APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta)

Transkripsi

1 APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta) Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Oleh: Caecilia Bintang Girik Allo NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

2 THE APPLICATION OF KAPLAN MEIER METHOD IN SURVIVAL TIME INTERVAL ESTIMATION (Case Study: Breast Cancer Patients at Panti Rapih Yogyakarta Hospital) A Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program Written by: Caecilia Bintang Girik Allo Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017 ii

3 iii

4 iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan kepada: Tuhan Yesus atas segala Berkat dan Kasih-Nya sepanjang perjalanan hidup saya. Papa dan Mama Tercinta. Kakak-kakak saya, yaitu Kak Ardi, Kak Suhar, Kak Muli, dan Kak Rian. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik. Semua orang yang akan membaca skripsi saya. Berdoa dan Berusaha. Serahkan semua kekhawatiranmu Pada-Nya dan yakinlah semua indah pada Waktu-Nya. v

6 vi

7 ABSTRAK Metode Kaplan Meier adalah salah satu metode analisis ketahanan hidup. Metode Kaplan Meier menghasilkan penduga fungsi ketahanan hidup. Penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier diperoleh menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Penduga variansi untuk penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier diperoleh menggunakan Metode Delta. Dalam pendugaan fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dibutuhkan data. Dalam praktik, data yang sering muncul pada saat pengambilan data adalah data yang tidak lengkap (data tersensor). Banyak penyebab suatu data dapat dikatakan data tersensor, seperti kondisi terakhir individu yang tidak diketahui. Pendugaan fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier langsung diaplikasikan pada pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta tahun Pendugaan akan menghasilkan selang kepercayaan waktu bertahan hidup pasien kanker payudara secara keseluruhan, pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi pada suatu waktu. Kurva ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier yang dihasilkan digunakan untuk membandingkan peluang bertahan hidup antar dua kelompok. Dari pembahasan diperoleh empat kesimpulan. Pertama, peluang bertahan hidup pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih secara keseluruhan dapat dikatakan relatif kecil. Kedua, peluang bertahan hidup secara keseluruhan pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Ketiga, peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi lebih besar dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Keempat, kemoterapi dapat memperpanjang waktu hidup pasien kanker payudara. Kata Kunci: Data Tersensor, Kanker Payudara, Analisis Ketahanan Hidup, Metode Kaplan Meier. vii

8 ABSTRACT Kaplan Meier Method is one of the survival analysis method. Kaplan Meier Method produces an estimator for survival function. The survival estimator with Kaplan Meier Method is obtained by using Maximum Likelihood Method. Variance estimator for the survival estimator with Kaplan Meier Method is obtained by using Delta Method. Data are needed to calculate the estimation for the survival function with Kaplan Meier Method. In practice, the data that often appear in data collection are the incomplete data (censored data). There are many causes that make the survival data called censored data, such as the unknown last condition of an individual. The survival estimation by using Kaplan Meier Method was applied to breast cancer patients at Panti Rapih Hospital Yogyakarta in The estimation would produce a survival confidence interval of breast cancer patients in general, breast cancer patients who take the chemotherapy and do not take the chemotherapy. As a result, the survival curve with Kaplan Meier method is used to compare the survival probability between two groups. There are four conclusions that can be found in this study. First, the survival probability of breast cancer patients in Panti Rapih Hospital is relatively small. Second, the survival probability for breast cancer patients who take the chemotherapy is bigger than survival probability for breast cancer patients who do not take the chemotherapy. Third, survival probability of level fourth breast cancer patients who take chemotherapy is bigger than survival probability of level fourth breast cancer patients who do not take chemotherapy. Fourth, chemotherapy can extend the lifetime for breast cancer patients. Key Words: Censored Data, Breast Cancer, Survival Analysis, Kaplan Meier Method. viii

9 ix

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, kasih, dan penyertaan-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik. Tugas akhir yang berjudul Aplikasi Metode Kaplan Meier untuk Menduga Selang Waktu Ketahanan Hidup (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta) merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, dan nasihat kepada penulis. 2. Pihak Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang telah mengizinkan dan membantu penulis dalam pengambilan data. 3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi. 4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil kepala program studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arahan yang berkaitan dengan perkuliahan. 5. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 6. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan. 7. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi. x

11 xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING iiierror! Bookmark not defined. HALAMAN PENGESAHAN... Error! Bookmark not defined. HALAMAN PERSEMBAHAN... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... Error! Bookmark not defined. ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN... Error! Bookmark not defined. KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Makalah... 2 C. Batasan Masalah... 3 D. Tujuan Penulisan... 3 E. Manfaat Penulisan... 3 F. Metode Penulisan... 3 G. Sistematika Penulisan... 4 BAB II LANDASAN TEORI... 6 A. Probabilitas Probabilitas dari Sebuah Kejadian Probablitias Bersyarat Variabel Acak... 8 B. Distribusi Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Kontinu Nilai Harapan Variansi Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Metode Fungsi Pembangkit Momen C. Distribusi Probabilitas Multivariat D. Teorema Limit Pusat E. Pendugaan Parameter Penduga Titik Penduga Selang Metode Pivot Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar xii

13 F. Metode Kemungkinan Maksimum G. Metode Delta BAB III METODE KAPLAN MEIER A. Analisis Ketahanan Hidup B. Fungsi Ketahanan Hidup C. Fungsi Hazard D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit F. Data Tersensor Penyensoran Kanan Penyensoran Kiri Penyensoran Interval G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dengan program R BAB IV APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP A. Kanker B. Proses Pengambilan Sampel C. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi dengan Pasien yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium BAB V PENUTUP A. Kesimpulan C. Saran Saran untuk Peneliti Selanjutnya Saran untuk Rumah Sakit Panti Rapih DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

14 A. Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Ilmu matematika dapat digunakan untuk menganalisis ketahanan hidup dari suatu obyek. Obyek dapat berupa makhluk hidup maupun benda yang mempunyai ketahanan hidup, seperti lampu dan mobil. Analisis ketahanan hidup merupakan cabang dari ilmu statistik yang dapat digunakan untuk menganalisis terjadinya suatu kejadian, misalnya kematian, munculnya suatu penyakit, atau kambuhnya suatu penyakit. Dalam tugas akhir ini kejadian yang dimaksud adalah kematian. Analisis ketahanan hidup digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti biologi, sosiologi, maupun bidang ilmu yang berkaitan dengan mesin, dan ekonomi. Analisis ketahanan hidup mempunyai beberapa metode, yaitu Life Tables, Kaplan Meier, Regresi Exponensial, Regresi Log-Normal, dan Regresi Proporsi Hazard. Fungsi ketahanan hidup secara matematis dapat ditulis sebagai berikut dengan merupakan variabel acak waktu hidup, merupakan fungsi probabilitas, dan adalah suatu waktu. Pada tahun 1958, Edward L. Kaplan dan Paul Meier menerbitkan sebuah makalah tentang cara menyelesaikan suatu permasalahan dengan pengamatan yang tidak lengkap. Metode ini termasuk metode nonparametrik karena pada umumnya bentuk distribusi dari populasi yang akan diteliti tidak diketahui. Metode Kaplan Meier disebut juga Metode Product - Limit. Metode Kaplan Meier sering digunakan di dalam bidang ilmu kesehatan. Metode Kaplan Meier juga menghasilkan suatu kurva yang menggambarkan ketahanan hidup dari populasi atau sampel yang dipilih. Data yang dihasilkan dari suatu sampel dapat berupa data tak tersensor atau data tersensor. Data tak tersensor adalah data yang didapat dari setiap individu dalam sampel dan setiap perkembangan individu dari awal penelitian sampai individu tersebut meninggal dunia (gagal) tercatat dengan jelas. Pada kenyataannya data dari setiap perkembangan individu dari awal hingga individu tersebut meninggal dunia (mati) jarang ditemukan. Banyak faktor yang 1

15 2 menyebabkan data tersebut tidak bisa diperoleh. Faktor-faktor tersebut antara lain individu yang dinyatakan sembuh sebelum penelitian berakhir, individu yang tidak lagi bersedia mengikuti penelitian, individu berhenti diberi perlakuan karena suatu alasan, dan individu meninggal dunia bukan karena diberi perlakuan sebagaimana yang dimaksud dalam penelitian. Data yang dihasilkan oleh berbagai faktor tersebut disebut data tersensor. Biasanya data yang dihasilkan berupa waktu dengan satuan tahun, bulan, minggu, atau hari. Rumus penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier adalah sebagai berikut dengan: banyaknya individu yang meninggal pada waktu ke-, banyaknya individu yang berada pada risiko kegagalan waktu ke-. Kanker adalah salah satu penyakit yang menjadi penyumbang terbesar kematian di dunia. Terdapat berbagai jenis penyakit kanker diantaranya kanker payudara, kanker serviks, kanker paru-paru, kanker kulit, kanker usus, dan lainlain. Selain kanker paru-paru, kanker payudara pun termasuk kanker yang banyak ditemui di masyarakat. Banyak faktor yang dapat menyebabkan penyakit kanker, diantaranya faktor keturunan, faktor pola hidup yang tidak sehat, faktor radiasi, dan lain-lain. Namun ada beberapa cara untuk mengatasi kanker seperti operasi, terapi radiasi, dan kemoterapi. Rumah Sakit Panti Rapih (RSPR) Yogyakarta merupakan salah satu rumah sakit swasta terbesar di Yogyakarta yang turut melayani penderita kanker. Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk menghitung probabilitas ketahanan hidup penderita kanker payudara di rumah sakit Panti Rapih. B. Rumusan Makalah Perumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Apa itu Metode Kaplan Meier?

16 3 2. Bagaimana landasan matematis untuk memperoleh Metode Kaplan Meier? 3. Bagaimana menerapkan Metode Kaplan Meier dalam bidang kesehatan, khususnya untuk memperkirakan ketahanan hidup penderita Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta? 4. Apakah pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki ketahanan yang lebih tinggi dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi? C. Batasan Masalah Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Data yang digunakan merupakan data tensensor acak. 2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan. 3. Teori probabilitas yang dibahas hanya yang berkaitan dengan materi pokok. 4. Interpretasi hasil perbandingan antar kelompok berdasarkan gambar. D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Menjelaskan penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dalam perhitungan probabilitas ketahanan hidup. 2. Mengetahui penerapan penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam bidang kesehatan. E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah menghasilkan informasi tentang peluang bertahan hidup penderita Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta. F. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan jurnal serta menerapkan aplikasi Metode Kaplan Meier dalam dunia kesehatan.

17 4 G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Probabilitas B. Distribusi Probabilitas C. Distribusi Probabilitas Multivariat D. Teorema Limit Pusat E. Penduga Parameter F. Maksimum Likelihood G. Metode Delta BAB III METODE KAPLAN MEIER A. Analisis Ketahanan Hidup B. Fungsi Ketahanan Hidup C. Fungsi Hazard D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit F. Data Tersensor G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dalam R BAB IV APLIKASI PENDUGAAN KETAHANAN HIDUP DENGAN METODE KAPLAN MEIER A. Kanker B. Proses Pengambilan Sampel C. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara

18 5 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA

19 BAB II LANDASAN TEORI A. Probabilitas 1. Probabilitas dari Sebuah Kejadian Oleh karena probabilitas dari suatu kejadian biasanya dibutuhkan untuk pengambilan keputusan, sangat penting untuk memahami teori probabilitas dari suatu kejadian. Banyak bidang yang berhubungan dengan probabilitas, seperti ekonomi, bisnis, kesehatan, dan lain-lain. Definisi 2.1 Misalkan adalah ruang sampel yang terkait dengan percobaan. Probabilitas dari kejadian dalam, dinotasikan dengan simbol memenuhi: Aksioma 1: Aksioma 2: Aksioma 3: Jika membentuk urutan berpasangan kejadian saling asing dalam maka 2. Probablitias Bersyarat Definisi 2.2 Probabilitas kejadian jika diketahui kejadian telah terjadi adalah ( ),. Simbol ( ) dibaca Probabilitas bersyarat jika diketahui kejadian terjadi. Contoh 2.1 Sebuah dadu setimbang dilempar sekali. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu genap jika diketahui munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu. Jawab: Ruang sampel percobaan adalah { }. Didefinisikan merupakan kejadian munculnya mata dadu genap dan merupakan kejadian munculnya mata dadu prima 6

20 7 { }. { }. { } Sehingga diperoleh: ( ) Definisi 2.3 Kejadian dan kejadian dikatakan saling bebas jika salah satu dari pernyataan di bawah terpenuhi: ( ), ( ),. Jika tidak, berarti dua kejadian tersebut saling bergantung. Contoh 2.2 Dua buah dadu setimbang dilemparkan secara bersamaan. Didefinisikan kejadian adalah munculnya angka dadu 2 pada dadu pertama dan kejadian munculnya angka dadu 4 pada dadu kedua. Apakah kejadian bebas? Jawab: Akan ditunjukkan bahwa apakah kejadian pernyataan pada Definisi 2.3 adalah dan B saling dan B saling bebas menggunakan { } Sehingga diperoleh banyaknya elemen,. { } { }

21 8 dan {} Jadi, kejadian dan kejadian saling bebas. 3. Variabel Acak Definisi 2.4 Variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap elemen ruang sampel ke bilangan real. Dengan kata lain variabel acak merupakan pemetaan dari himpunan ruang sampel ke himpunan bilangan real. Variabel acak ditulis dengan huruf kapital, misalnya X atau Y. Definisi 2.5 Variabel acak dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak kontinu. dikatakan Contoh 2.3 Dua buah koin yang telah dilabeli angka 1 pada sisi gambar dan angka 2 pada sisi angka dilemparkan sebanyak dua kali. Variabel acak didefinisikan sebagai jumlah kedua koin yang muncul. Tentukan ruang sampelnya dan semua kemungkinan nilai variabel acak. Jawab: Ruang sampel percobaan adalah { }. Setiap elemen dari dipetakan ke adalah variabel acak seperti berikut:

22 9 S Y {} > {} {} {} > 3 4 Nilai adalah 2, 3, atau 4. B. Distribusi Probabilitas 1. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.6 Himpunan pasangan terurut ( ) adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap kemungkinan nilai : Contoh 2.4 Sebuah sekolah mempunyai lima pemain basket putri dan lima pemain basket putra. Sekolah harus memilih dua orang secara acak yang akan dikirim untuk mengikuti pelatihan khusus di tingkat provinsi. basket putri yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas dari. Jawab: adalah banyaknya pemain : banyaknya pemain basket putri yang terpilih. Sekolah hanya akan memilih dua orang, sehingga kemungkinan nilai adalah 0, 1, atau 2.

23 10 Definisi 2.7 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak yang fungsi probabilitasnya adalah, untuk. Contoh 2.5 Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak pada Contoh 2.4. Jawab: Dari Contoh 2.4 diperoleh,,. Selanjutnya akan dicari,,.,,, sehingga { Contoh-contoh distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi Binomial, Distribusi Geometrik, Distribusi Hipergeometrik, dan Distribusi Poisson. Selanjutnya akan dibahas mengenai Distribusi Binomial. Definisi 2.8 Proses percobaan Binomial memiliki sifat sebagai berikut: 1. Percobaan terdiri dari ulangan yang identik. 2. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu sukses (S) atau gagal (G).

24 11 3. Probabilitas sukses pada sebuah ulangan adalah dan tetap sama untuk ulangan-ulangan lainnya. Probabilitas gagal dari ulangan tersebut adalah. 4. Ulangan-ulangan bersifat saling bebas. 5. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati selama ulangan. Contoh 2.6 Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar identik yang beroperasi secara independen (saling bebas) satu sama lain. Setiap unit radar memiliki peluang pesawat beroperasi, variabel acak untuk mendeteksi adanya ganguan pada pesawat. Ketika adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan. Apakah ini termasuk percobaan binomial? Jawab: Apabila soal di atas termasuk percobaan binomial maka percobaan harus memenuhi sifat-sifat yang ada pada Definisi 2.8. Lebih lanjut, karena variabel acak adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan maka pada kasus ini percobaan dikatakan sukses apabila radar tidak dapat mendeteksi. Sifat 1 : Jelas bahwa percobaan terdiri dari 4 ulangan yang identik. Sifat 2 : Setiap ulangan hanya akan menghasilkan satu dari hasil, yaitu radar tidak dapat mendeteksi atau radar dapat mendeteksi. Sifat 3 : Setiap ulangan memiliki peluang sukses yang sama, yaitu. Sifat 4 : Ulangan-ulangan bersifat saling bebas karena setiap unit bekerja secara independen satu sama lain. Sifat 5 : Variabel acak adalah banyaknya sukses dalam 4 ulangan. Definisi 2.9 Variabel acak dikatakan berdistribusi Binomial pada ulangan dengan probabilitas sukses jika dan hanya jika

25 12 Contoh 2.7 Terdapat 5000 bola lampu yang diantaranya cacat. Jika diambil sampel sebanyak 5 bola lampu untuk di tes. Tentukan probabilitas banyaknya bola lampu yang rusak paling sedikit satu. Jawab: : banyaknya bola lampu yang rusak. Dari soal diketahui bahwa dari bola lampu rusak, berarti terdapat 250 bola lampu yang rusak. dan.. 2. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.10 Fungsi adalah fungsi probabilitas (densitas) untuk variabel acak kontinu, jika 1., untuk semua. 2.. Contoh 2.8 Misalkan kesalahan dalam pengiriman pada suatu perusahaan pengiriman adalah variabel acak kontinu yang memiliki fungsi probabilitas densitas { Buktikan adalah fungsi probabilitas densitas. Jawab: Akan dibuktikan memenuhi Definisi jelas terlihat dari definisi. 2. Jadi, terbukti adalah fungsi probabilitas densitas.

26 13 Definisi 2.11 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu dengan fungsi densitas adalah Akibat dari Definisi 2.11, untuk. dan jika turunannya ada. Contoh 2.9 Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari Contoh 2.8 dan tentukan Untuk Untuk Untuk Jadi, { Sekarang. Contoh distribusi probabilitas kontinu adalah Distribusi Normal, Distribusi Gamma, Distribusi Eksponensial, dan Distribusi Chi-square. Selanjutnya akan dibahas mengenai Distribusi Normal.

27 14 Definisi 2.12 Variabel acak dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika untuk dan, fungsi densitas dari adalah 3. Nilai Harapan Definisi 2.13 Misalkan adalah variabel acak. Nilai harapan dari, dinotasikan dengan, didefinisikan sebagai { Contoh 2.10 Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.4 Jawab:. Contoh 2.11 Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.8 Teorema 2.1 Jika adalah variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas dan,,, adalah fungsi dari maka [ ] [ ] [ ] [ ]. Bukti:

28 15 [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] Teorema 2.2 Jika adalah variabel acak kontinu dengan distribusi probabilitas dan,,, adalah fungsi dari maka [ ] [ ] [ ] [ ]. Bukti: [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] Teorema 2.3 Diberikan suatu konstanta tak nol, maka Bukti:

29 16 Kasus 1: untuk variabel acak diskrit Kasus 2: untuk variabel acak kontinu Jadi terbukti. Teorema 2.4 Diberikan suatu konstanta tak nol, maka. Bukti: Kasus 1: untuk variabel acak diskrit Kasus 2: untuk variabel acak kontinu Jadi terbukti. Teorema 2.5 Diberikan konstanta tak nol dan, maka. Bukti: Kasus 1: untuk variabel acak diskrit ( ( )

30 17 Kasus 2: untuk variabel acak kontinu ( ) Jadi terbukti. Teorema 2.6 Jika adalah variabel acak binomial pada ulangan dan adalah probabilitas sukses, maka Bukti: Akan dibuktikan Dari Definisi 2.13 Karena jumlahan pertama adalah 0 dan menurut Definisi 2.9 diperoleh

31 18 Misal, sehingga Karena, maka 4. Variansi Definisi 2.14 Misalkan adalah variabel acak dengan. Variansi dari variabel acak didefinisikan sebagai nilai harapan dari ( ), yaitu [ ] Standar deviasi dari, dinotasikan adalah akar kuadrat positif dari. Teorema 2.7 Jika adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas dan rata-rata maka [ ]. Bukti: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Contoh 2.12 Tentukan standar deviasi dari Contoh 2.4 Jawab: Diketahui dari Contoh 2.10 bahwa.

32 19 [ ]. Contoh 2.13 Tentukan variansi dari Contoh 2.8 Jawab: Dari Contoh 2.11 diketahui [ ] Teorema 2.8 Diberikan konstanta tak nol, maka. Bukti: [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] ) Teorema 2.9 Diberikan konstanta tak nol, maka.

33 20 Bukti: [( ) ] [( ) ] [ [ ] [ ] ] Teorema 2.10 Jika adalah variabel acak binomial pada percobaan dan adalah probabilitas sukses, maka Akan dibuktikan Diketahui dari Teorema 2.7 bahwa Selanjutnya akan dicari, yaitu Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa mencari adalah sulit karena bukanlah faktor dari. Oleh karena itu dapat diperoleh dari [ ] Langkah selanjutnya akan dicari [ ].

34 21 [ ] Jumlahan saat dan adalah nol, sehingga diperoleh [ ] Misal, diperoleh [ ] Karena, maka [ ] Sehingga diperoleh [ ] Jadi diperoleh

35 22 5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.15 Momen ke- dari variabel acak di sekitar titik asal didefinisikan dan dinotasikan dengan. Definisi 2.16 Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan. Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif sehingga berhingga untuk. Teorema 2.11 Jika ada, maka untuk setiap bilangan bulat positif, Bukti: atau adalah turunan ke- dari terhadap. Karena Sehingga Secara umum, Saat, maka dan, sehingga secara umum Contoh 2.14 Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Binomial. Jawab:

36 23. Jadi, fungsi pembangkit momen bagi Distribusi Binomial adalah. Contoh 2.15 Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal. Jawab: Misal maka dan, sehingga diperoleh Karena maka [ ]

37 24 [ ] Karena dengan variansi dan rata-rata, maka Teorema 2.12 Jika berdistribusi normal dengan parameter dan maka Bukti: dan. Pembuktian nilai harapan dan variansi dari Distribusi Normal dibuktikan menggunakan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal. Dari Definisi 2.15 dan Teorema 2.11, diperoleh Akan dibuktikan. Diketahui dari Teorema 2.7 ( )

38 25 Sehingga diperoleh ( ) Contoh 2.16 Misalkan dengan adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi. Tentukan fungsi pembangkit momen bagi. Jawab: Misal maka [ ] [ ] Misal maka dan, sehingga Menambahkan pada pangkat dari eksponen, sehingga

39 26 Karena dengan variansi dan rata-rata, maka 6. Metode Fungsi Pembangkit Momen Metode fungsi pembangkit momen dapat digunakan untuk menentukan fungsi probabilitas. Teorema 2.13 Teorema Ketunggalan Misalkan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak dan. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan untuk semua nilai dari, maka dan mempunyai distribusi probabilitas sama. Bukti: Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu dengan adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukkan bahwa bila adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu dan

40 27 Maka (Skripsi halaman 54). Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas. Contoh 2.17 Misalkan adalah variabel yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi. Buktikan bahwa berdistribusi normal standar, yaitu berdistribusi normal dengan dan. Jawab: Misal dan berdistribusi normal maka [ ] [ ] [ ] akan sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal apabila dan, sehingga menurut Teorema 2.13 berdistribusi normal standar dengan dan. Teorema 2.14 Misalkan adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen. Jika, maka Bukti:

41 28 ( ) C. Distribusi Probabilitas Multivariat Definisi 2.17 Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit. Fungsi probabilitas untuk dan ditunjukkan sebagai,. Definisi 2.18 Misalkan dan merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas bersama, maka 1. untuk semua dan 2.. Contoh 2.18 Misalkan 3 bola diambil dari sebuah ember berisi 3 bola biru, 3 bola putih, dan 4 bola hitam. Jika adalah banyaknya bola biru yang terambil dan adalah banyaknya bola putih yang terambil, maka carilah fungsi probabilitas bersama dari dan. Jawab: Terdapat 10 bola di dalam ember, sehingga ada 3 bola dari 10 bola. cara untuk mengambil Banyaknya cara mengambil 0 bola biru, 0 bola putih, dan 3 bola hitam adalah ( ) cara, sehingga. Cara yang sama dapat dilakukan untuk mencari semua kemungkinan nilai dan. Tabel 2.1 memperlihatkan semua fungsi probabilitas bersama.

42 29 Tabel 2.1. Fungsi Probabilitas Bersama Definisi 2.19 Untuk sebarang variabel dan, fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai,. Contoh 2.19 Tentukan untuk Contoh Jawab: Untuk dua variabel diskrit dan, diberikan dengan Sehingga. Definisi 2.20 Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi bersama. Jika terdapat fungsi tak negatif seperti untuk semua, maka dan disebut sebagai variabel acak kontinu bersama. Fungsi ( ) disebut fungsi densitas bersama.

43 30 Definisi 2.21 Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama yang dilambangkan dengan ( 1. untuk semua dan 2. ), maka Contoh 2.20 Sebuah perusahaan permen mendistrbusikan dus-dus permen yang terdiri atas tiga rasa, yaitu coklat, strawberry, dan jeruk. Terdapat dua jenis permen yang diproduksi, yaitu permen karet dan permen hisap. Misalkan dipilih secara acak satu dus dan variabel acak dan menyatakan persentase dari permen karet dan permen hisap rasa jeruk dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut: {,, lainnya. Buktikan bahwa fungsi densitas bersamanya memenuhi Definisi Jawab: 1. Jelas bahwa untuk semua dan. 2. Akan ditunjukkan bahwa ( ). Definisi 2.22 Misalkan memiliki fungsi distribusi, memiliki fungsi distribusi, serta dan memiliki fungsi distribusi bersama, maka dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

44 31 Untuk setiap pasangan bilangan real. Definisi 2.23 Misalkan adalah fungsi dari variabel acak diskrit yang mempunyai fungsi probabilitas maka nilai harapan dari adalah [ ] Jika maka adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas [ ] Contoh 2.21 Diketahui variabel diskrit dan yang mempunyai fungsi probabilitas bersama Tentukan: a. E b. E c. E Jawab: {,,lainnya a. Menurut Definisi 2.23 diperoleh E

45 32 b. Menurut Definisi 2.23 diperoleh E c. Menurut Definisi 2.23 diperoleh Teorema 2.15 Misalkan dan adalah variabel acak yang yang saling bebas dan adalah fungsi dari serta adalah fungsi dari maka Bukti: Untuk variabel diskrit [ ] [ ] [ ] [ ]

46 33 [ ] [ ] Untuk variabel kontinu [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] D. Teorema Limit Pusat Teorema Misalkan dan adalah variabel random dengan fungsi pembangkit momen dan Jika maka fungsi distribusi dari konvergen ke fungsi distribusi saat. Bukti: Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability With Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman 185. Teorema 2.17 Misalkan merupakan variabel acak yang berdistribusi independen dan identik dengan dan. Didefinisikan dengan

47 34 Maka fungsi distribusi dari ketika, yaitu konvergen ke fungsi Distribusi Normal Standar untuk semua. Bukti: Misalkan ( ) ( ) Karena variabel acak adalah saling bebas dan berdistribusi identik maka, juga saling bebas dan berdistribusi identik dengan dan, maka fungsi pembangit momen dari jumlahan variabel acak adalah perkalian dari masing-masing fungsi pembangkit momennya (Teorema 2.14), maka [ ] Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen untuk ( ) ( ) ( ) [ ( )]

48 35 Deret Taylor dari adalah dan, maka Sehingga [ ] Saat maka, sehingga [ ] maka ( [ ] ). Jika maka Maka [ ] merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi normal standar. Menurut Teorema 2.16 dapat disimpulkan bahwa memiliki fungsi probabilitas yang konvergen ke fungsi probabilitas Normal Standar.

49 36 E. Pendugaan Parameter Dalam melakukan suatu percobaan atau penelitian pada populasi tertentu dibutuhkan sampel yang representatif. Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah bilangan yang disebut parameter. Tujuan dari percobaan atau penelitian statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Contoh dari parameter populasi adalah rata-rata populasi, variansi populasi, dan standar deviasi populasi. Penduga dibagi menjadi dua macam, yaitu penduga titik dan penduga selang. Definisi 2.24 Sebuah penduga adalah aturan yang biasanya dinyatakan dalam rumus untuk menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-pengukuran yang terkandung dalam sampel. 1. Penduga Titik Penduga titik adalah penduga yang menghasilkan suatu nilai sebagai hasil pendugaannya. Penduga selang adalah penduga yang menghasilkan suatu selang sebagai hasil pendugaanya. Contoh 2.22 Proporsi sampel yang dinyatakan dalam rumus merupakan salah satu penduga titik dari proporsi populasi. Suatu penduga titik dapat dikatakan penduga yang baik atau penduga yang buruk. Penduga yang baiklah yang nantinya akan dipilih untuk menduga suatu nilai dari parameter. Penduga yang baik akan dilihat dari bias dan rata-rata kuadrat galatnya. Syarat dari suatu penduga untuk suatu parameter dikatakan penduga yang baik yaitu apabila penduga tersebut merupakan penduga tak bias.

50 37 Definisi 2.25 Misalkan adalah sutu penduga titik untuk sebuah parameter. Jika ( ) maka disebut penduga tak bias. Jika ( ) maka disebut penduga bias. Definisi 2.26 Bias dari suatu penduga titik dinyatakan dalam sebuah rumus, yaitu ( ) ( ). Definisi 2.27 Rata-rata kuadrat galat dari suatu penduga titik adalah ( ) [( ) ]. Contoh 2.23 Misalkan berdistribusi Binomial dengan parameter dan. Buktikan bahwa adalah penduga tak bias dari. Jawab: Menurut Definisi 2.25 berarti harus ditunjukkan bahwa ( ). ( ) Jadi terbukti bahwa adalah penduga tak bias dari 2. Penduga Selang Penduga selang lebih dikenal dengan selang kepercayaan. Setiap selang kepercayaan mempunyai batas atas atau batas bawah. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan disebut dengan limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan akan dekat dengan disebut koefisien kepercayaan. Jika dan adalah limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan bagi parameter, maka ( ) adalah koefisien kepercayaan. Selang penduganya yaitu [ ] disebut selang kepercayaan dua sisi.

51 38 Selang kepercayaan juga dapat berupa selang kepercayaan satu sisi, seperti ( ) dengan selang kepercayaannya [ ] atau ( ) dengan selang kepercayaannya [ ]. 3. Metode Pivot Metode pivot merupakan metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan. Metode pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas pivot. Kuantitas pivot memiliki dua ciri, yaitu: a. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui. b. Distribusi probabilitas dari kuantitas pivot tidak bergantung pada parameter. Contoh 2.24 berdistribusi normal dengan tidak diketahui dan. Tentukan selang kepercayaan bagi bila diketahui kuantitas pivotnya adalah Jawab: Dari Contoh 2.17 diperoleh yang berarti berdistribusi normal dengan dan sehingga Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu: a. Z merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui. b. Distribusi probabilitas, yaitu tidak bergantung pada parameter. Selang kepercayaan bagi adalah:

52 39 Gambar 2.1. Kurva Distribusi Normal dengan Dari Gambar 2.1 diperoleh Dari tabel Distribusi Normal (Lampiran 4) diperoleh. Karena kurva Distribusi Normal adalah kurva yang simetri maka. Jadi, Substitusi Z diperoleh Jadi, selang kepercayaan bagi adalah 4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar Saat ukuran sampel semakin besar maka semua penduga titik akan mendekati Distribusi Normal. Jika parameter target adalah maka untuk sampel yang besar

53 40 mendekati Distribusi Normal Standar. merupakan bentuk kuantitas pivot dan metode pivot dapat digunakan untuk menghasilkan selang kepercayaan bagi parameter target. Contoh 2.25 Misalkan berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar error. Tentukan selang kepercayaan bagi dengan. Jawab: Kuantitas pivot yang memiliki koefisien kepercayaan sama berdistribusi normal standar. Gambar 2.2. Kurva Distribusi Normal dengan Dipilih dua nilai, yaitu dan sehingga Substitusi ke Persamaan (2.1), maka diperoleh ( ) ( ) ( )

54 41 Sehingga diperoleh ( ) F. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam membuktikan penduga Kaplan Meier dibutuhkan Metode Kemungkinan Maksimum. Oleh karena itu perlu dipahami mengenai Metode Kemungkinan Maksimum. Misalkan terdapat sebuah kotak yang berisi tiga bola dengan kemungkinan warna dari setiap bola adalah putih atau merah, tetapi jumlah bola yang berwarna putih dan jumlah bola yang berwarna merah tidak diketahui. Pengambilan dua bola secara acak tanpa pengembalian dilakukan. Jika hasil dari pengambilan tersebut adalah dua bolah merah, maka apakah yang akan menjadi dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak? Jelas bahwa jumlah bola merah yang ada di dalam kotak harus ada dua bola atau tiga bola. Kasus 1: Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah Kasus 2: Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah Dari dua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak adalah terdapat tiga bola merah di dalam kotak karena kemungkinan mendapatkan dua bola merah lebih tinggi probabilitasnya pada kasus 2 dari pada kasus 1. Dugaan ini memaksimumkan probabilitas pengamatan sampel. Contoh di atas mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat digunakan dalam situasi apapun. Teknik untuk menemukan

55 42 sebuah penduga disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood). Definisi 2.28 Fungsi Kemungkinan Likelihood dari Sampel Misalkan sampel yang diambil dari pengamatan yang berkorespodensi dengan variabel yang distribusinya bergantung pada parameter. merupakan variabel acak diskrit maka Likelihood dari sampel adalah ( ) ( ) atau ( ) ( ) ( ). Definisi 2.29 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) Misalkan fungsi Likelihood bergantung pada buah parameter. Metode kemungkinan maksimum memilih penduga nilai-nilai dari parameterparameter sedemikian sehingga memaksimalkan fungsi kemungkinan ( ). Contoh 2.26 Sebuah percobaan Binomial terdiri dari ulangan menghasilkan dengan berarti ulangan ke- sukses dan berarti ulangan ke- gagal. Temukan penduga kemungkinan maksimum bagi. Jawab: Fungsi Kemungkinan dari sampel adalah probabilitas dari ( ) dengan, sehingga Jika maka dan akan maksimum ketika Jika maka dan akan maksimum ketika Sekarang akan dicari penduga kemungkinan maksimum bagi jika dengan. Agar mempermudah perhitungan maka dilakukan transformasi ln pada kedua sisi pada persamaan likelihood sehingga diperoleh: [ ] [ ]

56 43 0 Pembuat nol dari persamaan adalah, sehingga diperoleh: Jadi penduga bagi adalah G. Metode Delta Metode Delta dibutuhkan untuk mencari variansi dari penduga fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier. Metode Delta akan menghasilkan [ ( )] dengan adalah sebuah penduga dari parameter dan adalah sebuah fungsi dari. Fungsi ( ) mempunyai dua kemungkinan, yaitu ( ) merupakan fungsi linear atau ( ) merupakan fungsi nonlinear. Jika ( ) merupakan fungsi linear berarti ( ), maka menurut Teorema 2.8 dan Teorema 2.9 [ ( )] ( ). Kasus yang berbeda muncul apabila ( ) merupakan fungsi nonlinear. Penyelesaian dari kasus ini adalah mengambil pendekatan linear dari fungsi tersebut. Deret Taylor dari fungsi ( ) sekitar adalah ( ) ( ) ( ) dengan adalah turunan pertama dari fungsi dan pendekatan nilai ( ) sebagai berikut: ( ) ( ) Mengambil variansi di kedua sisi pada persamaan, maka diperoleh [ ( )] [ ( )]

57 44 Menggunakan Teorema 2.8 dan Teorema 2.9, maka penyelesaian dari persamaan adalah [ ( )] [ ] ( ) Pada kenyataannya tidak diketahui, sehingga didekati dengan. Maka persamaan menjadi [ ( )] [ ( )] ( )

58 BAB III METODE KAPLAN MEIER A. Analisis Ketahanan Hidup Analisis ketahanan hidup adalah kumpulan dari prosedur statistik untuk menganalisis data dengan variabel keluaran yang diperhatikan adalah waktu sampai terjadinya suatu peristiwa atau event.waktu dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa tahun, bulan, minggu, atau hari. Sedangkan suatu peristiwa atau event dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa kejadian-kejadian negatif atau positif yang terjadi pada suatu obyek. Obyek dapat berarti manusia, lampu, mobil, hewan atau apapun yang mempunyai waktu hidup. Selanjutnya obyek yang dibahas adalah manusia yang akan disebut individu. Waktu hidup atau survival time adalah waktu dari awal pengamatan hingga terjadinya suatu kejadian. Dalam analisis ketahanan hidup survival time sering disebut dengan waktu kegagalan atau failure time. Analisis ketahanan hidup sangat berguna untuk mempelajari berbagai peristiwa dalam ilmu-ilmu sosial dan alam, seperti serangan penyakit, kematian, kegagalan suatu alat, gempa bumi, kecelakaan mobil, dan lain-lain. Oleh karena analisis ketahanan hidup dapat digunakan dalam berbagai bidang ilmu maka analisis ketahanan hidup mempunyai nama yang berbeda-beda sesuai dengan bidang ilmunya. Pada bidang ilmu sosiologi analisis ketahanan hidup dikenal degan Analisis Sejarah (History Analysis). Pada bidang ilmu yang berkaitan dengan mesin, analisis ketahanan hidup dikenal dengan Analisis Realibiliti (Realibility Anaslysis). Pada bidang ilmu ekonomi, analisis ketahanan hidup dikenal dengan nama Analisis Durasi (Duration Analysis). Sedangkan analisis ketahanan hidup dikenal dalam bidang ilmu biologi. Analisis ketahanan hidup juga mempunyai beberapa metode, yaitu Life Tables, Kaplan Meier, Regresi Exponensial, Regresi Log-Normal, Regresi Proporsi Hazard. 45

59 46 B. Fungsi Ketahanan Hidup Definisi 3.1 Fungsi ketahanan hidup atau survival function adalah probabilitas variabel acak yang merupakan waktu hidup melebihi suatu waktu t. Secara matematis, fungsi ketahanan hidup dapat ditulis Secara teori, berada diantara sampai. Fungsi ketahanan hidup memenuhi tiga sifat. Pertama, fungsi ketahanan hidup merupakan fungsi tak naik. Kedua, saat,, artinya awal pengamatan karena belum ada individu yang mengalami suatu peristiwa maka probabilitas ketahanan hidup pada saat itu adalah. Ketiga, saat,, artinya jika waktu pengamatan bertambah tanpa batas maka tidak ada obyek yang bertahan hidup. Jadi, pada akhirnya kurva fungsi ketahanan hidup akan menuju nol. Pada kenyataannya, ketika digunakan data yang nyata akan diperoleh kurva ketahanan hidup berupa fungsi tangga. Oleh karena waktu pengamatan tidak mungkin menuju tak berhingga, mungkin tidak setiap individu yang diamati akan mengalami peristiwa yang sama sehingga tidak semua fungsi ketahanan hidup akan sama dengan nol pada akhir pengamatan. Fungsi ketahanan hidup dapat diubah menjadi beberapa bentuk, sebagai berikut: Jika adalah variabel acak diskrit maka fungsi ketahanan hidup adalah jumlahan dari fungsi probabilitas, yaitu 3. Jika adalah variabel acak kontinu maka fungsi ketahanan hidup adalah integral dari fungsi densitas, yaitu

60 47 C. Fungsi Hazard Suatu kuantitas dasar yang merupakan dasar dalam analisis ketahanan hidup adalah fungsi hazard. Fungsi hazard juga dikenal dengan hazard rate. Definisi 3.2 Fungsi hazard atau hazard rate didefinisikan sebagai probabilitas kegagalan selama interval waktu yang kecil dengan asumsi individu masih bertahan pada awal interval atau limit dari probabilitas individu gagal pada interval waktu yang kecil dengan individu masih bertahan sampai waktu. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut: ( ) D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu Misalkan adalah fungsi probabilitas dan adalah variabel acak kontinu, maka dapat diperoleh ( ) Dari persamaan diketahui bahwa dan ( ) Dari persamaan dan, diperoleh

61 48 Dari persamaan ( ) diperoleh Karena maka, sehingga diperoleh Persamaan,, dan menunjukkan bahwa apabila fungsi hazard diketahui maka fungsi densitas dan fungsi ketahanan hidup dapat dicari, begitu pula apabila ataupun yang diketahui maka fungsi hazard dapat dicari.

62 49 E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit Misalkan adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas, adalah banyaknya pengamatan, dan adalah variabel acak diskrit dengan,,, adalah nilai dari. Fungsi hazard untuk variabel acak diskrit adalah ( ) dengan Dari persamaan diketahui berarti atau Berdasarkan persamaan ( ) maka diperoleh Fungsi ketahanan hidup dapat ditulis sebagai perkalian dari probabilitas bersyarat ketahanan hidup, yaitu

63 50 Jadi, hubungan antara fungsi ketahanan hidup pada persamaan ( hazard pada persamaan ( ), yaitu [ ] ) dan fungsi F. Data Tersensor Dalam perhitungan menggunakan metode-metode analisis ketahanan hidup diperlukan data atau yang biasa disebut dengan data ketahanan hidup. Bentuk umum dari data ketahanan hidup adalah mendeskripsikan proses waktu terjadinya suatu kejadian. Bentuk utama dari struktur data ketahanan hidup adalah penyensoran. Biasanya suatu pengamatan ketahanan hidup mempunyai waktu awal mulai pengamatan dan waktu terakhir pengamatan, sehingga pengamat hanya dapat mengamati semua kejadian dan mencatat waktu kejadian selama waktu yang sudah ditentukan. Penyensoran terjadi ketika terdapat individu yang tetap bertahan hidup sampai akhir pengamatan, individu yang hilang dari pengamatan dengan berbagai alasan, atau individu mengikuti pengamatan tidak dari waktu awal. Penyensoran dibagi menjadi beberapa tipe. Tipe-tipe penyensoran dapat dilihat pada diagram dibawah ini. Penyesoran Tipe I Penyensoran Penyensoran Kanan Penyensoran Kiri Penyensoran Interval Penyensoran Acak Penyensoran Tipe II Misalkan merupakan banyaknya individu yang akan mengikuti suatu percobaan dan,,, merupakan waktu hidup yang dimiliki setiap individu.

64 51 1. Penyensoran Kanan Penyensoran kanan terjadi apabila individu telah memasuki proses pengamatan tetapi hilang dari pengamatan. Waktu kejadian sesungguhnya terletak di sebelah kanan dari waktu penyensoran sepanjang sumbu waktu. Penyensoran kanan terbagi menjadi tiga tipe, yaitu penyensoran tipe I, penyensoran acak, dan penyensoran tipe II. a. Penyensoran Tipe I Penyensoran ini biasanya terjadi dalam aplikasi yang berkaitan dengan mesin. Setiap individu mulai diamati pada waktu dan mencacat waktu ketahanan hidup setiap individu sampai mengalami kegagalan. Tidak semua individu akan mempunyai waktu kegagalan yang cepat. Terdapat beberapa individu yang membutuhkan waktu yang lama agar individu tersebut mengalami kegagalan. Suatu percobaan biasanya memiliki batas waktu untuk mengamati setiap kejadian yang terjadi pada individu. Hingga batas waktu pengamatan berakhir biasanya ada individu yang belum mengalami kegagalan dan peneliti tidak ingin menambah waktu pengamatan. Waktu terakhir pengamatan dinotasikan dengan yang disebut juga waktu penyensoran. Jika banyaknya individu yang masuk dalam percobaan adalah, maka waktu kegagalan yang harus diamati adalah. Sebagai pengganti dari waktu yang diamati, akan diobservasi dimana {. b. Penyensoran Acak Penyensoran acak sering terjadi pada percobaan-percobaan kesehatan. Individu masuk dalam sebuah percobaan pada waktu yang berbeda. Kemudian masing-masing individu diperlakukan dengan percobaan yang sudah ditetapkan. Setiap individu yang masuk dalam pengamatan akan diamati waktu kegagalan tetapi penyensoran dapat terjadi selama pengamatan. Kejadian-kejadian yang menyebabkan terjadinya penyensoran adalah sebagai berikut:

65 52 1) Hilang dari pemeriksaan (Loss to Follow Up) Individu meninggalkan pengamatan tanpa diketahui alasannya. Waktu ketahanan hidup individu yang sebenarnya tidak diketahui, yang diketahui hanya individu bertahan hidup dari tanggal individu masuk dalam pengamatan sampai individu meninggalkan pengamatan. 2) Keluar Efek buruk yang terjadi dari sebuah percobaan memaksa pemberhentian percobaan atau individu yang menolak untuk melanjutkan percobaan dengan alasan apapun. 3) Penghentian Pengamatan Penghentian pengamatan terjadi karena individu yang tetap hidup pada akhir dari pengamatan. Setiap individu yang masuk dalam percobaan mempunyai waktu hidup dan waktu sensor. Pada setiap individu didapat pasangan pengamatan dimana dan {. Gambar berikut akan memperjelas pemahaman mengenai penyensoran tipe I dan penyensoran acak. Pada gambar terdapat enam individu yang masuk ke dalam pengamatan. Tanda x berarti kegagalan yang terjadi adalah kematian. Tanda + berarti penyensoran kanan. 1 x x Waktu Awal Pengamatan + Waktu Terakhir Pengamatan

66 53 Angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 menyatakan individu. Dua garis tegak menyatakan waktu awal pengamatan dan waktu terakhir pengamatan. Individu 1 masuk ke dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan dan meninggal sebelum waktu terakhir pengamatan. Jadi waktu hidup untuk individu 1, yaitu dihitung dari waktu awal pengamatan sampai waktu individu meninggal. Individu 2 masuk ke dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan dan individu belum meninggal sampai akhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 2 termasuk ke dalam penyensoran tipe I. Jadi waktu sensor individu 2, yaitu adalah waktu terakhir pengamatan. Individu 3 masuk ke dalam percobaan tidak mulai dari waktu awal dan meninggal sebelum pengamatan berakhir. Dalam kasus ini, individu 3 termasuk dalam penyensoran acak. Jadi waktu sensor individu 3, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk ke dalam pengamatan sampai individu meninggal. Sama halnya dengan individu 3, individu 4 masuk ke dalam percobaan tidak mulai dari waktu awal pengamatan. Namun, individu 4 belum meninggal sampai waktu terakhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 4 termasuk dalam penyensoran acak. Jadi, waktu sensor individu 4, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk ke dalam pengamatan sampai waktu terakhir pengamatan. Individu 5 dan individu 6 memiliki kasus yang sama, yaitu hilang dari pengamatan. Perbedaannya adalah individu 5 masuk ke dalam pengamatan mulai dari awal pengamatan, sedangkan individu 6 tidak masuk ke dalam pengamatan mulai dari awal. Dalam kasus ini, individu 5 dan individu 6 termasuk dalam penyensoran acak. Waktu sensor individu 5, yaitu adalah jarak waktu dari awal pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan. Waktu sensor individu 6, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk dalam pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan. c. Penyensoran Tipe II Sama seperti penyensoran Tipe I, pengamatan dimulai pada waktu. Misalkan menunjukkan nilai yang telah diurut dari sampel acak. Pengamatan akan berakhir sesudah kegagalan ke- terjadi.

67 54 Misalnya dipilih, sehingga pada umumnya akan terdapat waktu kegagalan. Namun pada penyensoran ini, pengamatan berkahir pada saat waktu kegagalan dari kegagalan ke- terjadi. Jadi, pada percobaan hanya akan diamati pengamatan dalam sampel acak dari item. Pada penyensoran ini pengamatan mungkin saja akan membutuhkan waktu yang lama karena harus menunggu sampai kegagalan ke- terjadi. Namun pengamatan juga dapat berakhir cepat apabila kegagalan ke- terjadi sangat cepat. Misalkan adalah waktu pengamatan berakhir pada saat kegagalan ke- terjadi. Semua individu yang masih bertahan sampai waktu memiliki waktu sensor yaitu diilustrasikan sebagai berikut:. Secara umum penyensoran ini 2. Penyensoran Kiri Penyensoran kiri sering terjadi sering terjadi pada pengamatan yang melibatkan dua tahap pengamatan yang berbeda. Individu yang masuk pada proses pengamatan pertama tetapi tidak memenuhi syarat untuk masuk ke tahap kedua dipandang sebagai tersensor kiri. Misalkan sebuah pengamatan berjudul Inisiasi Penggunaan Alat Kontrasepsi Pertama Kali Sesudah Menikah. Pasangan yang mengikuti pengamatan tetapi telah menggunakan alat kontrasepsi sebelum menikah maka data dari pasangan tersebut tersensor kiri. Contoh lainnya adalah misalkan pengamatan dilakukan pada sebuah Sekolah Menengah Atas yang berjudul Pemakaian Ganja Pertama Kali Selama Masa Sekolah Menengah Atas. Seorang anak SMA yang mengikuti

68 55 pengamatan telah memakai ganja tetapi anak tersebut tidak mengingat waktu pertama memakai ganja maka data dari anak tersebut tersensor kiri. 3. Penyensoran Interval Pada penyensoran interval waktu hidup hanya terjadi pada suatu interval. Setiap waktu hidup individu, yaitu jatuh dalam interval ( ] yang merepresentasikan interval waktu dengan merupakan batas bawah waktu penyensoran dan merupakan batas atas waktu penyensoran. Misalkan individu ke- memperlihatkan gejala kegagalan pada waktu pemeriksaan pertama maka dan adalah waktu pemeriksaan selanjutnya. Jika individu tidak memperlihatkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan ke- tetapi menunjukkan gejala kegagalan pada waktu ke- maka adalah waktu pemeriksaan ke- dan adalah waktu pemeriksaan ke-. Jika individu tidak menunjukkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan terakhir maka adalah waktu pemeriksaan terakhir dan. Waktu ketahanan hidup pada penyensoran interval biasa ditetapkan, misalnya waktu tengah dari interval waktu. G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier Penduga Kaplan Meier dikenal juga dengan sebutan penduga product limit. Penduga Kaplan Meier pertama kali diperkenalkan oleh Kaplan dan Meier pada tahun Penduga Kaplan Meier banyak digunakan dalam dunia medis untuk menduga fungsi ketahanan hidup. Diketahui fungsi ketahanan hidup adalah. Ketika tidak ada data tersensor maka penduga Kaplan Meier adalah. Penduga Kaplan Meier untuk kasus penyensoran kanan yang tunggal sama dengan penduga Kaplan Meier untuk kasus tidak ada penyensoran, yaitu untuk setiap, merupakan waktu sensor. Semua kasus penyensoran yang disensor pada waktu yang sama disebut kasus penyensoran kanan tunggal. Dalam kasus ini, untuk tidak terdefinisi. Hal yang berbeda muncul apabila beberapa waktu penyensoran lebih kecil dari pada beberapa waktu kegagalan. akan menjadi bias karena

69 56 kasus yang disensor sebelum pada kenyataannya bisa saja termasuk dalam kegagalan tanpa diketahui. Solusi untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan terdapat waktu yang berbeda dengan. Untuk setiap, ada individu yang dikatakan berada pada risiko kegagalan. Risiko berarti individu-individu tersebut tidak mengalami kegagalan dan juga belum disensor sebelum waktu ke-. Jika terdapat individu yang tersensor tepat pada waktu kemaka individu tersebut termasuk dalam risiko pada waktu ke-. Misalkan adalah banyaknya individu yang meninggal pada waktu ke-. Teorema 3.1 Penduga fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier adalah untuk. Bukti: Fungsi likelihood untuk dengan merupakan fungsi hazard saat waktu ke- adalah [ ] [ ] dengan adalah banyaknya kegagalan yang terjadi waktu ke- dan adalah banyaknya individu yang berisiko gagal pada waktu ke-. Selanjutnya akan dicari penduga untuk fungsi hazard dengan mengambil turunan pertama dari [ ] terhadap sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut untuk. Langkah 1: Tentunya akan sulit apabila persamaan di atas langsung diturunkan terhadap, sehingga diperlukan cara untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang lebih sederhana dengan transformasi logaritma. [ ] [ ]

70 57 [ ( )] Langkah 2: Mengambil turunan pertama dari [ ] terhadap, yaitu: [ [ ]] Langkah 3: mencari penyelesaian untuk, yaitu ( ) Sehingga pembuat nol dari persamaan di atas adalah, maka diperoleh Jadi diperoleh atau biasa ditulis dengan. Persamaan menyatakan bahwa sehingga ( ) atau Teorema 3.2 Penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier adalah [ ] [ ] Standar error dari penduga Kaplan Meier adalah akar kuadrat dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier. Bukti: Teorema menyatakan bahwa dengan menambahkan fungsi ln pada kedua ruas diperoleh:

71 58 [ ] [ ] dengan adalah probabilitas bersyarat dari ketahanan hidup dalam interval dapat dinyatakan sebagai sebuah penduga dari proporsi. Penduga variansi untuk adalah [ ] [ ] Selanjutnya menggunakan Metode Delta persamaan ( ) diperoleh [ ] [ ] [ ] [ ] Pembilang dan penyebut dari persamaan di atas dikalikan dengan sehingga [ ] [ ] Karena maka. Jadi [ ] Penduga variansi dapat diperoleh dengan menjumlahkan variansi dari ln dengan, yaitu [ ] Selanjutnya digunakan Metode Delta dengan ( ), sehingga diperoleh penduga variansi dari penduga Kaplan Meier yaitu [ ] [ ] Rumus dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier sering disebut dengan formula Greenwood. Selang kepercayaan bagi diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai penduga dari fungsi ketahanan hidup pada berdistribusi normal dengan rata-rata

72 59 dan standar eror [ ]. Dengan demikian diperoleh kuantitas pivot [ ] berdistribusi Normal Standar, sehingga menurut persamaan selang kepercayaan untuk yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan, yaitu ( [ ] ) ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) Jadi, selang kepercayaan untuk adalah [ ] [ ] Contoh 3.1 Terdapat dua kelompok pasien penderita leukemia di suatu rumah sakit. Setiap kelompok terdiri dari 21 orang. Kelompok 1 adalah kelompok yang tidak diberi pengobatan sedangkan kelompok 2 adalah kelompok yang diberi pengobatan. Pengamat ingin mengetahui apakah obat yang diberikan kepada penderita leukema dapat memperlambat kematian dengan melihat ketahanan hidup setelah 23 minggu. Berikut adalah data dari setiap pasien dengan tanda + berarti pasien tersebut tersensor. Waktu kegagalan kelompok 1 secara berurut adalah 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23. Waktu kegagalan pada kelompok 2 secara berurut adalah 6, 6, 6, 6+, 7, 9+, 10, 10+, 11+, 13, 16, 17+, 19+, 22, 23, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+. Menggunakan rumus penduga Kaplan Meier, yaitu. Hasil untuk kelompok 1 dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.

73 60 Tabel 3.1 Hasil Perhitungan untuk Kelompok Sedangkan untuk kelompok 2 menggunakan rumus. Hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Tabel 3.2 Hasil Perhitungan untuk Kelompok

74 Dari Tabel 3.1 diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23 minggu adalah 0, ini artinya adalah kelompok 1 yaitu kelompok yang tidak diberi pengobatan tidak dapat bertahan hidup setelah 23 minggu. Dari Tabel 3.2 diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23 minggu adalah , ini artinya bahwa kelompok 2 yaitu kelompok yang diberi pengobatan dapat bertahan hidup setelah 23 minggu dengan peluang Kesimpulan yang diperoleh dari hasil perhitungan adalah obat yang diberikan kepada penderita leukima dapat memperlambat kematian penderita leukemia. Contoh 3.2 Tentukan selang kepercayaan bagi untuk kelompok 1 pada Contoh 3.1 Jawab: Sebelum mencari selang kepercayaan akan dicari [ ]. Menurut Teorema 3.2, yaitu [ ] [ ], maka [ ] [ ] [ ] Dari persamaan dapat diperoleh selang kepercayaan bagi adalah Artinya, dengan tingkat kepercayaan ketahanan hidup pasien penderita leukimia yang tidak diberi pengobatan lebih dari 8 minggu berada pada selang [ ].

75 62 Contoh 3.3 Tentukan selang kepercayaan 3.1 Jawab: bagi untuk kelompok 2 pada Contoh Sebelum mencari selang kepercayaan akan dicari [ ]. Menurut Teorema 3.2, yaitu [ ] [ ], maka [ ] [ ] [ ] Dari persamaan dapat diperoleh selang kepercayaan bagi adalah Artinya, dengan tingkat kepercayaan ketahanan hidup pasien penderita leukimia yang diberi pengobatan lebih dari 23 minggu berada pada selang [ ]. H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dengan program R Dalam perhitungan dengan jumlah data yang banyak maka diperlukan suatu program yang dapat membantu dalam perhitungan. Program R menyediakan packages yang dapat membantu perhitungan dalam beberapa metode ketahanan hidup. Oleh karena itu perlu diinstal packages Survival. Contoh 3.4 Gambarlah kurva ketahanan hidup kelompok 1 pada Contoh 3.1 Jawab: Gambar untuk kelompok 1 pada contoh Contoh 3.1 menggunakan program R dapat dilihat pada Gambar 3.1.

76 63 w S(t) : S (t) Gambar 3.1. Kurva Ketahanan Hidup Kelompok 1 Pada Contoh 3.1 Contoh 3.5 Gambarlah kurva ketahanan hidup kelompok 2 pada Contoh 3.1 Jawab: Gambar untuk kelompok 2 pada contoh Contoh 3.1 menggungakan program R dapat dilihat pada Gambar 3.2. w : S (t) S(t) Gambar 3.2. Kurva Ketahanan Hidup Kelompok 2 Pada Contoh 3.1

77 64 Contoh 3.6 Bandingkan Gambar 3.1 dengan Gambar 3.2. Buatlah kesimpulan mengenai kedua gambar tersebut. Gambar 3.3. Kurva Ketahanan Hidup Kelompok 1 dan Kelompok 2 Pada Contoh 3.1 Secara umum kurva ketahanan hidup kelompok 2 selalu berada di atas kurva ketahanan hidup kelompok 1. Hal ini menunjukkan bahwa peluang bertahan hidup kelompok 2 lebih besar dari pada peluang bertahan hidup kelompok 1. Sebagai contoh, diambil, bagi kelompok 1 sedangkan bagi kelompok 2. Jadi, sesuai dengan kesimpulan dari hasil perhitungan bahwa obat yang diberikan kepada penderita leukima dapat memperlambat kematian penderita leukemia.

78 BAB IV APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP PENDERITA KANKER A. Kanker Menurut hasil survei WHO (World Health Organization), Kanker menduduki peringkat kedua penyebab kematian di dunia. Terdapat kematian akibat kanker pada tahun juta. Menurut infodatin (Pusat Data dan Informasi Kementerian Kesehatan Republik Indonesia) yang diterbitkan pada Oktober 2016, Kanker adalah pertumbuhan sel-sel dalam jaringan tubuh yang tidak normal. Sel-sel tersebut tidak hanya tumbuh pada satu tempat tetapi dapat menyebar ke bagian tubuh lainnya. Terdapat kurang lebih 15 tipe kanker, di antaranya kanker paru-paru, kanker payudara, kanker kulit, kanker prostat, kanker perut, Sarkoma, Leukimia, dan Limfoma. Kanker payudara adalah tumor ganas yang terbentuk dari sel-sel payudara yang tumbuh dan berkembang tanpa terkendali sehingga dapat menyebar di antara jaringan atau organ di dekat payudara atau ke bagian tubuh lainnya. Berdasarkan estimasi Globocan, International Agency for Research on Cancer tahun 2012, insiden kanker pada perempuan di Indonesia mencapai 134 per penduduk dengan insiden tertinggi pada perempuan adalah kanker payudara sebesar 40 per perempuan. Estimasi Globocan angka kematian di Indonesia untuk kanker payudara adalah 16,6 kematian per penduduk. Prevalensi kanker payudara tertinggi terdapat di D.I Yogyakarta sebesar 2,4%. Penyebab kanker pun bermacam-macam, diantaranya faktor keturunan, faktor lingkungan, gaya hidup, dan kebiasaan. Gaya hidup sebagai perokok dan peminum menjadi penyebab kanker. Faktor keturunan berarti seorang penderita kanker mempunyai riwayat penyakit kanker pada keluarganya. Selanjutnya yang akan menjadi fokus utama pembahasan adalah kanker payudara. Terdapat beberapa tindakan yang sering dilakukan untuk mengobati kanker payudara, diantaranya operasi, terapi radiasi, atau kemoterapi. Operasi dilakukan untuk mengangkat sel kanker yang dimungkinkan untuk diangkat. Operasi juga 65

79 66 dilakukan untuk mengembalikan bentuk payudara setelah kanker diangkat. Terapi radiasi adalah pengobatan menggunakan sinar dengan energi yang tinggi seperti x-ray. Terapi radiasi dilakukan untuk menghancurkan sel kanker. Kemoterapi adalah pengobatan dengan obat-obat yang dapat membunuh sel kanker. Kemoterapi dapat diberikan melalui suntikan obat atau penderita memilih untuk meminum obat secara teratur. Obat-obat berjalan melalui aliran darah menuju selsel kanker di dalam tubuh. Banyak efek samping yang diberikan oleh kemoterapi, tetapi antar penderita kanker belum tentu merasakan efek samping yang sama. Efek samping yang diberikan kemoterapi antara lain rambut rontok, mual, kehilangan atau meningkatnya nafsu makan. Stadium penyakit kanker adalah suatu keadaan dari hasil diagnosa dokter terhadap penderita kanker, sejauh mana penyebaran kanker ke jaringan tubuh lainnya. Stadium hanya dikenal pada tumor ganas atau kanker dan tidak ada pada tumor jinak. Dalam penentuan stadium perlu dilakukan pemeriksaan klinis dan ditunjang dengan pemeriksaan lainnya seperti USG, rontgen, CT Scan, dan lainlain. Banyak sekali cara untuk menetukan stadium, namun cara menetukan stadium yang paling banyak dianut saat ini adalah stadium kanker berdasarkan klasifikasi sistem TNM yang direkomendasikan oleh IUCC (International Union Against Cancer) dari WHO (World Health Organization) atau AJCC (American Joint Committe On Cancer) yang di sponsori oleh American Cancer Society dan American College of Surgeons. TNM merupakan singkatan dari T adalah tumor atau ukuran tumor, N adalah node atau kelenjar getah bening regional, dan M adalah metastatis atau penyebaran jauh. Pada kanker payudara penilaian TNM untuk ukuran tumor, yaitu T0 berarti tidak ditemukan tumor primer, T1 berarti ukuran tumor dengan diameter 2 cm atau kurang, T2 ukuran tumor dengan diameter diantara 2-5 cm, T3 berarti ukuran tumur dengan diameter lebih dari 5 cm, dan T4 berarti ukuran tumor dengan diameter berapa saja tetapi terdapat penyebaran ke kulit atau dinding dada atau pada keduanya. Penilaian TNM untuk kelenjar getah bening, yaitu N0 berarti tidak terdapat metastatis pada kelenjar getah bening regional di ketiak atau asilla, N1 berarti ada metastatis ke kelenjar getah bening ketiak yang

80 67 masih dapat digerakkan, N2 berarti ada metastatis ke kelenjar getah bening ketiak yang sulit digerakkan, dan N3 berarti ada metastatis ke kelenjar getah bening di atas tulang selangka atau pada kelenjar getah bening di mammary interna di dekat tulang sternum. Penilaian TNM untuk penyebaran jauh, yaitu Mx berarti mestatis jauh belum dapat dinilai, M0 berarti tidak terdapat metastatis jauh, dan M1 berarti terdapat metastatis jauh. Selanjutnya ketiga faktor digabungkan dan diperoleh delapan stadium kanker sebagai berikut (Dipiro, Joseph T, et al. (2011). Pharmacotherapy. 8 th Edition): 1. Stadium 0 : T0N0M0 2. Stadium I : T1N0M0 3. Stadium II A : T0N1M0/ T1N1M0/ T2N0M0 4. Stadium II B : T2N1M0/ T3N0M0 5. Stadium III A : T0N2M0/ T1N2M0/ T2N2M0/ T3N1M0 6. Stadium III B : T4N0M0/ T4N1M0/ T4N2M0 7. Sadium III C : Tiap T-N3M0 8. Stadium IV : Tiap T-Tiap N-M1. B. Proses Pengambilan Sampel Di bagian rekam medis Rumah Sakit Panti Rapih terdapat dua bagian, yaitu bagian komputer dan bagian rekam medis. Terdapat peraturan yang dibuat oleh Rumah Sakit Panti Rapih dalam melihat rekam medis dari pasien, yaitu pada hari selasa sampai sabtu peneliti hanya diperbolehkan melihat 10 rekam medis pasien per hari. Oleh karena terdapat 483 pasien kanker payudara pada tahun di Rumah Sakit Panti Rapih, maka penulis membutuhkan sampel yang akan digunakan untuk menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara pada beberapa stadium. Semua pasien kanker payudara berjenis kelamin wanita. Pada awalnya, penulis mendapatkan data seluruh pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih tahun dari bagian komputer. Data tersebut terdiri dari nomor pasien, nama pasien, umur pasien, tanggal masuk pasien, tanggal keluar pasien, dan status terakhir pasien. Data yang diperoleh sebanyak

81 data. Data tersebut masih sangat acak karena data yang diberikan berdasarkan tanggal masuk dan keluar RS sehingga untuk pasien yang datang ke rumah sakit lebih dari satu kali, data dari pasien tersebut akan berulang. Sebagai contoh, misalkan individu A datang ke RS pada tanggal 20 Januari 2014 dan 8 Juni 2014, maka data individu A akan terulang lagi pada tanggal 8 Juni. Oleh karena itu, penulis mengurutkan data berdasarkan nomor pasien. Selanjutnya, penulis memilih tanggal masuk paling awal dan tanggal keluar paling lama untuk setiap pasien, sedangkan untuk status terakhir pasien penulis mengambil status terakhir pada tanggal keluar paling lama. Sebagai contoh, individu A masuk ke RS pada tanggal 20 Januari 2014 dan keluar dari RS pada tanggal 25 Januari 2014 dengan status terakhir obat jalan. Kemudian individu A masuk lagi ke RS pada tanggal 8 Juni 2014 dan keluar pada tanggal 9 Juni 2014 dengan status meninggal, maka untuk individu A penulis mengambil tanggal masuk RS yaitu 20 Januari 2014 dan tanggal keluar RS 9 Juni 2014 dengan status terakhir meninggal. Setelah mengelompokkan semua data, penulis mendapat 483 data pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih tahun Selanjutnya, penulis meminta data pasien yang mengikuti kemoterapi dan pasien yang tidak mengikuti kemoterapi pada bagian komputer dan memasukkan data tersebut kepada data yang sudah dikelompokkan. Kemudian untuk mengetahui waktu hidup pasien, penulis mengurangi tanggal keluar pasien dengan tanggal masuk pasien, sehingga diperoleh 483 data yang terdiri dari 168 pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan 315 pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi (Lampiran 6). Oleh karena penulis membutuhkan data mengenai stadium pasien, penulis mengambil sampel. Sampel yang baik adalah sampel yang diambil secara acak dan representatif terhadap populasi. Penulis menggunakan metode SRS (Simple Random Sample), yaitu dengan undian. Penulis membuat dua jenis undian. Undian jenis pertama terdiri dari 168 kertas yang kurang lebih ukurannya sama untuk mengambil sampel pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi. Undian jenis kedua yang terdiri dari 315 kertas yang kurang lebih ukurannya sama untuk mengambil sampel pasien kanker payudara yang tidak mengikuti

82 69 kemoterapi. Ukuran kertas kurang lebih 3.7 cm x 2.4 cm. Pada kenyataannya terdapat 118 sampel yang terambil diantaranya 54 pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan 64 pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Oleh karena keterbatasan penulis, yaitu penulis tidak bisa membaca tulisan dokter, apabila bagi pasien yang rekam medisnya tidak ada keterangan stadium atau klasifikasi TNM (lihat Bab IV bagian A) dalam bentuk print dari komputer maka data stadium dari pasien tersebut tidak dimasukkan ke dalam sampel. Penulis mendapat 70 sampel pasien yang diketahui stadiumnya diantaranya 40 pasien yang mengikuti kemoterapi dan 30 pasien yang tidak mengikuti kemoterapi. Tabel 4.1 memperlihatkan banyaknya penderita kanker dalam 5 (lima) kategori kelompok umur. Tabel 4.1. Pengelompokkan Pasien Kanker Payudara Berdasarkan 5 Kelompok Umur. Umur Kemo Non Kemo Total Total 79 Apabila dilihat dari Tabel 4.1 dapat disimpulkan bahwa pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih tahun paling banyak pada rentang umur dan karena dengan selisih 6 tahun total pasien kanker payudara mencapai 98 dan 100. Selanjutnya, terdapat 70 sampel yang dapat diketahui stadiumnya dari 118 data yang telah diambil. Penulis membagi stadium ke dalam 4 kelompok. Pertama, stadium 1 yang meliputi stadium 0 dan stadium I. Kedua, stadium 2 yang meliputi stadium II A dan II B. Ketiga, stadium 3 yang meliputi stadium III A, III B, dan stadium III C. Keempat, stadium 4 yang

83 70 meliputi stadium IV. Tabel 4.2 memperlihatkan jumlah sampel yang telah dibagi ke dalam 5 kelompok umur dan 4 kelompok stadium. Tabel 4.2. Pengelompokan Sampel Pasien Kanker Payudara Berdasarkan 5 Kelompok Umur dan 4 Kelompok Stadium. Stadium Umur Kemo Non Kemo Jumlah Stadium Stadium Stadium Stadium Total 70 Pada pengambilan sampel tidak diperoleh pasien dengan stadium 1. Hal ini berarti pasien kanker payudara yang stadium 1 masih sangat jarang ke Rumah Sakit. Pasien mulai datang ke Rumah Sakit untuk memeriksakan kondisi pasien

84 71 mulai stadium 2. Selanjutnya, terdapat 8 pasien kanker payudara pada stadium 2, 21 pasien kanker payudara pada stadium 3, dan 41 pasien kanker payudara pada stadium 4. Hal ini berarti pasien kanker payudara paling banyak sudah mencapai stadium 4. Pada rentang umur total pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel sebanyak 20. Hal ini berarti pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel paling banyak berada pada rentang umur C. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Dalam Perhitungan aplikasi pendugaan ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier pada pasien kanker payudara menggunakan Teorema 3.1 (Persamaan 3.15), yaitu dengan: : peluang bertahan hidup pasien kanker payudara lebih dari waktu, : banyaknya pasien kanker payudara yang meninggal pada waktu ke-, : banyaknya pasien kanker payudara yang berada pada risiko kegagalan waktu ke-. Dalam penentuan penduga variansi digunakan Teorema 3.2 (Persamaan 3.16), yaitu [ ] [ ] Dalam perhitungan selang kepercayaan digunakan persamaan 3.17 dengan, sehingga persamaan 3.17 menjadi [ ] [ ] Apabila dilihat pada tabel distribusi normal, yaitu pada Lampiran 4, maka diperoleh.

85 72 Selanjutnya penulis akan menghitung peluang bertahan hidup hingga selang kepercayaan bagi pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta. 1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun Pada bagian ini, penulis akan menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara secara keseluruhan pada tahun tanpa membedakan pasien yang mengikuti kemoterapi atau tidak dan stadium pasien. Penulis melakukan perhitungan menggunakan program R. Data pasien kanker payudara tahun dapat dilihat pada Lampiran 6. List program perhitungan juga dapat dilihat pada Lampiran 8. Hasil perhitungan ketahanan hidup disajikan pada Tabel 4.3, sedangkan perhitungan secara keseluruhan terdapat pada Lampiran 8. Kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara pada tahun disajikan dalam Gambar 4.1. Tabel 4.3. Hasil Perhitungan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun Batas Bawah Batas Atas

86

87 74 w S(t) : S (t) Gambar 4.1. Kurva Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun Menurut persamaan diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 4.3. Pada Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa dengan selang kepercayaan yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti peluang bertahan hidup pasien kanker payudara untuk semua stadium dan perlakuan (kemo dan tidak kemo) melebihi hari berada pada selang [ ] yang secara kurva dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara secara keseluruhan turun lambat. 2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi Pada bagian ini, penulis akan menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti pengobatan berupa kemoterapi di Rumah Sakit Panti Rapih tahun Hasil perhitungan ketahanan hidup disajikan pada Tabel 4.4, sedangkan perhitungan secara keseluruhan terdapat pada Lampiran 9. Kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi pada tahun disajikan dalam Gambar 4.2.

88 75 Tabel 4.4. Hasil Perhitungan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi Tahun Batas Bawah Batas Atas

89 76 w S(t) : S (t) Gambar 4.2. Kurva Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi Tahun Menurut persamaan diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 4.4. Pada Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa dengan selang kepercayaan yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi melebihi hari berada pada selang [ ] yang secara kurva dapat dilihat pada Gambar 4.2. Pada Gambar 4.2 dapat dilihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi turun lambat. 3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Pada bagian ini, penulis akan menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti pengobatan berupa kemoterapi di Rumah Sakit Panti Rapih tahun Hasil perhitungan ketahanan hidup disajikan pada Tabel 4.5, sedangkan hasil perhitungan secara keseluruhan terdapat pada Lampiran 10. Kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi pada tahun disajikan dalam Gambar 4.3.

90 77 Tabel 4.5. Hasil Perhitungan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Tahun Batas Bawah Batas Atas NaN NaN

91 78 w S(t) : S (t) Gambar 4.3. Kurva Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Tahun Pada hasil perhitungan yang terdapat pada Tabel 4.5 dijumpai NaN (Not a Number) yang berarti bagian tersebut tidak dapat dihitung. Menurut persamaan diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 4.5. Pada Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa. Hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi hari adalah. Pada kasus ini selang kepercayaan untuk tidak dapat dicari karena akan terjadi pembagian dengan nol pada persamaan. Apabila dilihat dari kurva pada Gambar 4.3, terlihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun cepat sampai. Saat sampai kurva ketahanan hidup stabil. Hal ini disebabkan karena tidak adanya pasien yang meninggal pada rentang waktu. Saat kurva ketahanan hidup turun tajam ke. Hal ini disebabkan karena pada saat jumlah individu yang meninggal dan individu yang masih bertahan hidup sama, yaitu. Hal ini berarti peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi lebih dari 883 hari kecil.

92 79 4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi dengan Pasien yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Pada bagian ini, penulis membandingkan peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi di Rumah Sakit Panti Rapih tahun Perbandingan peluang bertahan hidup dapat dilihat dari hasil pada Tabel 4.4 dan 4.5 serta kurva ketahanan hidup pada Gambar Gambar 4.4. Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti dan Tidak Mengikuti Kemoterapi Tahun Gambar 4.4 menjelaskan bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi cenderung berada di atas kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi serta terlihat pula bahwa pada saat, kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun tajam. Hal tersebut menunjukkan bahwa peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih tinggi dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.

93 80 5. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 2 Pada bagian ini, penulis akan menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 2 menggunakan sampel yang telah diambil. Data pasien kanker payudara dapat dilihat pada Lampiran 7. Pada saat pengambilan sampel, tidak diperoleh pasien yang meninggal dengan stadium terakhir dari pasien tersebut adalah stadium 2. Hal tersebut menyebabkan peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 2 yang mengikuti kemoterapi maupun tidak mengikuti kemoterapi tidak dapat dihitung. Perhitungan yang dimungkinkan adalah saat akan memperoleh. Hal ini tidak mempunyai arti yang bermakna karena menyatakan kondisi awal pada saat penelitian. Kondisi juga berlaku untuk pasien kanker payudara stadium 2 yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. 6. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 3 Data dari pasien kanker payudara stadium 3 dapat dilihat pada Lampiran 7. Pada saat pengambilan sampel, tidak diperoleh pasien yang meninggal pada stadium 3. Hal tersebut mengakibatkan hal yang sama pada stadium 2, yaitu perhitungan peluang bertahan hidup pada suatu waktu tidak dapat dilakukan kecuali pada saat. Pada saat memperoleh. menyatakan kondisi awal saat penelitian dan juga berlaku untuk pasien kanker payudara stadium 3 yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Oleh karena itu, hasil tidak mempunyai arti yang bermakna. 7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Pada bagian ini, penulis akan menghitung ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 menggunakan sampel yang telah diambil. Terdapat tiga sub bagian, yaitu ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi, tidak mengikuti kemoterapi, dan perbandingan antar keduanya.

94 81 a. Ketahanan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti Kemoterapi Tabel 4.6. Hasil Perhitungan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi Batas Bawah Batas Atas w S(t) : S (t) Gambar 4.5. Kurva Kelangsugan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti Kemoterapi.

95 82 Menurut persamaan diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 4.6. Pada Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa dengan selang kepercayaan yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi melebihi hari berada pada selang [ ]. pada Gambar 4.5 dapat dilihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi turun lambat. b. Ketahanan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Tabel 4.7. Hasil Perhitungan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Batas Bawah Batas Atas NaN NaN

96 83 w S(t) : S (t) Gambar 4.6. Kurva Kelangsugan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi. Menurut persamaan diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 4.7. Pada Tabel 4.7 dapat dilihat bahwa. Hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi hari adalah yang secara kurva dapat dilihat pada Gambar 4.6 yang turun menuju ke nol. Pada kasus ini selang kepercayaan untuk tidak dapat dicari karena terjadi pembagian dengan nol pada persamaan. Apabila dilihat dari Gambar 4.6, kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi turun cepat sampai. Kurva stabil saat sampai. Saat sampai kurva ketahanan hidup kembali turun cepat. Kurva kembali stabil saat sampai. Kurva stabil dalam rentang waktu yang cukup lama disebabkan karena tidak adanya individu yang meninggal pada rentang waktu tersebut. Saat kurva ketahanan hidup turun tajam ke. Hal ini disebabkan karena pada saat jumlah individu yang meninggal dan individu yang masih bertahan hidup sama yaitu. Hal ini menunjukkan bahwa peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi kecil.

97 84 c. Perbandingan Ketahanan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti Kemoterapi dengan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi Gambar 4.7. Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti dan Tidak Mengikuti Kemoterapi. Kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi cenderung berada di atas kurva ketahanan hidup stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi. Saat sampai, kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi berada di atas kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemotrapi. Namun, saat kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi langsung turun tajam. Berbeda halnya dengan kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi cenderung turun lambat. Hal ini menunjukkan peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi lebih tinggi dari pada peluang hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi.

98 85 Tabel 4.8 menampilkan persentase paisen kanker payudara stadium 4 yang meninggal pada saat mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi. Pada hasil Tabel 4.8 akan diduga apakah terdapat pengaruh umur pada pasien kanker payudara. Tabel 4.8 Persentase Paisen Kanker Payudara Stadium 4 yang Meninggal Pada Saat Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi Kemo Non Kemo Umur Jumlah Pasien % Meninggal Jumlah Pasien % Meninggal Total Apabila hasil pada Tabel 4.8 diamati, maka dapat diduga bahwa tidak terdapat pengaruh umur terhadap persentase pasien kanker payudara stadium 4 yang meninggal untuk pasien yang mengikuti kemoterapi maupun tidak mengikuti kemoterapi. Hal ini disebabkan karena tidak adanya pola khusus hubungan antara kelompok usia dan persentase pasien kanker payudara stadium 4 yang meninggal. Pola khusus yang dimaksud adalah semakin tinggi usia pasien maka semakin tinggi pula risiko kematian pasien (persentase pasien yang meninggal).

99 A. Kesimpulan BAB V PENUTUP Analisis ketahanan hidup adalah salah satu cabang dari ilmu statistik yang dapat digunakan dalam berbagai ilmu. Salah satu bidang ilmu yang menggunakan analisis ketahanan hidup adalah bidang kesehatan. Salah satu kegunaan analisis ketahanan hidup dalam bidang kesehatan adalah menghitung peluang bertahan hidup dari suatu penyakit. Diperlukan suatu penduga yang baik untuk menduga ketahanan hidup dari suatu populasi. Salah satu penduga yang baik untuk menduga ketahanan hidup dari suatu populasi dapat ditemukan dengan menggunakan Metode Kaplan Meier. Metode tersebut dipublikasikan oleh Edward L. Kaplan dan Paul Meier pada tahun Data berhubungan erat dengan suatu penelitian. Namun, dalam penelitian tentang ketahanan hidup sering ditemukan data tersensor. Data dapat dikatakan tersensor karena waktu kegagalan (failure time) dari seorang pasien tidak diketahui. Kanker merupakan salah satu penyakit berbahaya yang dapat menyebabkan kematian. Kanker yang paling sering menyerang kalangan perempuan adalah kanker payudara. Dalam kanker pun dikenal istilah stadium yang menandakan tingkat keganasan dan penyebaran dari kanker tersebut. Berbagai tindakan medis dilakukan untuk memperlambat bahkan menghentikan pertumbuhan sel kanker. Salah satu pengobatan yang dapat diberikan kepada penderita kanker adalah kemoterapi. Oleh karena kemoterapi merupakan salah satu pengobatan, maka peluang bertahan hidup penderita kanker yang mengikuti kemoterapi haruslah lebih besar dari pada peluang bertahan hidup penderita kanker yang tidak mengikuti kemoterapi. Terdapat 483 perempuan yang menderita kanker payudara pada tahun di Rumah Sakit Panti Rapih. Dari 483 penderita kanker payudara hanya terdapat 168 yang mengikuti kemoterapi, sedangkan 315 memilih untuk tidak mengikuti kemoterapi. Kanker pun tidak mengenal umur. Pada Rumah Sakit Panti 86

100 87 Rapih tahun , umur terkecil penderita kanker payudara adalah 23 tahun, sedangkan umur tertua penderita kanker payudara adalah 89 tahun. Diambil 70 data pasien kanker payudara untuk diketahui stadiumnya. Dari hasil olah data, dapat disimpulkan bahwa peluang bertahan hidup pasien kanker payudara secara keseluruhan relatif kecil. Pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi secara keseluruhan memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi walaupun peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi tetap kecil. Kesimpulan yang sama berlaku juga pada pasien kanker payudara stadium 4, bahwa pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi dibandingkan dengan pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi walaupun peluang hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi tetap kecil. Hal ini sekaligus membuktikan bahwa kemoterapi dapat meningkatkan ketahanan hidup pasien kanker payudara atau kemoterapi dapat memperpanjang waktu hidup pasien kanker payudara. Apabila dilihat dari persentase pasien kanker payudara stadium 4 yang meninggal pada saat mengikuti kemoterapi dan tidak kemoterapi, maka dapat diduga bahwa tidak adanya pengaruh umur terhadap persentase pasien kanker payudara stadium 4 yang meninggal. B. Keterbatasan Penelitian Keterbatasan penelitian pada tugas akhir ini adalah peneliti tidak mempertimbangkan waktu pertama kali pasien berobat ke rumah sakit untuk penyakit kanker. C. Saran 1. Saran untuk Peneliti Selanjutnya Beberapa hal yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya, yaitu: 1. Pada penelitian selanjutnya dapat melibatkan orang yang berasal dari dunia kesehatan yang dapat membaca tulisan dokter.

101 88 2. Pada skripsi ini membahas penduga ketahanan hidup menggunakan Metode Kaplan Meier, selanjutnya dapat menggunakan Life Table dan Model Regresi Cox. 3. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan analisis ketahanan hidup di bidang ilmu lainnya, seperti ekonomi. 4. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan uji statistik dalam menentukan ada atau tidaknya perbedaan antar kurva ketahanan hidup. 2. Saran untuk Rumah Sakit Panti Rapih Beberapa hal yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya, yaitu: 1. Rumah Sakit Panti Rapih dapat meningkatkan manajemen data, seperti pengelolahan data pasien, kelengkapan data pasien, dan akurasi data pasien untuk mempermudah penelitian. 2. Rumah Sakit Panti Rapih dapat meningkatkan kemudahan dalam mengakses data bagi para peneliti, sehingga peneliti dapat memperoleh sampel yang lebih banyak.

102 DAFTAR PUSTAKA Allison, Paul D. (2010). Survival Analysis Using SAS. 2 nd Edition. USA: SAS Institute, Inc. Bagdonavicius, Vilijandas, et al. (2011). Non-Parametric Test For Censored Data. Chichester: John Wiley & Sons. Blossfeld, Hans Peter, et al. (2007). Event History Analysis With Stata. New York: Lawrence Erbaum Associates. Bowers, David. (2008). Medical Statistics From Scratch: An Introduction For Health Professionals. Chichester: John Wiley & Sons. Brostron, Goran. (2012). Event History Analysis With R. Boca Raton: CRC Press. Collect, David. (2003). Modelling Survival Data in Medical Research. 2 nd Edition. London: Chapman & Hall/CRC. Dipiro, Joseph T, et al. (2011). Pharmacotherapy. 8 th Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, Inc. Harinaldi. (2005). Prinsip - Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Penerbit Erlangga. Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Kaplan, E. L. & Paul Meier. (1958). Nonparametric Estimation From Incomplete Observations. Journal of The American Statistical Association. 53 (282): Kleinbaum, David G. & Mitchel Klein. (1996). Survival Analysis: A Self Learning Text. New York: Springer. Lawless, Jerald F. (2003). Statistical Models adn Methods For Lifetime Data. 2 nd Edition. Chichester: John Wiley & Sons. Lee, Elista T. & John Wenyu Wang. (2003). Statistical Methods For Survival Data Analysis. Chichester: John Wiley & Sons. Liu, Xian. (2012). Survival Analysis Models and Applications. Chichester: John Wiley & Sons.

103 Wakerly, Denis D, et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. 7 nd Edition. Duxubury: Thompson Brooks. Walpole, Ronald E, et al. (2012). Probability & Statisticals For Enginners & Scientists. 9 th Edition. New York: Prentice Hall. Willekens, Frans. (2014). Multistate Analysis Of Life Histories With R. New York: Springer. Diakses Tanggal: 08 Maret Jam Diakses Tanggal: 08 Maret Jam

104 LAMPIRAN

105 Lampiran 1: List program Contoh placebo<-read.table(file.choose(), sep=";", header = TRUE) 2. library(survival) 3. attach(placebo) 4. placebo.surv <- survfit( Surv(waktu, censor)~ 1,conf.type="plain") 5. summary(placebo.surv) Call: survfit(formula = Surv(waktu, censor) ~ 1, conf.type = "plain") time n.risk n.event survival std.err lower 95% upper 95% CI CI NaN NaN NaN 6. plot (placebo.surv, xlab="time", ylab="survival Probability" )

106 Lampiran 2: List Program Contoh coba2<-read.table(file.choose(), sep=";", header = TRUE) 2. library(survival) 3. attach(coba2) 4. coba2.surv <- survfit( Surv(time, sensor)~ 1,conf.type="plain") 5. summary(coba2.surv) Call: survfit(formula = Surv(time, sensor) ~ 1, conf.type = "plain") time n.risk n.event survival std.err lower 95% upper 95% CI CI plot (coba2.surv, xlab="time", ylab="survival Probability" )

107 Lampiran 3: List Program Contoh placebo.surv <- survfit( Surv(waktu, censor)~ 1, conf.type="none") 2. plot (placebo.surv,xlab="time",ylab="survival Probability",col="red" ) 3. coba2.surv <- survfit( Surv(time, sensor)~ 1, conf.type="none") 4. lines (coba2.surv, xlab="time", ylab="survival Probability",col="blue" ) 5. legend("topright",c("kelompok 1","Kelompok 2"),col=c("red","blue"),lty=1:1)

108 Lampiran 4: Tabel Distribusi Normal z

109 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

110 Lampiran 5: Surat Izin Penelitian dari RS Panti Rapih Yogyakarta