KUANTOR (Minggu ke-7)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KUANTOR (Minggu ke-7)"

Sonny Pranata
8 tahun lalu
Tontonan:

1 KUANTOR (Minggu ke-7) 1

2 4 Pendahuluan 1. Kuantor Universal: Untuk semua x berlaku atau Untuk setiap x berlaku. S P : Himpunan semua bilangan asli. 1. x > 1 merupakan kalimat terbuka 2. Untuk semua x berlakulah x > 1 merupakan kalimat deklaratif bernilai 2. Kuantor Eksistensial: Terdapat x sedemikian hingga atau Ada x sedemikian hingga S P : Himpunan semua bilangan asli 1. x > 1 merupakan kalimat terbuka 2. Terdapat x sedemikian hingga x > 1 merupakan kalimat deklaratif bernilai benar, sebab untuk x = 2 berlakulah x > 1. 2

3 Simbol Kuantor 1. Untuk semua x berlakulah x > 1 : ( x)p (x) - Semua x bersifat P - Setiap x mempunyai sifat P. - Untuk semua x berlaku sifat P. dengan sifat P : lebih besar daripada 1 2. Terdapat suatu x yang memenuhi (sifat) x > 1 ( x)p (x) - Terdapat x yang mempunyai sifat P - Beberapa x mempunyai sifat P. - Paling sedikit ada satu x yang mempunyai sifat P. 3

4 Perhatian: 1. Simbol kuantor mengikat lebih kuat dibandingkan kata penghubung lainnya. 2. Di bidang ilmu eksakta sifat-sifat (hukum-hukum) yang berlaku umum tidak jarang kuantor universal tidak ditulis Contoh: 1. ( x)p(x) (α β) yang dimaksud: (( x)p(x)) (α β) 2. x n 1 = (x 1)(x n 1 + x n ) seharusnya: ( x).x n 1 = (x 1)(x n 1 + x n ). 4

5 4.1 Kuantor Jamak S P himpunan semua bilangan real 1. ( x)( y)( y < x < y = x 2 < y 2 ). 2. ( x)( y)(x y = 0 = y + x). 3. ( x)( y)(x + y = y + x = y). 4. ( x)((x 0) = ( y)(xy = yx = 1)). Apa yang dimaksud? Bagaimana mengucapkannya? 5

6 4.2 Urutan, Sifat-sifat dan Hubungan Antar Kuantor Misalkan p adalah suatu predikat tertentu: 1. ( x)( y).p(x, y), juga ditulis: ( x, y).p(x, y). Dibaca : Untuk semua x dan y berlaku x dan y bersifat p. 2. ( x)( y).p(x, y). Dibaca : Untuk semua x terdapat y yang memenuhi x dan y bersifat p. 3. ( x)( y).p(x, y). Dibaca : Terdapat x yang memenuhi untuk semua y berlaku x dan y mempunyai sifat p. 4. ( x)( y).p(x, y), juga ditulis: ( x, y).p(x, y). Dibaca : Terdapat x dan y yang memenuhi sifat p. 6

7 Pertukaran Letak Kuantor Teorema 4.1 Teorema 4.2 Teorema 4.3 ( x)( y).q(x, y) ( y)( x).q(x, y). ( x)( y).q(x, y) ( y)( x).q(x, y). ( x)( y).q(x, y) = ( y)( x).q(x, y). Belum tentu berlaku sebaliknya Contoh: 1. ( x)( y)(x y = 0 = y + x), T 2. ( x)( y)(x y = 0 = y + x), F dengan S P himpunan semua bilangan nyata. 7

8 4.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor Ingkaran Semua x mempunyai sifat p : 1. Tidak benar semua x mempunyai sifat p, 2. Tidak semua x mempunyai sifat p Maknanya sama dengan kalimat Ada x yang tidak mempunyai sifat p. Teorema 4.4 ( x).p(x) ( x).p(x). 8

9 Contoh: S P : himpunan semua bilangan nyata, tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini: 1. ( x)(x 2 + 2x + 1 1) 2. ( x)( a x a = x 2 a 2 ) Penyelesaian: 1. ( x)x 2 + 2x Sama dengan: ( x)(x 2 + 2x + 1 1) Atau: ( x)(x 2 + 2x + 1 < 1) 2. ( x) a x a = x 2 a 2 Sama dengan: ( x) a x a x 2 a 2 Dengan kata lain: ( x)( a x a x 2 a 2 ) Mempunyai makna sama dengan: ( x)( a x a x 2 > a 2 ) 9

10 Teorema 4.5 ( x).p(x) ( x).p(x). Contoh: Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini: 1. Ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3, Dengan semesta himpunan bilangan nyata: ( x)(x 2 2x + 1 < 1) Penyelesaian: 1. Tidak ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85. Sama dengan: Semua mahasiswa IPK-nya tidak lebih besar daripada 3,85 Atau: Semua mahasiswa IPK-nya kurang dari atau sama dengan 3, ( x)x 2 2x + 1 < 1 Sama dengan: ( x)(x 2 2x + 1 < 1) Atau: ( x)(x 2 2x + 1 1) 10

11 4.4 Ingkaran Kuantor Jamak Teorema 4.6 Ingkaran kuantor jamak: 1. ( x)( y).p(x, y) ( x)( y).p(x, y) 2. ( x)( y).p(x, y) ( x)( y).p(x, y) 3. ( x)( y).p(x, y) ( x)( y).p(x, y) 4. ( x)( y).p(x, y) ( x)( y).p(x, y) Contoh: S P : Himpunan semua bilangan nyata. Tentukan ingkaran: 1. ( x)( y)(x + y = 0). 2. ( l)( ϵ)(ϵ > 0 = P (l, ϵ)) 3. ( x)( y)(x > y ( u)(u > 0 x = y + u)). 11

12 Penyelesaian: 1. Ingkaran dari: ( x)( y)(x + y = 0) adalah : ( x)( y)(x + y = 0) ( x)( y)(x + y = 0) ( x)( y)x + y = 0 ( x)( y)(x + y 0) 2. Ingkaran dari: ( l)( ϵ)(ϵ > 0 = P (l, ϵ)) adalah : ( l)( ϵ)(ϵ > 0 = P (l, ϵ)) ( l)( ϵ)(ϵ > 0 = P (l, ϵ)) ( l)( ϵ)ϵ > 0 = P (l, ϵ) ( l)( ϵ)(ϵ > 0 P (l, ϵ)) 3. Untuk Latihan 12

13 4.5 Nilai Kebenaran Kalimat Berkuantor Contoh: 1. ( x).x 2 x > 1 F 2. ( x).x 2 x > 1 T 3. ( x). x 2 = x F 4. ( x). x 2 = x T 5. ( x)(x > 0 = ( y)( 1 y < x)) T 6. ( x)( y)( x y = 0) F 7. ( x)( y)(x y = ( z)(x < z < y y < z < x)) T 13

14 Contoh: Semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan 0, 1, 2, 3 dan 4. Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini. 1. ( x).x 1 T 2. ( x).x 2 x > x 1 T 3. ( x).x 2 16 T 4. ( x). x 2 = x F 14

15 Latihan 1. S P : himpunan semua manusia. Tulislah penyataan-pernyataan ini dengan menggunakan kauantor 1.1 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi tidak pandai 1.2 Ada mahasiswa yang pandai dan suka berolah raga. 1.3 Semua manusia yang tidak pandai tetapi suka berolah raga pasti bukan mahasiswa. 1.4 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi bukan mahasiswa 2. S P : himpunan semua bilangan nyata. Ucapkanlah dengan menggunakan bahasa sehari-hari (dengan makna yang sama dengan bentuk simbolnya). Selanjutnya tentukan nilai kebenaraannya. 2.1 ( y)( x)(x y) 2.2 ( y)( x)(yx = xy = 0) 2.3 ( x)(( ϵ)(ϵ > 0 = x < 0) = x = 0) 2.4 ( x)( y)(x > y > 0 x 2 < y 2 ) 3. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat Soal dan , kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari, dan tentukan nilai kebenarannya. 15

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III INDUKSI MATEMATIKA

BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau