Bab II. Prinsip Fundamental Simulasi Monte Carlo

Transkripsi

1 Bab II Prinsip Fundamental Simulasi Monte Carlo Metoda monte carlo adalah suatu metoda pemecahan masalah fisis dengan menirukan proses-proses nyata di alam memanfaatkan bilangan acak/ random. Jadi metoda monte carlo merupakan suatu pendekatan stokastik. Prinsip Dasar Metoda Monte Carlo untuk Kasus Diskrit Dimisalkan bahwa medium homogen terdiri dari inti dari tiga tipe berbeda A, B, C, dan diketahui bahwa dalam kejadian tumbukan sebuah netron dalam medium, probabilitas tumbukan dengan tipe A adalah., dengan B adalah.3, dan dengan C adalah.5. Secara statistik jelas bahwa sejumlah besar N dari bilangan-bilangan acak yang dihasilkan akan memenuhi kondisi berikut. N akan jatuh pada interval < r <..3 N akan jatuh pada interval. < r <.5.5 N akan jatuh pada interval.5 < r < dan bahwa aproksimasi ini akan meningkat dengan bertambahnya N. Hal ini dapat kita manfaatkan untuk mensimulasikan peristiwa kemunculan peristiwa A,B dan C. Lebih umum, jika E,, E n adalah n independen, kejadian-kejadian mutually eclusive dengan probabilitas p,, p n, berturut-turut, dan p + + p n, maka berdasarkan generalisasi terhadap contoh di atas kondisi berikut p + + p i- < r < p + + p i 4

2 akan berkaitan dengan kemunculan kejadian E i. Ini adalah prinsip fundamental sepanjang itu berlaku pada suatu kasus diskrit dari suatu jumlah terbatas dari kejadian yang mungkin terjadi.. Prinsip Dasar Metoda Monte Carlo untuk Kasus Kontinu Kita akan menggunakan analogi kasus diskrit yang telah dibahas pada pasal bab ini untuk simulasi menentukan kemunculan peristiwa yang memiliki distribusi probabilitas yang bersifat kontinu. Misal adalah peristiwa kemunculan suatu proses tertentu yang bersifat kontinu. Dimisalkan kita menetapkan sembarang sebuah variabel pada interval < < n pada kejadian E,, E n, dengan kondisi bahwa i < < i merepresentasikan kejadian E i. Marilah kita membangun fungsi densitas probabilitas p() dengan definisi : p() p i i < < i i,, n Maka p() akan menjadi fungsi step seperti gambar.. Sekarang andaikan kita mendefinisikan fungsi distribusi probabilitas : P( ) p( ξ ) dξ dimana grafiknya adalah garis patah-patah seperti pada gambar. 5

3 P() Gambar. Probabilitas kemunculan peristiwa, dan 3 P().5. 3 Gambar. Fungsi distribusi probabilitas 6

4 Perhatikan bahwa P(), P(n). Sejak P(i) p + + p i, kita boleh menginterpretasikan P() untuk berarti probabilitas dari ketidaksamaan ξ <, untuk i, i,, n. Terlebih lagi sudah jelas bahwa persamaan : r P( ) p( ξ ) dξ menentukan secara uniksebagai fungsi dari r, sedemikian rupa sehingga jika r adalah terdistribusi secara seragam pada interval < r <, jatuh dengan frekuensi p i di dalam interval i < < I, dengan demikian menentukan kemunculan kejadian E i. Jadi untuk mensimulasikan sebuah proses yang memililiki harga dan proses ini memiliki fungsi kerapatan probabilitas f() maka kita cari fungsi kumulatifnya yang sekaligus kita normalisasikan: F( ) f ( ) d f ( ) d Selanjutnya kita hasilkan bilangan acak uniform antara dan, maka harga variabel yang diperoleh untuk simulasi diperoleh dengan memecahkan persoalan inversi fungsi F() berikut F() r Bila persoalannya sederhana seringkali hal ini dilakukan secara analitik, tetapi dalam kasus yang lebih umum perlu dilakukan secara numerik. 7

5 .3 Simulasi Transport Netron Simulasi transport netron dapat dibagi menjadi beberapa bagian seperti bagian sumber netron, bagian pelacakan jalannya netron (tracking), bagian identifikasi jenis reaksi, bagian hamburan, dan bagian terminasi. Bagian sumber akan mensimulasi munculnya sumber netron baik menyangkut energinya, menyangkut arak geraknya, serta posisinya. Bagian tracking akan mencari titik terjadinya interaksi berikutnya serta mengecek apakah titik ini di dalam sistem atau di luar sistem. Selanjutnya bagian identifikasi jenis reaksi akan menentukan jenis reaksi yang terjadi apakah penyerapan netron, hamburan, atau lainnya. Bagian hamburan akan mencari arah netron setelah hamburan, serta energinya setelah hamburan. Bagian terminasi akan menangani permasalahan berakhirnya sejarah netron akibat keluar sistem, diserap, atau faktor-faktor lainnya. Uraian lebih rinci akan dibahas pada bagian-bagian berikut..4 Bagian Sumber Sumber netron memiliki banyak karakteristik dari yang sangat sederhana untuk disimulasikan sampai yang bersifat kompleks. Sumber yang sederhana misalnya yang memiliki energi tunggal dan arah tertentu dalam dimensi misalnya untuk kasus transport netron menembus perisai dimesi slab. Sumber lebih kompleks bila memiliki simetri yang berbeda dengan perisai yang ditembusnya atau memiliki distribusi energi tertentu. Kombinasi kedua keadaan di atas akan memberikan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi. Lebih kompleks lagi bila bersoalannya bersifat iteratif seperti sumber dari netron hasil fisi di reaktor nuklir. 8

6 9 Dalam makalah ini akan dibahas sumber titik yang bersifat isotropis dengan energi tunggal (secara realitas cocok diterapkan pada kasus netron termal). Probabilitas netron menuju sudut daerah dω disekitar Ω adalah dω/4π. Dengan demikian disrtibusi kumulatifnya adalah Ω Ω Ω π π sin 4 ), ( 4 ) ( d d F d F π π ) ( ) cos ( ) cos ( sin ) ( d F d F φ ê z ê ê y Ω v y z

7 Dengan membangkitkan dua bilangan random maka dapat diperoleh sudut dan φ. Bila diperlukan dapat dilakukan moddifikasi lebih lanjut agar sumber yang dihasilkan langsung menuju bidang simulasi. Ini karena pada kondisi perumusan di atas ada kemungkinan sumber bergerak menjauhi bidang simulasi..5 Bagian Tracking Pada bagian ini akan dilakukan simulasi untuk mengetahui di mana terjadi peristiwa tumbukan atau reaksi berikutnya. Probabilitas mendapatkan reaksi berikutnya pada posisi sampai +d adalah p()d e - d dengan adalah penampang lintang total makroskopik. Maka distribusi kumulatifnya P( ) e d e Dengan demikian posisi tumbukan/reaksi berikutnya dapat ditentukan ln( r) ln r dengan r adalah bilangan acak uniform antara dan. Perlu diingat bahwa adalah jarak yang ditempuh netron dari posisi terakhir sampai tempat terjadinya tumbukan atau reaksi berikutnya. Selanjutnya harus diidentifikasi berdasarkan informasi konfigurasi lebih rinci apakah posisi tumbukan yang baru berada di dalam atau di luar sistem yang ditinjau. Bila di luar sistem maka menuju tahap terminasi, sedang bila di dalam sistem maka berikutnya menuju bagian identifikasi jenis reaksi.

8 .6. Bagian Identifikasi Jenis Reaksi Pada bagian ini kita melakukan identifikasi pemilihan jenis reaksi/tumbukan dan jenis targetnya. Misal ada N buah inti target dan ada M buah reaksi maka selanjutnya kita bikin indeks tunggal misal j dengan perincian j (n-)*m+m dengan j berharga dari,,3 sampai M N Selanjutnya dibangkitkan bilangan random r dan dicari j yang memenuhi j i MN i i i < r j i MN i i i Bila ini dipenuhi maka berarti tumbukan/reaksi itu dengan nukleus n dan jenis reaksinya adalah m..7. Bagian Hamburan Bagian hamburan akan mencari arah dan energi netron setelah terhambur. Misal hamburan bersifat isotropik dalam koordinat pusat massa (ini valid untuk hamburan elastik) maka pertama kita cari besaran partikel dalam koordinat pusat massa. Selanjutnya kita bangkitkan bilangan random r dan r untuk mencari arah baru dalam koordinat pusat massa relatif terhadap arah yang lama. Bila ( cos ) r cos r r π πrr

9 Netron terhambur φ netron Nukleus target Selanjutnya akan dicari arah netron terhambur dalam koordinat laboratorium. Perhatikan gambar berikut. Untuk mendapatkan kecepatan dalam koordinat laboratorium ini maka kecepatan dalam koordinat pusat massa kita tambahkan dengan vek tor kecepatan dari koordinat pusat massa itu sendiri. v c v L V CM r v v v v L L Ly Lz r v c v v v r + V c cy cz CM + V + V + V CM CMy CMz

10 dengan demikian dapat diperoleh kecepatan dalam koordinat laboratorium baik besar maupun arah dari netron setelah hamburan. Demikian juga energi netron dapat diperoleh..8. Bagian Terminasi Bagian ini akan menangani akhir sejarah netron baik akibat keluar dari geometri sistem yang ditinjau, akibat diserap bahan, atau karena faktor lainnya. Apabila netron keluar maka akan dicatat dalam variabel jumlah netron yang bocor keluar sistem. Bila diserap juga akan dicatat di mana dan oleh inti apa diserap. Selanjutnya simulasi dilanjutkan dengan sejarah baru atau berhenti bila jumlah sejarahnya telah memenuhi. 3