan (P.3.25) ke dalam (P.3.23): 98 Metode Numeik

41 ε +1 = f " 2 ( ) ε f '( ) 2 (P.3.26) Pesamaan (P.3.26) ini mempunyai tiga ati: 1. Galat lelaan sekaang sebanding dengan kuadat galat lelaan sebelumnya. Jika galat lelaan sekaang misalnya 0.001, maka pada lelean beikutnya galatnya sebanding dengan Hal inilah yang menyebabkan metode Newton-Raphson sangat cepat menemukan aka (jika lelaannya konvegen). 2. Jumlah angka bena akan belipat dua pada tiap lelaan. Ini meupakan konsekuensi dai hal nomo 1 di atas. 3. Ode konvegensi metode Newton-Raphson adalah kuadatik. sehingga ia dinamakan juga metode kuadatik. Caa lain untuk menemukan ode konvegensi metode Newton-Raphson adalah dengan meneuskan penuunan umus Newton-Raphson dai dai deet Taylonya sebagai beikut. Pehatikan kembali pesamaan (P.3.11) di atas. Bila +1 = s sehingga f( +1 ) = f(s) = 0, dalam hal ini s adalah aka sejati, sulihkan s ke dalam pesamaan (P.3.11) di atas: 0 = f ( 2 ( s ) f "( t) ) + ( s ) f '( ) + (P.3.27) 2 Kuangi (P.3.27) dengan ( P.3.13): 0 = f ( ) + ( s ) f '( ) + 2 ( s ) f "( t) 0 = f( ) + ( +1 - )f '( ) 2 0 = 2 ( s ) f "( t) ( s + 1) f '( ) + (P.3.28) 2 Misalkan s - +1 = ε +1 dan s - = ε, maka pesamaan (P.3.28) dapat ditulis menjadi atau ε + ( t) ε f " 1 f '( ) + = Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 99

42 ε +1 = f " 2 f 2 ( t) ε '( ) (P.3.29) yang sama dengan (P.3.26), kecuali pada f ( ) dan f (t), tetapi pebedaan ini tidak begitu penting, sebab yang dicai adalah pangkat dai ε. Pada poses pencaian aka dengan metode Newton-Raphson, muncul kesulitan jika f '() telalu dekat ke nol, dan kita haus menggunakan bilangan beketelitian ganda untuk mempeoleh f() dan f '() cukup teliti [KRE88]. Pesamaan nilanja f() = 0 yang mempunyai kasus sepeti ini disebut bekondisi buuk (lihat pembahasan kondisi buuk di dalam Bab 2) Metode Secant Posedu lelaan metode Newton-Raphson memelukan pehitungan tuunan fungsi, f '(). Sayangnya, tidak semua fungsi mudah dicai tuunannya, teutama fungsi yang bentuknya umit. Tuunan fungsi dapat dihilangkan dengan caa menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen. Modifikasi metode Newton- Raphson ini dinamakan metode secant. y = g() +1-1 Gamba 3.16 Metode Secant Bedasakan Gamba 3.16, dapat kita hitung gadien f '( ) = y = AC BC = f ( ) f ( ) 1 1 (P.3.30) Sulihkan (P.3.30) ke dalam umus Newton-Raphson: 100 Metode Numeik

43 +1 = f f ( ) '( ) sehingga dipeoleh +1 = ( )( 1) ( ) f ( ) f (P.3.31) f 1 yang meupakan posedu lelaan metode secant. Dalam hal ini, dipelukan dua buah tebakan awal aka, yaitu 0 dan 1. Kondisi behenti lelaan adalah bila +1 - < ε (galat mutlak) atau < δ (galat hampian) dengan ε dan δ adalah toleansi galat. Sepintas metode secant miip dengan metode egula-falsi, namun sesungguhnya pinsip dasa keduanya bebeda, sepeti yang diangkum pada tabel di bawah ini: Metode Regula Falsi 1. Dipelukan dua buah nilai awal a dan b (ujung-ujung selang) sedemikian sehingga f(a) f(b) < 0. Metode Secant 1. Dipelukan dua buah nilai awal 0 dan 1 (tebakan awal aka), tetapi tidak haus f( 0 ) f( 1 ) < Lelaan petama: 2. Lelaan petama: y y = f() y y = f() a c b Pada lelaan petama, tidak ada pebedaan antaa egula-falsi dan secant. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Pada lelaan petama tidak ada pebedaan antaa secant dan egula falsi. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 101

44 Lelaan kedua: Lelaan kedua: y y = f() y y = f() a b +1-1 Pepotongan gais luus dengan sumbu tetap beada di dalam selang yang mengandung aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaannya selalu konvegen Pepotongan gais luus dengan sumbu- mungkin menjauhi aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaannya mungkin divegen. Pogam 3.9 beikut beisi algoitma metode secant. Pogam 3.9 Metode Secant pocedue Secant(0, 1:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode secant K.Awal : 0 dan 1 adalah tebakan awal aka, tedefenisi nilainya K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laya } const epsilon = ; { toleansi galat aka hampian } va _sebelumnya: eal; function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } begin epeat _sebelumnya:=1; :=-(f(1)*(1-0)/(f(1)-f(0))); 0:=1; 1:=; until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon); { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); end; 102 Metode Numeik

45 Catatan: Pogam 3.9 belum menangani kasus pembagian dengan 0 atau 0 dan kasus divegen. Pogam haus dimodifikasi untuk menangani pembagian dengan 0 atau 0 dan kasus divegen menjadi Pogam 3.10 beikut. Pogam 3.10 Pebaikan metode Secant pocedue Secant(0, 1:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode secant K.Awal : 0 dan 1 adalah tebakan awal aka, tedefenisi nilainya K.Akhi: Hampian aka tecetak di laya } const epsilon1 = ; { toleansi galat aka hampian } epsilon2 = ; { toleansi nilai yang hampi 0 } Nmaks = 30; { jumlah maksimum lelaan } va _sebelumnya: eal; behenti: boolean; i : intege; function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } begin i:=0; epeat if ABS(f(1)- f(0)) < epsilon2 then behenti:=tue; { menghindai pembagian bilangan yang 0} else begin _sebelumnya:=1; :=-(f(1)*(1-0)/(f(1)-f(0))); 0:=1; 1:=; i:=i+1; end; until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon1) o (behenti) o (i > Nmaks); if behenti then witeln( Pembagian dengan bilangan yang hampi 0 ) else if i > Nmaks then witeln( Divegen ) else { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); {endif} {endif} end; Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 103

46 Contoh 3.11 Hitunglah aka f() = e dengan metode secant. Gunakan ε = Tebakan awal aka 0 = 0.5 dan 1 = 1. Penyelesaian: Tabel lelaannya: i Aka = Tenyata lelaannya mengaah ke aka yang lain, yaitu = Aka Ganda Aka ganda (multiple oots) tejadi bila kuva fungsi menyinggung sumbu-, misalnya: (i) f() = = (-3)(-1)(-1) memiliki aka ganda dua di = 1 (ii) f() = = (-3)(-1)(-1)(-1) memiliki aka ganda tiga di = 1. Pada pembahasan tedahulu kita telah menyinggung bahwa metode bagidua dan metode tetutup lainnya tidak dapat digunakan untuk mencai aka ganda, sebab fungsi tidak beubah tanda di sekeliling aka. Metode tebuka, sepeti metode Newton-Raphson, sebenanya dapat diteapkan di sini. Tetapi, bila digunakan metode Newton-Raphson untuk mencai aka ganda, kecepatan konvegensinya bejalan secaa lanja, tidak lagi kuadatis sebagaimana aslinya. Aga konvegensi metode Newton-Raphson tetap kuadatik untuk aka ganda, maka Ralston dan Rabinowitz mengusulkan altenatif metode Newton-Raphson [CHA91] sebagai beikut: 104 Metode Numeik

47 +1 = ( ) '( ) f m (P.3.32) f dengan m adalah bilangan multiplisitas aka, misalnya. - aka tunggal, m = 1, - aka ganda dua, m = 2, - aka ganda tiga, m = 3, dan seteusnya. Namun altenatif ini tidak memuaskan kaena kita pelu tahu telebih dahulu bilangan multiplisitas aka. Disamping itu, untuk dekat aka ganda, nilai f() 0 dan juga nilai f '() 0, yang dapat mengakibatkan pembagian dengan nol. Pembagian dengan nol ini dapat dihindai dengan melihat fakta bahwa f() lebih dulu nol sebelum f '(). Jadi, if f() 0 then hentikan lelaan Ralston dan Rabinowitz mengusulkan altenatif lain [CHA91]. Didefinisikan u() = f() / f '() (P.3.33) (Pehatikan, bentuk u() ini memiliki aka yang sama dengan f(), sebab, jika u() = 0 maka f() = 0). Selanjutnya, +1 = ( ) '( ) u (P.3.34) u yang dalam hal ini, u'() = [ f()/f '()]' = f ' ( ) f '( ) f " ( ) f ( ) [ f ' ( ) ] 2 = 2 [ f '( ) ] f "( ) f ( ) [ f '( ) ] 2 (P.3.35) sehingga +1 = - [ f ' ( f ( 2 )] f "( [ f ) / f '( '( )] 2 ) ) f ( ) Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 105

48 atau +1 = - f ( ) f ' ( ) [ f '( )] 2 f "( ) f ( ) (P.3.36) Meskipun umus (P.3.36) ini lebih disukai untuk aka ganda, namun ia kuang mangkus sebab memelukan lebih banyak komputasi daipada metode Newton- Raphson yang baku. Rumus (P.3.36) belaku secaa umum, yaitu ia tetap dapat dipakai untuk pencaian aka tidak ganda sekalipun. Metode secant juga dapat dimodifikasi dengan menyulihkan u() = f() /f '() ke dalam umusnya. Rumus yang dihasilkan adalah [CHA91]: +1 = - ( )( 1 ) ( ) u( ) u u 1 (P.3.37) Contoh 3.12 Hitung aka f() = dengan metode Newton-Raphson baku dan metode Newton-Raphson yang dipebaiki. Tebakan awal 0 = 0. {CHA91] Penyelesaian: f() = f '() = f () = 6-10 Dengan metode Newton-Raphson baku: +1 = ( ) 2 3 Dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi: Tabel lelaannya adalah: = ( )( ) ( ) ( 6 10)( ) 106 Metode Numeik

49 Metode Newton Raphson baku Metode Newton Raphson yang dimodifikasi Lelaan konvegen ke aka = 1. Telihat dai tabel di atas bahwa metode Newton yang dimodifikasi memiliki jumlah lelaan lebih sedikit. 3.6 Aka-Aka Polinom Bentuk baku polinom deajat n adalah p() = a 0 + a 1 + a a n n (P.3.38) dengan a i adalah konstanta iil, i = 0, 1, 2,..., n, dan a n 0. Polinom p() memiliki n buah aka, baik aka nyata maupun aka kompleks. Aka kompleks muncul dalam pasangan konyugasi, w = u + vi dan w = u - vi, dengan i = -1.Contohnya, polinom p() = mempunyai aka 2 + i dan 2 - i. Semua metode pencaian aka dapat diteapkan pada polinom. Misalnya dengan metode Newton-Raphson, +1 = p( ) (P.3.39) p' ( ) Masalahnya, evaluasi polinom, p( ) dan p'( ) membutuhkan banyak opeasi pekalian (temasuk pepangkatan). Semakin tinggi deajat polinomnya tentu semakin banyak opeasi pekalian yang dipelukan, yang beati semakin besa ambatan galat pembulatannya (ingat, kompute menggunakan bilangan titikkambang). Kaena itu, haus dicai suatu metode pehitungan polinom dengan sedikit opeasi pekalian. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 107

50 3.6.1 Metode Hone untuk Evaluasi Polinom Menghitung langsung p() untuk = 1 tidak mangkus sebab melibatkan banyak opeasi pekalian. Metode Hone, atau disebut juga metode pekalian besaang (nested multiplication) menyediakan caa pehitungan polinom dengan sedikit opeasi pekalian. Dalam hal ini, polinom p() dinyatakan sebagai pekalian besaang p() = a 0 + (a 1 + (a 2 + (a (a n-1 + a n )))...)) (P.3.40) Contoh 3.12 Nyatakan p() = dalam bentuk pekalian besaang. Penyelesaian: p() = (6 buah pekalian) = 8 + (6 + (2 + 5)) (hanya 3 buah pekalian) Pehitungan p() untuk = 2 adalah p(2) = 8 + 2(6 + 2( )) = 68 Metode pekalian besaang untuk menghitung p(t) seingkali dinyatakan dalam bentuk tabel Hone beikut: t a n a n-1 a n-2... a 2 a 1 a 0 tb n tb n-1... tb 3 tb 2 tb 2 b n = a n b n-1 = a n-1 + tb n b n-2 = a n-2 + tb n-1 b 2 = a 2 + tb 3 b 1 = a 1 + tb 2 b 0 = a 0 + tb 1 polinom sisa Hasil evaluasi: p(t) = b 0 Jadi, untuk Contoh 3.12 di atas, = p(2) dan menghasilkan polinom sisa Metode Numeik

51 Pogam 3.11 Menghitung p() untuk = t dengan metode Hone { Dalam pogam utama telah didefinisikan: const n=...; {deajat polinom} va a, b, c: aay[1..n] of eal } function p(t:eal):eal; { menghitung p(t) dengan metode Hone} va k: intege; begin b[n]:=a[n]; fo k:=n-1 downto 0 do b[k]:=a[k] + b[k+1]*t; {end fo} p:=b[0]; end; Pencaian Aka-aka Polinom Poses pehitungan p() untuk = t dengan menggunakan metode Hone seing dinamakan pembagian sintetis p():( -t), menghasilkan q() dan sisa b 0, p( ) ( t) = q ( ) + sisa b 0 (P.3.41) atau p() = b 0 + (-t) q() (P.3.42) yang dalam hal ini, q() = b n n-1 + b n-1 n b b 2 + b 1 (P.3.43) Untuk Contoh 3.12 di atas, p() = = 68 + (-2) ( ) Jika t adalah hampian aka polinom p() maka p(t) = b 0 + (t - t) q(t) = b = b 0 (Pehatikan, jika t aka sejati, maka b 0 = 0) Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 109

52 Aka-aka lain dai p() dapat dicai dai polinom q() sebab setiap aka q() juga adalah aka p(). Poses eduksi polinom ini disebut deflasi (deflation). Koefisien-koefisien q(), yaitu b n, b n-1,..., b 3, b 2, b 1 dapat ditemukan langsung dai tabel Hone, b n = a n b n-1 = a n-1 + tb n b n-2 = a n-2 + tb n-1... b 2 = a 2 + tb 3 b 1 = a 1 + tb 2 Algoitmanya, b[n]:=a[n]; fo k:=n-1 downto 1 do b[k]:=a[k] + t*b[k+1] {endfo} Misalkan aka polinom dihitung dengan metode Newton-Raphson, +1 = p( ) p' ( ) maka poses pencaian aka secaa deflasi dapat diumuskan dalam langkah 1 sampai 4 beikut ini. Langkah 1: Menghitung p( ) dapat dilakukan secaa mangkus dengan metode Hone. Misalkan t = adalah hampian aka polinom p(), p() = b 0 + ( - ) q() Pehitungan p( ) menghasilkan p( ) = b 0 + ( - ) q( ) = b 0 Nilai p( ) = b 0 ini dapat dihitung dengan function p 110 Metode Numeik

53 Langkah 2: Menghitung p'( ) secaa mangkus: Misalkan t = adalah hampian aka polinom p(), p() = b 0 + ( - ) q() Tuunan dai p adalah sehingga p'() = q() + ( - ) q' () = q() + ( - ) q'() p'( ) = q( ) + ( - ) q'( ) = q( ) Koefisien polinom q() dapat ditentukan dai langkah 1. Selanjutnya q( ) dapat dihitung dengan function q beikut: Pogam 3.12 Menghitung p'(t) = q(t) function q(t:eal):eal; { menghitung p'(t)=q(t) dengan metode Hone} va k : intege; begin c[n]:=b[n]; fo k:=n-1 downto 1 do c[k]:=b[k] + t*c[k+1] {endfo} q:=c[1]; end; Langkah 3: +1 = p( ) p' ( ) Langkah 4: Ulangi langkah 1, 2 dan 3 di atas sampai +1 - < ε. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 111

54 Pogam 3.13 Posedu Newton-Raphson untuk menghitung aka polinom pocedue Newton_Raphson_untuk_polinom(n:intege; :eal); { pocedue Newton-Raphson untuk menghitung aka polinom p() yang bedeajat n dengan tebakan awal aka K.Awal : n adalah deajat polinom; adalah tebakan awal aka; kedua nilai sudah tedefinisi K.Akhi: Hampian aka polinom tecetak di laya. } const epsilon = ; va _sebelumnya: eal; function p(t:eal):eal; {menghitung p(t) dengan metode Hone} va k: intege; begin b[n]:=a[n]; fo k:=n-1 downto 0 do b[k]:=a[k] + b[k+1]*t; {end fo} p:=b[0]; end {p}; function q(t:eal):eal; { menghitung p'(t)=q(t) dengan metode Hone} va k : intege; begin c[n]:=b[n]; fo k:=n-1 downto 1 do c[k]:=b[k] + t*c[k+1] {end fo} q:=c[1]; end {q} ; begin epeat _sebelumnya:=; := - p()/q(); until ABS( - _sebelumnya) < epsilon; { adalah aka polinom } witeln( Hampian aka =, :10:6); end; 112 Metode Numeik

55 Pogam 3.13 ini hanya menemukan satu buah aka polinom. Untuk mencai seluuh aka nyata polinom, haus dilakukan poses deflasi. Setelah aka petama 1 dipeoleh, polinom p() dapat ditulis sebagai p() = ( - 1 ) q() + b 0 yang dalam hal ini q() = b n n-1 + b n-1 n b b 2 + b 1. Koefisienkoefisien q(), yaitu b n, b n-1,..., b 3, b 2, b 1 dipeoleh di akhi Pogam 3.11, yang telah tesimpan pada elemen laik b[n - 1], b[n - 2],..., b[2], b[1]. Selanjutnya panggil Pogam 3.13 untuk mencai aka polinom q() yang bedeajat n-1 dengan tebakan awalnya dapat digunakan 1 (atau boleh bilangan lain). Setelah aka kedua 2 dipeoleh, polinom p() dapat ditulis sebagai q() = ( - 2 ) () + b 1 yang dalam hal ini () = b n - 1 n b n - 2 n b b 2 + b 1. () adalah polinom deajat n - 2 dengan koefisien b n-1, b n-2,..., b 3, b 2, b 1 dipeoleh di akhi Pogam 3.11 pada elemen laik b[n-1], b[n-2],..., b[2], b[1]. Selanjutnya panggil kembali Pogam 3.13 untuk mencai aka polinom () yang bedeajat n - 2 dengan tebakan awalnya dapat digunakan 2. Begitu seteusnya sampai polinom sisa yang ditemukan bedeajat 0. Atau, dapat juga sampai polinom sisa bedeajat dua. Algoitma selengkapnya adalah: wite('tebakan awal untuk aka petama: '); eadln(); epeat Newton_Raphson_untuk_polinom(n, ); { salin koefisien b[n], b[n-1],, b[1] ke dalam a[n-1], a[n-2],, a[0] untuk pencaian aka selanjutnya} fo i:=n downto 1 do a[i-1]:=b[i]; {endfo} n:=n-1; { deajat polinom sisa bekuang satu } until n=0; Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 113

56 Contoh 3.14 [GER85] Temukan seluuh aka nyata polinom p() = dengan tebakan awal aka 0 =11. Penyelesaian: Panggil posedu Newton_Raphson_untuk_polinom(5, 11); untuk mencai aka polinom p() bedeajat 5 sengan tebakan awal aka 0 = 11. Dipeoleh aka petama, yaitu 1 = Deflasi p() = ( - 1 ) q() + b 0 yang dalam hal ini q() = Panggil posedu Newton_Raphson_untuk_polinom(4, ); untuk mencai aka polinom q() bedeajat 4 dengan tebakan awal aka 0 = Dipeoleh aka kedua 2 = Deflasi q() = ( - 2 ) () + b 1 yang dalam hal ini () = Panggil posedu Newton_Raphson_untuk_polinom(3, ); untuk mencai aka polinom () bedeajat 3 dengan tebakan awal aka 0 = Dipeoleh aka 3 = Deflasi () = ( - 3 ) s() + b 2 yang dalam hal ini s() = Demikian seteusnya sampai kita temukan aka keempat dan aka kelima sebagai beikut: 4 = = Metode Numeik

57 3.6.3 Lokasi Aka Polinom Metode Newton-Raphson memelukan tebakan awal aka. Bagaimanakah menemukan tebakan awal aka yang bagus untuk polinom? Misalkan aka-aka dibei indeks dan diuut menaik sedemikian sehingga n Tebakan awal untuk aka tekecil 1 menggunakan hampian a 0 + a 1 0 -a 0 /a 1 (P.3.44) yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk menemukan 1 Tebakan awal untuk aka tebesa n menggunakan hampian a n-1 n-1 + a n n 0 - a n-1 /a n (P.3.45) yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk menemukan n Contoh 3.15 [NOB72] Tentukan tebakan awal untuk mencai aka polinom = 0. Penyelesaian: Tebakan awal untuk aka tekecil adalah 0 = -1/(-200) = 1/200 Tebakan awal untuk aka tebesa adalah 0 = -(-200)/1 = Sistem Pesamaan Nilanja Di dalam dunia nyata, umumnya model matematika muncul dalam bentuk sistem pesamaan Pesamaan yang diselesaikan tidak hanya satu, tetapi dapat lebih dai satu, sehingga membentuk sebuah sistem yang disebut sistem pesamaan nilanja. Bentuk umum sistem pesamaan nilanja dapat ditulis sebagai beikut: Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 115

58 f 1 ( 1, 2,..., n ) = 0 f 2 ( 1, 2,..., n ) = 0... f n ( 1, 2,..., n ) = 0 (P.3.46) Penyelesaian sistem ini adalah himpunan nilai simultan, 1, 2,..., n, yang memenuhi seluuh pesamaan. Sistem pesamaan dapat diselesaikan secaa belela dengan metode lelaan titik-tetap atau dengan metode Newton-Raphson Metode Lelaan Titik-Tetap Posedu lelaannya titik-tetap untuk sistem dengan dua pesamaan nilanja: +1 = g 1 (, y ) y +1 = g 2 (, y ) = 0, 1, 2,... (P.3.47) Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metode lelaan Jacobi. Kondisi behenti (konvegen) adalah +1 - < ε dan y +1 - y < ε Kecepatan konvegensi lelaan titik-tetap ini dapat ditingkatkan. Nilai +1 yang bau dihitung langsung dipakai untuk menghitung y +1. Jadi, +1 = g 1 (, y ) y +1 = g 2 ( +1, y ) = 0, 1, 2,... (P.3.48) Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metode lelaan Seidel. Kondisi behenti (konvegen) adalah +1 - < ε dan y +1 - y < ε Untuk fungsi dengan tiga pesamaan nilanja, lelaan Seidel-nya adalah +1 = g 1 (, y, z ) y +1 = g 2 ( +1, y, z ) z +1 = g 3 ( +1, y +1, z ) = 0, 1, 2,... (P.3.49) Kondisi behenti (konvegen) adalah +1 - < ε dan y +1 - y < ε dan z +1 - z < ε 116 Metode Numeik

59 Contoh 3.16 [CHA91] Selesaikan sistem pesamaan nilanja beikut ini, f 1 (, y) = 2 + y -10 = 0 f 2 (, y) = y + 3y 2-57 = 0 (Aka sejatinya adalah = 2 dan y = 3) Penyelesaian: Posedu lelaan titik-tetapnya adalah = y y +1 = y 2 Beikan tebakan awal 0 = 1.5 dan y 0 = 3.5 dan ε = Tabel lelaannya: y +1 - y +1 - y Tenyata lelaannya divegen! Sekaang kita ubah pesamaan posedu lelaannya menjadi + 1 = 10 y y + 1 = 57 y Tebakan awal 0 = 1.5 dan y 0 = 3.5 dan ε = Hasilnya, y +1 - y +1 - y Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 117

60 Aka = y = Contoh 3.15 ini mempelihatkan bahwa konvegensi metode lelaan titik-tetap sangat begantung pada bentuk pesamaan posedu lelaan dan tebakan awal. Syaat pelu kekonvegenan untuk sistem dengan dua pesaman nilanja adalah g 1 + g 1 y < 1 dan g 2 + g 2 y < 1 di dalam selang yang mengandung titik tetap ( p, q ) Metode Newton-Raphson Ingatlah kembali bahwa metode Newton-Raphson dapat dituunkan dai deet Taylo, f( +1 ) f( ) + ( +1 - ) f '( ) dan kaena pesoalan mencai aka, maka f( +1 ) = 0, sehingga 0 = f( ) + ( +1 - )f '( ) atau +1 = ( ) '( ) f, f '( ) 0 f 118 Metode Numeik

61 Untuk fungsi dengan dua peubah, deet Taylo ode petama dapat dituliskan untuk masing-masing pesamaan sebagai u +1 = u + ( +1 - ) u + ( y +1 - y ) u y (P.3.50) dan v +1 = v + ( +1 - ) v + ( y +1 - y ) v y (P.3.51) Kaena pesoalan mencai aka, maka u +1 = 0 dan v +1 = 0, untuk membeikan u +1 + u y y +1 = - u + u + y u y v +1 + v y y +1 = - v + v + y v y Dengan sedikit manipulasi aljaba, kedua pesamaan teakhi ini dapat dipecahkan menjadi +1 = - u u v u + v y y v u v y y (P.3.52) dan y +1 = y + u u v v y u v u v y (P.4.53) Penyebut dai masing-masing pesamaan ini diacu sebagai deteminan Jacobi dai sistem tesebut [CHA91]. Metode Newton-Raphson dapat diampatkan (genealization) untuk sistem dengan n pesamaan. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 119

62 Contoh 3.17 [CHA91] Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencai aka f 1 (, y) = u = 2 + y -10 = 0 f 2 (, y) = v = y + 3y 2-57 = 0 dengan tebakan awal 0 =1.5 dan y 0 =3.5 Penyelesaian: u o y u o v o v o y = 2 + y = 2(1.5) = 6.5 = = 1.5 = 3y 2 = 3(3.5) 2 = = 1+ 6y = 1 + 6(1.5) = 32.5 Deteminan Jacobi untuk lelaan petama adalah 6.5(32.5) - 1.5(36.75) = Nilai-nilai fungsi dapat dihitung dai tebakan awal sebagai u 0 = (1.5) (3.5) - 10 = -2.5 v 0 = (3.5) 2 + 3(1.5)(3.5) 2-57 = Nilai dan y pada lelaan petama adalah = ( 2.5)( 32.5) ( ) = dan y 0 = 3.5 ( 2.5)( 36.75) ( ) = Apabila lelaannya diteuskan, ia konvegen ke aka sejati = 2 dan y = 3. Sepeti halnya metode lelaan titik-tetap, metode Newton-Raphson mungkin saja divegen jika tebakan awal tidak cukup dekat ke aka. Penggambaan kuva masingmasing pesamaan secaa gafik dapat membantu pemilihan tebakan awal yang bagus. 120 Metode Numeik

63 3.8 Contoh Soal Teapan Dalam suatu poses Teknik Kimia, campuan kabon monoksida dan oksigen mencapai kesetimbangan pada suhu 300 K dan tekanan 5 atm. Reaksi teoitisnya adalah CO + 1/2 O 2 CO 2 Reaksi kimia yang sebenanya tejadi dapat ditulis sebagai ( 1 ) CO + O 2 CO O 2 + (1 - ) CO 2 Pesamaan kesetimbangan kimia untuk menentukan faksi mol CO yang tesisa, yaitu, ditulis sebagai 1 2 ( 1 )( 3+ ) K p = 2 2 ( + 1) 1 p 1, 0 < < 1 yang dalam hal ini, K p = 3.06 adalah tetapan kesetimbangan untuk eaksi CO + 1/2 O 2 pada 3000 K dan P = 5 atm. Tentukan nilai dengan metode egula falsi yang dipebaiki. Penyelesaian: Pesoalan ini memang lebih tepat diselesaikan dengan metode tetutup kaena adalah faksi mol yang nilainya teletak antaa 0 dan 1. Fungsi yang akan dicai akanya dapat ditulis sebagai ( 1 )( 3+ ) f() = 2 2 ( + 1) 1 p dengan K p = 3.06 dan P =5 atm. - K p, 0 < < 1 Selang yang mengandung aka adalah [0.1, 0.9]. Nilai fungsi di ujung-ujung selang adalah f(0.1) = dan f(0.9) = yang memenuhi f(0.1) f(0.9) < 0. Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 121

64 Tabel lelaannya adalah: a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebanya [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [a, c] Hampian aka = Jadi, setelah eaksi belangsung, faksi mol CO yang tesisa adalah Hal-hal kecil membentuk kesempunaan, tetapi kesempunaan bukanlah hal yang kecil. (Michael Angello) Soal Latihan 1. Tahun 1225 Leonado da Pisa mencai aka pesamaan f() = = 0 dan menemukan = Tidak seoang pun yang mengetahui caa Leonado menemukan nilai ini. Sekaang, ahasia itu dapat dipecahkan dengan metode lelaan titik-tetap. Bentuklah semua kemungkinan posedu lelaan titik-tetap dai f() = 0, lalu dengan membeikaan sembaang tebakan awal (misalnya 0 = 1), tentukan posedu lelaan mana yang menghasilkan aka pesamaan yang ditemukan Leonado itu. 2. Apa yang tejadi jika pesaman 2 = 2 diatu sebagai +1 = 2/ dan metode lelaan titik-tetap digunakan untuk menemukan aka kuadat dai 2? 3. Tentukan titik potong kuva f() = e - dengan kuva g() = sin() dengan metode Newton-Raphson. 122 Metode Numeik

65 4. Tentukan selang sehingga sehingga posedu lelaan +1 = /2 - cos(2 ) konvegen di dalam selang itu ( dalam adian) 5. Pelihatkan bahwa semua aka 20-1 = 0 bekondisi baik. 6. Gunakan metode (i) bagidua (ii) egula-falsi untuk menemukan aka pesaman Leonado dalam selang [1, 1.5], dan juga dengan metode (iii) Newton-Raphson, 0 = 1 (iv) secant, 0 =1, 1 =1.5 Untuk semua metode, ε = Diketahui lingkaan 2 + y 2 = 2 dan hipebola 2 - y 2 = 1. Tentukan titik potong kedua kuva dengan metode lelaan titik-tetap (Soal ini adalah mencai solusi sistem pesamaan nilanja). 8. Dibeikan posedu lelaan +1 = 0.9 dan nilai awal 0 = 1. Menuut oang matematik, untuk =1, 2, 3,... = (0.9) -1 = (0.9)(0.9) -2 =... = (0.9) 0 = (0.9) dan menyimpulkan bahwa limit = 0 ~ Bagi oang numeik, haus ditanyakan telebih dahulu beapa banyak angka bena yang digunakan. Beapakah limit ~ menuut oang numeik bila digunakan: (a) satu angka bena (b) dua angka bena Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 123

66 (Petunjuk: lalukan sejumlah lelaan tanpa mempogamnya dengan kompute. Setiap pehitungan haus taat asas dengan jumlah angka bena yang digunakan) 9. Misalkan metode bagidua akan digunakan untuk menemukan aka dalam selang [-1,5]. Beapa kali selang haus dibagi dua untuk menjamin bahwa hampian c mempunyai ketelitian Dapatkah metode Newton-Raphson digunakan untuk memecahkan: (i) f() = 0 jika f() = 1/3 (ii) f() = 0 jika f() = (-3) 1/2 dan tebakan awal 0 = 4? Mengapa? 11. Bagaimana bentuk posedu lelaan Newton-Raphson untuk menghitung e (bilangan natual?) 12. Nilai acsin 1 dapat dihitung dai pesamaan sin() = 1 sin() - 1 = 0 Pesamaan ini mempunyai aka ganda dua di = π/2 (peiksa!). Tentukan aka ganda itu dengan: (a) metode Newton-Raphson baku (b) metode Newton-Raphson dengan fakto multiplisitas aka (c) metode Newton-Raphson yang dimodifikasi untuk menangani kasus aka g ganda 13. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menghitung (47) 1/4 sampai enam angka bena. 14. Pelihatkan bahwa bial metode Newton-Raphson diteapkan pada bemacammacam f() di bawah ini, maka posedu lelaannya akan mengaah pada pencaian a, untuk a > 0. (i) f() = 2 - a (ii) f() = 1 - a/ Misalkan f() = cos() (a) Tentukan posedu lelaan Newton-Raphsonnya 124 Metode Numeik

67 (b) Jika kita ingin menghitung aka = 3π/2, dapatkah kita gunakan tebakan awal 0 = 3? Mengapa? (c) Sepeti (b), bagaimana jika 0 = 5? Mengapa? Bab 3 Solusi Pesamaan Nilanja 125