UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR TANPA KENDALA NURUL HAQUEQY

Transkripsi

1 UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR TANPA KENDALA NURUL HAQUEQY SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton Pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kala adalah benar karya saya denganarahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2016 Nurul Haqueqy NIM G

4 RINGKASAN NURUL HAQUEQY. Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kala. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan IMAS SUKAESIH SITANGGANG. Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan proses industri. Prinsip utama dalam optimasi adalah untuk menentukan solusi terbaik yang optimal (maksimum/minimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan melalui fungsi objektif. Secara garis besar, optimasi memiliki masalah-masalah yang harus diselesaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan dalam optimasi dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika. Sehingga dapat dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan dan dapat dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Salah satu medote numerik yang dapat digunakan adalah metode Newton dan metode Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Metode Halley merupakan metode dengan kovergen orde ketiga yang mana metode ini memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan metode Newton. Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini adalah mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dengan metode Halley serta membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme baru dengan algoritme metode Newton untuk permasalahan optimasi nonlinear tanpa kala. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa perbandingan antara metode NTH dengan beberapa metode yang diujikan memperlihatkan bahwa hasil yang diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih baik. Sedangkan dari aspek running time metode NTH membutuhkan waktu yang cukup lama dibandingkan dengan metode lain yang proses pencarian akarnya hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi. Jika dibandingkan dengan metode kombinasi lain yang melakukan dua kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi, waktu yang digunakan oleh metode NTH dalam mencari nilai akar lebih cepat. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode NTH memperlihatkan bahwa nilai akar yang diperoleh menggunakan sembilan fungsi yang diujikan hampir secara keseluruhan mekati true value. Tetapi pada persamaan = sin + exp[ cos sin] 28, hasil nilai akar yang diperoleh menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan true value memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat perbedaan nilai akar antara true value dengan metode NTH maka hasil yang diperoleh tidak terlalu berbeda signifikan. Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi dalam penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk pencarian nilai akar dari fungsi nonlinear. Kata kunci : jumlah iterasi, metode Halley, metode Newton, optimasi, running time.

5 SUMMARY NURUL HAQUEQY. Computational Test Varian Newton s Method Algorithm on Non-Linear Optimization Problems Without Constraint. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and IMAS SUKAESIH SITANGGANG. Optimization is a way that can be done when working in the field of experimental science and engineering, which includes mathematical functions, and process industries. The mains principle in the optimization is to determine the best solution is optimal (maximum/minimum) of a goal objective function that modeled. In generally, optimization problems have to be solved. To resolve the optimization problem can be done by using numerical methods. The numerical method is a technique used for formulating a mathematical problem. So That can be solved using arithmetic operations and made into the form of algorithms that calculated quickly and easily. One of the numerical methods can be used Newton's method and Halley's method. Newton's method is one of the best methods to determine the root of the solution of nonlinear equations. Newton's method often converges quickly, especially if iteration begins quite close to the root. Halley s method is a third-order convergent method which the convergence of this method has an order higher than the Newton s method. The purpose of this research to combine the Newton's method, Halley's method, Rules Trapezoid and computational comparing test results between the new algorithm with Newton s method for nonlinear optimization problem without constraints. The results of this study indicate that the comparison between the NTH s method with some methods that were tested showed that NTH method is superior terms of the number of iterations. But, NTH's method has required a long time of running time compared with the process of finding the root another method which made only one evaluation function. When compared to other combination methods that perform two times of the evaluation function in one iteration, the running time taken by NTH's method for finding the root of value is more quickly. Results obtained by using the NTH s method shows that the root value obtained using the tested nine functions almost as a whole closer to the true value. But the equation = sin + exp[ cos sin] 28, results of root value obtained using each method tested with true value show the difference quite clearly. If the views, the difference in value between the true root NTH's method, the results are not too different significantly. Therefore, the results obtained by a computational test in this study indicate that the combination of algorithmic Newton s method, Trapezoid Rule and Halley s method (NTH) both used to search root value of a nonlinear function. Keywords : Halley s method, Newton s method, number of iteration, optimization, running time.

6 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

7 UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR TANPA KENDALA NURUL HAQUEQY Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Ilmu Komputer SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT

9

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai laporan penelitian yang telah dilakukan penulis sejak bulan januari 2016 dengan judul Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kala Alhamdulillah atas bimbingan dan petunjuk dari Allah Subhana wa ta'ala serta bimbingan dari semua pihak, penyusunan tugas akhir ini dapat diselesaikan. Tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada: 1. Ayah, Ibu serta kakak-kakak yang selalu moakan, memberi nasihat, kasih sayang, semangat, dan dukungan sehingga penelitian ini bisa diselesaikan dengan baik. 2. Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dr Imas Sukaesih Sitanggang, SSi MKom selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu bersedia membantu, memberi saran, masukan dan ide-ide dalam penelitian ini. 3. Bapak Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT selaku dosen penguji atas kesediannya sebagai penguji pada tugas akhir. 4. Teman-teman mahasiswa Magister Ilmu Komputer angkatan 2014 yang selama dua tahun ini telah bersedia berbagi ilmunya selama masa perkuliahan dan pelaksanaan penelitian. 5. Departemen Ilmu Komputer IPB, staf dan dosen yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan hingga penelitian. Semoga tesis ini dapat bermanfaat. Bogor, Agustus 2016 Nurul Haqueqy

11 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 2 Tujuan Penelitian 2 Manfaat Penelitian 3 2 TINJAUAN PUSTAKA 3 Optimasi Matematik 3 Definisi Orde Konvergesi 3 Metode Newton Raphson 3 Metode Newton Halley 4 Metode Newton Trapesium Secant 5 Metode Newton Trapesium 5 Metode Trapesium Halley 6 Metode Halley 6 3 METODE 7 Tempat dan Waktu Penelitian 7 Perangkat Penelitian 7 Tahapan Penelitian 7 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 9 Studi Literatur 9 Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley 9 Pembuatan Algoritme 10 Implementasi Algoritme 11 Pengujian Komputasi 11 5 SIMPULAN DAN SARAN 17 Simpulan 17 Saran 17 DAFTAR PUSTAKA 17 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 33 vi vi vi

12 DAFTAR TABEL 1 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi Perbandingan nilai akar masing-masing metode dengan tolerans10 14 DAFTAR GAMBAR 1 Tahapan penelitian 8 2 Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a) dengan = 1 toleransi 10 dan (b) dengan = 3 toleransi Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a) dengan = 2toleransi 10 dan (b) dengan = 1 toleransi Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a) dengan = 2.5 toleransi 10 dan (b) dengan = 1.5 toleransi Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a) dengan = 2 toleransi 10 dan (b) dengan = 5 toleransi Perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan = 3.25 toleransi DAFTAR LAMPIRAN 1 Implementasi setiap metode menggunakan Matlab 20 2 Tabel perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi Tabel perbandingan jumlah iterasi untuk masing-masing metode dengan toleransi Tabel perbandingan nilai akar masing-masing metode untuk toleransi Grafik perbandingan jumlah iterasi dan running time masing-masing metode untuk toleransi 10 31

13 1 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan proses industri untuk mapatkan metode analisis baru (Cerdà et al. 2015). Prinsip utama dalam pemodelan optimasi adalah menentukan solusi terbaik yang optimal (minimum/maksimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan melalui fungsi objektif. Secara garis besar, masalah dalam optimasi dikategorikan menjadi dua bagian, yaitu masalah optimasi dengan kala dan masalah optimasi tanpa kala. Masalah optimasi tanpa kala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan. Sedangkan masalah optimasi dengan kala merupakan masalah pengoptimuman fungsi objektif yang memiliki batasan atau kala. Penyelesaian dalam fungsi optimasi dibagi menjadi dua yaitu penyelesaian fungsi optimasi dengan analitik dan penyelesaian fungsi optimasi dengan pekatan numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa. Penyelesaian menggunakan metode numerik biasanya melibatkan proses iterasi. Apabila proses iterasi dilakukan menggunakan perhitungan matematis, maka akan membutuhkan waktu yang lama dan memungkinkan terjadinya human error. Pemecahan masalah dalam suatu pemrograman merupakan sebuah tujuan dalam proses pembuatan sebuah program. Dalam pemecahan masalah tersebut, terdapat dua macam jenis pemrograman, yaitu pemrograman linear dan pemrograman nonlinear. Pemrograman nonlinear adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model matematika, yang memuat fungsi tujuan dan fungsi kala berbentuk nonlinear yaitu pangkat dan variabelnya lebih dari satu. Hal yang membedakan pemrograman nonlinear dengan linear adalah fungsi tujuan dan fungsi kala yang diasumsikan linear untuk masalah-masalah tertentu. Masalah-masalah pemrograman nonlinear dapat dikembangkan dalam berbagai macam model, di antaranya masalah pemrograman nonlinear umum yang memuat fungsi tujuan dan fungsi kala dan masalah pemrograman nonlinear tanpa kala yang tentunya hanya memuat fungsi tujuan yang akan dioptimalkan. Untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinear terdapat banyak metode dan algoritme yang dapat digunakan, tetapi setiap metode dan algoritme mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan apabila perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan (Utami et al. 2013). Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan dan dapat dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Ada banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear maupun nonlinear, di antaranya metode Newton dan metode Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear (Sanchez 2009). Metode Newton sering

14 2 konvergen dengan cepat menurut Kumar et al. (2012), terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Metode Halley siri merupakan metode dengan konvergen orde ketiga (Narang et al. 2015) dimana metode ini berarti memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode Newton. Para peneliti umumnya berusaha untuk menemukan metode dengan algoritme yang paling efektif dan efisien untuk dapat menyelesaikan masalah optimasi linear maupun nonlinear. Seperti yang telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) yang mengembangkan metode Newton dengan cara memodifikasi metode Newton dan Aturan Trapesium. Modifikasi metode Newton dengan Aturan Trapesium menghasilkan konvergen orde ketiga. Adapun metode Newton siri masih menghasilkan konvergen orde kedua. Sehingga modifikasi metode ini menghasilkan iterasi yang lebih sedikit apabila dibandingkan dengan metode Newton. Homeier (2005) melakukan penelitian mengenai metode Newton dengan menggunakan fungsi invers. Ini juga merupakan modifikasi dari metode Newton. Penelitian ini menghasilkan metode dengan konvergen orde ketiga. Jain (2013) melakukan modifikasi pada metode Newton yang sebelumnya telah dilakukan oleh Homeir dan Weerakoon dengan menambahkan metode Secant ke dalam metode Newton dengan Aturan Trapesium dan metode Newton dengan menggunakan fungsi invers. Penelitian ini menghasilkan metode Secant Trapesium Newton dan metode Secant Invers Newton dengan konvergen orde keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi metode Halley dan menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley sehingga menghasilkan metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima. Oleh karena itu, dengan kelebihan dan kekurangan yang dimiliki oleh masing-masing metode Newton dan metode Halley dalam menyelesaikan permasalahan persamaan linear maupun nonlinear, maka pada penelitian ini akan diusulkan metode kombinasi antara varian metode Newton dengan Aturan Trapesium yang telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) dan metode Halley. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, penelitian ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Bagaimana mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley? 2. Bagaimana perbandingan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme metode Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear? Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley, 2. Membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme metode Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear.

15 3 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah agar dapat menghasilkan suatu metode baru dengan algoritme yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nonlinear tanpa kala sehingga mapatkan hasil yang akurat dan iterasi yang lebih sedikit. 2 TINJAUAN PUSTAKA Optimasi Matematik Optimasi matematik sering disebut dengan nonlinear programing, pemrograman matematika atau optimasi numerik. Istilah optimasi matematik dapat dijelaskan sebagai suatu ilmu untuk menentukan solusi terbaik secara matematik pada suatu permasalahan. Pada umumnya optimasi matematik menurut Snyman (2005) adalah proses dari : (i) Formulasi (ii) Solusi dari masalah optimasi dibatasi dari bentuk umum matematik : Meminimumkan, = [,,, ] R harus memenuhi kala : 0, = 1,2,, (1) h = 0, = 1,2,, dimana, dan h adalah fungsi skalar, pada komponen disebut dengan desain variabel, adalah fungsi tujuan, disebut fungsi kala dan h disebut dengan fungsi kala kesetaraan. Defenisi Orde Konvergensi Misalkan adalah akar dari persamaan nonlinear dan adalah barisan yang konvergen ke, definisikan nilai error sebagai berikut (Chavnov 2012): = (2) Untuk besar memiliki hubungan penaksiran : + 1 = (3) Nilai disebut orde konvergensi, dengan adalah konstanta positif. Metode Newton Raphson (N) Nilai minimum terjadi apabila = 0, berarti solusi yang dapat diberikan adalah sebagai berikut (Snyman 2005): =, diberikan "( ) = > 0 (4)

16 4 Jika f (x) memiliki bentuk yang lebih umum, maka solusi yang diberikan tidak memungkinkan secara umum. Dalam hal ini, solusi dapat diperoleh secara numerik melalui algoritme Newton Raphson. Diberikan sebuah pekatan, maka menghitung nilai iterasinya adalah : = ; = 0, 1, 2, (5) Diharapkan lim =, adalah iterasi konvergen, dalam hal ini merupakan solusi numerik yang cukup akurat untuk diperoleh dengan jumlah iterasi yang terbatas. Metode Newton Halley (NH) Metode iterasi merupkan metode untuk menemukan akar sederhana dari persamaan nonlinear (Noor et al. 2007) : = 0 (6) Asumsikan bahwa α merupakan akar sederhana dari persamaan (6) dan γ adalah tebakan awal yang cukup dekat dengan α. Dengan menggunakan deret taylor (Noor et al. 2007): (γ) + (γ)( ) + " (γ) + = 0 (7) Dimana γ adalah tebakan awal. Dari persamaan (7), diperoleh (Noor et al. 2007): = γ Persamaan ini dapat digunakan untuk metode iterasi selanjutnya (Noor et al. 2007). Langkah 1. Untuk nilai yang diberikan, hitung solusi akar dengan skema iterasi = Persamaan (9) merupakan metode Newton yang memiliki orde kekonvergenan dua. Dari persamaan (7) juga diperoleh = γ (10) " Persamaan (10) memperlihatkan metode iterasi yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan nonlinear. Langkah 2. Untuk nilai yang diberikan, hitung solusi akar dengan skema iterasi = " (11) Persamaan (11) merupakan metode Halley yang memiliki orde kekonvergenan kubik. Noor (2007) mengusulkan metode dua langkah, dengan menggunakan langkah 1 sebagai prediktor dan langkah 2 sebagai korektor. Langkah 3. Untuk nilai yang diberikan, hitung solusi akar dengan skema iterasi! (8) (9)

17 5 = =, (12) " (13) Metode Newton Trapesium Secant (NTS) Jain (2013) pada penelitiannya menggunakan kombinasi metode secant dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) yaitu Aturan Trapesium dan Homeier (2005) yaitu fungsi invers. Jain (2013) mapatkan formula yang disebut dengan metode secant trapesium Newton dan metode secant invers Newton. Adapun bentuk modifikasi dari metode Secant Trapesium Newton (Jain 2013): = ( ) (14) dimana dengan = = ( ) ( ) Pada modifikasi metode Jain, tahapan yang dilakukan adalah menghitung metode Newton terlebih dahulu, hasil dari metode Newton berupa titik. Tahapan selanjutnya, titik disubstitusikan ke metode Aturan Trapesium. Hasil dari Aturan Trapesium berupa titik. Tahap akhir adalah titik yang merupakan hasil dari Aturan Trapesium akan disubstitusikan kembali ke metode Secant seperti terlihat pada persamaan 14. Metode Newton Trapesium (NT) Metode Newton dengan Aturan Trapesium diperkenalkan oleh Weerakoon et al (2000). Metode ini merupakan varian metode Newton dengan hasil berupa orde konvergen yang lebih tinggi daripada metode Newton siri. Sehingga dalam melakukan pemecahan masalah untuk optimasi akan menggunakan iterasi yang lebih sedikit (Weerakoon 2000). Langkah pertama dengan teorema Newton, = + (17) pada skema diusulkan dengan menggunakan Aturan Trapesium ABCD, ( )[ + ] (18) sehingga persamaan yang ekivalen dengan persamaan : = ( ) + ( )( ) (19) adalah = + ( )[ + ] (20) Diketahui bahwa tidak hanya model dan turunan model yang sepapat dengan fungsi f(x) dan fungsi turunan f (x), tetapi juga turunan kedua dari model dan turunan kedua dari fungsi menyetujui iterasi x=. Walaupun model dari (15) (16)

18 6 metode Newton sesuai dengan nilai dari kemiringan sebuah fungsi, ini bukan berarti juga sesuai dengan kurva dari fungsi ". Lakukan iterasi selanjutnya sebagai dasar dari model persamaan (21) 0, + 1 [ + ] = 0 2 = (22) [ ] jelas terlihat bahwa hal ini merupakan skema implisit, yang harus memiliki turunan dari fungsi pada ( + 1) tahapan iterasi untuk menjumlahkan ( + 1) iterasi itu siri. Ini dapat diatasi dengan memanfaatkan tahapan iterasi Newton untuk menghitung ( + 1) pada sisi kanan. Maka hasil dari skema baru adalah : =, n = 0, 1, 2,..., dimana =. (23) [ ( )] Metode Trapesium Halley (TH) Metode Halley merupakan metode dengan konvergen orde ketiga untuk akar sederhana dan memerlukan turunan kedua fungsi yang terkadang memerlukan cost yang besar untuk memperolehnya (Putra et al. 2012). Untuk kombinasi metode TH dilakukan dengan menghitung metode Aturan Trapesium pada persamaan 24 (Weerakoon 2000) : = (24) [ ] dan disubstitusikan dengan menggunakan metode Halley seperti yang terlihat pada persamaan 25 (Noor et al. 2007): ( = ) ( ) (25) ( ) ( ) " ( ) Metode Halley Metode Halley merupakan metode dengan algoritme orde ketiga. Algoritme tersebut memiliki konvergen orde ketiga yang mana jumlah signifikan digit akhirnya sebanyak tiga untuk setiap kali iterasi. Metode Halley tidak hanya melakukan turunan pertama dari orde ketiga iterasi fungsi, tetapi berlanjut pada turunan kedua (Scavo dan Thoo 1994). S eperti yang diketahui bahwa metode Newton merupakan metode iteratif untuk menghitung pekatan dari akar dengan menggunakan persamaan 26 (Scavo dan Thoo 1994): =, = 0,1, (26) Berdasarkan persamaan 26 yang diturunkan menggunakan deret taylor polynomial tingkat pertama, maka diperoleh rumus metode Halley dengan menggunakan turunan dari deret taylor polinomial tingkat dua seperti pada persamaan 27 (Scavo dan Thoo 1994) : ( ) ( ) = (27) ( ( )) ( ) ( )

19 7 3 METODE Tempat dan Waktu Penelitian Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Januari 2016 sampai dengan bulan Juni Lokasi penelitian bertempat di Institut Pertanian Bogor (IPB), Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Departemen Ilmu Komputer, Laboratorium Computer Intelligent (CI). Perangkat Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat keras dan perangkat lunak sebagai berikut : Perangkat keras berupa komputer personal dengan spesifikasi : ProcessorIntel (R) Pentium (R) CPU B970@2.30Ghz RAM 2 GB Mouse dan keyboard Perangkat lunak yang digunakan adalah : Sistem operasi windows 7 Ultimate 32-bit Microsoft Excel 2013 untuk pegolahan data Matlab R2010b ver untuk implementasi algoritme dan pengujian komputasi Tahapan Penelitian Dalam penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan, seperti yang akan dijelaskan pada Gambar 1. Gambar 1 Diagram alur penelitian Studi Literatur Pada tahapan ini akan dilakukan studi literatur mengenai penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya mengenai metode yang akan

20 8 digunakan yaitu metode Newton dan metode Halley beserta kelebihan dan kekurangan masing-masing yang dimiliki oleh metode tersebut. Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley Tahap ini akan dilakukan kombinasi varian metode Newton dan Aturan Trapesium yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) : =, n = 0, 1, 2,..., dimana =. (28) [ ( )] dengan metode optimasi lainnya yaitu metode Halley. ( = ) ( ) (29) ( ( )) ( ) ( ) Kombinasi dilakukan dengan cara mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari satu metode ke metode lainnya. Pembuatan Algoritme Metode Kombinasi Pada tahap ini, kombinasi metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley akan dibentuk kesebuah algoritme baru untuk penyelesaian masalah optimasi nonlinear tanpa kala. Implementasi Algoritme Metode Kombinasi Implementasi algoritme dilakukan dengan cara menginputkan algoritme baru dan mengimplementasikannya menggunakan software yang dapat digunakan untuk menjalankan algoritme ini. Pengujian Komputasi Pada tahap ini akan dilakukan uji komputasi dengan menggunakan algoritme metode Newton dan algoritme baru yang dilakukan dari hasil kombinasi metode dengan menggunakan beberapa fungsi nonlinear (Weerakoon dan Fernando 2000) : sin cos ( 1) 1 10 exp sin + 3 cos + 5 sin + exp[ cos sin] 28 exp( ) 1 Hal ini dilakukan untuk melihat kelebihan dan kekurangan yang dimiliki oleh masing-masing algoritme metode berdasarkan jumlah iterasi yang digunakan, running time dan pekatan hasil yang diperoleh.

21 9 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Literatur Pada penelitian ini dilakukan studi literatur mengenai metode Newton dan metode Halley. Dalam beberapa studi literatur yang ditemukan, terdapat beberapa kombinasi metode menggunakan metode Newton dan metode Halley. Weerakoon dan Fernando (2000) melakukan modifikasi metode Newton dan Aturan Trapesium (NT) sehingga menghasilkan metode baru dengan penggunaan jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode Newton, serta menghasilkan konvergen orde ketiga. Jain (2013) melakukan modifikasi metode Newton yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) dengan menambahkan metode Secant ke dalam metode Newton dengan Aturan Trapesium. Penelitian ini menghasilkan metode Newton Trapesium Secant (NTS) dengan konvergen orde keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi metode Halley dan menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley sehingga menghasilkan metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima. Narang et al. (2000) menyatakan bahwa metode Halley merupakan metode numerik dengan konvergen orde ketiga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Halley memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan metode Newton yang memiliki konvergen orde kedua. Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley Pada penelitian ini dilakukan kombinasi metode dengan menggunakan beberapa metode iterasi, yaitu metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley yang bertujuan untuk mencari akar dari suatu fungsi nonlinear. Kombinasi metode ini, setiap iterasinya dilakukan tiga kali evaluasi fungsi dengan cara menggabungkan ketiga metode tersebut. Langkah pertama untuk setiap satu kali iterasi dimulai dengan menggunakan metode Newton seperti persamaan (Luenberger dan Ye 2008) : = (30) dengan = adalah titik tebakan awal dan merupakan turunan pertama fungsi dengan mensubstitusikan titik tebakan awal. Pemilihan metode Newton sebagai fungsi pertama pada kombinasi ini dikarenakan metode Newton tidak memerlukan cost yang besar dalam pencarian akar. Tahap selanjutnya, akar yang diperoleh dari langkah pertama akan disubstitusikan ke dalam formula Aturan Trapesium seperti berikut (Weerakoon dan Fernando 2000): = [ ( )] (31) dimana pada ( ) merupakan hasil dari metode Newton yang telah dilakukan sebelumnya. Sampai pada tahap ini telah dilakukan penelitian

22 10 sebelumnya oleh (Weerakoon dan Fernando 2000), dengan mengkombinasikan metode Newton dan Aturan Trapesium. Metode yang dikembangkan oleh Weerakoon dan Fernando ini menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan menggunakan metode Newton tanpa kombinasi dan menghasilkan konvergen orde ketiga. Dan pada tahap terakhir untuk setiap satu kali iterasi akan ditambahkan dengan menggunakan formula metode Halley. Metode Halley merupakan salah satu metode iterasi dengan konvergen orde ketiga. Formula metode Halley akan disubtitusikan pada persamaan (32) = ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) (32) dengan merupakan hasil yang diperoleh dari kombinasi metode Newton dan Aturan Trapesium. Pembuatan Algoritme Dalam pembuatan algoritme metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley, diperlukan beberapa tahapan, yaitu : Langkah 1. Definisikan fungsi Langkah 2. Inputkan titik tebakan awal R Langkah 3. Inputkan batas toleransi 0 < < 1 Langkah 4. Inputkan batas maksimum iterasi Langkah 5. Hitung = Hitung = [ ] ( ) ( ) Hitung = ( ( )) ( ) ( ) Langkah 6. Hitung < atau jika jumlah iterasi mencapai batas maksimum maka berhenti, jika tidak kembali ke langkah 5. Langkah yang dilakukan dalam algoritme metode NTH adalah mefiniskan, yang selanjutnya dilakukan peng-input-an titik tebakan awal. Dilanjutkan dengan meng-input-kan batas toleransi dan batas maksimum iterasi. Setelah itu dilakukan perhitungan masing-masing metode yang dimulai dengan metode Newton. Hasil yang diperoleh dari metode Newton disubtitusikan ke persamaan selanjutnya, yaitu persamaan Aturan Trapesium. Hasil yang diperoleh dari perhitungan Aturan Trapesium, akan disubtitusikan kembali ke metode Halley. Proses perhitungan ini akan terus berlanjut sampai kriteria pemberhentian terpenuhi. Pada dasarnya untuk menentukan solusi numerik mempunyai kriteria pemberhentian adalah sama untuk semua metode. Salah satu kriteria untuk pembatasan proses iterasi program komputasi atau uji konvergesi adalah selisih dua nilai atau titik terakhir yang disimbolkan dengan < selain itu, dapat menggunakan nilai fungsi yaitu < (Sharma

23 ). Ketika salah satu kriteria terpenuhi maka proses iterasi komputasi akan berhenti. Algoritme metode Newton Trapesium Halley (NTH) membutuhkan titik tebakan awal yaitu untuk menyelesaikan suatu fungsi persamaan. Semakin dekat titik tebakan awal yang digunakan, maka akan semakin sedikit jumlah iterasi dan semakin kecil running time yang diperlukan. Selanjutnya menginputkan batas toleransi untuk menentukan tingkat ketelitian dari hasil yang diperoleh. Semakin kecil nilai toleransi yang digunakan, maka hasil yang diperoleh akan semakin mekati nilai eksak. Implementasi Algoritme Implementasi algoritme varian metode Newton Trapesium Halley (NTH) dilakukan dengan cara menginputkan algoritme metode ke sebuah software. Hal ini dilakukan untuk mempermudah pengujian komputasi terhadap metode-metode yang akan diujikan. Hasil yang diperoleh dari tahap pembuatan algoritme metode NTH diimpelementasikan ke dalam sebuah program. Untuk lebih lengkapnya, implementasi algoritme NTH dapat dilihat pada Lampiran 1. Pengujian Komputasi Pengujian komputasi dilakukan dengan menggunakan beberapa fungsi nonlinear standar yang telah digunakan oleh peneliti sebelumnya dengan menginput-kan dua buah nilai toleransi yang berbeda, yaitu 10 dan 10. Hal ini dilakukan untuk membandingkan seberapa jauh perbedaan antara jumlah iterasi dan running time yang dihasilkan. Metode yang digunakan pada pengujian komputasi menggunakan delapan metode, yaitu metode Newton (N), metode Halley (H), Aturan Trapesium (T), metode kombinasi Newton Trapesium Halley (NTH), Newton Halley (NH), Newton Trapesium Secant (NTS), Newton Trapesium (NT) dan Trapesium Halley (TH). Untuk setiap fungsi dilakukan pengujian komputasi dengan menggunakan titik tebakan awal yang berbeda. Fungsi yang digunakan sebelumnya telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Pada persamaan menggunakan titik tebakan awal dengan = 0.5, 1, 2, 0.3, persamaan dengan = 1, 3, persamaan dengan = 2, 3, persamaan dengan = 1, 1.7, 0.3, persamaan dengan = 3.5, 2.5, persamaan dengan = 1.5, persamaan dengan = 2, persamaan dengan = 5 dan dengan = 3.5, Running time dan jumlah iterasi yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 1.

24 12 Tabel 1 Perbandingann running time metode dengan toleransi 10 Running Time (ms) N H T NTH NH NTS NT Jumlah TH Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa metode yang diusulkan dalam penelitian ini, yaitu metode NTH menghasilkan running time yang cukup besar jika dibandingkan dengan metode Newton dan metode Trapesium pada penggunaan toleransi 10. Tetapi jika dibandingkan dengan metode lainnya yang juga merupakan metode kombinasi, running time yang dihasilkan oleh metode NTH secara umum terlihat jauh lebih kecil. Secara garis besar, dapat terlihat metode NTS menghasilkan running time yang lebih besar dibandingkan dengan metode lainnya. Jika dijumlahkan untuk semua fungsi yang digunakan, running time yang diperoleh oleh metode NTS adalah ms. Metode usulan yaitu metode NTH, memperoleh jumlah running time untuk keseluruhan fungsi adalah ms. Running time yang dihasilkan terlihat lebih sedikit dari beberapa metode lainnya yaitu metode N dengan ms, metode H dengan ms, metode T dengan ms, metodee NH dengan ms dan metode NT dengan ms. Untuk metode TH siri menghasilkan running time yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode lainnya. Running time yang dihasilkan dipengaruhi oleh banyaknya evaluasi fungsi yang dilakukan dalam satu kali iterasii dan besar cost yang dihasilkan pada setiap metode kombinasi. Untuk hasil yang diperoleh dengan menggunakan toleransi 10 tidak jauh berbeda dengan penggunaan toleransi 10 yang dapat dilihat pada Lampiran 2. Tetapi jumlah running time yang diperoleh dengan menggunakan metode usulan NTH lebih baik daripada metode lainnya dengan hasil ms. Metode NTS menghasilkan running time yang lebih besar dibandingkan metode lainnya, yaitu ms. Sedangkan

25 13 metode N dengan ms, metode T dengan ms, metode NH dengan ms, metode NT dengan ms dan metode TH dengan ms. Tabel 2 menujukkan perbandingan jumlah iterasi dengan menggunakan toleransi 10. Tabel 2 Perbandingan jumlah iterasi menggunakan toleransi 10 Jumlah Iterasi N T H NTH TH NH NTS NT Jumlah Berdasarkan Tabel 2 jumlah iterasi yang diperoleh oleh masing-masing metode manggunakan toleransi 10, dapat dilihat secara keseluruhan bahwa metode yang diusulkan yaitu metode NTH menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode lainnya dengan 49 iterasi. Sedangkan metode Newton siri menghasilkan jumlah iterasi yang paling banyak diantara semua metode dengan jumlah 264 iterasi. Penggunaan titik tebakan awal dan batas toleransi sangat berpengaruh. Jika titik tebakan awal yang digunakan mekati nilai sebenarnya, maka jumlah iterasi yang diperoleh akan semakin sedikit. Batas toleransi juga mempengaruhi proses pencarian akar, jika kriteria pemberhentian proses iterasi belum terpenuhi yaitu < maka proses pencarian solusi akan terus berjalan sampai kriteria pemberhentian proses iterasi terpenuhi. Perbandingan jumlah iterasi yang dihasilkan oleh masingmasing metode juga dilakukan dengan menggunakan toleransi 10, dapat dilihat pada Lampiran 3. Jumlah iterasi yang dihasilkan dengan penggunaan toleransi 10 juga memperlihatkan bahwa metode NTH menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dengan jumlah iterasi untuk semua fungsi yang diberikan adalah 60 iterasi. Metode N dengan hasil 300 iterasi, metode T dengan 662 iterasi, metode H dengan 175 iterasi, metode TH dengan 59 iterasi, metode NH dengan

26 14 90 iterasi, metode NTS dengan 62 iterasi dan metode NT dengan 206 iterasi. Pada Tabel 3 menunjukkan perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10. Tabel 3 Perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10 Nilai Akar True Value N H T NTH NH NTS NT TH Tabel 3 memperlihatkan perbandingan nilai akar yang dihasilkan masingmasing metode dengan true value menggunakan toleransi 10. True value yang digunakan pada penelitian ini berdasarkan hasil yang telah diperoleh oleh penelitian sebelumnya, yaitu penelitian yang dilakukan oleh Weerakoon (2000). Secara umum terlihat bahwa nilai akar yang dihasilkan dengan melakukan uji komputasi metode tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan dengan true value. Pada terlihat perbedaan nilai akar yang cukup jauh antara true value dan hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi pada masing-masing metode. Tetapi jika dilihat dari metode usulan NTH untuk persamaan, hasil nilai akar yang diperoleh tidak terlalu jauh berbeda dengan nilai true value. Hal ini juga dapat dilihat dengan penggunaan toleransi 10 pada Lampiran 4. Hasil nilai akar yang diperoleh dengan menggunakan toleransi 10 pada persamaan, untuk masing-masing metode memperlihatkan perbedaan yang cukup jauh dengan true value. Tetapi pada hasil nilai akar yang diperoleh dengan menggunakan metode usulan NTH, memiliki selisih yang cukup kecil dengan true value. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode NTH merupakan salah satu metode yang baik untuk digunakan dalam pencarian akar untuk fungsi-fungsi yang sulit seperti persamaan. Perbedaan nilai akar yang diperoleh

27 15 menggunakan toleransi 10 tidak jauh berbeda dengan menggunakan toleransi 10. Gambar 2 sampai dengan Gambar 6 menunjukkan grafik perbandingan antara jumlah iterasi dan running time yang dihasilkan dengan melakukan percobaan uji komputasi menggunakan batas toleransi 10. Untuk grafik perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan menggunakan toleransi 10 dapat dilihat pada Lampiran 5. Perbandingan tersebut memperlihatkan bahwa running time tidak bergantung kepada jumlah iterasi yang dihasilkan. Hal ini terjadi karena masing-masing metode yang digunakan melakukan jumlah evaluasi fungsi kerja yang berbeda-beda untuk setiap masing-masing iterasi, sehingga mempengaruhi waktu yang digunakan untuk melakukan pencarian solusi. Untuk metode yang diusulkan yaitu metode NTH, running time yang dimiliki cukup besar dibandingkan beberapa metode lainnya seperti metode Newton dan metode Trapesium. Hal ini dikarenakan metode NTH melakukan tiga kali evaluasi fungsi sedangkan metode Newton dan metode Trapesium hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi untuk setiap iterasinya. Tetapi jika dilihat dari jumlah iterasi yang dihasilkan, penggunaan metode NTH terlihat lebih unggul dibandingkan metode-metode lainnya, termasuk metode Newton dan metode Trapesium yang memiliki running time lebih kecil dibandingkan dengan metode NTH. Running Time (ms) 0,016 0,014 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 NTS NTH TH NH H NT N Jumlah Iterasi T (a) (b) Gambar 2 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi 10 (a) dengan = 1 (b) dengan = 3 Running Time (ms) 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 NTS NTHNT H TH Jumlah Iterasi N T Running Time (ms) (a) (b) Gambar 3 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi 10 (a) dengan = 2 (b) dengan = 1 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 Running Time (ms) 0 0,01 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 NTS NTH NH TH NT H N Jumlah Iterasi NTH TH NH NTS T NT N Jumlah Iterasi H T

28 16 Running Time (ms) 0,016 0,014 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 NTS NTH TH NH H NT N 0 2,5 5 7, , ,5 20 Jumlah Iterasi T Running Time (ms) (a) (b) Gambar 4 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi 10 (a) dengan = 2.5 (b) dengan = 1.5 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 NTS TH NTH NH H NT Jumlah Iterasi N T Running Time (ms) 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 NTS NTH NH TH NT H N Jumlah Iterasi T (a) (b) Gambar 5 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi 10 (a) dengan = -2 (b) dengan = 5 Running Time (ms) 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 T NTH NH THNH T Gambar 6 Perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan toleransi 10 menggunakan dengan = 3.25 Running Time (ms) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 NTH 0 NTS NT Jumlah Iterasi NTS NH H Jumlah Iterasi TH NT N

29 17 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode Newton merupakan salah satu metode numerik terbaik yang digunakan untuk mencari nilai akar dari suatu fungsi. Akan tetapi pencarian solusi dengan menggunakan metode Newton masih menghasilkan jumlah iterasi yang cukup banyak. Oleh karena itu, pada penelitian ini diusulkan metode kombinasi Newton Trapesium Halley (NTH) untuk mencari nilai akar dari fungsi nonlinear. Perbandingan antara metode NTH dengan beberapa metode yaitu, metode Newton (N), metode Halley (H), metode Aturan Trapesium (T), metode Newton Halley (NH), metode Newton Trapesium Secant (NTS), metode Newton Trapesium (NT) dam metode Trapesium Halley (TH) memperlihatkan bahwa hasil pencarian solusi yang diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih bagus. Jika dilihat dari running time yang digunakan metode NTH membutuhkan waktu yang cukup lama dibandingkan dengan metode yang proses pencarian akarnya hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi. Tetapi apabila dibandingkan dengan metode kombinasi lain yang melakukan beberapa kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi, waktu yang digunakan oleh metode NTH dalam mencari nilai akar lebih cepat. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode NTH memperlihatkan bahwa nilai akar yang diperoleh menggunakan sembilan fungsi yang diujikan hampir secara keseluruhan mekati true value. Tetapi pada persamaan = sin + exp[ cos sin] 28, hasil nilai akar yang diperoleh menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan true value memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat pada perbedaan nilai akar antara true value dengan metode NTH tidak terlalu jauh. Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi dalam penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk pencarian nilai akar dari fungsi nonlinear. Saran Untuk penelitian selanjutnya, perlu dilakukan uji komputasi dengan fungsifungsi nonlinear lain dan kasus-kasus real yang dapat dipecahkan menggunakan metode numerik khususnya metode usulan yaitu metode NTH. DAFTAR PUSTAKA Chavnov JR Introduction to Numerical Method. The Hongkong University of Science and Technology, Hogkong :Creative Commons Attribution 3.0 Hong Kong Cerdà V, Cerdà JL, Idris AM Optimization using the gradient and simplex methods. Talanta. Doi : /j.talanta Cormen TH, Leiserson CE, Rivest RL, Stein C Introduction to Algorithm Third Edition. London, England : The MIT Press.

30 18 Homeier HHH On Newton-type Methods with Cubic Convergence. Journal of Computational and Applied Mathematic 176: Jain D Families of Newton-Like Methods with Fourth-Order Convergence. International Journal of Computer Mathematic 90(5): Kumar M, Singh AK, Srivastava A Various Newton-type Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations. Journal of the Egyptian Mathematic Society 21, Luenberger DG, Ye Y Linear and Nonlinear Programing Third Edition. Stanford, California: Springer. Narang M, Bathia S, Kanwar GV Newton two-parameter Chebyshev- Halley-like family of fourth and sixth-order methods for systems of nonlinear equation. Applied Mathematics and Computation 275 (2016) Noor MA, Khan WA, Hussain A A new modified Halley method without second derivatives for nonlinear equation. 189: Putra S, Agusni, Restu YP Kombinasi Metode Newton dengan Metode Iterasi yang Diturunkan Berdasarkan Kombinasi Linear Beberapa Kuadratur untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Sains, teknologi Industri. 10 (1): Sánchez MG Improving Order and Efficiency: Composition with a Modified Newton s Method. Journal of Computational and Applied Mathematics 231, Scavo TR, Thoo JB American Mathematical Monthly. Snyman JA Practical Mathematical Optimization. An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. University of Pretoria, Pretoria, South Africa : Springer. Utami NNR, Widan IN, Asih ND Perbandingan Solusi Sistem Persamaan Nonlinear Menggunakan Metode Newton-Raphson dan Metode Jacobian. E-jurnal Matematika 2(2): Weerakoon S, Fernando TGI A Variant of Newton Raphson s Method with Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letters 13:

31 LAMPIRAN

32 20 Lampiran 1 Implementasi setiap metode menggunakan Matlab Sintaks untuk metode Newton syms x; % fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun); z=diff(f(x)); s=diff(z); f1=inline(z); f2=inline(s); x0=input('input nilai X:'); toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:'); tic; y=x0; for i=1:max_iterasi x_new= y - [f(y)/f1(y)]; n(i)= x_new y = n(i); if i==1 else b = n(i)-n(i-1); c = abs(b); if (c <= toleransi) break; execution_time = toc

33 21 Lampiran 1 Lanjutan Implementasi setiap metode menggunakan Matlab Sintaks untuk Aturan Trapesium syms x; % fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun); z=diff(f(x)); s=diff(z); f1=inline(z); f2=inline(s); x0=input('input nilai X:'); toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:'); tic; y=x0; for i=1:max_iterasi x_trap= y - (2*f(y))/[f1(y)+f1(y+1)]; n(i)= x_trap y = n(i); if i==1 else b = n(i)-n(i-1); c = abs(b); if (c <= toleransi) break; execution_time = toc

34 22 Lampiran 1 Lanjutan Implementasi setiap metode menggunakan Matlab Sintaks untuk metode Halley syms x; % fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun); z=diff(f(x)); s=diff(z); f1=inline(z); f2=inline(s); x0=input('input nilai X:'); toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:'); tic; y=x0; for i=1:max_iterasi x_halley = y - [(2*f(y)*f1(y))/(2*(f1(y))^2-f2(y)*f(y))]; n(i)= x_halley y = n(i); if i==1 else b = n(i)-n(i-1); c = abs(b); if (c <= toleransi) break; execution_time = toc

35 23 Lampiran 1 Lanjutan Implementasi setiap metode menggunakan Matlab Sintaks untuk Aturan Trapesium Halley (TH) syms x; % fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun); z=diff(f(x)); s=diff(z); f1=inline(z); f2=inline(s); x0=input('input nilai X:'); toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:'); tic; y=x0; for i=1:max_iterasi x_trap= y - (2*f(y))/[f1(y)+f1(y+1)]; x_halley = x_trap-[(2*f(x_trap)*f1(x_trap))/(2*(f1(x_trap))^2- f2(x_trap)*f(x_trap))]; n(i)= x_halley y = n(i); if i==1 else b = n(i)-n(i-1); c = abs(b); if (c <= toleransi) break; execution_time = toc

36 24 Lampiran 1 Lanjutan Implementasi setiap metode menggunakan Matlab Sintaks untuk Newton Trapesium Secant (NTS) syms x; % fun = input ('input f(x): '); f=inline(fun); z=diff(f(x)); s=diff(z); f1=inline(z); f2=inline(s); x0=input('input nilai X:'); toleransi = input ('input nilai toleransi:'); max_iterasi = input ('input max iterasi:'); tic; y=x0; for i=1:max_iterasi x_new= y - [f(y)/f1(y)]; x_trap= y - (2*f(y))/[f1(y)+f1(x_new)]; x_sec= x_trap - [2*(x_trap-y)/(f(x_trap)-f(y))]*[f(x_trap)]; n(i)= x_sec y = n(i); check_fx = [f(y)]; if i==1 else b = n(i)-n(i-1); c = abs(b); if (c <= toleransi) (check_fx == 0) break; execution_time = toc