BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Densitas Definisi 2.1 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak kontinu, yang biasanya disebut fungsi densitas,yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real, bila: 1. 0, untuk semua < < (2.1) Contoh 2.1: Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi densitas, 1 < < 2 buktikan bahwa fungsi tersebut adalah fungsi densitas dan hitung 0 < < 1 Jawab 1 ] ] 0 < < Fungsi Kumulatif Definisi 2.2 (Walpole & Myers, 1989) Distribusi peluang kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu x dengan fungsi densitas f(x) diberikan: II-1

2 (2.2) Akibat persamaan diatas,maka: < < (2.3) dan / 2.3 Fungsi Kuantil Definisi 2.3: Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada himpunan bilangan real R jika (0,1) maka terdapat dengan tunggal sehingga maka disebut kuantil- dari F.Kuantil- dari F digunakan notasi. Fungsi kuantil dari F didefinisikan sebagai: inf { } (2.4) dengan (0,1) artinya adalah nilai terkecil dari dengan. Misalkan x mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari +, maka dapat dinyatakan sebagai:, > 0 (2.5) Fungsi kuantil juga didefinisikan sebagai invers dari kumulatif. 2.4 Statistik Berurut Secara umum, misalkan,,, varibel acak kontinu yang saling bebas dengan fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas. Notasi variabel acak yang terurut yaitu,,, dimana. dimana :,,,,,, Fungsi densitas peluang untuk dapat ditentukan dengan menggunakan metode fungsi distribusi kumulatif. Pertama kali kita akan menentukan fungsi densitas dari. Karena adalah maksimum dari II-2

3 ,,,, maka peritiwa ( ) akan terjadi jika dan hanya jika ( ) terjadi, untuk setiap 1,2,,, (,,, ) (2.6) Karena adalah saling bebas dan 1,2,,, hal ini menyatakan bahwa funsi distribusi kumulatif dari adalah sebagai berikut: ( (2.7) Misal [ ] dengan cara yang sama kita akan dapat menentukan fungsi densitas untuk sebagai berikut : 1 ( > ) (2.8) Karna adalah minimum dari,,,, maka hal ini menyatakan bahwa peristiwa > ) terjadi jika dan hanya jika peristiwa terjadi untuk 1,2,,. Karena saling bebas dan 1 untuk 1,2,,, kita lihat bahwa : 1 ( > ) 1 ( >, >,, > ) 1 > > ( > ) 1[1 ] (2.9) Misal adalah fungsi densitas, dengan menurunkan fungsi densitas kumulatif akan di peroleh : [1 ] (2.10) 2.5 Distribusi Peluang Definisi 2.4 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak kontinu, yang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real, bila : 1. 0, untuk semua 2. 1 II-3

4 3. < < (2.11) 2.6 Metode L-Moment Misalkan,,, adalah observasi dari n sampel acak dengan populasi kontinu dan memiliki fungsi kumulatif dan fungsi kuantil. Sederetan : : : adalah statistik berurut. L-Moment ke-r ditulis sebagai bagi populasi, didefinisikan sebagai: 1 ( 1) :, 1,2, (2.12) dengan : merupakan variabel acak bagi statistik berurut ke-( ) dari observasi dan :!!! 1 (2.13) atau : juga dapat tulis dalam notasi : : 1 (2.14) dengan didefinisikan sebagai: (2.15) dengan adalah fungsi kuantil. Dengan menggantikan persamaan (2.15) ke dalam persamaan (2.12), L-momen dalam notasi kombinasi linier gabungan linear, boleh ditulis sebagai: 1 (2.16) Empat L-momen rata, variasi, skewness dan kurtosis ialah II-4

5 dan rasio L-momen diperoleh sebagai berikut: L-koefisien variasi (LCV), L-koefisien skewness (LCS), L-koefisien kurtosis (LCK), Persamaan (2.12) hingga (2.19 ) adalah L-momen untuk populasi. Sedangkan Untuk sampel, misalkan,,, adalah observasi dari n sampel acak. L- momen sampel dapat ditulis sebagai berikut: 1 ; 0,1,, 1 dengan estimasi sebagai berikut : : Empat estimasi untuk L-momen untuk sampel dalam bentuk sebagai berikut :, dapat ditulis : : : : dan seterusnya, empat L-moment sampel dlm bentuk dapat ditulis sebagai rasio L-momen sampel adalah estimasi bagi. Adalah sebagai berikut: II-5

6 L-koefisien variasi (LCV), L-koefisien kepencongan (LCS), L-koefisien kurtosis (LCK), 2.7 L-Moment untuk Generalized Pareto berikut: Distribusi generalized pareto memiliki fungsi peluang densitas sebagai [ ] dan memiliki fungsi kuantil sebagai berikut: (1 ). Selanjutnya kita akan menentukan untuk distribusi generalized pareto: + (1 ) + (1 ). (2.17) misalkan: 1 1 Kemudian, (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1). (2.18) Subsitusikan persamaan (2.17) ke persamaan (2.18), maka didapatkan: + ( 1). (2.19) II-6

7 Sekarang untuk, Kemudian untuk : + Selanjutnya untuk : Kemudian untuk ( 1) Selanjutnya untuk, II-7

8 ( 1) / / Jadi untuk h : II-8

9 / / 2.8 Hujan Ekstrim Definisi 2.5: Hujan ekstrim adalah hujan maksimum pertahun. Data hujan maksimum pertahun diambil dari data hujan harian. Untuk mendapatkan data hujan maksimum pertahun atau data hujan ekstrim tersebut yaitu dengan melihat data yang paling maksimum pada data hujan harian pertahun. II-9